Đang tải... (xem toàn văn)
0 : (3) +/ Với a ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 ( Biên soạn theo cấu trúc đề thi hết học phần) I.Chương 1: Tập hợp – Ánh xạ. Dạng: Tìm căn bậc n của số phức z. • Bước 1: Chuyển về dạng lượng giác: • Bước 2: Gọi w là căn bậc n của số phức z. Khi đó: • Bước 3: Ta có: • Bước 4: Kết luận. Vậy căn bậc n của số phức z là: , k = 0,…,n – 1. II. Chương 2: Định thức – Ma trận. Dạng: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3. • Bước 1: Tính TH1: = 0 thì ma trận A không khả nghịch. TH2: thì ma trận A khả nghịch. • Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo ta tìm: . Từ đó tìm ma trận C. Suy ra ma trận CT. • Bước 3: Kết luận. III. Chương 3: Không gian vectơ. Dạng: a. Chứng minh hệ E là một cơ sở của không gian R3 hoặc P2[x]. b. Tìm tọa đôn của một vectơ theo cơ sở E. • Để chứng minh hệ E là cơ sở của một không gian R3 hoặc P2[x] thì ta chỉ cần chứng minh nó độc lập tuyến tính. • Để tìm tọa độ của một vectơ theo cơ sở E thì ta phân tích tọa độ đó theo cơ sở E hệ phương trình nghiệm. IV. Chương 4: Ánh xạ tuyến tính. Dạng 1: Tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf. • Tìm Kerf. Bước 1: Viết Kerf theo định nghĩa: Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận được. Bước 3: Viết v Kerf theo tổng quát, cô laaoj tham số tìm hệ sinh. Bước 4: Tìm số vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh cơ sở số chiều. • Tìm Imf. Bước 1: Viết Imf theo định nghĩa: Bước 2: Từ f(v) = w, cô lập tham sô, tìm hệ sinh. Bước 3: Tìm sô vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh cơ sở DimImf. Dạng 2: Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong một cặp cơ sở E,F. • Bước 1: Tìm tọa độ • Bước 2: AE,F = * Chú ý: AE,F viết theo cột. Dạng 3: Tìm trị riêng và vectơ riêng. • Bước 1: Tìm ma trận trong cặp cơ sở chính tắc. • Bước 2: Giải phương trình đặc trưng: • Bước 3: Ứng với mỗi thay vào V.Chương 5: Giới hạn – Liên tục. Dạng: Tìm và phân loại điểm gián đoạn. • Bước 1: Khẳng định câu: Hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R{x0}. • Bước 2: Tính f(x0). • Bước 3: Tìm • Bước 4: Kết luận. Để hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R{x0} thì: • Một số chú ý: Điểm gián đoạn loại 1: Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 1. - hoặc không xác định tại x0. - . Điểm gián đoạn có bước nhảy: . Điểm gián đoạn loại 2: Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 2. - . - . - hoặc không tồn tại các giới hạn gọi là trường hợp điểm giới hạn vô cực. VI. Chương 6: Đạo hàm và vi phân. Dạng 1: Tính đạo hàm cấp n. Cách giải : Áp dụng Công thức Lepnit vào bài toán và sử dụng các công thức đạo hàm cấp n có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). Dạng 2: Khai triển Taylo và Maclorin. Cách giải : Áp dụng Công thức Taylo và Maclorin vào bài toán và sử dụng các công thức có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). VII. Chương 7: Tích phân. Dạng: Tính tích phân suy rộng. Cách giải : Áp dụng các công thức Tích phân vào bài toán và sử dụng các công thức Tích phân có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). MỘT SỐ CÔNG THỨC HỖ TRỢ CHO VIỆC GIẢI BÀI TOÁN 1.Công thức lượng giác đầy đủ. I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ II. Công thức cộng - trừ: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ III. Công thức góc nhân đôi: 1/ 2/ 3/ 4/ IV. Công thức góc nhân ba: 1/ 2/ 3/ 4/ V. Công thức hạ bậc hai: 1/ 2/ 3/ 4/ VI. Công thức hạ bậc ba: 1/ 2/ VII. Công thức biểu diễn qua : 1/ 2/ 3/ VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/ 2/ 3/ IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 9/ 10/ 11/ X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt: 1/ Góc đối: 2/ Góc bù: 3/ Góc sai kém : 4/ Góc phụ: XI. Công thức bổ sung: 4/ 5/ XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: Giá trị lượng giác Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ, dòng dưới tính bằng đơn vị radian” 0 Sin 0 1 0 Cos 1 0 -1 Tan 0 1 0 Cot 1 0 XIII. Định lý hàm số cosin: 1/ 2/ 3/ XIV. Định lý hàm số sin: Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Hay XV. Công thức tính diện tích tam giác: Gọi là đường cao thuộc cạnh trong . là phân nửa chu vi . S là diện tích . R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp . R là bán kính đường tròn nội tiếp . 