BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ ĐẶNG THỊ THANH THẢO MỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN  Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao học khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM. Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đến PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình gi úp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 1 Mục lục 2 LỜI NÓI ĐẦU 3 Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Một số định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối trên trường 5 1.2. Giá trị tuyệt đối phi Archimedean 9 1.3. Một số tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối phi Archimedean 14 Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archi medean trên bao đủ 16 2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đóng đại số 25 Chương 3 - NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ 3.1. Nhóm giá trị 39 3.2. Trường thặng dư 45 3.3. Ví dụ 53 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI NÓI ĐẦU Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Q hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archi medean p ta được trường p Q , lấy bao đóng đại số của p Q rồi làm đầy đủ trường này ta được trường p C . Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giá một trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồn tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộng đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng như thế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giá trị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là hai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên Q và giá trị tuyệt đối trên trường các phân thức hữu tỉ   Kx. Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của một trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lý mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộng này,… Chương 3: Nhóm giá trị và trường thặng dư: trình bày các khái niệm nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường với trường bao đủ, trường bao đóng của nó,… Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƯỜNG Định nghĩa 1.1.1: Cho F là trường, ánh xạ |.|:FR được gọi là giá trị tuyệt đối trên trường F nếu thoả các điều kiện sau: i. ||0 ; ||0 0xxFxx  ii. |.|| |.| | , x yxy xyF iii. |||||| , x yx y xyF    Ví dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị tuyệt đối theo nghĩa trên. Ví dụ 1.1.3: Cho trường F bất kì. Định nghĩa: là giá trị tuyệt đối trên F, gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường. Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản sau: 1) |1|=1 2) 1 1 || || x x   3) Nếu trường F hữu hạn thì trên F có duy nhất một giá trị tuyệt đối là giá trị tuyệt đối tầm thường. Định nghĩa 1.1.4: 1) Cho F là trường, |.| là giá trị tuyệt đối trên F. Khi đó dễ dàng chứng minh được d(x,y) = |x-y| là một mêtric trên F và được gọi là một mêtric cảm sinh từ giá trị tuyệt đối. Hai giá trị tuyệt đối 12 |.|,|.| được gọi là |x| = 1 nếu 0 x  0 nếu x = 0 tương đương nếu topo cảm sinh bởi hai mêtric trên là như nhau. Kí hiệu 12 |.|~|.| . 2) Dãy   n x trên trường F được gọi là dãy Cauchy nếu , lim | | 0 mn mn xx  , nghĩa là 00 0, / , | | mn nN mnn x x           . 3) Dãy   n x trên trường F được gọi là hội tụ về x F  nếu , lim | | 0 n mn xx    , nghĩa là 00 0, / | | n nN nn xx          Kí hiệu : lim n n x x   Ta có thể chứng minh được rằng một dãy hội tụ là dãy Cauchy và các tính chất quen thuộc về dãy Cauchy như tổng, tích hai dãy Cauchy là dãy Cauchy … Ngoài ra, cũng có thể chứng minh các kết quả về giới hạn như như giới hạn của tổng, tích,… Định lý 1.1.5: ( Các điều kiện tương tương đương của giá trị tuyệt đối) Cho 12 |.