Đang tải... (xem toàn văn)
Một số kết quả về hàm phân chia các số tự nhiên
ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ QUỐC ĐẠI MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM PHÂN CHIA CÁC SỐ TỰ NHIÊN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tơi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận văn là do tơi làm và khơng sao chép các luận văn đã được cơng bố trước đó. Tác giả Lê Quốc Đại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mục lục LỜI CẢM ƠN 3 LỜI NĨI ĐẦU 5 1 Phép phân chia số tự nhiên 6 1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phép phân chia có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần khơng q m . . . 14 1.4 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần khơng nhỏ hơn m . 19 2 Hàm phân chia 22 2.1 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Một số cơng thức biểu diễn hàm phân chia . . . . . . . . . 27 2.3 Sơ lược lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 LỜI CẢM ƠN Sau q trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Một số kết quả về hàm phân chia các số tự nhiên" của tơi đã được hồn thành. Có được kết quả này, đó là nhờ sự dạy bảo hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cơ. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ và gia đình! Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào Tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Tốn - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt q trình học tập tại trường cũng như thời gian tơi hồn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Tốn - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tơi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Tốn K5C (Khóa 2011 - 2013) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tơi có thể hồn thành nhiệm vụ của mình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 LỜI NĨI ĐẦU Một phép phân chia số tự nhiên n là một cách viết n thành tổng các số ngun dương. Chú ý rằng mỗi phép phân chia số n có thể biểu diễn bằng nhiều cách (sai khác nhau thứ tự của các hạng tử, chẳng hạn 3 = 2 + 1 và 3 = 1 + 2 là 2 cách biểu diễn của một phép phân chia). Vì thế người ta thường viết mỗi phép phân chia dưới dạng một dãy (p 1 , . . . , p k ) các số ngun dương sao cho p 1 ≥ . . . ≥ p k và n = p 1 +. . .+p k . Các số p 1 , . . . , p k được gọi là các thành phần của phép phân chia. Kí hiệu P (n) là số cách chia của số tự nhiên n. Hàm P (n) được gọi là hàm phân chia. Khái niệm các phép phân chia số ngun được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà tốn học lỗi lạc Leonhard Euler của Thế kỉ 18. Khái niệm này đã xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Tốn học, Vật lí. Một trong những kết quả bí ẩn và nổi tiếng trong lí thuyết phép phân chia số tự nhiên là các đồng nhất thức Roger-Ramanujan, đã được sử dụng và gắn kết với những chun nghành Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giải tích phức, . . . Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên có một lịch sử lâu dài và ấn tượng. Từ Thế kỉ 18, Leonhard Euler là người đầu tiên đưa ra cơng thức truy hồi để tính P (n). Hơn 150 năm sau đó, phương pháp của Euler mới được hồn thiện để tính tốn thành cơng số P (n) với n ≤ 200. Đến đầu Thế kỉ 20, Srinivasa Ramanujan và G. H. Hardy đã cho ra phương pháp xoay vòng "circle method" để tính P (n), và có xấp xỉ đầu tiên tương đối tốt cho P (n) với n > 200. Một câu hỏi rất khó kéo dài trong rất nhiều năm là đánh giá xấp xỉ giá trị của P (n) khi n đủ lớn. Cho đến nay, câu hỏi này vẫn còn là vấn đề mở chưa được giải quyết, nhưng đã có một loạt câu trả lời bộ phận được đưa ra bởi Hardy-Ramanujan [HR] năm 1918, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 bởi Hans Rademacher [R] năm 1943, . . . Đặc biệt, năm 2007, Kathrin Bringmann và Ken Ono [BO] đã đưa ra một cải tiến vượt bậc cho cơng thức của Rademacher. Từ các đồng dư thức nổi tiếng về P(n) phát hiện bởi Ramanujan năm 1921, người ta tiếp tục quan tâm đến tính chất đồng dư thức của P(n). Năm 1960, M. Newman đã giả thuyết rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, r, tồn tại vơ hạn số ngun dương n sao cho P(n) ≡ r ( mod m). Giả thuyết này đã được hàng trăm nhà tốn học quan tâm nhưng vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn. Kết quả tốt nhất trả lời bộ phận cho giả thuyết này thuộc về Ken Ono [O1] trong bài báo trên tạp chí Ann. Math. năm 2000 và S. Ahlgren và M. Boylan [AB] trong bài báo trên Invent. Math. năm 2003. Mục đích của luận văn này là trình bày khái niệm và một số kết quả cơ bản về phép phân chia các số tự nhiên. Các kiến thức viết trong luận văn chủ yếu tham khảo trong 3 tài liệu sau đây: 1. S. Ahlgren and M. Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent. Marth.,153 (2003) 487 - 502. 2. G. E. Andrew and K. Eriksson, Integer Partitions, Cambridge Uni- versity Press, 2004. 3. H. Torabi, J. Behboodian, S. Mirhosseini, On the number of parati- tions of sets and natural numbers, Apps. Math. Sci., 33 (2009) 1635 - 1646. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 dành để trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của phép phân chia các số tự nhiên, phép phân chia có điều kiện và đặc biệt quan tâm đến 2 dạng phép phân chia có điều kiện: phép phân chia với các thành phần khơng nhỏ hơn m và phép phân chia với các thành phần khơng lớn hơn m. Chương 2 trình bày một số kết quả về hàm phân chia P (n), trong đó có sơ đồ tam giác Pascal để tính giá trị P(n) (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.4). Phần cuối chương tóm tắt lịch sử Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 Chương 1 Phép phân chia số tự nhiên Phép phân chia một số ngun được nghiên cứu đầu tiên bởi Leonhard Euler (15/4/1707 - 18/9/1783). Ơng là nhà vật lí học người Thụy Sĩ. Ơng cùng với Archimedes và Newton được xem là những nhà tốn học thiên tài nhất mọi thời đại, ơng cũng được xem là nhà tốn học quan trong nhất của Thế kỉ 18. Ơng là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ "hàm số" để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số như y = f(x). Ơng cũng được xem là người đầu tiên dùng phép tính vi tích phân trong Vật lí. Ơng được sinh ra và lớn lên ở thành phố Basel, Thụy Sĩ và được xem là thần đồng tốn học từ nhỏ. Ơng là giáo sư tốn học tại Saint-petersburg, sau đó là Berlin, rồi lại chuyển về Saint-petersburg. Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên đã được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Tốn học, Vật lí học. Một trong những kết quả bí ẩn và lừng danh trong lí thuyết phép phân chia số tự nhiên là các đồng nhất thức Roger-Ramanujan được khám phá một cách độc lập bởi Roger, Schur và Ramanujan và được xuất bản trong cuốn sách G. H. Hardy [Har] năm 1940. Các đồng nhất thức Roger-Ramanujan có nhiều ứng dụng và gắn kết mật thiết với những chun nghành khác nhau của Tốn học như Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giải tích phức, . . . Trong suốt chương này, ln giả thiết n là một số ngun dương. Mục đích của Chương là giới thiệu khái niệm phép phân chia số tự nhiên, phép phân chia có điều kiện và một vài dạng đặc biệt như phép phân chia có đúng i thành phần bằng 1, phép phân chia mà mỗi thành phần đều khơng nhỏ hơn một số m cho trước, . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên 1.1.1. Định nghĩa. Một phép phân chia số tự nhiên n là một cách viết n thành tổng của các số ngun dương. Chú ý rằng một phép phân chia có thể biểu diễn thành nhiều dạng. Chẳng hạn, 4 = 3 + 1 và 4 = 1 + 3 là hai dạng biểu diễn của cùng một phép phân chia số 4 thành hai thành phần 3 và 1. Như vậy, hai dạng biểu diễn của n thành tổng các số ngun dương được xem là của cùng một phép phân chia nếu chúng chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng. Cụ thể, hai dạng biểu diễn n = a 1 + . . . + a r và n = b 1 + . . . + b s , trong đó a 1 , . . . , a r , b 1 , . . . , b s là các số ngun dương, được coi là của cùng một phép phân chia nếu r = s và tồn tại một hốn vị σ của tập {1, 2, , r} sao cho a i = b σ(i) với mọi i = 1, . . . , r. 1.1.2. Ví dụ. Có 5 phép phân chia số 4 sau đây, đó là: 4 = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1. 