CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP CHƯƠNG I QUI NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON Chứng minh với số tự nhiên Chứng minh với số tự nhiên Chứng minh với số tự nhiên , ta có , ta có , ta có n 1 n 1 n 1 TOÁN ĐẠI SỐ ➉ I CHUYÊNCHƯƠNG ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON 1 2 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ Bài 2.19 Chứng minh với số tự nhiên , ta có Lời giải: • Ta chứng minh quy nạp theo • Với ta có (1) mệnh đề Như với • Giả sử với , tức ta có • Ta chứng minh với , nghĩa ta chứng minh Bài 2.19 Chứng minh với số tự nhiên , ta có • Thật vậy, ta có Vậy với số tự nhiên Bài 2.20 Đặt a) Tính b) Dự đốn cơng thức tính tổng chứng minh quy nạp Lời giải: a) Ta có b) Từ kết câu a) ta dự đốn • Ta chứng minh quy nạp theo , với • Với ta có Như với Bài 2.20 Đặt b) Dự đốn cơng thức tính tổng chứng minh quy nạp • Giả sử với n = k , tức ta có • Ta chứng minh với , nghĩa ta chứng minh • Thật vậy, ta có • Vậy , với Bài 2.21 Chứng minh với số tự nhiên , ta có chia hết cho 11 Lời giải: • Ta chứng minh quy nạp theo • Với ta có chia hết cho Vậy với • Giả sử với , (ĐK?) tức chia hết cho • Ta cần chứng minh với , nghĩa ta chứng minh chia hết cho • Thật vậy, ta có • Rõ ràng chia hết cho 11 chia hết cho theo giả thiết quy nạp • Vì chia hết cho • Vậy với số tự nhiên Bài 2.22 Chứng minh với số tự nhiên , ta có Lời giải: • Ta chứng minh bất đẳng thức quy nạp theo , với • Với ta có Vậy với • Giả sử với , tức ta có • Ta cần chứng minh với , tức chứng minh • Thật vậy, ta có • Vậy với số tự nhiên Bài 2.23 a) Khai triển b) So sánh Lời giải: a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có b) Ta có • Vậy Bài 2.24 Tìm hệ số khai triển thành đa thức Lời giải: theo dõi thầy/cơ nên tìm số hạng TQ cho HS yếu dễ • Số hạng chứa (ĐK k) khai triển hay • Số hạng chứa ứng với , tức số hạng hay • Vậy hệ số khai triển Bài 2.25 Khai triển đa thức thành dạng Tìm hệ số lớn Lời giải: • Ta có • Do hệ số tổng quát khai triển • Xét dãy số • Ta có • Nếu Bài 2.25 Khai triển đa thức thành dạng • Suy • Ngược lại Suy • Vậy hệ số lớn khai triển Tìm hệ số lớn Bài 2.26 Chứng minh Lời giải: • Ta có • Thay vào ta (đpcm) Bài 2.26 Chứng minh • Thay vào ta • Từ giả thiết suy Bài 2.27 Tìm giá trị lớn giá trị Áp dụng: Tìm hệ số lớn khai triển , biết tổng hệ số khai triển Lời giải: • Ta có khơng thể giá trị lớn • Xét với • Ta có lớn • Bài 2.27 Tìm giá trị lớn giá trị Áp dụng: Tìm hệ số lớn khai triển , biết tổng hệ số khai triển Trường hợp 1: Nếu lẻ Suy tồn hai giá trị thỏa mãn • Trường hợp 2: Nếu chẵn • Vậy chẵn giá trị lớn Bài 2.27 Tìm giá trị lớn giá trị Áp dụng: Tìm hệ số lớn khai triển , biết tổng hệ số khai triển • lẻ có hai giá trị lớn • Áp dụng • Tổng hệ số khai triển • Do chẵn, theo kết giá trị lớn Bài 2.28 Tìm số hạng có giá trị lớn khai triển với , , Lời giải: • Ta có • Trường hợp 1: Số hạng lớn • Trường hợp 2: Số hạng cuối lớn Bài 2.28 Tìm số hạng có giá trị lớn khai triển với , , • Trường hợp 3: Hai số hạng cuối số lớn Suy lớn ,với • Nếu nguyên tồn giá trị thỏa mãn • Nếu khơng ngun phần ngun kí hiệu phần ngun