Đang tải... (xem toàn văn)
sử dụng bđt cô si hiệu quả
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) : 2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) n = 2: ∀ x, y ≥ 0 khi đó : n = 3: ∀ x, y, z ≥ 0 khi đó : 2.1.1 2 x y xy + ≥ 3 3 x y z xyz + + ≥ 2.1.2 2x y xy+ ≥ 3 3 x y z xyz+ + ≥ 2.1.3 2 2 x y xy ÷ + ≥ 3 3 x y z xyz ÷ + + ≥ 2.1.4 ( ) 2 4x y xy+ ≥ ( ) 3 27x y z xyz+ + ≥ 2.1.5 1 1 4 x y x y + ≥ + 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + 2.1.6 ( ) 2 1 4 xy x y ≥ + ( ) 3 1 4 xyz x y z ≥ + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 2.2. Dạng tổng quát (n số) ∀x 1 , x 2 , x 3 , ,x n không âm ta có: Dạng 1: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + ≥ Dạng 2: 1 2 1 2 n n n x x x n x x x+ + ≥ Dạng 3: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n ÷ + + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n x x x= = = III. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Cauchy (Côsi ) 3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”.Đánh giá từ tổng sang tích. Bài 1. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥ Giải Sai lầm thường gặp Sử dụng: ∀ x, y thì x 2 - 2xy + y 2 = ( x- y) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2xy. Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀ (Sai) Ví dụ: 2 2 3 5 4 3 ≥ − ≥ − ≥ ⇒ 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Côsi : x 2 + y 2 ≥ 2 2 2 x y = 2|xy| ta có: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 a b ab b c bc c a ca ≥ ≥ ≥ + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀ (đúng) Bình luận • Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm. • Cần chú ý rằng: x 2 + y 2 ≥ 2 2 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương. • Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi. • Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. Bài 2. Chứng minh rằng: ( ) 8 2 64 ( )a b ab a b+ ≥ + ∀ a,b ≥ 0 Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 8 2 4 ôSi 2 4 2 .2 2 2 2 2 . . C a b a b a b ab a b ab ab a b = = + = = + + + ≥ + + 2 64 ( )ab a b= + Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ∀ a, b ≥ 0. Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 3 3 3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab= . Bình luận: • 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó. Bài 5. Cho: , , , 0 1 : 1 1 1 1 81 3 1 1 1 1 a b c d CMR abcd a b c d > ≤ + + + ≥ + + + + Giải Từ giả thuyết suy ra: ( ) ( ) ( ) ôsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - C b c d bcd a b c d b c d b c d ÷ ÷ ÷ ≥ + − + − + + ≥ + + + + + + + + + + Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 d 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 bcd a b c d cda b c d a abc a b c d a b c d dca c d c a abc d a b c ⇒ ≥ ≥ + + + + ≥ ≥ + + + + ≥ + + + + + + + + ≥ ≥ + + + + ≥ ≥ + + + + ⇒ 1 81 abcd ≤ Bài toán tổng quát 1: Cho: ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , 1 0 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x CMR x x x x n x x x x − > ≤ + + + + ≥ − + + + + Bình luận • Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn. Bài 6. Cho , , 0 1 1 1 : 1 1 1 8 1 a b c CMR a b c a b c ÷ ÷ ÷ > − − − ≥ + + = (1) Giải ôsi 1 1 1 (1) . . 2 2 2 . . . . 8 C a b c VT a b c b c c a a b bc ca ab a b c a b c − − − = + + + = =≥ (đpcm) Bài toán tổng quát 2: Cho: ( ) n 1 2 3 1 2 31 2 3 , , , , 1 1 0 1 1 1 1 : 1 1 1 1 n n n n x x x x CMR x x x xx x x x − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + = > − − − − ≥ Bài.7. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 8 , , 0 3 a b c a b c abc abc a b c ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ≥ + + + ≥ + ≥ ∀ ≥ Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ôsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 C a b c a b c a b c ÷ ÷ ÷ ÷ + + + = + + + + + ≥ + + + (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc =+ + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 3 ôsi 3 3 3 3 11 3 C a b c abc abc abc+ + = +≥ + (2) Ta có: ( ) 3 3 3 3 ôsi 2 1. 