Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1: (4,0 điểm) a. Đổi thứ tự lấy tích phân 2 3 2 0 2 2 ( , ) x x x I dx f x y dy , sau đó tính diện tích miền lấy tích phân I. b. Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểmM 1; 3;2 3. Tìm tọa độ điểm M trong hệ tọa độ trụ và tọa độ cầu. Viết tích phân ( 2 2 2 ) V K f x y z dxdydz trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ và tọa độ cầu với V là miền giới hạn bởi các mặt: z 0, z 16 x2 y2 . c. Tính tích phân đường 2 sin cos 2 C M x y yx dy y y xy dx trong đó C là nửa bên phải của đường tròn x2 y2 4 lấy theo chiều kim đồng hồ từ điểm B(0;2) đến điểm A(0;2) .
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Cao Cấp A3 Mã mơn học: MATH 130301 Đề số Đề thi có 02 trang Thời gian: 90 phút Được phép sử dụng tài liệu Khoa Đào tạo Chất lượng cao Nhóm mơn học Khoa học Câu 1: (4,0 điểm) x 2 a Đổi thứ tự lấy tích phân I dx f ( x, y )dy , sau tính diện tích miền lấy tích phân I x2 2 x 2 b Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểm M 1; 3;2 Tìm tọa độ điểm M hệ tọa độ trụ tọa độ cầu Viết tích phân K f ( x y z ) dxdydz hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ V tọa độ cầu với V miền giới hạn mặt: z 0, z 16 x y c Tính tích phân đường y2 M x sin y yx dy cos y xy dx C bên phải đường tròn x2 y2 lấy theo chiều kim đồng hồ từ điểm C nửa B(0;2) đến điểm A(0; 2) Câu 2: (3,0 điểm) x3 y3 F ( x, y , z ) i j ( z 3)k 3 2 thể giới hạn mặt: z x y z Cho trường vectơ (S) mặt biên vật a Tính diện tích mặt (S) Tính rot F ( x, y, z ), div F ( x, y , z ) b Tính thơng lượng trường vectơ F ( x, y, z ) qua mặt (S) Câu 3: (3,0 điểm) a Giả sử dân số P(t) (đơn vị tính: triệu người) cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r E(t) số dân di cư khỏi cộng đồng thời điểm t (đơn vị tính: năm), ta có dP rP E dt Giải phương trình xác định dân số thời điểm t biết r 0,1, E (t ) 10e t , P(0) 90 b Giải phương trình: y y y sin x Câu Đáp án Thangđi ểm 0,5đ Đổi thứ tự: 1 y 1 1a (1đ) I dy 1 y 1 f ( x, y )dx dy 1 y 1 f ( x , y )dx y2 Tính diện tích: S dx 0,5đ x2 3 x 2 x 2 dy ( x 3x )dx Tọa độ điểm M: 0,5đ ;2 3) Trụ: M (2; ; ) Cầu: M (4; Descartes: 1b 0,5đ 16 x K dx 4 (2đ) 16 x f x, y , z dz dy 2 16 x y Trụ: 0,5 đ 2 I r f r z dz d dr 0 16 r 2 Cầu: I 0,5đ d d f /2 sin d y2 x sin y yx dy cos y xy dx AB AB : x dx Ta có M1 2 y 0,5đ Ta có 0,5đ Đặt M 1c (1đ) M M1 xdxdy x y 4, x 0 M /2 cos d r dr /2 16 16 16 M1 3 Diệntích: 2a (2đ) 0,5đ Dt ( S ) Dt ( S1 ) Dt ( S2 ); ( S1 ) : z x y ,( S2 ) : z Dt ( S1 ) x y 1 z '2x z '2y dxdy x y 1 2dxdy 2. 12 2 Dt ( S2 ) z '2x z '2y dxdy x y 1 0,5đ dxdy 12 x y 1 Dt ( S ) ( 1) rot F Ry' Qz' i Pz' Rx' j Qx' Py' k divF Px' Q y' Rz' x y Thông lượng: W 2b (1đ) W= (x 0,5đ 0,5đ 0,5đ x3 y3 dy d z dxdz z 3 dxdy S 3 +y +1)dxdydz ; ( ) : x y z ( ) Ta có: 0,5đ 2 W= d dr (r 0 2 1).rdz 2 r d ( r 1).r.( r 1)dr 13 30 pt P '( t ) 0,1P( t ) 10e t 0,1dt P (t ) 10 e e dt C 0,1 dt e 0,5đ 100 t P (t ) e 0,1t 10e 1,1t dt C e Ce0,1t 11 890 100 t 890 0,1t P(0) 90 C P( t ) e e (triệu người) 11 11 11 Pt đặc trưng: k 3k k 1; k 0,5đ t 3a (1,5đ) 3b (1,5đ) Nghiệm tổng quát pt y '' y ' y Y C1e Mộtnghiệmriêng có dạng: yr A cos x B sin x yr x 0,5đ C2 e2 x 0,5đ 0,5đ cos x sin x 10 10 Nghiệm tổng quát pt ban đầu y Y yr C1e x C2 e2 x 0,5đ cos x sin x 10 10