Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng môn học toán rời rạc GV huỳnh thị thu thủy
5/10/2013 Tài liệu tham khảo Toán rời rạc ứng dụng tin học - Mơn học: TỐN RỜI RẠC Kenneth H Rosen Đại số quan hệ - Nguyễn Thanh Sơn Số Tiết LT: 45 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Nội dung Chương 1: CƠ SỞ LOGIC Chương 2: PHÉP ĐẾM Chương 1: CƠ SỞ LOGIC Chương 3: QUAN HỆ Chương 4: ĐẠI SỐ BOOLE – HÀM BOOLE Chương 5: ĐỒ THỊ Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 5/10/2013 NỘI DUNG 1- Giới thiệu Giới thiệu • Các qui tắc logic cho biết ý nghĩa xác mệnh đề Mệnh đề • Ứng dụng qui tắc logic tin học: Các quy tắc suy diễn – Thiết kế mạng máy tính g y 4 Vị từ - lượng từ từ – Xây dựng chương trình máy tính Nguyên lý quy nạp – Kiểm tra tính đắn chương trình Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 2- Mệnh đề 2- Mệnh đề(tt) • Là câu sai, vừa đúng, vừa sai đú i • Ví dụ: • Kí hiệu mệnh đề: – Dùng kí tự chữ – Mặt trời mọc phương Đông – 1+2 = – 2+2 = – Qui ước: p, q, r, s… • Các tốn tử logic tác dụng mệnh đề: , , , , , • Những câu khơng mệnh đề: – Bây giờ? Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 5/10/2013 2- Mệnh đề(tt) 2- Mệnh đề(tt) • p q: Đúng sai • p q: sai p q sai, các trường hợp lại trường hợp cịn lại • p q: Sai sai • p q: p q chung giá trị trường hợp lại chân lý, sai trường hợp cịn lại ý g g • p q: p q sai trường hợp lại Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 2- Mệnh đề(tt) q T T T F F T F p 10 2- Mệnh đề(tt) • Bảng chân trị cho tốn tử logic: p Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy • Dịch câu thơng thường thành biểu thức logic • Ví dụ: “Bạn không lái xe máy bạn ế cao 1,5m trừ bạn 18 tuổi” • p: “Bạn lái xe máy” • r: “Bạn cao 1,5m” • s: “Bạn 18 tuổi” ổ Biểu thức logic: (r s) p F p q pq Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy p q p q pq 11 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 12 5/10/2013 2- Mệnh đề(tt) Bài tập mệnh đề • Các phép tốn bit: Cho p q mệnh đề: – OR, AND, XOR p: nhiệt độ q: tuyết rơi Dùng p, q liên từ logic viết mệnh đề sau: ) ệ ộ y a) Nhiệt độ tuyết rơi b) Có tuyết rơi nhiệt độ c) Nếu nhiệt độ có tuyết rơi • Ví dụ: – 01101 10110 – 11000 11101 – 11101 11111 – 01000 10100 – 10101 01011 OR bit AND bit XOR bit Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 13 14 Bài tập mệnh đề Bài tập mệnh đề Cho p q mệnh đề: Cho p, q r mệnh đề: p p: Bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h q: Bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép Dùng p, q liên từ logic viết mệnh đề sau: a) Bạn không lái xe với tốc độ > 65 km/h b) Bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h bạn khơng bị phạt vượt q tốc độ cho phép ố c) Bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h p: Bạn bị cúm ; q: Bạn bị trượt kỳ thi cuối khoá ố r: Bạn lên lớp Hãy diễn đạt mệnh đề sau thành câu thông thường: ) a) p q b) q r c) (p r ) (q r) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 15 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 16 5/10/2013 Bài tập mệnh đề Bài tập mệnh đề Tìm OR bit, AND bit, XOR bit cặp xâu bit sau: Lập bảng chân lý cho mệnh đề: a) b) c) d) e) f) g) h) p p p p p q (p q) q (p q) (p q) (p q) (q p) pqr (p q) (p q) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy a) b) c) d) 1011110 ; 0100001 11110000 ; 10101010 0001110001 ; 1001001000 1111111111 ; 0000000000 Xác định biểu thức sau: a) 11000 (01011 11011) b) (01111 10101) 01000 c) (01010 11011) 01000 17 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 3- Các qui tắc suy diễn 3- Các qui tắc