1/ 2/ 3/ (R là bán kính đường tròn) ; 4/ (r là nửa chu vi) 5/ với (Hệ thức Hêrông) XVI. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 2. Bảng công thức đạo hàm đầy đủ. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 2 3 4 5 6 7 y = cosx 8 9 10 y = lnx 11 12 13 14 15 1. Công thức Lepnit. 2. Công thức Taylor Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng . Khi đó tồn tại một điểm sao cho: = 3. Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : Với (phần dư dạng lagrange) Hoặc (phần dư dạng Cauchy). 4. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG ; ; ; ; ; CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN • PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. I. Phương pháp đổi biến số dạng 1. Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt • Bước 4: Tính • Bước 5: Kết luận : I= 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : Dấu hiệu Cách chọn x=a.cos2t x=a+ b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : * Với : . * áp dụng để giải bài toán tổng quát : . II. Đổi biến số dạng 2 1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) . • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt . • Bước 4: Tính • Kết luận : I= 2. Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ A. DẠNG : I= * Chú ý đến công thức : . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến B. DẠNG : 1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý : Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) 2. Tam thức : có hai nghiệm kép Công thức cần chú ý : Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t . 3. Tam thức : vô nghiệm : Ta viết : f(x)= Khi đó : Đặt u= ktant C. DẠNG : 1. Đa thức : f(x)= có một nghiệm bội ba Công thức cần chú ý : 2. Đa thức : f(x)= có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu 3. Đa thức : f(x)= có ba nghiệm • PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ I. KIẾN THỨC 1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau : - - - Mở rộng : 1. Tích phân dạng : a. Lý thuyết : Từ : Khi đó ta có : - Nếu (1) - Nếu : (2) - Nếu : . +/ Với a>0 : (3) +/ Với aĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 ( Biên soạn theo cấu trúc đề thi hết học phần) I.Chương 1: Tập hợp – Ánh xạ. Dạng: Tìm căn bậc n của số phức z. • Bước 1: Chuyển về dạng lượng giác: )sin(cos ϕϕ irz += • Bước 2: Gọi w là căn bậc n của số phức z. Khi đó: )sin(cos θθ ihw += • Bước 3: Ta có: )sin(cos)sin(cos ϕϕθθ irninhzwzw nn n +=+⇔=⇔= .1, ,0, 2 −= + = = ⇔ nk n k rh n πϕ θ • Bước 4: Kết luận. Vậy căn bậc n của số phức z là: + + + = n k i n k rw n k πϕπϕ 2 sin 2 cos , k = 0,…,n – 1. II. Chương 2: Định thức – Ma trận. Dạng: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3. • Bước 1: Tính AA =)det( TH 1 : AA =)det( = 0 thì ma trận A không khả nghịch. TH 2 : 0)det( ≠= AA thì ma trận A khả nghịch. • Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo ta tìm: ij ji ij MC .)1( + −= . Từ đó tìm ma trận C. Suy ra ma trận C T . • Bước 3: Kết luận. T C A A . 1 1 = − III. Chương 3: Không gian vectơ. Dạng: a. Chứng minh hệ E là một cơ sở của không gian R 3 hoặc P 2 [x]. b. Tìm tọa đôn của một vectơ theo cơ sở E. • Để chứng minh hệ E là cơ sở của một không gian R 3 hoặc P 2 [x] thì ta chỉ cần chứng minh nó độc lập tuyến tính. • Để tìm tọa độ của một vectơ theo cơ sở E thì ta phân tích tọa độ đó theo cơ sở E ⇒ hệ phương trình ⇒ nghiệm. IV. Chương 4: Ánh xạ tuyến tính. Dạng 1: Tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf. • Tìm Kerf. Bước 1: Viết Kerf theo định nghĩa: { } wvfVvKerf θ =∈= )( Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận được. Bước 3: Viết v ∈ Kerf theo tổng quát, cô laaoj tham số tìm hệ sinh. Bước 4: Tìm số vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh ⇒ cơ sở ⇒ số chiều. • Tìm Imf. Bước 1: Viết Imf theo định nghĩa: { } wvfVvWwf =∈∃∈= )(:Im Bước 2: Từ f(v) = w, cô lập tham sô, tìm hệ sinh. Bước 3: Tìm sô vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh ⇒ cơ sở ⇒ DimImf. Dạng 2: Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong một cặp cơ sở E,F. Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 1 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com • Bước 1: Tìm tọa độ ( ) ( ) 1 , , n F F f e f e • Bước 2: A E,F = ( ) ( ) 1 , , n F F f e f e * Chú ý: A E,F viết theo cột. Dạng 3: Tìm trị riêng và vectơ riêng. • Bước 1: Tìm ma trận trong cặp cơ sở chính tắc. • Bước 2: Giải phương trình đặc trưng: λλ ⇒=− 0IA • Bước 3: Ứng với mỗi λ thay vào ( ) vXXIA ⇒⇒=− 0 λ V.Chương 5: Giới hạn – Liên tục. Dạng: Tìm và phân loại điểm gián đoạn. • Bước 1: Khẳng định câu: Hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R\{x 0 }. • Bước 2: Tính f(x 0 ). • Bước 3: Tìm ).(lim),(lim 0 0 xfxf xx xx −+ → → • Bước 4: Kết luận. Để hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R\{x 0 } thì: )(lim)(lim)( 00 0 xfxfxf xxxx −+ →→ == • Một số chú ý: Điểm gián đoạn loại 1: Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 1. - )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx ≠= −+ →→ hoặc không xác định tại x 0 . - )(lim)(lim 00 xfxf xxxx −+ →→ ≠ . Điểm gián đoạn có bước nhảy: )(lim)(lim 00 xfxfh xxxx −+ →→ −= . Điểm gián đoạn loại 2: Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 2. - ±∞= → )(lim 0 xf xx . - ∞= + → )(lim 0 xf xx . - ∞= − → )(lim 0 xf xx hoặc không tồn tại các giới hạn gọi là trường hợp điểm giới hạn vô cực. VI. Chương 6: Đạo hàm và vi phân. Dạng 1: Tính đạo hàm cấp n. Cách giải : Áp dụng Công thức Lepnit vào bài toán và sử dụng các công thức đạo hàm cấp n có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). Dạng 2: Khai triển Taylo và Maclorin. Cách giải : Áp dụng Công thức Taylo và Maclorin vào bài toán và sử dụng các công thức có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). VII. Chương 7: Tích phân. Dạng: Tính tích phân suy rộng. Cách giải : Áp dụng các công thức Tích phân vào bài toán và sử dụng các công thức Tích phân có sẵn ( Chú ý xem công thức ở phần sau ). MỘT SỐ CÔNG THỨC HỖ TRỢ CHO VIỆC GIẢI BÀI TOÁN Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 2 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com 1.Công thức lượng giác đầy đủ. I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2 2 sin cos 1a + a = 2/ sin tg cos a a = a 3/ cos cot g sin a a = a 4/ 2 2 1 1 tg cos + a = a 5/ 2 2 1 1 cot g sin + a = a 6/ tg .cot g 1a a = II. Công thức cộng - trừ: 1/ ( ) sin a b sina.cosb sinb.cosa+ = + 2/ ( ) sin a b sina.cosb sinb.cosa- = - 3/ ( ) cos a b cosa.cosb sina.sinb+ = - 4/ ( ) cos a b cosa.cosb sina.sinb- = + 5/ ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb + + = - 6/ ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb - - = + 7/ ( ) cot ga.cot gb 1 cot g a b cot ga cot gb - + = + ( ) cot gacot gb 1 8/ cot g a b cot ga cot gb + - = - III. Công thức góc nhân đôi: 1/ ( ) ( ) 2 2 sin2a 2sina.cosa sina cosa 1 1 sina cosa= = + - = - - 2/ 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = - 3/ 2 2tga tg2a 1 tg a = - 4/ 2 cot g a 1 cot g2a 2cot ga - = IV. Công thức góc nhân ba: 1/ 3 sin3a 3sina 4sin a= - 2/ 3 cos3a 4cos a 3cosa= - 3/ 3 3 3tga tg a tg3a 1 3tg a - = - 4/ 3 2 cot g a 3cot ga cot g3a 3cot g a 1 - = - V. Công thức hạ bậc hai: 1/ 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a - = = + 2/ 2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cot g a + = = + Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 3 a cosa cotga sin cos tan cotg t Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com 3/ 2 1 cos2a tg a 1 cos2a - = + 4/ 1 sinacosa sin2a 2 = VI. Công thức hạ bậc ba: 1/ ( ) 3 1 sin a 3sina sin3a 4 = - 2/ ( ) 3 1 cos a 3cosa cos3a 4 = + VII. Công thức biểu diễn sinx,cosx,tgx qua tgx t 2 = : 1/ 2 2t sinx 1 t = + 2/ 2 2 1 t cosx 1 t - = + 3/ 2 2t tgx 1 t = - 2 1 t cot gx 2t - = VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/ [ ] )cos()cos( 2 1 cos.cos bababa ++−= 2/ [ ] )cos()cos( 2 1 sin.sin bababa +−−= 3/ [ ] )sin()sin( 2 1 cos.sin bababa −++= IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1/ a b a b cosa cosb 2cos .cos 2 2 + - + = 2/ a b a b cosa cosb 2sin .sin 2 2 + - - = - 3/ a b a b sina sinb 2sin .cos 2 2 + - + = 4/ a b a b sina sinb 2cos .sin 2 2 + - - = 5/ ( ) sin a b tga tgb cosa.cosb + + = 6/ ( ) sin a b tga tgb cosa.cosb - - = 7/ ( ) sin a b cot ga cot gb sina.sinb + + = 8/ ( ) sin a b cot ga cot gb sina.sinb - - - = 9/ ( ) sin a b tga cot gb cosa.sinb - + = 9/ 2 tga cot ga sin2a + = 10/ ( ) cos a b cot ga tgb sina.cosb + - = 11/ cot ga tga 2cot g2a- = X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt: Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 4 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com 1/ Góc đối: −=− −=− =− −=− aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( 2/ Góc bù: −=− −=− −=− =− aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( π π π π 3/ Góc sai kém π : =+ =+ −=+ −=+ aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( π π π π 4/ Góc phụ: = − = − = − = − aa aa aa aa tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin π π π π XI. Công thức bổ sung: += −=− −= +=− += −=+ 4 cos2 4 sin2cossin/3 4 sin2 4 cos2sincos/2 4 sin2 4 cos2sincos/1 ππ ππ ππ aaaa aaaa aaaa 4/ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 A sina B cosa A B sin a A B cos a , A B 0+ = + +a = + - b + > 5/ ( ) 2 1 sin cos sin+ a = a + a XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 5 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com XIII. Định lý hàm số cosin: 1/ 2 2 2 a b c 2bc.cosA= + - 2/ 2 2 2 b c a 2ca.cosB= + - 3/ 2 2 2 c a b 2bc.cosC= + - XIV. Định lý hàm số sin: a b c 2R sinA sinB sinC = = = Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Hay = = = CRc BRb ARa sin2 sin2 sin2 XV. Công thức tính diện tích tam giác: Gọi h V là đường cao thuộc cạnh trong ABC∆ . a b c p 2 + + = là phân nửa chu vi ABC∆ . S là diện tích ABC∆ . R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . R là bán kính đường tròn nội tiếp ABC∆ . 1/ a b c 1 1 1 S a.h b.h c.h 2 2 2 = = = Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. Giá trị lượng giác Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ, dòng dưới tính bằng đơn vị radian” 0 0 0 0 30 6 π 0 45 4 π 0 60 3 π 0 90 2 π 0 120 2 3 π 0 150 5 6 π 0 180 π Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 0 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 3 2 − -1 Tan 0 1 3 1 3 P 3− 1 3 − 0 Cot P 3 1 1 3 0 1 3 − 3− P 6 A B C a b c Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com 2/ 1 1 1 S ab.sinC bc.sinA ca.sinB 2 2 2 = = = 3/ abc S 4R = (R là bán kính đường tròn) ; 4/ S p.r= (r là nửa chu vi) 5/ ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= - - - với 2 cba p ++ = (Hệ thức Hêrông) XVI. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau: 1/ iz iz e e sinz 2i - - = 2/ iz iz e e cosz 2 - + = 3/ z z e e sinhz i siniz 2 - - = = - 4/ z z e e coshz cosiz 2 - + = = 2. Bảng công thức đạo hàm đầy đủ. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey = ( ) xn ey = 2 bax ey + = ( ) baxnn eay + = . 3 ( ) α baxy += ( ) nnn baxnay − ++−−−= α αααα )).(1) (2)(1(. 4 x y + = 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ! .1 + + −= n n n x n y 5 x y − = 1 1 ( ) ( ) 1 1 ! + − = n n x n y 6 xy sin= ( ) += 2 sin π n xy n 7 y = cosx ( ) += 2 cos π n xy n 8 )sin( baxy += ( ) ++= 2 sin. π n baxay nn 9 )cos( baxy += ( ) ++= 2 cos. π n baxay nn 10 y = lnx ( ) ( ) ( ) n n n x n y !1 1 1 − −= − 11 )ln( baxy += ( ) ( ) ( ) n n nn bax an y + − −= − !1 .)1( 1 12 xy = ( ) 12 1 .2 !)!32()1( − − −− = nn n n x n y 13 x x y − + = 1 1 ( ) ( ) 1 1 !2 + − = n n x n y 14 )( baxfy += ( ) ( ) ).(. baxfay nnn += 15 x x y + = 1 ( ) ( ) [ ] 12 .2 )32.()1( 2 12 1 −− −− = + − nx x n y n n n n 7 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com 1. Công thức Lepnit. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gfCgfCgfCgfCgf nn n n n n n knkk n n k n ' 110 0 )( +++== −− = ∑ 2. Công thức Taylor Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng ( ) a,b . Khi đó tồn tại một điểm ( ) bax , 0 ∈ sao cho: ( ) ( ) )()( ! )( )( !2 )('' )( !1 ' )()( 0 0 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n k n +−++−+−+= = 3. Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp ( ) n 1+ tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n n f ' 0 f " 0 f 0 f x f 0 x x x R x 1! 2! n! = + + + + + Với ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n f x R x x , 0 1 n 1 ! + + q = < q< + (phần dư dạng lagrange) Hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n n 1 n f x R x 1 x , 0 1 n! + + q = - q < q< (phần dư dạng Cauchy). 4. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG ∫ += Cxdx C x dxx + + = ∫ + 1 1 α α α ∫ += Cx x dx ln ( ) C n bax a dxbax n n + + + =+ + ∫ 1 1 )( 1 ∫ += Cedxe xx ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += Cxdxx sin.cos ; ∫ += Cnx n dxnx sin 1 ).(cos ∫ += Cudu C u duu + + = ∫ + 1 1 α α α ∫ ++= + Cbax a dx bax ln 1 )( 1 C un dxudx u n n n + − −== − − ∫ ∫ 1 ).1( 11 ∫ += ++ Ce a dxe baxbax 1 ; C u a dua u u += ∫ ln ∫ ++−=+ Cbax a dxbax )cos( 1 )sin( ∫ ++=+ Cbax a dxbax )sin( 1 )cos( Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. ( ) )()( ! )( 0 0 0 xRxx k xf n k k n k +− ∑ = 8 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com ∫ +−= Cxdxx cos.sin ; ∫ +−= Cnx n dxnx cos 1 .sin ∫ ∫ +=+= Ctgxxtgdx x )1( cos 1 2 2 ∫ ∫ +−=+= Cgxgxdx x cot)cot1( sin 1 2 2 C a x xa dx += − ∫ arcsin 22 ∫ += + C a x a xa dx arctan 1 22 ∫ ∫ +== Cu u du dx u u ln ' ; ∫ += Cudx u u 2 ' ; ∫ +−= C u dx u u 1' 2 ∫ + − + = − C xa xa a xa dx ln 2 1 22 ∫ +++= + Caxx ax dx 2 2 ln CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN • PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. I. Phương pháp đổi biến số dạng 1. Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt • Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v b b a v a v b f x dx g t dt G t v a = = ∫ ∫ • Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) v b G t v a 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− sin 2 2 ost 0 t x a t t x a c π π π = ↔ − ≤ ≤ = ↔ ≤ ≤ 2 2 x a− [ ] ; sin 2 2 0; \ ost 2 a x t t a x t c π π π π = ↔ ∈ − = ↔ ∈ 2 2 a x+ ( ) tan ; 2 2 cot 0; x a t t x a t t π π π = ↔ ∈ − ÷ = ↔ ∈ a x a x a x a x + − ∨ − + x=a.cos2t ( ) ( ) x a b x− − x=a+ ( ) 2 sinb a t− b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng : Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 9 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu 28 .blogspot.com - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : * ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 0 ax b a x+ 2a 2 dx dx du bx c a u k a β β β α α α ∆ < = = + + + −∆ + ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ Với : b x+ , , 2a 2 u k du dx a −∆ = = = ÷ ÷ . * áp dụng để giải bài toán tổng quát : ( ) ( ) 2 1 2 2 k dx k Z a x β α + ∈ + ∫ . II. Đổi biến số dạng 2 1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) . • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt . • Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a u b f x dx g t dt G t u a = = ∫ ∫ • Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) u b G t u a 2. Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ A. DẠNG : I= ( ) ( ) 0 ax+b P x dx a β α ≠ ∫ * Chú ý đến công thức : ln ax+b ax+b m m dx a β α β α = ∫ . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến ( ) 1 ( ) ( ) ax+b ax+b ax+b P x m dx Q x dx Q x dx m dx β β β β α α α α = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ B. DẠNG : 2 ( ) ax P x dx bx c β α + + ∫ 1. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( ) ( ) u x dx u x u x β α β α = ∫ Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) 2. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm kép Công thức cần chú ý : ( ) '( ) ln ( ) ( ) u x dx u x u x β α β α = ∫ Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t . 3. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + vô nghiệm : Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên. 10 [...]... 1 + x x dx ln 12 .* ∫ 1 x 1 x2 1 0 Đề kiểm tra tổng hợp áp dụng các câu hỏi trên Trường: ĐH Công nghệ TT & TT Đề thi thử môn Toán cao cấp 1 Nhóm: GUG Ngày thi: 23 /12 /2 013 KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 12 0’) ĐỀ 8 Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1 Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên 20 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu28.blogspot.com Câu 1: (1 điểm) Giải phương... Phương pháp : 1 b .1 Phân tích : ( mx + n ) ax 2 + bx + c = 1 n m x + ÷ ax 2 + bx + c (1) m Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1 Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên 12 Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu28.blogspot.com 1 n 1 y = x + t t = m ÷ → dy = − x + t dx 1 n b.2 Đặt : = x + ⇒ 2 y m x = 1 − t ⇒ ax 2 + bx + c = a 1 − t + b 1 − t + c ... (1 điểm) Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: y = x + x cos x ( ) x 2 + 3x , x = 1, n = 4 x +1 2 − 3x y = ln , n = 5 3 + 2x Câu 10 : ( 0,5 điểm) Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n của hàm số sau: y = Câu 11 : (0,5 điểm) Tìm khai triển Maclaurin đến cấp n của hàm số: +∞ Câu 12 : (1 điểm) Tính tích phân suy rộng sau: dx ∫ (1 + x ) 2 2 −∞ Hết Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp. .. 2 + k 2 (1) a > 0 2 b - Nếu : ∆ = 0 ⇒ f ( x) = a x + ÷ ⇔ f ( x) = a x + b = a u (2) 2a 2a - Nếu : ∆ > 0 +/ Với a>0 : f ( x) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ⇔ f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) (3) +/ Với a . nghệ TT & TT Đề thi thử môn Toán cao cấp 1 Nhóm: GUG Ngày thi: 23 /12 /2 013 KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 12 0’) ĐỀ 8 Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái. + + = ∫ + 1 1 α α α ∫ ++= + Cbax a dx bax ln 1 )( 1 C un dxudx u n n n + − −== − − ∫ ∫ 1 ) .1( 11 ∫ += ++ Ce a dxe baxbax 1 ; C u a dua u u += ∫ ln ∫ ++−=+ Cbax a dxbax )cos( 1 )sin( ∫ ++=+ Cbax a dxbax )sin( 1 )cos( Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường:. 0 0 0 0 30 6 π 0 45 4 π 0 60 3 π 0 90 2 π 0 12 0 2 3 π 0 15 0 5 6 π 0 18 0 π Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 0 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 3 2 − -1 Tan 0 1 3 1 3 P 3− 1 3 − 0 Cot P 3 1 1 3 0 1 3 − 3− P 6 A B C a b c Biên soạn: Cao Văn Tú