Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn úng dụng số phức trong việc nghiên cứu toán sơ cấp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C Z C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C C[x] R[x], R, C. Z C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T = R ×R = {(a, b)|a, b ∈ R} (a, b) = (c, d) a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c, d) = (ac − bd, ad + bc) (a, b).(c, d) (a, b)(c, d). i = (0, 1) ∈ T i 2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T. ´ A φ : R → T, a → (a, 0), φ(a + a ) = φ(a) + φ(a ), φ(aa ) = φ(a)φ(a ) a, a ∈ R. (a, 0) ∈ T a ∈ R. (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi i 2 = (−1, 0) = −1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C T C = {a + bi|a, b ∈ R, i 2 = −1} a + bi = c + di a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac −bd + (ad + bc)i. z = a + bi ∈ C a, Re z, b, Im z; i a −bi z = a + bi z = a + bi. zz = (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2 , z 1 z 2 = z 1 z 2 |z| = √ zz z. z = c + di −z = −c − di z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b −d)i. (Oxy). z = a + bi M(a; b). C → R×R, z = a+bi → M(a; b). C (Oxy) z M, C R C z = a + bi = 0. a 2 + b 2 > 0. z = x + yi ∈ C zz = 1 ax −by = 1 bx + ay = 0. x = a a 2 + b 2 , y = − b a 2 + b 2 . z = a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i z. C a ∈ R a+0i ∈ C R C. z = 0 z −1 = z |z| 2 z z = z z −1 = z z |z| 2 . z = 0. M z. Ox OM z arg(z). ∠xOM z Arg z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α z z α + k.2π k ∈ Z. z = 0, α + k.2π z. r = √ zz. z = a + bi a = r cos α, b = r sin α. z = 0 z = r cos α + i sin α z. z 1 = r 1 cos α 1 + i sin α 1 , z 2 = r 2 cos α 2 + i sin α 2 r 1 , r 2 0 |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 | . z 1 z 2 = r 1 r 2 cos α 1 + α 2 + i sin α 1 + α 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 cos α 1 − α 2 + i sin α 1 − α 2 r > 0. z 1 z 2 z 1 = z 2 ⇔ |z 1 | = |z 2 |, arg z 1 = arg z 2 + 2kπ, k ∈ Z. arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) + 2kπ, k ∈ Z. arg( z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) −arg(z 2 ) + 2kπ, k ∈ Z. arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). arg( z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) −arg(z 2 ). a + bi = x + iy n a 2 + b 2 = x 2 + y 2 n . a + bi = x + iy n a − bi = x − iy n . a 2 + b 2 = x 2 + y 2 n . z = r(cos α + i sin α) n z n = r n cos nα + i sin nα . n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n z = r cos α + i sin α = 0 n z k = r 1/n cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n k = 1, 2, . . . , n. z = r(cos α + i sin α) z = re iα . r = 1 z = e iα r = 1, α = 0 e 0 = 1. e iα e iβ = e i(α+β) e iα e iβ = e i(α−β) . e iα e iβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β) e iα e iβ = e i(α+β) . e iα e iβ = cos α + i sin α cos β + i sin β = cos(α − β) + i sin(α − β) e iα e iβ = e i(α−β) . e iα = cos α + i sin α e −iα = cos α − i sin α cos α = e iα + e −iα 2 sin α = e iα − e −iα 2i cos α = e iα + e −iα 2 sin α = e iα − e −iα 2i . 1+i n = 2 n/2 cos nπ 4 +i sin nπ 4 1 + i tan α 1 −i tan α n = 1 + i tan nα 1 −i tan nα α = π 4 , n = 2 1 + i n = 2 n/2 cos π 4 + sin π 4 n = 2 n/2 cos nπ 4 +i sin nπ 4 . 1 + i tan α 1 −i tan α n = cos α + i sin α n cos α − i sin α n = cos nα + i sin nα cos nα − i sin nα) = 1 + i tan nα 1 −i tan nα . z = 0 z + 1 z = 2 cos α z n + 1 z n = 2 cos nα n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z 2 − 2z cos α + 1 = 0 z = z 1 = cos α + i sin α, 1 z = z 2 = cos α − i sin α. z n = z n 1 = cos nα + i sin nα, 1 z n = z n 2 = cos nα − i sin nα. z n + 1 z n = 2 cos nα n. C C[x] C. K K[x] K. K[x] R[x] R. f(x) = a 0 x 2s+1 + a 1 x 2s + ··· + a 2s x + a 2s+1 ∈ R[x] a 0 = 0. a 0 f(x) +∞ x → +∞ a 0 f(x) −∞ x → −∞. α > 0 β < 0 a 0 f(α) > 0, a 0 f(β) < 0. a 2 0 f(α)f(β) < 0 f(α)f(β) < 0. f(x) R f(α)f(β) < 0 f(x) (α, β). C[x] C. z z 1 , z 2 z 2 1 = z, z 2 2 = z. z = a+bi = 0 z 1 = x+yi a, b, x, y ∈ R z 2 1 = z x 2 − y 2 = a 2xy = b. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Chương 2 Vận dụng số phức trong Đại số, Số học và Lượng giác Chương này đưa ra một số ứng dụng (vận dụng) của số phức trong các bài toán trong Đại số, Số học, Lượng giác trong đó có nêu lại các kết quả cơ bản để từ đó xây dựng lời giải bài toán hoặc định hướng khai thác bài toán mới Chương này tham khảo các tài liệu [1],[2],[4],[5] 2.1 Vì Phân tích đa thức thành tích C là trường đóng đại số nên đa thức... Đa thức 2x2 + 2x + 1 là bất khả quy với nghiệm phức = S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 1+i n 1 n n ) = (cos + i sin ) Để r là số thực cần và đủ 2 4 4 2n n sin = 0 hay n = 4k với k N+ 4 Do vậy 2.3 r=( Chuyển bài toán trên Nhúng vào Z thành bài toán trên C C Một số bài toán tiếp theo dưới đây được xét trong đặt trong Z[x], nhưng mang chúng C[x] để giải dễ dàng... có hai số nguyên lẻ x, y để y 2 + 7x2 = 2n với số nguyên n Với số nguyên n + 1 ta xét z1 = (y + ix 7)(1 + i 7) = (y + x 8x) + i(x + y) 7 z2 = (y + ix 7)(1 i 7) = (y x + 8x) + i(x y) 7 * Với 3 Vì x, y là số lẻ nên x = 2k + 1, y = 2h + 1 Khi đó x + y = 2(k + h + 1), y x = 2(h k) và (x + y) (y x) = 4k + 2 Do đó trong hai số x + y và y x chỉ có đúng một số chia hết cho 4 yx yx là số nguyên... 192 + 6.102 * Giả sử số nguyên n 1 và hai số nguyên a, b để 31n = a2 + 6b2 , trong đó a và b đều lẻ khi n lẻ; còn a lẻ và b chẵn khi n chẵn Với n + 1 ta xét: 31n = x2 + 6y 2 với x lẻ và y x lẻ và y x lẻ khi n lẻ thì có số a lẻ và số b lẻ để a2 + 6b2 = 31n Khi đó n + 1 là số chẵn và 31n+1 = (5a 6b)2 + 6(a + 5b)2 với 5a 6b lẻ và a + 5b chẵn (i) Nếu n chẵn thì có số a lẻ và số b chẵn để a2 + 6b2 =... = 2005 Sử dụng quy nạp, nếu xn , yn , zn , tn là một nghiệm nguyên của x2 + y 2 + z 2 + t2 = 2005n thì xn+1 = 44xn 7yn 4zn 2tn y n+1 = 7xn 44yn + 2zn + 4tn zn+1 = 4xn + 2yn + 44zn 7tn t = 2x 4y + 7z + 44t = n+1 là một nghiệm nguyên của Sử dụng vành con n n n n x2 + y 2 + z 2 + t2 = 2005n+1 Z[ d] của C Một số bài toán dưới đây là những bài toán xét biểu diễn số hoặc dãy các số nguyên... toán xét biểu diễn số hoặc dãy các số nguyên Nếu giới hạn chỉ xét trên nhúng Z thì đây là những bài toán quá khó Khi Z vào C thì các bài toán này sẽ trở lên dễ đi nhiều Đây là một cách để ta xây dựng nhiều bài toán hay khác nữa Trước tiên sẽ nhắc lại một số kết quả đã biết Giả thiết số dương d = 1 không là số chính phương Khi đó tập Z[ d] = {a + ib d|a, b Z} cùng phép cộng và nhân lập thành một Mệnh... đây suy ra N (z1 z2 zn ) = N (z1 )N (z2 ) N (zn ) n n n (ak + ibk d) (ak ibk d) = (a2 + b2 d) vì a2 + b2 d = k k k=1 k=1 k=1 Bây giờ ta sử dụng chuẩn và tự đẳng cấu để xét một vài bài toán biểu diễn trong Số học Với số nguyên dương n, giả sử các số a1 , b1 , , an , bn , a, b Z n n thỏa mãn quan hệ (ak + ibk 5) = a + ib 5 Khi đó (a2 + 5b2 ) = k k k=1 k=1 2 2 Ví dụ 2.3.10 a + 5b Z[ 5]... các hệ số của g(x) là những hàm đối xứng của các ij nên ta suy ra các hệ số này là những hàm đối xứng của các i Theo định lý về các hàm đối xứng, các hệ số của g(x) là những đa thức của các hàm đối xứng cơ bản của các i và vì c là số thực nên các hệ số của g(x) là những số thực Theo giả thiết quy nạp, g(x) có ít nhất một nghiệm trong C, điều này có nghĩa: Tồn tại n(n 1) n(n 1) ij C Có tất cả cặp... để chỉ ra, với bất kỳ số nguyên n 1 đều có hai số nguyên lẻ x n 2 2 và y để 4.3 = 11x + y * Với n = 1 có 4.3 = 11.12 + 12 * Giả sử đã có hai số nguyên lẻ x, y để 11x2 + y 2 = 4.3n với số nguyên n 1 Với số nguyên n + 1 ta xét z1 = (y + ix 11)(1 + i 11) = (y + x 12x) + i(x + y) 11 z2 = (y + ix 11)(1 i 11) = (y x + 12x) + i(x y) 11 Bài giải: Xét vành giao hoán Vì x, y là số lẻ nên x = 2k + 1,... ã ã + bm Z[x], a0 b0 = 0, với cont(g) = cont(h) = 1 Giả sử cont(gh) = d > 1 Gọi p là số nguyên tố và là ước của d Khi đó tất cả các hệ số của gh đều chia hết cho p trong khi g và h có những hệ số không cùng chia hết cho p Gọi ar và bs là những hệ số đầu tiên của g và h tương ứng mà không chia hết cho p Khi đó hệ số cr+s của gh thỏa mãn ar1 ar2 ã ã ã a0 0(mod p) b bs2 ã ã ã b0 0(mod p) s1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C Z C Số hóa bởi Trung. Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C C[x] R[x], R, C. Z C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T. φ(a)φ(a ) a, a ∈ R. (a, 0) ∈ T a ∈ R. (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi i 2 = (−1, 0) = −1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C T C = {a + bi|a,