Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên , ta có (4) Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức quy nạp theo , với Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có Ta cần chứng minh với , tức chứng minh Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên   Sử dụng phương pháp quy nạp tốn học, chứng minh tổng góc đa giác cạnh       Ví dụ Lời giải Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo , với • Với , ta có tổng ba góc tam giác • Vậy khẳng định với Giả sử khẳng định với , ta chứng minh với   Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng Ví dụ minh tổng góc đa giác cạnh         Lời giải Thật vậy, xét đa giác cạnh , nối hai đỉnh ta đa giác cạnh Theo giả thiết quy nạp, tổng góc đa giác cạnh Dễ thấy tổng góc đa giác tổng góc đa giác cộng với tổng góc tam giác , tức Vậy khẳng định với đa giác cạnh,     Vận dụng (Công thức lãi kép) Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng thường tính theo thể thức lãi kép theo định kì Theo thể thức này, đến kì hạn người gửi khơng rút lãi tiền lãi tính vào vốn kì Giả sử người gửi số tiền với lãi suất khơng đổi kì a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà người nhận sau kì thứ 1, sau kì thứ sau kì thứ b) Dự đốn cơng thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà người thu sau kì Hãy chứng minh cơng thức nhận quy nạp   Lời giải a) Số tiền lãi sau kỳ thứ là: Tương tự ta có       Vận dụng (Cơng thức lãi kép) Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng thường tính theo thể thức lãi kép theo định kì Theo thể thức này, đến kì hạn người gửi khơng rút lãi tiền lãi tính vào vốn kì Giả sử người gửi số tiền với lãi suất không đổi kì a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà người nhận sau kì thứ 1, sau kì thứ sau kì thứ b) Dự đốn cơng thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà người thu sau kì Hãy chứng minh cơng thức nhận quy nạp     Lời giải b) Dự đoán Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Với suy (đúng) Giả thiết công thức với , ta có , ta chứng minh cơng thức với , nghĩa Ta có, cuối kỳ thứ số tiền gốc lãi , sau kỳ thứ số tiền gốc lãi là: Vậy công thức , 2.1/30 Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên a) ; b)   Lời giải nhiên :   a) Chứng minh đẳng thức sau với số tự Ta chứng minh bất đẳng thức quy nạp theo , với Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có Ta cần chứng minh với , tức chứng minh Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có 2.1/30 Lời giải nhiên :   b) Chứng minh đẳng thức sau với số tự Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có Ta cần chứng minh với , tức chứng minh Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên   2.2/30 Mỗi khẳng định sau hay sai? Nếu em nghĩ đúng, chứng minh Nếu em nghĩ sai, đưa phản ví dụ a) số nguyên tố với số tự nhiên ; b) với số tự nhiên Lời giải a) Khẳng định “ số nguyên tố với số tự nhiên ” khẳng định sai Phản ví dụ: lấy khơng phải số nguyên tố     2.2/30 Mỗi khẳng định sau hay sai? Nếu em nghĩ đúng, chứng minh Nếu em nghĩ sai, đưa phản ví dụ a) số nguyên tố với số tự nhiên ; b) với số tự nhiên Lời giải b) Khẳng định “” khẳng định với số tự nhiên Ta chứng minh bất đẳng thức quy nạp theo , với Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có Ta cần chứng minh với , tức chứng minh Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên     2.3/30   Lời giải Chứng minh chia hết cho với số tự nhiên Ta chứng minh “ chia hết cho ” quy nạp theo , với Với ta có chia hết cho Vậy với Giả sử với , tức ta có “ chia hết cho ” Ta cần chứng minh với , tức chứng minh “ chia hết cho ” Thật vậy, theo giả thiết quy nạp suy , với số tự nhiên Khi ta có: chia hết cho Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên   2.4/30   Lời giải Chứng minh số lẻ với số nguyên dương Ta chứng minh “ số lẻ ” quy nạp theo , với Với ta có số lẻ Vậy với Giả sử với , tức ta có “ số lẻ” Ta cần chứng minh với , tức chứng minh “ số lẻ” Thật vậy, theo giả thiết quy nạp suy , với số tự nhiên Khi ta có: số lẻ Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên   2.5/30 Chứng minh với số tự nhiên   Lời giải Ta chứng minh “ ” quy nạp theo , với Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có “” Ta cần chứng minh với , tức chứng minh “” Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên Cho tổng 2.6/30 a) Tính b) Dự đốn cơng thức tổng chứng minh quy nạp   Lời giải a) , , b) Dự đốn cơng thức Ta chứng minh quy nạp theo , với Với ta có Vậy với Giả sử với , tức ta có   Cho tổng 2.6/30 a) Tính b) Dự đốn cơng thức tổng chứng minh quy nạp   Lời giải b) Ta cần chứng minh với , tức chứng minh   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh số 2.7/30 đường chéo đa giác cạnh   Lời giải Ta chứng minh “số đường chéo đa giác cạnh ” quy nạp theo , với Với ta có số đường chéo tứ giác Vậy với Giả sử với , tức ta có “số đường chéo đa giác cạnh ” Ta cần chứng minh với , tức chứng minh “số đường chéo đa giác cạnh ”   Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh số 2.7/30 đường chéo đa giác cạnh     Lời giải Xét đa giác lồi cạnh Nối ta đa giác cạnh , theo giả thiết quy nạp đa giác có số đường chéo Nối với đỉnh ta thêm đường chéo đồng thời đường chéo Vậy số đường chéo đa giác cạnh là: Vậy bất đẳng thức với số tự nhiên Ta “lập luận” quy nạp toán học để rằng: “Mọi 2.8/30 mèo có màu” Ta gọi với nguyên dương mệnh đề sau: “Mọi mèo đàn gồm mèo có màu” Bước Với mệnh đề “Mọi mèo đàn gồm có màu” Hiển nhiên mệnh đề đúng! Bước Giả sử với số nguyên dương k Xét đàn mèo gồm Gọi chúng Bỏ mèo khỏi đàn, ta nhận đàn mèo gồm k Theo giả thiết quy nạp, mèo có màu Bây giờ, thay bỏ mèo , ta bỏ mèo để có đàn mèo gồm k Vẫn theo giả thiết quy nạp mèo có màu Cuối cùng, đưa mèo trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu Theo lập luận trên: Các mèo có màu mèo có màu Từ suy tất mèo có màu   2.8/30 Vậy, theo ngun lí quy nạp với số nguyên dương Nói riêng, gọi số mèo Trái Đất việc cho thấy tất mèo (trên Trái Đất) có màu! Tất nhiên ta tìm mèo khác màu nhau! Theo em “lập luận” sai chỗ nào?   Lời giải Lập luận sai chỗ: bỏ mèo để có đàn mèo gồm   EM CÓ BIẾT Phương pháp lập luận quy nạp phát minh cá nhân thời điểm cố định Người ta cho nhà toán học Hy Lạp biết tới ngun lí quy nạp, khơng thật rõ ràng Lập luận quy nạp lần xuất cách tường minh sách Arithmeticorum Libri Duo năm 1575 nhà toán học thiên văn học người Ý Francesco Maurolico (1494 – 1575) Nhà toán học người Anh John Wallis (1616 – 1703) coi người sử dụng thuật ngữ quy nạp