|,|.| là các giá trị tuyệt đối trên trường F, các mệnh đề sau tương đương: 1) 12 ||1 || 1 x xxF   2) 12 ||1 || 1 x xxF   3) Tồn tại hằng số c>0 sao cho 12 |||| c x xxF   4)   n x là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối 1 |.|   n x  là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối 2 |.| 5) 12 |.|~|.| . Chứng minh:   12 Phản chứng. Giả sử 1 ||1x  nhưng 2 || 1x  . Ta có: 11 2211 ||1| |1| |1||1xx x x     (trái giả thiết). Vậy 12 ||1 || 1xx  .   21 Làm tương tự   12   13  Trường hợp một trong hai giá trị tuyệt đối là tầm thường . Giả sử 1 |.| tầm thường suy ra 1 :| | 1xF x    (   \ 0FF   ) Nếu 2 || 1x  thì   1 ||1!x  Nếu 2 || 1x  thì   11 211 ||1||1||1!xxx     Như vậy 22 || 1|.|x  tầm thường suy ra 21 10:|||| c cxx   Nếu 1 |.| không tầm thường 001 02 :| | 1 | | 1.xFx x     Đặt 01 02 ||;||ax bx   11 ,| | log | | a x Fx a x       . Ta chứng minh 2 || x b   . Thật vậy:  , m n m rQr aa n      01 1 |||| m n x x 01 1 |||| mn x x (lấy mũ n 2vế ) 01 02 |. |1|. |1 nm nm xx xx   202 202 2 || | | ||| | || mm nm nn x xxxxb   Lấy dãy   ,, nn n rQr nr   ,theo chứng minh trên 2 || n r x b . Cho n  ta có   2 || 1xb   .  Tương tự ta có với , m rQr n    thì 2 || m n x b   2 || 2xb   . Từ   1 và   2 suy ra 2 || x bxF     Vậy    log log 211 || || || log 0 a a b b c a xa x xc b  .   35 Ta có :       111 ,:|| :|| cc Bar x F x a r x F x a r        22 :| | , cc x Fxa r Bar    Do đó   11 ,, A aABar A         2 2 ,, c aABar A A       Vậy 12 12 |.| ~|.|   .   51 Ta có : 11 ||1 || 0 n xx khi n  0 n x  theo giá trị tuyệt đối 1 |.| 0 n x theo giá trị tuyệt đối 2 |.| 2 || 0 n xkhi n  2 || 1x.  34 Lấy dãy   n x F là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối 1 |.| Khi đó 1 lim | | 0 mn n xx   suy ra 1 lim | | 0 c mn n xx    2 lim | | 0 mn n xx     n x  là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối 2 |.|   41 11 :| | 1 | | 0 n xFx x    khi n  0 n x theo giá trị tuyệt đối 1 |.|   n x  là dãy Cauchy theo 1 |.|   n x  là dãy Cauchy theo 2 |.| 1 2 ||0 nn xx   khi n  2 |( 1)| 0 n xx khi n  22 |||(1)| 0 n xx khi n  0 n x  theo giá trị tuyệt đối 2 |.| 2 || 0 n xkhi n . 2 || 1x . Tương tự ta cũng có nếu 21 || 1 ||1xx   . □ 1.2. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN Định nghĩa 1.2.1 : Trường F với ánh xạ |.|:FR được gọi là giá trị tuyệt đối phi Archimedean nếu : i. ||0 ; ||0 0xxFxx  ii. |.|| |.| | , x yxy xyF iii.   ||max||,|| , x yxyxyF   Như vậy giá trị tuyệt đối phi Archimedean là giá trị tuyệt đối với điều kiện iii) thoả bất đẳng thức tam giác mạnh . Ví dụ 1.2.2: Giá trị tuyệt đối tầm thường trên F là phi Archimedean. Thật vậy : iii. Nếu   ||0||max||,|| x yxy xy Nếu 0||1 ||1 0 0||1 xx xy xy yy         Do đó   ||max||,|| x yxy Vậy   ||max||,|| , x yxyxyF  . [...]... Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN 2.1 TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên trường F Tồn tại duy nhất trường mở rộng L của F với giá trị tuyệt đối ||.|| là sự mở rộng của giá trị tuyệt đối trên F thoả: i) L đầy đủ ii) F trù mật trong L Khi đó L còn được gọi là bao đủ của F Chứng... trên F Giả sử  ' là một liên hợp của  Xét  : K  K là một F _ tự đẳng cấu của K  ' ( F  id ) Trên trường K ta định nghĩa giá trị tuyệt đối || || ' là mở rộng của |.| trên F là || || ' : K  R x || x || ' ||   x  || Mà ||.|| thu hẹp trên K là một giá trị tuyệt đối mở rộng của |.| trên F Theo hệ quả 2.2.5 có tối đa một giá trị tuyệt đối trên là mở rộng của |.