81 C abc abc abc ÷ =+ ≥ (3) Dấu “ = ” (1) xảy ra ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy ra ⇔ ab = bc = ca và a = b = c ⇔ a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy ra ⇔ 3 abc =1 ⇔ abc = 1 Bài toán tổng quát 3 Cho x 1 , x 2 , x 3 , , x n ≥ 0. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ≥ + + + ≥ + ≥ Bình luận: • Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này. • Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tính đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai. Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. 3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo: Bài 1. CMR: 2 . 0 a b a b b a + ≥ ∀ > Giải Ta có : 2 2 Côsi a b a b b a b a + ≥ = Bài 2. CMR: 2 2 2 2 1 a a R a + ≥ ∀ ∈ + Giải Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ôsi 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a = = ≥ = + + + + + + + + + + Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 2 2 2 1 1 1 1 0 1 a a a a = ⇔+ + = ⇔ = + Bài 3. CMR: ( ) 1 3 0a a b b a b + ≥ ∀ > > − Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ôsi . 1 1 1 3 . 3 0 C a b a b b a b a b b a b b a b b a b + = + − + ≥ − = ∀ > > − − − Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ( ) ( ) 1 b a b b a b == − − ⇔ a = 2 và b = 1. Bài 4. CMR: ( ) ( ) 2 4 3 0 1 a a b a b b + ≥ ∀ > > − + (1) Giải Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu . Tuy nhiên dưới mẫu có dạng ( ) ( ) 2 1a b b− + (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu. Vậy ta có : ( ) ( ) 2 1a b b− + = (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta phân tích a thành hai cách sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoÆc a +1 = ( ) 1 1 2 2 b b a b + + + − + Từ đó ta có (1) tương đương : VT + 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 b b a a b a b b b a b b = + + + + + + − + − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ôsi . . . . 1 1 4 4 4 2 2 1 1 C b b a b a b b b + + ≥ − = − + + ⇒ đpcm. Bài 5. CMR : 3 1 2a 1 2 3 4 ( ) 1 a b a b a b ≥ + ≥ ∀ − > Giải Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó : Ta có đánh giá về mẫu số như sau: ( ) ( ) 2 2 4. 4. 4. 2 4 b a b a b a b a ÷ ÷ ÷ + − − ≤ = = Vậy: 3 3 3 ôsi 3 2 2 3 ôsi 3 3 2a 1 2 1 1 1 1 . . 4 ( ) C C a a a a a a a b a b a a a a + = = = + + + ≥ + + ≥ − Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 2 1 1 1 2 b a b a a b a = − = ⇔ = = Bình luận: • Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kĩ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. • Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT. 3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. Bài 1. Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1 S a a = + Giải Sai lầm thường gặp của học sinh: 1 S a a = + ≥ 2 1 a a =2 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 1 a a = ⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì giả thiết là a ≥ 2. Cách làm đúng Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1 a để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau: 1 1 ; (1) 1 ; (2) 1 , 1 ; (3) ; (4) a a a a a a a a a a α α α α ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ⇒ Vậy ta có : 5 1 4 4 2 1 3 1 3 3.2 2 4 4 4 a a a a S a a + + ≥ + == + ≥ . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 2. Bình luận: • Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra α = 4. • ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số , 4 1a a và 3 4 a đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có điểm rơi a = 2. Bài 2. Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 S a a = + Giải Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 ⇒ 2 2 1 1 4 a a α α = = ⇒ 2 1 4 α = ⇒ α = 8. Sai lầm thường gặp 2 2 2 . 1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9 2 8 8 8 8 8 8 4 4 4 8 8.2 a a a a a S a a a a a ÷ = + + + = + ≥ = + ≥ + = + = ⇒ MinS = 9 4 Nguyên nhân sai lầm: Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): ( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm) 1 2 1 1 2 a a α α = = ⇒ 2 1 2 α = ⇒ α = 4. Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = 9 4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 thì 2 2 2 4 8 8.2a =≥ đánh giá sai. Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. Lời giải đúng: 3 2 2 2 ôsi . . 1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 9 3 8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4 C a a a a a a a S a a a a ÷ = + + + + = + ≥ = + ≥ + = Với a = 2 thì Min S = 9 4 Bài 3. Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 S a b c a b c = + + + + + Giải Sai lầm thường gặp: 6 . . 1 1 1 1 1 1 6 . . . 6S a b c abc a b c a b c ≥ == + + + + + ⇒ Min S = 6 Nguyên nhân sai lầm : Min S = 6 ⇔ 3 1 2 1 1 1 3a b c a b c a c b = = = ⇒ = = = + + = > trái với gải thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi 1 2 a b c= = = Sơ đồ điểm rơi: 1 2 a b c= = = ⇒ 1 2 1 1 1 2 a b c a b c α α α α = = = = = = ⇒ 2 4 1 2 α α ⇒= = Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau : 1 2 a b c= = = ⇒ 2 2 4 2 1 1 1 2 a b c a b c α α α α α α ⇒ = = = = = = = ⇒ = ⇒ 2 4 1 2 α α = ⇒ = Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau: ( ) ( ) 6 . . 1 1 1 1 1 1 4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c a b c a b c ÷ ≥= + + + + + − + + − + + 3 15 12 3. 2 2 ≥ − = . Với 1 2 a b c= = = thì MinS = 15 2 Bài 4. Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + ≤ . Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S a b c b c a = + + + + + Giải Sai lầm thường gặp: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 . . . . 1 1 1 1 1 1 3 3a b c a b c b c a b c a S ÷ ÷ ÷ ≥ =+ + + + + + 2 2 2 6 2 2 2 6 . . . . . 1 1 1 3 2 2 2 3 8 3 2a b c b c a ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = =≥ ⇒ MinS = 3 2 . Nguyên nhân sai lầm: MinS = 3 2 ⇔ 3 1 2 1 1 1 3a b c a b c a c b = = = ⇒ = = = + + = > (trái với giả thiết). Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi 1 2 a b c= = = 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 16 4 41 1 1 a b c a b c α α α α α α ⇒ = = = = = = = ⇒ = L ờ i giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 S a b c b b c c a a + + + + + += + + + + + 1 4 44 2 4 4 43 1 4 442 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16 17 17 17 17 . 17 . 17 . 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 a b c b b c c a a ≥ + + 1 44 2 4 43 1 442 4 43 1 44 2 4 43 2 2 2 17 17 17 17 17 17 16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 16 17 17 17 17 16 16 16 16 16 16 a b c a b c b c a b c a = + + ÷ ÷ = + + ( ) 3 17 17 17 17 8 16 8 16 8 16 8 5 5 5 5 17 . . 3. 17 . 3 17 17 3 16 16 16 16 2 2 2 2 a b c a b c a a b c a b c = = ≥ 15 17 2 2 2 . 3 3 17 3 17 2 2 a b c ≥ ≥ + + ÷ . Dấu “ = ” xảy ra khi 1 2 a b c= = = ⇒ Min S = 3 17 2 Bình luận: • Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn. • Trong bài toán trên chúng ta đã dùng mọt kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC , chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số. Bài 5. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + Giải Sai lầm thường gặp . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d b c d a b c d a b c d a b c d a c d a b c d a b c a b d c a b d a b d c a b d c d a b c d a b c a b c d a b c d + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + ⇒ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Sai lầm thường gặp Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số: 8 . . . . . . .8 8 a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + Nguyên nhân sai lầm: [...]... (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số • Dấu “ ≤ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC Bài 2 CMR a > c > 0 c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ∀ b > c > 0 (1) Giải c ( b − c) c ( a − c) + ≤1 ab ab Ta có (1) tương đương với: Theo BĐT Côsi ta có: c ( b − c) 1 c ( a − c) 1 c ( b − c) 1 a b c ( a − c) ÷= ÷+ + + ≤ + + =... xứng do đó dấu “ = ” của BĐT xảy ra khi a = b = c = 1 3 Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng BĐT Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “ = ” là a = b = c Do đó ta có lời giải sau : abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≤ 3 ( ) ( ) 3 a + b + b + c + ( c + a ) 1 3 2 3 = ÷ ÷ = 8 3 729 3 3 Côsi a + b + c 3 Trong kĩ thuật đánh giá TBN sang... x + y ÷+ 2 y + z ÷+ 2 x + z ÷ Côsi ≥ yz zx zx xy yz xy + + = x+ y+ z x y y z x z Bài 3 Cho ∆ ABC CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≥ abc (1) Giải b + c − a = x > 0 y+z z+x x+ y ; b= ; c= Đặt : c + a − b = y > 0 ⇔ a = 2 2 2 a + b − c = z > 0 Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau : xyz ≤ Áp dụng BĐT Côsi, ta có : Bài 4 Cho ∆ ABC CMR: x+ y y+ z... abc 8 1 + 1 + 1 ≥ 2 1 + 1 + 1 ÷ p −a p −b p −c a b c ÷ Giải a) Áp dụng BĐT Côsi ta có: ( p − a) ( p − b) ≤ ( p − a) + ( p − b) = c 2 ( p − b) + ( p − c) = a ( p − b) ( p − c) ≤ 2 2 ( p − a) + ( p − c) = b ( p − a) ( p − c) ≤ 2 2 2 ⇒ 1 ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ≤ 8 abc b) Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 1 1 + ÷ ≥ 2 p − a p −b 1 1 1 + ÷ ≥... 2 c + a = 3 3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm được một số thao tác sau : 2 ( x + y + z ) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) Phép cộng : x+ y y+ z z+ x + + x + y + z = 2 2 2 2 2 2 Phép nhân : x y z = ( xy ) ( yz ) ( zx ) Bài 1 Chứng minh rằng : ; xyz= xy yz zx ( x, y, z bc ca ab + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > 0 a b c Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 bc ca ... trước a = b = c = d dự đoán Min S = của BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d >0 Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có: a b c d 1 b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c = 3 b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c = 3 a b c d α ⇒ 1 3 = ⇒ α = 9 3 α Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có : a b+c+d 8 b+c+d ≥ ÷+ ∑... ( a + c) ( b + d ) ∀a, b, c, d > 0 (1) (1) ⇔ ab + ( a + c) ( b + d ) cd ≤ 1 Theo BĐT Côsi ta có: ( a + c) ( b + d ) 1 a b 1 c b 1 a+c b+d 1 VT ≤ + + = + = ( 1 + 1) = 1 (đpcm) ÷+ 2 a+c b+c 2 a+c b+d ÷ 2 a+c b+c ÷ 2 Bình luận: • Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số ⇒ ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta... 1 (đpcm) ab ab 2b a ÷ 2a b ÷ 2a b÷ Bài 3 CMR 1 + 3 abc ≤ 3 ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) ∀a, b, c ≥ 0 (1) Giải Ta có biến đổi sau, (1) tương đương: 3 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ⇔3 1.1.1 abc +3 ≤1 ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c) (1+ a ) (1+ b) (1+ c ) Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 1 1 a b c 1 a + 1 b + 1 c + 1 1 VT ≤ + + + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c = 3 1 + a + 1... phần 3.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng só trong đánh giá TBN sang TBC : Bµi 1 Chứng minh rằng: a ( b −1) + b ( a −1) ≤ ab ∀a, b ≥ 1 Giải Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số Ta có : a b ⇒ a ( b −1) + b ( a −1) Côsi ( b −1)... ) ( a + b − c ) ≤ abc Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 0 ≤ 0 ≤ 0 ≤ ⇒ ( b + c − a ) ( c + a − b) ≤ ( c + a − b) ( a + b − c) ( b + c − a) ( a + b − c) ( b + c − a) + ( c + a − b) = c 2 ( c + a − b) + ( a + b − c) = a ≤ 2 ( b + c − a) + ( a + b − c) = b ≤ 2 0 ≤ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ abc Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ∆ ABC đều : a = b = c 3.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho . dương. • Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi. • Trong bài toán trên dấu “. TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT. 3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu. định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai. Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. 3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo: Bài 1.