Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI GIẢNG HÌNH KHÔNG GIAN HAY
CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT Các đối tượng của hình học không gian là các điểm, đường thẳng, mặt phẳng chúng có quan hệ với nhau qua các tiên đề. Tiên đề 1. Qua hai điểm phân biệt có 1 đường thẳng và chỉ một mà thôi Tiên đề 2. Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi. Tiên đề 3. Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt nằm trên một mặt phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn nằm trên mặt phẳng. Tiên đề 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung ấy gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Vị trí tương đối mặt phẳng và đường thẳng Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau: Đường thẳng song song mặt phẳng Định lý 1: Nếu đường thẳng ∆ không thuộc mặt phẳng mà song song với một đường thẳng d thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng Định lý 2. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng P thì mọi mặt phẳng chứa ∆ cắt P đều theo những giao tuyến song song. Định lý 3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau mà song song với 1 đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. Định lý 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia Đường thẳng cắt mặt phẳng Đường thẳng thuộc mặt phẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng Có 4 vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng a và b Hai đường thẳng trùng nhau thì 2 đường thẳng có 2 điểm phân biệt Hai đường thẳng cắt nhau thì 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm phân biệt Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng không có điểm chung và đồng phẳng Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung và không đồng phẳng Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Có 3 vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Hai mặt phẳng trùng nhau thì 2 mặt phẳng đó có 3 điểm chung và không thẳng hàng Hai mặt phẳng song song thì hai mặt phẳng đó không có điểm chung Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia Định lý 3: Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng sẽ cắt theo những giao tuyến song song. Hai mặt phẳng cắt nhau thì giao điểm của chúng là một đường thẳng Cách xác định mặt phẳng Có 4 cách xác định mặt phẳng Ba điểm không thẳng hàng Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó Hai đường thẳng đồng quy Hai đường thẳng song song Một số hình thông dụng Tứ diện: là hình hợp bởi 4 điểm không đồng phẳng Hình chóp: Cho đa giác lồi A 1 A 2 A 3 A n và điểm S ở ngoài mặt phẳng đa giác. Hình chóp là hình giới hạn bởi n ∆SA 1 A 2 ; ∆SA 2 A 3…. Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng α ta được các đoạn thẳng tạo nên bởi tập hợp các điểm chung của một mặt nào đó của hình chóp với mặt phẳng α gọi là các đoạn giao tuyến, các đoạn giao tuyến này nối tiếp nhau thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α. Hai mặt phẳng vuông góc Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng là 90 0 Định lý 1. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau Định lý 2. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào thuộc một trong hai mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Định lý 3. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, A là một điểm nằm trong mặt phẳng này thì đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng kia cũng thuộc mặt phẳng này. Định lý 4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng song song với mặt phẳng thứ 3 đó. Khoảng cách Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách giữa điểm đó và hình chiếu của nó trên đường thẳng đó. Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng tới mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm từ mặt phẳng này tới mặt phẳng kia Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. [...]