| trên F nên || |||| ... Cauchy đối với ||.|| thì là dãy Cauchy đối với || ||m Vậy ||.|| ~ || ||m suy ra theo tính bắc cầu thì mọi giá trị tuyệt đối trên V đều tương đương º Hệ quả 2.2.5 : Nếu K là mở rộng hữu hạn của F , trong đó trường F với giá trị tuyệt đối |.| compact địa phương Có tối đa một giá trị tuyệt đối ||.|| trên K là mở rộng của |.| Chứng minh: Giả sử có hai giá trị tuyệt đối || ||1 ,|| ||2 trên K là mở rộng của. .. xn , xn  Q, xn  là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối | | p  Giá trị tuyệt đối trên Qp : | x | p  lim | xn | p n  x  lim xn với mêtric cảm sinh từ giá trị truyệt đối n  Định lý 2.1.3: Nếu | |1 ,| |2 là hai giá trị tuyệt đối phi Archimedean tương đương trên trường F Giả sử  L1 ,|| ||1  và  L2 ,|| ||2  là hai bao đủ của hai giá trị tuyệt đối tương ứng Thế thì: a L1  L2 b || ||1... trị tuyệt đối p-adic | | p với p là một số nguyên tố nào đó Chứng minh xem  4    Áp dụng định lý 2.1.3; 2.1.4 ta suy ra trường số hữu tỉ Q chỉ có hai loại bao đủ đó là :  Trường số thực R với giá trị tuyệt đối thông thường  Trường số p-adic Qp với giá trị tuyệt đối | | p ( với p là số nguyên tố nào đó) 2.2 MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN TRÊN BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ Định nghĩa 2.2.1: 1 Trường. .. ||1 || ||2 □ Định lý 2.2.6: Cho F là trường , F compact địa phương với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.| F là bao đóng đại số của F Khi đó tồn tại duy nhất một giá trị tuyệt đối ||.|| trên F là mở rộng của |.| trên F Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh một số bổ đề sau: 0    F , giả sử Irr ( , F , x )  x n  a1 x n1   an1 x  an Ta định nghĩa chuẩn của phần tử  từ F   vào F là  1... 2.2.3: Cho trường F với giá trị tuyệt đối |.| , V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F ; 1 , 2 , , n là một cơ sở cố định của V   V ,  a11  a2 2   an n , ai  F Đặt ||  ||m  max | ai | Khi đó i 1, ,n 1 || ||m là giá trị tuyệt đối trên V 2 Nếu |.| compact địa phương trên F thì || ||m compact địa phương trên V Chứng minh: 1 Chứng minh || ||m là giá trị tuyệt đối trên V : i... |   F   |    K :F     1  K :F    1  K :F    1  K :F    Từ nhận xét trên ta định nghĩa giá trị tuyệt đối ||.|| trên F như sau ||  ||| N K F   | 1  K :F    với K là một mở rộng hữu hạn nào đó của F chứa  Ta chứng minh ||.|| là một giá trị tuyệt đối trên F là mở rộng của |.| trên F :   F ,||  ||| N K F   | | N F   F 1  K :F      | |  N F   ... nghiệm trên F   2 Cho F là trường , trường K chứa F được gọi là bao đóng đại số của F nếu K đóng đại số và K tối tiểu có tính chất đó Kí hiệu K  F Sự tồn tại và duy nhất ( sai khác một đẳng cấu ) của bao đóng đại số được chứng minh trong 2    Định nghĩa 2.2.2: Cho F là trường, |.| là giá trị tuyệt đối trên F V là không gian véctơ trên F Ánh xạ || ||: V  R được gọi là giá trị tuyệt đối trên. .. là giá trị tuyệt đối phi Archimedean □ Hệ quả 1.2.6 : Nếu trường F có đặc số p thì mọi giá trị tuyệt đối là phi Archimedean Chứng minh: Xét N={1,2,…} ( ở đây e = 1 ) n  N , n  pq  r , r  0,1, , p  1 Ta có : | n || pq  r || pq |  | r || r | Do r chỉ nhận hữu hạn giá trị 0,1, , p  1 nên tập N bị chặn Áp dụng Định lý 1.2.5 suy ra điều phải chứng minh □ 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA GIÁ . Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archi medean trên bao đủ 16 2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên. Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean. bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và