CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ 3: BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG §5 Elip §6 Hypebol §7 Parabol §8 Sự thống ba đường Conic Bài tập cuối chuyên đề CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ HT ➉ HT I CĐ 3: BACHƯƠNG ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG ELIP 1 HÌNH DẠNG CỦA ELIP BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI, ĐƯỜNG CHUẨN BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  Mỗi hành tinh hệ Mặt Trời chuyển động theo quỹ đạo hình elip nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm Khoảng cách lớn nhỏ từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời tương ứng với khoảng km km (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov) Liệu có lập phương trình tắc elip quỹ đạo Trái Đất? Hình dạng Elip  HĐ1: Cho elip có phương trình tắc (H.3.1) a) Tìm toạ độ giao điểm elip với trục toạ độ b) Hãy giải thích sao, điểm thuộc elip điểm có toạ độ , thuộc elip c) Với điểm thuộc elip, so sánh với Cho elip có phương trình tắc Khi  Elip có hai trục đối xứng tâm đối xứng gốc toạ độ  Các điểm gọi đỉnh  Các đoạn thẳng tương ứng gọi trục lớn, trục nhỏ  Độ dài trục lớn, trục nhỏ tương ứng  a với thuộc elip  Hình chữ nhật với bốn đỉnh gọi hình chữ nhật có sở elip Ví dụ  Cho elip Tinh diện tích tứ giác có bốn đỉnh bốn đỉnh elip Lời giải  Các trục lớn, trục nhỏ elip tương ứng (H.3.2) có độ dài  Do đó, elip có đỉnh là,  Tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau, nên có diện tích Luyện tập Viết phương trình chinh tắc elip với độ dài trục lớn 10 tiêu cự Lời giải  Gọi phương trình tắc Elip có dạng  Theo đề bài, ta có:   𝟐 𝒄 =𝟔 ⟹ 𝒄 =𝟑  Suy ra:  Vậy phương trình tắc Elip là: Ví dụ  Cho elip có phương trình tắc Chứng minh rằng, điểm thuộc elip khác đỉnh nằm hình chữ nhật sở, cịn bốn đỉnh elip trung điểm cạnh hình chữ nhật Lời giải  Gọi điểm thuộc elip  Do nên ,  Vậy hoặc cặp bốn cặp Từ đó, ta có điều phải chứng minh Chú ý  Khi tỉ số nhỏ (càng gần ), hình nhật sở "dẹt" elip "gầy"  Khi tỉ số lớn (càng gần tới 1), hình chữ nhật sở gần với hình vng elip "béo" (càng gần đường tròn) (H.3.4)  𝒃 𝟏 𝒃 𝟏 𝒃 𝟒 = , = , = 𝒂 𝟒 𝒂 𝟐 𝒂 𝟓  Hình (Phép co đường trịn) Cho đường trịn có phương trình số Với điểm thuộc đường tròn, gọi hình chiếu vng góc lên trục điểm thuộc đoạn cho a) Tính toạ độ theo b) Chứng minh điểm thay đổi đường trịn thay đổi elip có phương trình tắc    a)N thuộc đoạn MH  Ta có  Vậy Lời giải  b) Ta gọi theo ý a) ta có  M thay đổi đường trịn (ĐPCM)  Chú ý: Người ta nói: Phép co trục hồnh hệ số biến đường trịn thành elip có phương trình BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN   Cho elip có hai tiêu điểm độ dài trục lớn điểm a) Tính b) Khi điểm thuộc elip , tính  a) Ta có: Suy  b) Ta có  +)  Cho elip có phương trình tắc , với tiêu điểm (với ) Với điểm thuộc elip, ta có Các đoạn thẳng gọi bán kính qua tiêu Ví dụ  Cho3 elip có phương trình chinh tắc Tìm điểm elip để khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm tương ứng đạt giá trị nhỏ nhất, lớn  Elip có nửa tiêu cự  Với mối điểm thuộc elip, ta có bán kinh qua tiêu ứng với tiêu điểm  Mặt khác thuộc elip nên  Do đó,   Hơn nữa,  Vậy nhỏ điểm trùng đỉnh lớn điểm trùng đỉnh elip   Chú ý: Tương tự ví dụ 3, khoảng cách từ đến tiêu điểm nhỏ trùng đỉnh lớn trùng đỉnh Bán kính qua tiêu có độ dài lớn nửa tổng độ dài trục lớn tiêu cự, có độ dài nhỏ nửa hiệu độ dài trục lớn tiêu cự  Cho elip điểm thay đổi elip Hỏi khoảng cách từ tới tiêu điểm elip lớn bao nhiêu, nhỏ bao nhiêu? Giải:  Elip có  Tiêu điểm  Đỉnh:  Khoảng cách từ tới tiêu điểm lớn  Khoảng cách từ tới tiêu điểm nhỏ Vận dụng  Với thơng tin đưa tình mở đầu, lập phương trình tắc elip quỹ đạo Trái Đất, với đơn vị đo mặt phẳng tọa độ ứng với km thực tế Giải:  Phương trình tắc elip có dạng:  Khoảng cách lớn nhỏ từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời  Suy  Phương trình quỹ đạo Trái Đất là: