Đang tải... (xem toàn văn)
Hà Duy Hưng: Các bài toán đại số trong các kì thi Olympic
[...]... Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 29 82 Hãy rút gọn các tổng sau đây 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 3k1 sin3 x 3k arctan 2+k2k+k4 2 k sin ak ở đây {ak }+ là một cấp số cộng k=1 bk sin ak ở đây {ak }+ và {bk }+ là các cấp số cộng k=1 k=1 bk cos ak ở đây {ak }+ và {bk }+ là các cấp số cộng k=1 k=1 bk sin ak ở đây {ak }+ là cấp số. .. Hưng 1.3 Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 30 Phương trình và bất phương trình 1 Cho các số thực a, b, c R thoả mãn a(4a + 3b + 2c) > 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 không thể có hai nghiệm thuộc khoảng (1; 2) 2 Tìm điều kiện cần và đủ cho các số nguyên a, b, c, d với a = 0 sao cho axy + bx + cy + d = cd có vô số nghiệm nguyên đối với ẩn nguyên x, y 3 Cho các số thực... ] Giải phương trình ai a1 x 1 + ai a2 x 2 + ai a3 x 3 + ai a4 x 4 = 1 với i = 1, 2, 3, 4 ở đó các số a1 , a2 , a3 , a4 là phân biệt Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 32 18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng không Giả sử rằng các số thực x1 , x2 , , xn thoả mãn n phương trình ax2 + bxi + c = xi+1 với mọi 1 i < n và ax2 +... có thể chia bốn số đó ra thành hai cặp, mỗi cặp hai số mà tích của chúng bằng 1 83 Chứng minh các đẳng thức sau đây Hà Duy Hưng (a) 10 2 5 4 (b) Các bài toán đại 2+ (c) 3 trong các cuộc thi Olympic Toán. 13 10 2 5 = 1 5 4+ 14 5 3 = 3 2 3+ 847 3 + 6 27 6+ số 847 =3 27 84 Rút gọn các biểu thức dưới đây (a) (b) 3 (c) (d) 4 7+ 8 3 5+ 6 21 + 55 8 3 + 7 3 3 2+ 5+2 2+ 85 Cho các số thực 5+ 35... 2 )2 (bc a (ca b (ab c2 )2 17 2 7 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 14 89 Cho n là một số nguyên dương và n số thực x1 , , xn Với mỗi dương đặt Sk = xk + ã ã ã + xk Chứng minh rằng nếu S2 = S3 1 n Sk = S1 với mọi k 90 Cho hai số thực x, y thoả mãn ( x2 + 3 + x)( y 2 + 3 + y) = 1 Chứng minh rằng 91 Cho các số thực k nguyên = S4 thì x + y = 0 x, y, z thoả mãn... Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn hệ a + 4b + 9c + 16d = 1 4a + 9b + 16c + 25d = 12 9a + 16b + 25c + 36d = 123 Hãy xác định giá trị của biểu thức 16a + 25b + 36c + 49d 75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c = = b c a Hãy xác định giá trị của a+b+c a+bc Hà Duy Hưng Các bài toán đại 76 Cho các số thực dương số trong các cuộc thi Olympic Toán. 12 a, b, c, d satisfying... Competition 1975 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 33 24 [ Kurs.MO1976 The third Problem ] Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị thực x thì nó có thể viết được dưới dạng thương của hai đa thức với các hệ số dương 25 [ Irish Mathematical Olympiad 1999 The first Problem ]4 Hãy xác định tất cả các số thực x thoả mãn x2 x2 +... pn sin n = 0 ở đó p1 , p2 , , pn là các số thực 66 Chứng minh các đẳng thức sau đây 3 3 cos 2 + 7 cos 2 + 9 3 3 cos 4 + 7 cos 4 + 9 3 3 cos 8 = 7 cos 8 = 9 3 3 1 3 (5 7) 2 1 3 (3 9 6) 2 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 26 67 Giả sử rằng uk = sin 2nx ã sin(2n 1)x ã ã ã sin(2n k + 1)x sin x ã sin 2x ã ã ã sin kx Chứng minh các đẳng thức sau đây 1u1 +u2 u3 +ã ã... first Paper Irish Mathematical Olympiad 1999 the second Paper , thoả mãn các hệ Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 34 31 [ MiU.MC1998 ]6 Hãy xác định tất cả các nghiệm thực của phương trình 1998x + 1999x = 1997x + 2000x 32 [Moscow Mathematical Olympiad 2000, for 9 Class] Hãy xác định tất cả các số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình sau đây 1 x + y = 2 (y z)2 1... 33 Chứng minh rằng cos4 3 5 3 5 + cos4 + cos4 = 12 cos2 ã cos2 ã cos2 14 14 14 14 14 14 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 21 34 Chứng minh rằng 8 12 18 1 7 cos + cos + cos = cos + sin 35 35 35 2 5 2 5 35 Các số nguyên rằng 2 sin a1 + 36 Cho a1 , a2 , , an nhận các giá trị là +1 hoặc 1 Chứng minh a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 ã ã ã an + +ã ã ã+ 450 = a1 2 4 2n1 2 + a2 2