suy diễn(tt) • Một mệnh đề phức hợp mà ln ln 18 • Các mệnh đề p q gọi tương đương logic p q đúng giá trị chân lý mệnh đề thành phần gọi • Kí hiệu: p q • Xác định mệnh đề tương đương logic: • Một mệnh đề ln sai: sai – Bảng giá trị chân lý – Dùng tương đương logic Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 19 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 20 5/10/2013 3- Các qui tắc suy diễn(tt) 3- Các qui tắc suy diễn(tt) CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC Tương đương Tên gọi pT p Luật L ật đồng pF p pT T Luật nuốt pF F pp p Luật lũy đẳng pp p ( p) p Luật phủ định kép pq q p Luật giao hoán pq q p Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC (p q) r p (q r) Luật phân phối p q 21 Luật De Morgan Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 22 Bài tập qui tắc suy diễn Dùng bảng chân lý, CM tương đương sau: ( p q) a) b) c) d) e) ) f) g) • Ví dụ: ụ – CMR: (p ( p q )) p q – CMR: (p q) (p q) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy p q (p q) F pq (p q) (p (p q) (p r) (p q) T pp (p q) (p r) p (q r) (q • Một số tương đương tiện ích: Luật kết hợp (p q) r p (q r) 3- Các qui tắc suy diễn(tt) pp p (q r) 23 p T p pFp pFF pTT ppp p p p (pq) (p q) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 24 5/10/2013 Bài tập qui tắc suy diễn Bài tập qui tắc suy diễn CM mệnh đề kéo theo sau đúng: đú a) b) c) d) e) f) CM mệnh đề sau tương đương: a) b) c) d) (p q ) p p (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) q [p (p q)] q Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy p q q p p q p q (p q) p q (p q) p q 4 Xác định mệnh đề sau có khơng: ( p (p q)) q 25 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 4- Vị từ - Lượng từ 4- Vị từ - Lượng từ (tt) • Vị từ: 26 • Lượng từ: – Là hàm nhận giá trị sai tùy thuộc hàm tác dụng vào cá thể – Lượng từ “với mọi” P(x) mệnh đề P(x) với giá trị x không gian” – VD: VN(x): “x người Việt nam” – Kí hiệu: x P(x) – VD: “Tất sinh viên lớp học giải tích” – Boolean • P(x) kí hiệu cho câu: “x học giải tích” • Khi đó: x P(x) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 27 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 28 5/10/2013 4- Vị từ - Lượng từ (tt) 4- Vị từ - Lượng từ (tt) • Dịch câu thơng thường thành biểu thức logic – Lượng từ “tồn tại” P(x) mệnh đề “Tồn phần tử x không gian cho P(x) đúng” – Kí hiệu: x P(x) – VD1: “Mọi người có xác người bạn tốt nhất.” – VD: Cho câu P(x): “x>3” ( ) G ả ( ,y) y bạ Giải: B(x,y): “y bạn tốt x” ất • Tìm giá trị chân lý x P(x) với không gian x y z [ B(x,y) (z ≠ y) B(x,z) ] tập số thực? Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 29 4- Vị từ - Lượng từ (tt) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 30 5- Nguyên lý quy nạp • VD2: – “Tất sư tử dữ” Tất – “Một số sư tử không uống cà phê” – “Một số sinh vật khơng uống cà phê” Giải: Đặt P(x): “x là sư tử”; Q(x): “x hung dữ”; R(x): “x uống cà phê” • Quy nạp toán học – Dùng để chứng minh mệnh đề dạng nP(n) – Quá trình chứng minh bao gồm: Bước sở: Chỉ mệnh đề P(1) 2 Bước quy nạp: CM phép kéo theo: x ( P(x) Q(x) ) P(n) P(n+1) với số nguyên dương n x ( P(x) R(x) ) Với P(n) giả thiết quy nạp x ( Q(x) R(x) ) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 31 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 32 5/10/2013 5- Nguyên lý quy nạp (tt) • TỔNG KẾT CHƯƠNG VD: Bằng quy nạp toán học, CM: “Tổng n số nguyên dương lẻ “n < 2n Giới thiệu n2” Mệnh đề với số nguyên dương n” Các quy tắc suy diễn “n3 – n chia hết cho n nguyên dương” 4 “1+2+22+ +2n = 2n+1 – n nguyên không âm” + +2 âm” 4 Vị từ - lượng từ từ “1+2+3+…+n = [n(n+1)] / 2, n nguyên dương” Nguyên lý quy nạp “2n < n!, n nguyên n 4” Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 33 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 34 NỘI DUNG Lý thuyết tập hợp ánh xạ Chương 2: PHÉP ĐẾM Phép đếm Giải tích tổ hợp 4 Nguyên lý Dirichlet Dirichlet Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 35 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 36 5/10/2013 1- Lý thuyết tập hợp ánh xạ 1- Lý thuyết tập hợp ánh xạ(tt) • Định nghĩa 1: • Định nghĩa 2: – Các đối tượng tập hợp gọi – Hai tập hợp phần tử tập hợp chúng có phần tử – VD: Tập V tất nguyên âm – VD: bảng chữ tiếng Anh • Các tập {1,3,5} {3,5,1} • Các tập {1,3,3,3,5,5,5} {1,3,5} – V={ a, e, i, o, u } Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 37 1- Lý thuyết tập hợp ánh xạ(tt) 38 1- Lý thuyết tập hợp ánh xạ(tt) • Định nghĩa 3: • Một cách khác để mơ tả tập hợp: – Tập A gọi tập B phần tử A phần tử B – Kí hiệu: A B – Ví dụ: A={x/ A { / x số nguyên d ố ê dương} } B={x/ x số nguyên tố không vượt 100 A ? B – Chỉ rõ thuộc tính đặc trưng phần tử thuộc tập hợp – Ví dụ: • Tập O tất số nguyên dương lẻ nhỏ 10 viết sau: • O = { x / x số nguyên dương lẻ nhỏ 10} Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 39 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 40 10 5/10/2013 5- Các cổng logic 5- Các cổng logic • Các loại phần tử dùng mạch tổ hợp: • Mở đầu: – Các mạch mà xét cho cho đầu phụ thuộc vào đầu vào không phụ thuộc vào trạng thái thời mạch – Nói cách khác, mạch khơng có khả nhớ mạch tổ hợp • Bộ đả đảo –Kí hiệu: • Cổng OR –Kí hiệu: ệ • Cổng AND – Kí hiệu: Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 125 x x x y x + y x y x.y Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 5- Các cổng logic 5- Các cổng logic • Tổ hợp cổng 126 • Ví dụ 1: Mạch tổ hợp cho đầu xy+xy – Các mạch tổ hợp xây dựng ổ ể ằ cách dùng tổ hợp đảo, cổng OR AND – Khi lập tổ hợp mạch, số cổng dùng chung đầu vào Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 127 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 128 32 5/10/2013 5- Các cổng logic • Ví dụ mạch • Ví dụ 2: Dựng mạch tạo đầu ra: Ví dụ1: – a) (x+y).x b) x.(y + z) c) (x+y+z).(x.y.z) – – – Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Một ủy ban gồm thành viên phải định vấn đề tổ chức Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành không cho đề nghị đưa Một đề nghị thông qua nhận phiếu tán thành Hãy thiết kế mạch cho phép xác định đề nghị có thơng qua hay khơng 129 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Ví dụ mạch (tt) Ví dụ mạch (tt) • • 130 Ví dụ (tt) – – Cho x=1 thành viên thứ bỏ phiếu tán p thành; x=0 thành viên không tán thành – Tương tự: y, z cho thành viên thứ – Biểu thức Boole? – – F = xy+xz+yz Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Ví dụ 2: 131 Đơi hệ thống đèn cố định điều g khiển nhiều công tắc Các mạch cần thiết kế cho ấn công tắc , hệ thống đèn tắt bật bật tắt Hãy thiết kế mạch thực điều có cơng tắ có cơng tắ tắc ó tắc Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 132 33 5/10/2013 Ví dụ mạch (tt) • Ví dụ mạch (tt) Ví dụ (tt): • – Khi có cơng tắc: g • • • • • • – Giả sử: x=1: công tắc đóng x=0: cơng tắc mở y=1: cơng tắc đóng y=0: cơng tắc mở F(x,y)=1: đèn sáng F(x,y)=0: đèn tắt Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy – – – • • Ví dụ (tt): – Giả sử: x,y,z đại diện cho công tắc 1,2,3 Khi biến 1: cơng tắc tương ứng với biến đóng Khi biến 0: công tắc tương ứng với biến mở F(x,y,z)=1: đè sáng F( ) đèn F(x,y,z)=0: đèn tắt F 1 1 0 0 134 – x Khi thêm công tắc mở đèn sáng, tức là: F(1,0,0)=F(0,1,0)=F(0,0,1)=1 – 135 Khi công tắc mở đèn lại tắt, tức là: F(0,0,0)=0 Mạch tổ hợp? Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy y z F 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Khi công tắc mở đèn tắt, tức là: F(1,1,0)=F(1,0,1)=F(0,1,1)=0 – Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy y Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy • – Khi có cơng tắc: g • x Ví dụ mạch (tt) Ví dụ (tt): • • Chúng ta chọn để đèn sáng cơng tắc đóng, tức F(1,1)=1 Khi công tắc mở đèn tắt, tức F(1,0)=F(0,1)=0 Khi cơng tắc cịn lại mở nốt đèn sáng, tức F(0 0)=1 sáng F(0,0)=1 Mạch tổ hợp? 133 Ví dụ mạch (tt) • Ví dụ (tt): 0 136 34 5/10/2013 6- Bộ cộng • 6- Bộ cộng (tt) • • – Đầu vào mạch x,y – Đầu biến s,c; s tổng c bit nhớ hớ – Mạch thiết kế gọi nửa cộng cộng bít mà khơng xét đến số nhớ từ phép cộng trước • Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 6- Bộ cộng (tt) • • • Chúng ta dùng cộng đầy đủ để tính bít tổng bít nhớ bít cộng với số nhớ Đầu vào cộng đầy đủ: x,y số nhớ ci Đầu bít tổng s bít nhớ ci+1 y s c 1 1 0 1 0 0 Mạch nửa cộng? 137 Đầu vào x Xây dựng mạch tìm x+y với x,y bit – Bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta thấy: c=x.y Và s=xy+xy=(x+y)(x y) Mạch logic dùng để thực phép cộng số nguyên dương từ triển khai nhị phân chúng Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 138 6- Bộ cộng (tt) Đầu x y ci s ci+1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy • Hai đầu cộng đầy đủ biểu diễ biể diễn: – s= xyci+ xyci+ xyci+ xyci – ci+1= xyci+ xyci+ xyci+ xyci – Thay thiết kế cộng đầy đủ, ta dùng g nửa cộng: 139 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 140 35 5/10/2013 6- Bộ cộng (tt) 7- Tối tiểu hoá hàm Boole • Bản đồ Karnaugh ci (x+y)(xy) x y Bộ nửa cộng Bộ nửa cộng – Biểu diễn biểu thức Boole dạng bảng Karnaugh g g g – Các có đánh dấu “1” kề ghép lại với cho có nhóm lớn vng s – Chọn nhóm vng riêng lẻ (các ô ci+1 không ghép với nhau) theo quy luật: • Mỗi chữ số chứa lần nhóm cho cho • Số lượng nhóm chọn cho phải số nhớ ci=xy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 141 7- Tối tiểu hoá hàm Boole (tt) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 142 7- Tối tiểu hố hàm Boole(tt) • Ví dụ: Tìm dạng tối thiểu biểu thức Boole sau • Phương pháp Quine Mc Cluskey a/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz b/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz c/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz Bước Số hạng xyz xyz xyz xyz xyz Xâu bit 111 101 011 001 000 Số hạng (1,2) (1,3) (2,4) (3,4) (4,5) xz yz yz xz xy Bước Xâu bit 1-1 -11 -01 0-1 00- Số hạng (1,2,3,4) z Xâu bit • Kết quả: z+xy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 143 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 144 36 5/10/2013 TỔNG KẾT CHƯƠNG 7- Tối tiểu hoá hàm Boole(tt) Đại số Boole • Ví dụ: Tìm dạng tối thiểu biểu thức 2 Biểu thức Boole hàm Boole Boole B l sau bằ PP Q i M Cl k Quine McCluskey wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz Các đẳng thức đại số Boole Tính đối ngẫu Các cổng logic g g Bộ cộng Tối tiểu hoá hàm Boole Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 145 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 146 NỘI DUNG Chương 5: ĐỒ THỊ Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 147 Đại cương đồ thị Đường – chu trình Biểu diễn đồ thị ma trận Bài toán đường Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 148 37 5/10/2013 1- Đại cương đồ thị 1- Đại cương đồ thị • Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh đó • Nhiều tốn thuộc lĩnh vực khác giải mơ hình đồ thị – VD: Đồ thị biểu diễn cạnh tranh lồi mơi trường sinh thái; kết cục thi đấu thể thao; Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy – VD: Đồ thị biểu diễn cạnh tranh loài môi trường sinh thái; – Kết cục thi đấu thể thao; 149 1- Đại cương đồ thị (tt) Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 1- Đại cương đồ thị (tt) • Các loại đồ thị: – Định nghĩa 1: Một đơn đồ thị G=(V E) gồm G=(V,E) tập khơng rỗng V mà phần tử gọi đỉnh tập E mà phần tử gọi cạnh, cặp không thứ tự đỉnh phân biệt – Ví dụ: Giả sử mạng máy tính gồm máy tính đường điện thoại – Ví dụ: Đơn đồ thị: Đỉnh đồ thị vị trí máy tính; cạnh đường điện thoại thoại Destroit San Francisco 151 New York Chicago Denver Los Angeles Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 150 Washington Đơn đồ thị Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 152 38 5/10/2013 1- Đại cương đồ thị (tt) 1- Đại cương đồ thị (tt) • Định nghĩa 2: Một đa đồ thị G=(V,E) gồm tập đỉnh V tập cạnh E V, hàm f từ E tới { {u,v}| u,v V, u v} Các cạnh e1, e2 gọi song song hay cạnh bội f(e1)=f(e2) – Ví dụ: Giả sử mạng máy tính gồm máy tính đ điệ th i tí h đường điện thoại – Ví dụ: Đa đồ thị: Có nhiều đường điện thoại máy tính mạng mạng Destroit San Francisco Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 153 1- Đại cương đồ thị (tt) Washington Đa đồ thị Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 154 1- Đại cương đồ thị (tt) • Định nghĩa 3: Một giả đồ thị G=(V,E) gồm tập đỉnh V tập cạnh E V, hàm f từ E tới { {u,v}| u,v V} Một cạnh khuyên f(e)={u} với đỉnh u – Ví dụ: Giả sử mạng máy tính gồm máy tính đ điệ th i tí h đường điện thoại – Ví dụ: Giả đồ thị: Có thể có đường điện thoại ộ y từ máy tới Destroit San Francisco 155 New York Chicago Denver Los Angeles Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Chicago Denver Los Angeles New York Washington Giả đồ thị Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 156 39 5/10/2013 1- Đại cương đồ thị (tt) 1- Đại cương đồ thị (tt) • Định nghĩa 4: Một đồ thị có hướng G=(V,E) G=(V E) gồm tập đỉnh V tập V, cạnh E cặp có thứ tự phần tử thuộc V • Ví dụ: Mạng truyền thơng có đường điện thoại chiều – Ví dụ: Các đường điện thoại mạng máy tính hoạt động theo chiều Khi có đường điện thoại chiều biểu diễn ề ể ễ ằ cặp cạnh có chiều ngược lại Destroit San Francisco New York Chicago Chi Denver Washington Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 157 1- Đại cương đồ thị (tt) Los Angeles Đồ thị có hướng Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 158 1- Đại cương đồ thị (tt) – Ví dụ: Đa đồ thị có hướng: Có thể có nhiều g ệ ị p g đường điện thoại chiều từ địa phương tới máy chủ New York có nhiều đường từ máy chủ tới máy xa • Định nghĩa 5: Một đa đồ thị có hướng G=(V,E) G=(V E) gồm tập đỉnh V tập V, cạnh E hàm f từ E tới { {u,v}| u,v V} Các cạnh e1, e2 cạnh bội f(e1)=f(e2) Destroit New York Chicago San Francisco Denver Washington Los Angeles Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 159 Đa đồ thị có hướng Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 160 40 5/10/2013 1- Đại cương đồ thị (tt) Đường – chu trình • Bảng tổng kết loại đồ thị: Loại Cạnh Có cạnh bội? Có khuyên? Đơn đồ thị Đa đồ thị Giả đồ thị Đồ thị có hướng Đa đồ thị có hướng Vơ hướng Vơ hướng Vơ hướng Có hướng Có hướng Khơng Có Có Khơng Có • Đường – chu trình Euler • Đường – chu trình Hamilton Khơng Khơng Có Có Có Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 161 162 Đường – chu trình Euler (tt) Đường – chu trình Euler • Định nghĩa 1: – Đường độ dài n từ u tới v, với n số nguyên dương, đồ thị vô hướng dãy cạnh e1, e2, …, en đồ thị cho f(e1)={x0,x1}, f(e2)={x1,x2}, , f(en)={xn-1,xn}, với x0=u,xn=v ux v – Đường gọi chu trình bắt đầu kết thúc đỉnh, tức u=v Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 163 – Trong đa đồ thị có hướng, đường hay chu gọ g g trình gọi đơn khơng chứa cạnh lần – Một đồ thị vô hướng gọi liên thơng có đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị a b – Ví dụ: a ụ b c c f d g h Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy d f g 164 41 5/10/2013 Đường – chu trình Euler (tt) Đường – chu trình Euler (tt) • Định lý: Giữa cặp đỉnh phân biệt đồ thị vô h liên thơ l có hướng liê thơng ln ó đường đơn • Định nghĩa 2: Đồ thị có hướng gọi liên thơng mạnh có đường từ a tới b từ b tới a, với đỉnh a, b đồ thị • Định nghĩa 3: Đồ thị có hướng gọi liên thơng yếu có đường đỉnh đồ thị vơ hướng Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy • Định nghĩa 4: Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị G gọ chu trình ị gọi Euler Đường Euler G đường đơn chứa cạnh G 165 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 166 Đường – chu trình Euler (tt) Đường – chu trình Hamilton • Ví dụ: Tìm chu trình Euler (nếu có) • Định nghĩa: Đường x0, x1, , xn đồ thị G=(V,E) gọi đ G (V E) đ i đường Hamilton V={x0, x1, , xn } xi ≠ xj với 0ijn • Chu trình x0,x1, , xn,x0 (n>1) đồ thị G (V,E) G=(V,E) gọi chu trình Hamilton x0,x1, ,xn đường Hamilton a b a c g b a d b g c d g Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy c d 167 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 168 42 5/10/2013 Đường – chu trình Hamilton(tt) Biểu diễn đồ thị ma trận • Định lý: Giả sử G đồ thị liên thông với n đỉnh, n3 • Ma trận liền kề – Giả sử G=(V,E) đồ thị đơn |V| n G (V E) đơn, |V|=n đỉnh v1,v2, – Khi đó, G có chu trình Hamilton bậc đỉnh n/2 – Ma trận liền kề A G ma trận khơng-một cấp nxn có phần tử hàng i cột j vi vj liền kề nhau, chúng không nối với – Tứ là: A [ ij] với Tức A=[a ới • aij= { 1 nếu {v ,v } là 1 cạnh của G với đỉnh v 0 nếu khơng có cạnh nối đỉnh v i j i Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 169 j Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy Biểu diễn đồ thị ma trận(tt) Biểu diễn đồ thị ma trận • Ví dụ: Biểu diễn đồ thị ma trận liền kề 170 • Ma trận liên thuộc a b a b c d 1 1 c 0 b c d – mij= 1 0 d a – Giả sử G=(V,E) đồ thị vơ hướng Khi đó, ma trận liên thuộc V E ma trận M=[mij] đó: Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 171 { 1 nếu cạnh e nối với đỉnh v cạnh ej nối với đỉnh vi 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 172 43 5/10/2013 Biểu diễn đồ thị ma trận(tt) Bài tốn đường • Ví dụ: Biểu diễn đồ thị ma trận liên thuộc • Thuật tốn tìm đường ngắn nhất: v1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 v2 0 1 v3 0 0 1 v4 1 0 v5 1 – Thuật toán Dijkstra - 1959 – Thuật toán Floyd v1 v2 e3 e1 v4 e2 e6 v3 e4 e5 v5 Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 173 • Procedure Dijkstra(G: đơn đồ thị liên thơng có trọng số) { G có các đỉnh a=v0,v1, ,vn=z và trọng số w(vi, vj), với w(vi,vj)= nếu {vi,vj} khơng là 1 cạnh trong G } {Ban đầu nhãn khởi tạo cho nhãn a không, đỉnh khác , tập S rỗng } Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 174 Thuật toán Dijkstra (tt) Thuật toán Dijkstra For i:=1 to n L(vi):=; L(a):=0; S:=; Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 175 • While z S Begin u:=đỉnh khơng thuộc S có nhãn L(u) nhỏ S:=S {u} For tất đỉnh v không thuộc S if L(u)+W(u,v)