1.1.3. Chú ý. Rõ ràng mỗi phép phân chia số n có duy nhất một dạng biểu diễn chuẩn, tức là biểu diễn n thành tổng các số ngun dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé. Vì thế ta có thể coi một phép phân chia số n là một bộ (p 1 , . . . , p k ) các số ngun dương thỏa mãn p 1 ≥ p 2 ≥ . . . ≥ p k và tổng của chúng là n. Với kí hiệu như vậy, thay cho cách viết có 5 phép phân chia của số 4 là: 4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 1 + 1. Ta có thể viết lại phép phân chia này như sau (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 1.1.4. Định nghĩa. Số phép phân chia của n được kí hiệu là P (n). Hàm P (n) được gọi là hàm phân chia. Cho thuận lợi, ta quy ước P (n) = 0 với mọi n < 0 và P (0) = 1. 1.1.5. Ví dụ. Có 7 phép phân chia số 5 sau đây, đó là 5 = 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Vậy P (5) = 7. 1.1.6. Kí hiệu. Mỗi phép phân chia của n có duy nhất một dạng tiêu chuẩn (p 1 , . . . , p k ), trong đó (p 1 , . . . , p k ) là bộ k số ngun dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé và tổng của chúng bằng n. Mỗi p i trong phép phân chia (p 1 , . . . , p k ) được gọi là một phần hay một thành phần của phép phân chia đó. 1.1.7. Ví dụ. Ta có P(6) = 11 vì có đúng 11 phép phân chia số 6, đó là: (6), (5, 1), (4, 2), (4, 1, 1), (3, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1). 1.2 Phép phân chia có điều kiện Ta hiểu một phép phân chia có điều kiện của số n là một phép phân chia số n với một điều kiện nào đó trên các thành phần của phép phân chia. Dưới đây là một số bài tốn thường gặp về phép phân chia có điều kiện. (i) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều là số lẻ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 (ii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều là số chẵn. (iii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần là đơi một khác nhau. (iv) Tìm số phép phân chia n sao cho các thành phần lặp lại q m lần. (v) Tìm số phép phân chia n sao cho khơng có thành phần vượt q m. (vi) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều khơng nhỏ hơn m. (vii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi phép chia có đúng m thành phần. (viii) Tìm số phép phân chia n sao cho có đúng m thành phần bằng 1. (ix) Tìm số phép phân chia n sao cho khơng có q m thành phần. (x) Tìm số phép phân chia n sao cho nó có một số chẵn hạng tử và các hạng tử là đơi một khác nhau. (xi) Tìm số phép phân chia n sao cho nó có một số lẻ hạng tử và các hạng tử là đơi một khác nhau. 1.2.1. Ví dụ. Ta có P(8) = 22 vì có đúng 22 phép phân chia số 8, đó là: (8), (7, 1), (6, 2), (6, 1, 1), (5, 3), (5, 2, 1), (5, 1, 1, 1), (4, 4), (4, 3, 1), (4, 2, 2), (4, 2, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 1, 1), (3, 2, 2, 1), (3, 2, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (2, 2, 2, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). (i) Có 6 phép phân chia của 8 sao cho các thành phần đều lẻ, đó là: (7, 1), (5, 3), (5, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). (ii) Cũng có đúng 6 phép phân chia của 8 sao cho khơng có thành phần nào bị lặp lại, đó là: (8), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (5, 2, 1), (4, 3, 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... rằng số phép phân chia n mà các thành phần đều chẵn khơng nhất thiết bằng số phép phân chia n mà các thành phần đều lẻ Cụ thể, có 6 phép phân chia số 8 sao cho các thành phần đều lẻ, nhưng chỉ có 5 phép phân chia số 8 sao cho các thành phần đều chẵn, đó là: (8), (6, 2), (4, 4), (4, 2, 2), (2, 2, 2, 2) Bây giờ chúng ta quan tâm đến cơng thức tính số phép phân chia một số n với những điều kiện đặc biệt Một. .. Chú ý rằng 6 phép phân chia số 11 sao cho mỗi thành phần khơng nhỏ hơn 3 là: (11), (8, 3), (7, 4), (6, 5), (5, 3, 3), (4, 4, 3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Chương 2 Hàm phân chia Như thường lệ, kí hiệu P (n) là số phép phân chia số tự nhiên n thành tổng các số ngun dương Mục tiêu của Chương 2 là nghiên cứu một số cơng thức và cách tính tốn hàm phân chia P (n) 2.1 Tam... biểu diễn hàm phân chia P (n) qua các hàm trung gian P (m; n − m) với m = 1, 2, , [n/2], trong đó P (m; n) là số phép phân chia số tự nhiên n sao cho các thành phần trong mỗi phép phân chia khơng nhỏ hơn m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 2.2.4 Định lí Với mỗi số ngun dương n ta có [n/2] P (m; n − m) P (n) = 1 + m=1 Chứng minh Gọi A là tập hợp các phép phân chia số n Với... Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên có một lịch sử rất ấn tượng Người đầu tiên nghiên cứu và đưa ra cơng thức truy hồi để tính tốn hàm phân chia P (n) là nhà tốn học lỗi lạc Leonhard Euler của thế kỉ 18 Nhắc lại rằng hàm phân chia P (n) được xác định như sau: với n < 0 thì P (n) = 0, P (0) = P (1) = 1 và với n > 0 thì P (n) là số phép phân chia của số tự nhiên n Thực chất, sau một chút biến đổi,... n > 1 Gọi A là tập các phép phân chia số n sao cho có ít nhất một thành phần bằng 1 Gọi B là tập các phép phân chia số n − 1 Giả sử (p1 , , pk ) ∈ A là một phép phân chia của n Vì p1 ≥ p2 ≥ pk ≥ 1 nên ta có pk = 1 Vì n > 1 nên p1 + .+pk−1 = n−1 > 0 Do đó k−1 ≥ 1 Vì thế (p1 , , pk−1 ) là phép phân chia của số n − 1 Ngược lại, lấy (q1 , , qk ) ∈ B là một phép phân chia số n − 1 Khi đó (q1... minh các kết quả của luận văn này 1.2.2 Bổ đề Giả sử A, B là hai tập hữu hạn và f : A → B là một song ánh Khi đó số phần tử của A bằng số phần tử của B Từ nay về sau khi A là tập hữu hạn ta kí hiệu Card(A) là số các phần tử của A Trước hết, chúng ta nêu cơng thức tính số phép phân chia n thành các thành phần bằng nhau 1.2.3 Mệnh đề Số phép phân chia của n sao cho các thành phần trong mỗi phép phân chia. .. 1, 1, 1, 1) Ta nhắc lại kí hiệu của hàm phân chia P (n): Đặt P (n) = 0 với mọi n < 0 và P(0) = P(1) = 1 Với n > 1, kí hiệu P (n) là số phép phân chia của n Mệnh đề sau đây cho ta cơng thức tính số phép phân chia của n với điều kiện số 1 khơng xuất hiện trong các thành phần của phép phân chia 1.2.5 Mệnh đề Số phép phân chia của n mà mỗi thành phần trong mỗi phép phân chia đều khác 1 là P (n) − P (n −... Dễ thấy có đúng 8 phép phân chia số 9 sao cho trong mỗi phép phân chia các thành phần đều khác 1, đó là: (9), (7, 2), (6, 3), (5, 4), (5, 2, 2), (4, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 2, 2, 2) 1.2.7 Mệnh đề Cho i ≥ 1 là một số tự nhiên Khi đó số phép phân chia của n sao cho trong mỗi phép phân chia có đúng i thành phần bằng 1 là P (n − i) − P (n − i − 1) Chứng minh Nếu i = n thì kết quả hiển nhiên đúng Do đó ta giả... chúng ta quan tâm đến một loại phép phân chia có điều kiện, đó là các phép phân chia mà mỗi thành phần của nó khơng vượt q một số tự nhiên m cho trước Trong suốt luận văn này, chúng ta sử dụng kí hiệu sau 1.3.1 Kí hiệu Với số ngun dương m, kí hiệu P (n |1, , m) là số phép phân chia n trong đó mỗi thành phần khơng vượt q m Chẳng hạn P (3 |1, 2) = 2 vì có đúng 2 phép phân chia số 3 thành các thành phần khơng... 176 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 Kết quả tiếp theo là một đánh giá (tương đối thơ) của hàm phân chia 2.2.7 Mệnh đề Với mỗi số ngun dương n ta có P (2n) ≥ P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) Chứng minh Với mỗi r ∈ {n, n − 1, , 2, 1}, kí hiệu Br là tập các phép phân chia số r Khi đó số phần tử của Br là P (r) Giả sử (p1 , , pk ) ∈ Br là một phép phân chia số r . phép phân chia các số tự nhiên, phép phân chia có điều kiện và đặc biệt quan tâm đến 2 dạng phép phân chia có điều kiện: phép phân chia với các thành phần khơng nhỏ hơn m và phép phân chia với các thành. Phép phân chia có điều kiện Ta hiểu một phép phân chia có điều kiện của số n là một phép phân chia số n với một điều kiện nào đó trên các thành phần của phép phân chia. Dưới đây là một số bài. p k ) các số ngun dương sao cho p 1 ≥ . . . ≥ p k và n = p 1 +. . .+p k . Các số p 1 , . . . , p k được gọi là các thành phần của phép phân chia. Kí hiệu P (n) là số cách chia của số tự nhiên n. Hàm