... S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng P’ thì S'=Scosϕ Trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng P và P’ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN BÀI TOÁN 1 CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Ba điểm không thẳng hàng Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó Hai đường thẳng đồng quy Hai đường thẳng song song 1 Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng a... Tứ giác MNPQ là hình gì? b Giả sử AB vuông góc CD thì MNPQ là hình gì? Tính diện tích của MNPQ biết AM=x; AB=AC=CD=a tính x để diện tích này lớn nhất 2 Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD, gọi M và N là trung điểm của AD và BC, mặt phẳng α qua MN và song song với SD cắt hình chóp SABCD theo hình gì? 3 Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng hình thoi ABCD... với mặt phẳng IMN A M N B I K C G D E L 6 Cho hình chóp SABCD và điểm M trên SB, dựng giao điểm SC với mặt phẳng ADM S M A L N B O D C BÀI TOÁN 4 CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG Bản chất chứng minh đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt 1 Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng α tại I, lấy 2 điểm A, B trên d và M trong không gian không thuộc d và α, giả sử MA và MB lần lượt... song song (BB’C’C); b Chứng minh mặt phẳng (A’GK) song song (AIB’) CHƯƠNG 4 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BÀI TOÁN 1 CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG 1 Cho hình chóp S.ABCD; ABCD là hình thoi và SA=SC Chứng minh AC vuông góc với SBD 2 Cho hình chóp S.ABCD; ABCD là hình bình hành và ∆SAB vuông tại A; ∆SCD vuông tại D Chứng minh rằng AB vuông góc mặt phẳng... N, P, Q a.Chứng minh rằng nếu α song song với SE hay SF thì MNPQ là hình thang b Nếu α song song với SE và SF thì MNPQ là hình gì? 6 Cho tứ diện ABCD, từ điểm M trên cạnh AC ta dựng một mặt phẳng song song với AB và CD, mặt phẳng này lần lượt cắt BC, BD, AD tại N, P, Q Cho AB=a; CD=b; AC=c và MN=x a Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính chu vi của nó? b Khi M di động trên... khác nhau, chứng minh (ADF) song song (BCE) 3 Cho hình bình hành ABCD, từ A và C kẻ Ax và Cy song song cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng ABCD, chứng minh (BAx) song song (DCy) BÀI TOÁN 2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Chứng minh đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng này 1 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác... một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song 1 Từ các đỉnh của hình bình hành ABCD ta kẻ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz song song và cùng chiều, không nằm trong mặt phẳng ABCD Một mặt phẳng cắt bốn nửa đường thẳng này lần lượt tại A’, B’, C’, D’ a Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì? b Gọi O và O’ là tâm các hình bình hành ABCD và A’B’C’D’, chứng minh AA’+CC’=BB’+DD’ 2... A’C’, B’D’, SO đồng quy 4 Cho hai ∆ABC và ∆A’B’C’ không cùng nằm trong một mặt phẳng, giả sử BC cắt B’C’, AC cắt A’C’ và AB cắt A’B’ Chứng minh rằng 3 đường thẳng AA’, BB’, CC’ thường đồng quy tại một điểm O A’ K C’ B’ C A B M N BÀI TOÁN 6 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LÀ GIAO TUYẾN HAY MỘT PHẦN GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 1 Cho hình chóp SABCD, một mặt phẳng α di động qua trung... Giả sử ∆BCD cố định và điểm A di động trên mặt phẳng α qua BC sao cho NSQR là hình thoi, chứng minh A di động trên một đường tròn cố định 2 Cho hình bình hành ABCD và mặt phẳng cố định α qua AB, S di động trên α , gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của CS, DS, DA, AC Giả sử MNPQ là hình chữ nhật, chứng minh S di động trên một đường thẳng cố định 3 Cho tứ... Cho hình chóp ABCD , ABCD là hình bình hành và SA=SB, SC=SD chứng minh rằng (SA;BC)=(SB;AD) 5 Cho tứ diện ABCD với AB vuông góc CD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD chứng minh MP=NQ BÀI TOÁN 2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng 1 Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng hình . điểm không đồng phẳng Hình cho p: Cho đa giác lồi A 1 A 2 A 3 A n và điểm S ở ngoài mặt phẳng đa giác. Hình cho p là hình giới hạn bởi n ∆SA 1 A 2 ; ∆SA 2 A 3…. Cắt hình. phẳng MNK. 3. Cho hình cho p SABCD lần lượt trên SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P sao cho NP không song song với AD và CD. Dựng giao điểm của SD, SC với mặt phẳng MNP. 4. Cho tứ diện. và M trong không gian không thuộc d và α, giả sử MA và MB lần lượt cắt α tại A’ và B’, chứng minh 3 điểm I, A’, B’ thẳng hàng. 2. Cho 3 nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng