Đang tải... (xem toàn văn)
Phép vi phân hàm nhiều biến tích phân bội, tích phân đường. Tích phân mặt, phương trình vi phân bài tập giải tích 2 học viện kỹ thuật kỹ thuật quân sự. các bài tập và các dạng bài phổ biến được sử dụng và viết nhiều
2020 BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân Tạ Ngọc Ánh Bộ mơn Tốn - Khoa CNTT - HVKTQS (Sưu tầm biên soạn) Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách (mêtric) a) Giả sử d(x, y) mêtric Rn , đặt d1 ( x, y ) ln( d ( x, y ) 1) , d ( x, y) min{ d ( x, y),1} d ( x, y ) Chứng minh d1, d2, d3 mêtric R n d ( x, y ) d ( x, y ) b) Cho hàm d1 ( x, y ) | e x e y |, d ( x, y ) | sin x sin y | xác định R Chứng minh d khoảng cách R d không khoảng cách R Tôpô R n 1 a) Trong không gian R cho tập A = 1, , , , , Xác định int( A), A ', A, A n Đs int(A) , A' {0} , ( A) A {0} , A A {0} b) Trong không gian R cho tập hợp A {m : m, n 1,2, } Xác định int( A), A ', A, A n Đs int(A) , A' {1,2,3, } , ( A) A {1,2,3, } , A A {1,2,3 } c) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2, } [2,3] Xác định int( A), A ', A, A n 1 Đs int( A) (2,3) , A' {0} [2,3] , ( A) {2,3,0,1, , , , , } , A A {0} n d) Cho tập A (0, 2] {3} R Xác định int( A), A ', A, A Đs int( A) (0,2) , A' [0,2] , ( A) {0,2,3} , A [0,2] {3} e) Cho tập A = {( x, y) R : x y 1} {( x,3) : x 1} R Xác định int( A), A ', A, A Đs int( A) {( x, y) : x2 y 1} , A ' {( x, y) : x2 y 1} {( x,3) : x 1} , ( A) {( x, y) : x2 y 1} {( x,3) : x 1} , A {( x, y) : x y 1} {( x,3) : x 1} f) Cho tập A (0, 2] {4} R Xác định int( A), A ', A, A Đs int( A) (0,2) , A' [0,2] , ( A) {0,2,4} , A [0,2] {4} g) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2, } [2,4] Xác định int( A), A ', A, A n 1 Đs int( A) (2,4) , A' {0} [2,4] , ( A) {2,4,0,1, , , , , } , A A {0} n Tìm tập xác định hàm số a) u x y b) u x y Tìm giới hạn hàm số x2 y a) u ( x; y) (0;0) x y2 xy c) u 2 x y e) u ( x y ) c) u x y b) u xy ( x; y) (0;0) x2 y x x2 y d) u ( x y )sin ( x; y) (; ) f) u ( x, y) (0;0) d) u ln xy ln( x e y ) x2 y ( x; y) (0;0) xy ( x, y) (0;0) g) u ( x2 y )( x y ) ( x; y) (; ) 1 i) lim 1 x x y a x2 x y ,a R h) u x 0 y 0 x2 x y (x 0 j) lim x y Đs e x2 y x y x x xy y y x y k) lim 1 , a R Đs e1/ x 2x y a m) lim sin xy ( x, y) (0;3) x l) lim y )cos( x y ) sin( x y ) n) lim x y y x2 x y x 0 Đs Đs y2 Xét tính liên tục hàm số x2 y ( x, y ) (0, 0) b) f ( x, y ) x y 0 ( x, y ) (0, 0) x21y xy a) f ( x, y ) e 0 xy c) f ( x, y ) xy sin x2 y x y 2 d) f ( x, y ) x y 0 x y x y2 1 x sin y y e) f ( x, y) 0 y xy g) f ( x, y ) x y xy | x | | y | f) f x, y | x | | y | 0 | x | | y | (x, y ) (0, 0) (x, y ) (0, 0) xy x h) f ( x, y ) Xét tính liên tục hàm số sau điểm (0, 0) với f ( x, y ) y3 (x, y) (0, 0) (x, y ) (0, 0) ex x ey x y y ex x y xy ( x, y ) (0, 0) Cho hàm số f ( x, y ) x y Chứng minh hàm f ( x, y) liên tục theo biến riêng biệt 0 ( x, y ) (0, 0) điểm không liên tục (0;0) Tính đạo hàm riêng hàm số a) u ln( x x y ) b) u x y Tính đạo hàm riêng hàm số O(0;0) c) u e xz x y x3 y ( x; y ) (0;0) a) u x y 0 ( x; y ) (0;0) 10 Tìm vi phân tồn phần hàm số a) u x y 3xyz b) u d) u ecos x xy e) u arctan( x y ) ( x y )e x y ( x; y ) (0;0) b) u ( x; y ) (0;0) 0 xy x 3y c) u arcsin x y d) u ln( x y ) 11 Kiểm tra xem hàm số u x3 y có khả vi O(0;0) hay khơng ? 12 Cho hàm số f x, y | xy | Chứng tỏ f liên tục (0,0), tồn đạo hàm riêng (0,0) không khả vi (0,0) x4 x y 13 Cho hàm số f x, y x y Chứng minh f có đạo hàm riêng liên tục R 0 x y f xy'' (0,0) f yx'' (0,0) 14 Cho hàm số f ( x, y) x y Chứng minh tồn đạo hàm riêng f 0,0 f (0,0) 1và f khả vi x y R \{(0,0)} xy x y 2 15 Cho hàm số f ( x, y ) x y Chứng tỏ f khả vi R2 \ (0,0) 0 x y 16 Sử dụng vi phân tồn phần để tính gần 1.01 c) 1.023 1.973 0.99 17 Tính đạo hàm, đạo hàm riêng hàm ẩn xác định phương trình a) xe y yex exy b) ( x2 y )2 3x2 y y3 tính y '(0) biết y(0) 1 c) x y z e z d) xex y 2e y ze z e) xe y yz ze xy điểm (1;0), tính xấp xỉ z(1,01; 0.02) 18 Đạo hàm hàm ẩn a) Giả sử x y z 3xyz (1) f x, y, z xy z , z z ( x, y) hàm ẩn xác định (1) a) ln( 1.03 0.981 1) b) arctan f (1,1,1) Đs x b) Phương trình xy xz yz 2x y z xác định hàm ẩn z z x, y lân cận Tính (0,0) Khi tính đạo hàm riêng z x' , z 'y điểm (0,0) Đs 2; z y d) Cho y y(x) hàm ẩn xác định từ phương trình x xy y x y Khi tính giá trị y' , y' ' , y' ' ' x = y = Đs 0, -2/3, -2/3 19 Tính đạo hàm riêng cấp hai c) Cho x u ln v, y v ln u, z 2u v Khi tính a) u ln( x x y ) b) u x3 ln( x y) c) u ex ln y sin y.ln x d) u x4 y xy3 x2 y ( x, y) (0;0) f (0;0) Tính đạo hàm riêng f xy'' (0;0) f yx'' (0; 0) Chỉ 2 x y '' '' f xy (0;0) f yx (0;0) 21 Tính vi phân cấp hai hàm số 20 Cho f ( x, y ) xy a) u x4 3xy y3 b) u x y z , chứng minh d 2u c) u x2 y2 3z3 xy 3xz điểm M (1;1;1) , tìm ma trận dạng tồn phương d 2u(M ) với biến dx, dy, dz 22 Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba a) u e x sin y b) y ln(1 x y) c) u sin( x2 y ) 23 Chứng minh a) y.z 'x x.z ' y với z f ( x2 y ) f (t ) hàm khả vi ( xy )2 b) x.z "xx y.z "xy z 'x với z c) z "xx z "yy với z ln( x2 y ) x y d) z "xx z "yy ( z "xy ) với z y f ( x / y) f (t ) có đạo hàm cấp hai liên tục 24 Tìm hàm z z( x, y) thỏa mãn a) z 'x ye xy , z ' y xe xy , z (0;1) b) z 'x x xy 3, z ' y y x y c) z "xx 12 x y 2, z ' y x 30 xy , z (0;0) 1, z(1;1) 2 25 Tính đạo theo hướng vector v điểm M a) u x y , M (1;1), v (3; 4) b) u xy z , M (1;2;3), v (1;2;2 5) 26 Đổi biến tính đạo hàm, đạo hàm riêng a) Cho phương trình x y' ' xy' y Chứng minh đổi biến x e t phương trình trở thành d2y y 0 dt b) Chứng minh đổi biến x tgt , y u , u = u(t) phương trình x y' ' y trở thành cos t u ' 'u cos t u u’’=0 cos t cos t 6y c) Cho phương trình y ' ' ' Chứng minh đổi biến t = ln|x| phương trình trở thành x d y d y dy 6y dt dt dt d2y n2 y d) Chứng minh đổi biến x = cost phương trình x y' ' xy'n y trở thành dt 27 Tìm cực trị hàm số a) u x3 3xy 30x 18 y b) u 4( x y) x2 y c) u x y xe y d) u x3 3xy 15x 12 y e) u x4 y4 x2 2xy y h) u x x y (1 x ) k) u x y 3z 2x y 6z m) u x3 y z 12xy 2z g) u x2 xy y x y j) u x4 y 3( x y)2 l) u x2 y z 12 y 8z 28 Tìm cực trị có điều kiện hàm số a) u x2 y với x2 y c) u x2 12xy y với x2 y 25 e) u cos2 x cos2 y với x y f) u xy ln( x2 y ) i) u x3 y3 3xy b) u x y với xy y3 d) u x y y với x2 y xy x y f) u x y z z xy x2 y z x2 y z2 h) u xyz với x y z 29 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền tương ứng g) u x2 y z với b) u x2 y miền a) u x y miền x2 y 25 x2 y 1 c) u x2 y xy 3xy miền x 4, y d) u 3xy x2 y miền D ( x, y) : x y 9 f) u x2 xy y miền x y e) u x2 xy y 2x miền x2 y f) u x y z miền x2 y z 30 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong a) y3 4xy y x3 12 điểm M (1; 2) b) x ( x y )e x y điểm M (0;1) c) x 2t , y 3t , z et 1 điểm M (2;3;1) , viết phương trình tiếp tuyến pháp diện 31 Tìm tiếp diện pháp tuyến mặt cong a) x2 y2 2z điểm M (1;1; 2) b) xy z điểm M (1;1;1) Chương TÍCH PHÂN BỘI Tính tích phân a I ( x xy)dxdy với D giới hạn y x, y x, x (Đs I 10 ) D b I xydxdy với D giới hạn x y 0, x2 y (Đs I 90 ) D c I D xy dxdy với D tam giác có đỉnh O(0,0), A(3,3), B(3,0) x y2 (Đs I d I cos( x y) dxdy với D xác định D 0 x , y x ln ) (Đs I ) D e I D x x2 dxdy y ,yx với D giới hạn x2 y2 (Đs I ln ) f I ( x y)dxdy với D giới hạn y x2 , x y (Đs I D 33 ) 140 Đổi thứ tự lấy tích phân 3 y 2 a I dy b I dx c dy f ( x, y )dx 2x f ( x, y )dy x x2 1 y (Đs I dx y 1 f ( x, y )dx 1 y 2x f ( x, y )dy 1 1 y (Đs I dy y2 1 x 1 (Đs I dx 3 x dx f ( x, y)dy dx f ( x, y )dx f ( x, y )dy ) dy f ( x, y )dx ) y2 1 1 x 0 f ( x, y )dy dx f ( x, y )dy ) Đổi biến để tính tích phân a I dxdy với D giới hạn y x, y x, y x 1, y x D (Đ/s I ) b I xdxdy với D xác định x y x 3, 2x y 2 x (ĐS I ) D c I ( x y)3 ( x y)2 dxdy với D giới hạn x y 1, x y 1, x y 3, x y 1 (Đs I D d I (4 x x y )dxdy với D giới hạn x2 y 4x (Đs I D e I ln(1 x2 y )dxdy với D xác định x2 y 1, x y (Đs I D f I (4 x y )e4 x y2 32 ) 3 (Đs I ) (Đs I D D 4 x y 2 với D xác định x2 y y, x y y2 k I xy x y dxdy với D xác định x2 y 2x x D (Đs I l I ( x 1) sin x y dxdy với D xác định x2 y2 4 (Đs I 6 ) 4 ) 12 D m I x y dxdy với D miền giới hạn D 2 x y a i) ,a 2 x y a (Đs I 14 a3 ) ii) Đường hai cánh r a sin 2 , a (Đs I 4a ) n I sin x y dxdy với D giới hạn x y , x y x2 y Tính diện tích hình phẳng giới hạn a y x, y 2x x2 D b r a cos , r b cos , b a 2 (Đs I 2 ) (Đs S (b a ) ) 3 a c r a(1 cos ), a (Đs S ) 3 a ) d r 2a2 cos 2, r a ứng với phần r a (Đs S e y nhịp đường cycloid x a(t sin t ), y a(1 cos t ),0 t 2 , a (Đs S 3 a ) f ( x2 y )2 a2 ( x2 y ) a (Đs S a ) (Đs S g x2/3 y 2/3 a2/3 a h r a sin 2 a Tính diện tích phần mặt: ) (Đs I (2e3 1) ) dxdy với D xác định x2 y g I xydxdy với D nửa hình trịn ( x 2)2 y dxdy ln 1 ) D h I 20 ) 3 a ) (Đs S a z x2 y nằm mặt trụ x2 y (5 1) ) x2 y nằm mặt z a b2 x2 y x2 y c z nằm mặt với a, b a b a b 2 2 d x y z a nằm mặt ( x2 y )2 a2 ( x2 y ) a e z x2 y nằm hình trụ x2 y Tính thể tích a Phần hình nón z x2 y nằm mặt trụ x2 y b z b.Vật thể giới hạn hai mặt x2 y z 2z, x2 y z lấy phần z x y c Vật thể giới hạn x y z a mặt ( x y ) a ( x y ) Xác định trọng tâm phẳng đồng chất giới hạn đường x y x2 y a y x y 2x b 25 2 c y x x y d x a(1 cos ) Tính tích phân a I x y zdxdydz 2 2 2 2 (Đs V ) a0 (Đs I với V giới hạn z 0, z y, y x2 , y (Đs I ) V b I xy zdxdydz 4 ) 21 với V giới hạn x2 y z, z V c I x dxdydz với V giới hạn V d I | xyz | dxdydz x2 y z 1 a b2 c với V giới hạn x2 y z, z (Đs I 4 a3bc ) 15 (Đs I 32 ) V e I z dxdydz với V xác định x2 y z 4, x2 y z 4z (Đs I V f I x2 y dxdydz 59 ) 15 với V xác định x2 y z 1, x2 y2 z , z (Đs I 2 16 V g I zdxdydz V h I z x y dxdydz 43 với V xác định x , x y x, z x y ( I ) 3072 với V giới hạn x2 y 2x, z 0, z a (Đs I V i I x y z dxdydz với V miền x2 y z x (Đs I V j I ( x y )dxdydz với V giới hạn x2 y 2z, z (Đs I với V giới hạn y x2 z , y x2 z (Đs I V k I x z dxdydz ) V 16a ) 10 ) 16 ) 2 16 ) l I ( x y z )dxdydz với V giới hạn 3( x2 y ) z 3a2 , a (Đs I 3a 5 ) (Đs I 4 (b a ) ) 15 V m I V 1 x y z dxdydz với V miền x y z 2 2 2 n I ( x y )dxdydz với V miền a2 x2 y z b2 , z V o I x y dxdydz với V giới hạn z x y , z a, a V p I x y z dxdydz với V giới hạn x2 y z z (Đs I V 10 ) x2 y z q I ( x y z )dxdydz với V miền 1 a2 3a V 2 r I z dxdydz với V miền x2 y z V (Đs I 128 ) 15 s I ( xy yz xz )dxdydz với V miền x2 y z V t I ydxdydz với V giới hạn y x2 z , y a V Hãy tính tích phân sau cách chuyển sang a I dx x x2 0 1 x b I dx a dy z x y dz hệ tọa độ trụ (Đ/s I 8a ) 2 x2 y 2 dy z dz hệ tọa độ cầu x2 y 10 Tính thể tích vật thể giới hạn z x2 y 2 x y y 3 a b z 2( x y ) (đ/s ) c 2 x2 y 2x x y z x2 y z 2 x y z d x2 y z , z 11 Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn a x2 y 2az, x2 y z 3a2 , z 0, a b x y 1, z x2 y , x 0, y 0, z Chương3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Tính tích phân đường loại I x2 y a) I xyd với : a b x2 y z a2 y2 b) I x d J 3x d với : x y z x y z 3 x y z 1 x y z 2 x2 y z a2 c) I ( x y ) d với : x y z t2 t3 , z ,0 t 1 d) I yd với C đường cong x t , y C x2 y e) I xyd với C cung elip nằm góc x, y a b C f) I xyd với C đường cong x a cos t , y b sin t , z ct , t C 2 Tính khối lượng đường cong x a x a) y e a e a , x a biết khối lượng riêng ( x, y) y 2 b) x a cos t , y a sin t , z bt ,0 t 2 biết khối lượng riêng ( x, y, z) z Tìm chiều dài trọng tâm đường đồng chất a) x a(t sin t ), y a(1 cos t ),0 t 2 b) x a cos t , y b sin t , z ct ,0 t Tính tích phân đường loại II a) I ( x2 xy)dx ( y xy)dy với đường y x2 nối A(1;1) B(1;1) (Đs I b) I ( x y)dx ( x y)dy với đường elip x2 y 1, lấy hướng dương a b2 14 ) 15 (Đs I ) (2;3) c) I xdy ydx (Đs I ) ( 1;3) xdx ydy (2;3) d) I x2 y ( 1;3) (Đs I 13 10 ) 2 ( xy 1)dx x ydy AB đường x e) I AB y2 nối A(1;0) B(0;2) (Đs I ) f) I ( xy x y )dx ( xy x y )dy với C: x2 y 2x Tính trực tiếp sử dụng công thức Green C g) I x dx y dy với AB nửa đường tròn x 2 y 2x nối A(0;0) B(2;0) AB h) I 2( x y )dx ( x y )2 dy với tam giác ABC A(1;1), B(2;2), C(1;3) i) I AB A(2;0), B(2;0) j) I x3 xy x x cos xy )dy 16 (Đs I 2 ) x y dx y xy ln x x y ( x y cos xy )dx ( ( x 1)2 ( y 1)2 1 10 với AB cung tròn x2 y 4, y dy k) I x3 2 ( xy x y cos xy ) dx xy x x cos xy dy x2 y 1 l) I x2 ( xy x y ) dx y x dy 2 x2 y m) I ( xy x y)dx ( xy x y)dy x2 y x n) I o) I ( x y )dx xy dy x2 y 1 a b2 ( 2;0) x y e n’) C xdy ydx với C đường cong kín đơn khơng qua O(0;0) x2 y (1 x y)dx (1 x y)dy (2;0) p) I xy dx yz dy zx dz C đoạn thẳng nối O(0;0), B(2;4;5) C x y z 45 q) Vẫn tính tích phân p) với C đường trịn khơng gian cho 2 x y x2 y z r) I zdx xdy ydz C đường x z C s) I ( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz với C giao tuyến mặt x2 y z y C x y y, z Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z x2 y z t) I ( y z )dx ( z x)dy ( x y )dz với C giao tuyến mặt Tích phân x y z C lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x x2 y u) I 3 ydx 3dy zdz với C đường trịn Tích phân lấy theo chiều ngược chiều z C kim đồng hồ nhìn từ phía z 2 x y z 2 v) i x dx y dy z dz với C đường cong Tích phân lấy theo chiều ngược C z y chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ O 2 Tính tích phân mặt loại I x y z 4y a) I ( z x )ds S mặt với x, y, z S b) I yds S mặt z x y với x 1,0 y S c) I ( x y )ds S mặt z x2 y với z S d) I ( x y z )ds với S phần mặt x y z nằm góc x, y, z S 11 e) I x y 1ds với S phần mặt y 4z 16 cắt x 0, x 1, z S Tìm khối lượng trọng tâm mặt z x2 y , z khối lượng riêng ( x, y, z) z Tính tích phân mặt loại II a) I xyzdxdy S phía ngồi mặt cầu x2 y2 z 1; x, y S b) I xdydz dzdx xz 2dxdy S phía ngồi mặt cầu x2 y2 z 1; x, y, z S (đ/s 5 ) 12 15 c) I x dydz y 2dzdx z 2dxdy S phía ngồi mặt cầu x2 y z S d) Tính tích phân c) với S phía ngồi mặt nón z x2 y ,0 z e) I xdydz ydzdx zdxdy với S phía ngồi mặt paraboloid z x2 y , z S f) I xzdydz yzdzdx dxdy với S phía ngồi chỏm cầu x2 y z 25 cắt z S g) I xdydz ydzdx zdxdy S phía ngồi mặt cầu x2 y z S h) I x3dydz y 3dzdx z 3dxdy S phía ngồi mặt cầu x2 y z S i) I xzdydz yx dzdx zy dxdy S phía ngồi mặt x2 y 9, z 0, z S 10 11 y2 z2 k) I ( y z )dydz ( z x)dzdx ( x y )dxdy S phía ngồi mặt x , x S Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 2 x(1 y ) dx y(1 x ) dy 12 xdy ydx x y dx y 'cos y sin y 13 y ' xy xe x y' 1 14 (1 x2 ) y ' 2xy (1 x2 )3 x y 15 (1 x2 ) y ' xy 1, y(0) y ' cos( x y) 16 ( x y 1)dx ( x y 3)dy x y dx y x dy 0, y(0) 1 17 xy ' y 2 ( x2 1) y ' y 4, y(1) x y sin x cos x 2 y' 18 y ( y ') e y' y2 1 19 ( y ')3 y3 yy ' x y ' ( y ') 20 y x( y ')2 ( y ')3 ( y x)dx ( x y)dy 21 xy ' x2e y 2 y2 22 yy ' xy x3 y ' 2 x y 1 23 x y " e y" y " x y 1 y' 24 y " x y3 y 12 y ' 2y z 39 z ' y 2z y ' 2y z 40 z y ' y 2z 25 y " yy " ( y ')2 1 26 yy " ( y ')2 y 2ln y 27 yy " ( y ')4 ( y ')2 28 ( y ")2 2xy " y ' sin x 29 y " y ' y biết nghiệm riêng y x x 30 y " y ' y x2 31 y " y ' y e x e2 x 32 y " y x sin x 33 y " y sin x y' y z 41 y ' y 3z y2 y ' z 42 z ' y y' z 43 z2 z ' y x y ' y z 2e 44 x z ' y z 4e 34 y " y x e x 35 Lập phương trình tuyến tính cấp hai nhận y1 x, y2 x làm hệ nghiệm 36 Lập phương trình tuyến tính cấp hai nhận y1 sin x, y2 cos x làm hệ nghiệm y ' 3y 2z 37 z ' y z y' y z x 45 z ' y 5z y ' z 1 38 z ' y 13 BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ (Học viên làm giấy A4, viết hai mặt, nộp cho giáo viên viết tay vào buổi học cuối cùng) Xét tính liên tục hàm số x2 ( x2 y ) x y 4 x y f x , y a) m x y x2 sin 1x cos 21y x, y b) f x, y e 1 x y x2 y x y sin 2 x y c) f x, y x y x2 y x, y (0, 0) d) f x, y x y x y x, y (0, 0) 2 x y x y sin x y2 e) f x, y x y Tìm cực trị hàm số a) u x y x y x y2 z2 b) u x, y, z 0 2x y z c) u x3 y z 3x2 y d) u 3x2 y x3 y e) u arctan x2 y y f) u x2 y z 2x y 6z Tìm cực trị có điều kiện hàm số y2 z2 x y 1 b) u x, y, z x y z với điều kiện z xy a) u x2 y z với điều kiện x x2 y c) u xy yz với điều kiện x, y , z y z y2 z2 d) u x y z với điều kiện x 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số a) u 2x2 y xy 3xy miền đóng x 1, y b) u 4x2 y 2x y miền D: x 0, y 0, x y 14 c) u x2 y 12x 16 y miền D {(x,y): x2 y 36} Tính vi phân, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến, đạo hàm hàm ẩn a) Cho z hàm ẩn xác định z yex/ z Tính dz 0; 1 b) Cho u ln x y z điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm u điểm A theo hướng AB Tìm giá trị lớn c) u x sin(3 yz) Xác định Grad u U A u M (1;1;0) với i j 2k d) z z( x, y) hàm ẩn hai biến xác định hệ thức: yz ez xe y Tính dz 1;0 Áp dụng tính gần z 0,95;0, 05 e) y = y(x) hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3 y xy Tính d y điểm x 27 Tính tích phân bội a) ze V b) x2 y x y z dxdydz với V xác định 2 z x y ( x y) ( x y) dxdy với D miền giới hạn D x y 1, x y 3, x y 1, x y 2x dxdy D miền x2 y 4, x 0, y c) 2 4 x y D d) xyzdxdydz với V miền V e) x2 y z2 x y z dxdydz , V miền x2 y2 9z 1, x, y, z V f) z x y dxdydz V miền giới hạn mặt trụ x2 y 2x, z V Tính thể tích vật thể giới hạn mặt a) z x2 y 1 z b) x y z xyz nằm góc x, y, z c) z x2 y , y z d) ( x2 y2 z )2 4z( x2 y ) nằm góc x, y, z e) 2z x2 y , z x2 y f) ( x 2)2 y 4, x2 y z 16 g) x2 y x2 z Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn đường cong ( x2 y )2 x3 x2 y b) Hình phẳng giới hạn đường cong xy ( x 0, y 0) 15 đường thẳng c) Hình phẳng giới hạn đường cong x y x y d) Mặt paraboloid z x2 y nằm mặt trụ x2 y e) Mặt cầu x2 y z nằm mặt trụ x2 y 3x Tính tích phân đường, tích phân mặt a) (x y )ds với AB nửa phía trục hồnh cung trịn x2 y AB b) y z dydz z x dzdx x y dxdy với S mặt mặt nón x y z z có pháp S tuyến hướng phía ngồi 2 2 2 c) x dydz y dzdx z dxdy với S mặt nón x y z z 1 có pháp tuyến hướng phía S ngồi d) y z dx z x dy x y dz C đường x2 y , C x z chiều lấy tích phân ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz 2 e) xdydz ydzdx zdxdy với S mặt ngồi hình trụ x y 4,0 z có pháp tuyến hướng S phía ngồi 2 x y x y f) x 1 e dx xe dy với OA cung x y x y 0 theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0) OA g) x y z dydz với S biên miền V : x2 y z ,0 x có pháp tuyến hướng phía S 2 2 h) -x y x y dx xy x y dy với OA nửa cung tròn x y y, x chiều từ OA O(0,0) đến A(0,2) 2 2 i) I x y dx y xy ln( x x y dy L đường trịn x y lấy L theo chiều dương x y dx x y dy với C đường trịn bán kính R bao quanh gốc tọa độ Trong trường j) x2 y C hợp có áp dụng cơng thức Green khơng? 2 k) Tìm điều kiện m để tích phân đường (3x y )dx (mxy y 4)dy không phụ thuộc vào AB đường cong nối A(1;3) B(2;4) Hãy tính tích phân 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y y y 4xex 2x b) y y y x 1 e y " y ' y x2 d) y " y ' y e x e2 x e) y " y x sin x f) y " y sin x c) 16 g) y " y x e x h) y y y e x x 3 với y 1, y ex j) y y y xe3 x x x y k) y ' x y x x y l) y x y i) y y y ' 2y z z ' y 2z m) y ' 2y z z ' y 2z n) y' y z o) z ' y 3z ln x p) y ' y x x q) xy y x sin x r) 1 x y dx x y x dy 2 (1 x2 ) y ' 2xy (1 x2 )3 t) (1 x2 ) y ' xy 1, y(0) u) (1 x2 y)dx x2 ( y x)dy y y v) y x sin x y sin x x s) w) sin y x dx x sin ydy cách nhân thêm thừa số tích phân y với điều kiện y 1 x x y) xy y xy e phép đổi biến z x y x2 x) xy y x sin z) x2 y " xy ' y x phép đổi biến x et Chúc em ngày tiến bộ, học tập đạt kết cao! 17