Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục Lời nói đầu......................................................... 2 Danh sách nhóm................................................... 1. Đại cương về tổ hợp.............................................. 3 1.1 Các bài toán tổ hợp..................................................................... 3 1.1.1 Cấu hình tổ hợp............................................................ 3 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp......................................... 3 1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản........................................... 5 1.2.1 Hoán vị............................................................... 5 1.2.2 Hoán vị lặp........................................................ 5 1.2.3 Tổ hợp............................................................... 6 1.2.4 Tổ hợp lặp......................................................... 6 1.2.5 Chỉnh hợp............................................................. 7 1.2.6 Chỉnh hợp lặp........................................................ 7 1.2.7 Nhị thức Newton................................................... 8 2. Hàm sinh thường................................................................................. 9 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường...........................................................9 2.2 Định lý.............................................................................................9 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi.............................12 3.1 Bài toán (số Fibonaci)....................................................................12 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình.....................13 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler...............13 3.2.2 Ví dụ...................................................................................13 3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính....................15 3.3.1 Công thức truy hồi..............................................................15 3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng..........................15 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh.............16 3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng...16 3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng .................................................................................................................17 Kết luận ...........................................................................................................19 Tài liệu tham khảo............................................................................................20 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Lời nói đầu Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp được hình thành. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán không lồ. Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển như vũ bảo, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Và cho đến khi xuất hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và tin học… Hàm sinh là một trong những sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng của toán rời rạc. Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Điều này là rất tuyệt vời vì chúng ta đã có trong tay cả một cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số. Nhờ vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số. Bằng cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm. Có cả một ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề này. Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng" Là một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp. Đề tài được chia thành những nội dung chính sau: 1. Lời nói đầu. 2. Chương 1. Đai cương về tổ hợp. 3. Chương 2. Hàm sinh thường . 4. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp. 5. Kết luận. Mặc dù nhóm đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn. Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012 Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24 NHÓM 10_
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Mục lục Lời nói đầu 2 Danh sách nhóm 1. Đại cương về tổ hợp 3 1.1 Các bài toán tổ hợp 3 1.1.1 Cấu hình tổ hợp 3 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp 3 1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản 5 1.2.1 Hoán vị 5 1.2.2 Hoán vị lặp 5 1.2.3 Tổ hợp 6 1.2.4 Tổ hợp lặp 6 1.2.5 Chỉnh hợp 7 1.2.6 Chỉnh hợp lặp 7 1.2.7 Nhị thức Newton 8 2. Hàm sinh thường 9 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 9 2.2 Định lý 9 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi 12 3.1 Bài toán (số Fibonaci) 12 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 13 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler 13 3.2.2 Ví dụ 13 3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính 15 3.3.1 Công thức truy hồi 15 3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 15 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh 16 3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 16 3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 17 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Lời nói đầu Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp được hình thành. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán không lồ. Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển như vũ bảo, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Và cho đến khi xuất hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và tin học… Hàm sinh là một trong những sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng của toán rời rạc. Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Điều này là rất tuyệt vời vì chúng ta đã có trong tay cả một cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số. Nhờ vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số. Bằng cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm. Có cả một ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề này. Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng" Là một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp. Đề tài được chia thành những nội dung chính sau: 1. Lời nói đầu. 2. Chương 1. Đai cương về tổ hợp. 3. Chương 2. Hàm sinh thường . 4. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp. 5. Kết luận. Mặc dù nhóm đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn. Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012 Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 2 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1. Các bài toán tổ hợp Có thể nói rằng bài toán tổ hợp rất đa dạng và phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Một cách tổng quát rằng lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Mỗi cách phân bố sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp. 1.1.1. Cấu hình tổ hợp: Cho các tập hợp A 1 , A 2 ,…,A n , giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của A 1 , A 2 ,…,A n , được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R 1 , R 2 ,…,R m các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử A 1 , A 2 ,…,A n , thảo mãn các điều kiện R 1 , R 2 ,…,R m gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A 1 , A 2 ,…,A n . Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một cấu hình tổ hợp. Ở đây có thể định nghĩa: A là tập hợp các quân cờ trắng B là tập hợp các quân cờ đen S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua. 1.1.2. Các dạng bài toán tổ hợp a. Bài toán tồn tại NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 3 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó. Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ. Cho n là số nguyên dương A là tập hợp n x n điểm: [ ] { } njijiA 1,,, == S là tập hợp 2n điểm trong A R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng Với 13 ≤≤ n cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bái toán vẫn chưa có lời giáo với n>15. b. Bài toán đếm Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét”. Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lí đếmvà phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán Ví dụ. Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 12 c. Bài toán liệt kê Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vự khác nhau thường được đưa về bài toàn liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? Ví dụ. Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử. NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 4 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG d. Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ). Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Ví dụ. Cho đồ thị có trọng số G, a và b là 2 đỉnh bất kì. Tìm đường đi ngắn nhất từ a đến b. 1.2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 1.2.1. Hoán vị Định nghĩa. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ tự các phần tử đó Ví dụ. Có 6 học sinh xếp thành một hàng dọc trước lúc vào lớp. Hỏi có thể có bao niêu cách sắp xếp như vậy Giải: một cách sắp hàng là một hoán vị của 6 người. Vậy số cách xếp hàng là : 6 ! = 720 1.2.2. Hoán vị lặp Định nghĩa :Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho trước Ví dụ. Có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi trắng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên theo hàng ngang. Giải : Có tất cả 9 lỗ trống để xếp tất cả các viên bi. Ta có C(3,9) khả năng xếp 3 viên bi đỏ, C(6,2) khả năng xếp 2 viên bi xanh, còn lại một khả năng xếp các viên bi trắng. Theo nguyên lí nhân ta có NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 5 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG C(9, 3) x C(6, 2) = !4!.2!.3 !9 cách xếp. 1.2.3. Tổ hợp Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thức tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có phần tử từ n phần tử đã cho. Kí hiệu C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử ta có: )!!.( ! ),( knk n knC − = Ví dụ. Một lớp học có 45 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh trong lớp đi thi học sinh giỏi? Giải Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp ứng với một tổ hợp chập 5 của 45. Vậy có )!545!.(5 !45 )5,45( − =C 1.2.4. Tổ hợp lặp Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phân tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại Ví dụ: Giả sử ta có 3 quyên sách: Toán, Lí, Hóa và mỗi quyển có ít nhất có 6 bản photocopy. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển Giải: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 6 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại. Mỗi cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách. Ta có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau: Toán Lí Hóa xxx | xx | x Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân cách giữa giữa các loại sách. Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2 vị trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử. Suy ra số cách chọ sách là: C(8,2) = 28 1.2.5. Chỉnh hợp Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm 3 thành phần lấy từ n thành phần đã cho. Các thành phần không được lặp lại Kí hiệu: A(n, k) và )!( ! ),( kn n knA − = Ví dụ. Một lớp học có 45 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọ 5 học sinh trong lớp đi thi học sinh giỏi 5 môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh. Giải Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi 5 môn ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 45. Vậy có )!545( !45 )5,45( − =A 1.2.6. Chỉnh hợp lặp NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 7 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại. Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đê- các X k , với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp chập k của n là AR(n, k) = n k Ví dụ. Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử Giải: Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với một bộ có thứ tự k thành phần của n phần tử của Y, các phần tử có thể lặp lại. Như vậy số hàm từ X vào Y là n k . 1.2.7. Nhị thức Newton: Công thức nhị thức Newton . Chú ý: Số hạng tổng quát thứ k+1 là: . Hệ số của số hạng thứ k+1 là giá trị không chứa biến. Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển (1 + 2x) n Giải: Số hạng thứ 3 là . Suy ra hệ số của số hạng thứ ba của khai triển đó là . NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 8 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 2 HÀM SINH THƯỜNG 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường. Cho dãy số thực (a r ) r = ( a 0 , a 1 ,a 2 , …) và biến x. Hàm sinh thường của dãy ( a 0 , a 1 ,a 2 , …) là hàm g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … Ví dụ 1: Hàm ( ) ∑ = =+ n k kk n n xCx 0 1 Là hàm sinh của dãy n nnnn CCCC , ,,, 210 2.2 Định lý. 1. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r thì (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r – a r-1 ) r . 2. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r thì x xg −1 )( là hàm sinh thường của dãy (a 0 + a 1 + a 2 + … + a r ) r . 3. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r thì x. g ′ (x) là hàm sinh thường của dãy (r.a r ) r . 4. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r và h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r ) r thì p.g(x) + q.h(x) là hàm sinh thường của dãy (p.a r + q.b r ) r với mọi số thực p,q. 5. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r và h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r ) r thì g(x).h(x) là hàm sinh thường của dãy tích chập r r i iri ba ∑ = − 0 6. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r , thì ! )0( r g a r r = , ∀ r = 0,1,2 … Chứng minh. g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r nên : g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 9 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 1. Ta có (1 – x ) g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … – a 0 x – a 1 x 2 – a 2 x 3 – a 3 x 4 – …. = a 0 + (a 1 – a 0 )x + (a 2 – a 1 )x 2 + (a 3 – a 2 )x 3 + … suy ra (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r – a r-1 ) r . ¨ 2. Ta có x xg −1 )( = g(x).(1 + x + x 2 + x 3 +…) = a 0 + a 0 x + a 0 x 2 + a 0 x 3 + … + a 1 x + a 1 x 2 + a 1 x 3 + a 1 x 4 + + a 2 x 2 + a 2 x 3 + a 2 x 4 + a 2 x 5 + … … = a 0 + (a 0 + a 1 )x + (a 0 + a 1 + a 2 )x 2 + (a 0 + a 1 + a 2 )x 3 + … suy ra x xg −1 )( là hàm sinh thường của dãy (a 0 + a 1 + a 2 + … + a r ) r . . ¨ 3. Ta có g ′ (x) = a 1 + 2a 2 x +3 a 3 x 2 + … x. g ′ (x) = a 1 x +2 a 2 x 2 +3 a 3 x 3 +… suy ra x. g ′ (x) là hàm sinh thường của dãy (r.a r ) r . ¨ (4), (5), (6) được chứng minh tương tự. ¨ Ví dụ 2. Cho g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r ) r , a 0 ≠ 0, và h(x) = )( 1 xg . Giả sử h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r ) r . Để tính dãy số (b r ) r ta sử dụng đẳng thức = (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … ) (b 0 + b 1 x +b 2 x 2 + …) = g(x)h(x) = 1 suy ra hệ phương trình đối với (b r ) r a 0 b 0- = 1 a 1 b 0 + a 0 b 1 = 0 a 2 b 0- + a 1 b 1 + - a 0 b 2 = 0 - …………………. Hai mệnh đề thường được sử dụng . Mệnh đề 1: Cho hàm sinh G(x) = (1 + x + x 2 + …) n a) Đặt a r là hệ số của x r trong khai triển của G(x) thì : a r = r nr C 1−+ b) (1 – x m ) n = mnnm n m n xxCxC )1( 1 221 −+−+− NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10 [...]... : Hàm sinh thường và ứng dụng với những nội dung chính sau: 1 Chương 1 Đại cương về tổ hợp Trình bày các kiến thức cơ bản về tổ hợp và một số bài toan nổi tiếng 2 Chương 2 Hàm sinh thường Phát biểu và đưa ra một số ví dụ về hàm sinh thường 3 Chương 3 Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi Sử dụng phương pháp đếm bằng hàm sinh thường. .. khăn và mất thời gian hơn rất nhiều vì chúng ta phải xét quá nhiều trường hợp Khi đó giải pháp hàm sinh trong bài toán này đem lại cho chúng ta hiệu quả rõ rệt vì chúng ta chỉ cần quan tâm tới hệ số trong khai triển của hàm sinh tương ứng đề bài Trong cuộc sống thực tiễn thì dữ liệu rất NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 14 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH. .. 1 + x + x2 + x3 + x4) 1 − x5 = x4 1 − x Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Bình là: B(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x2( 1 + x + x2 + x3 + x4) 1 − x5 = x2 1 − x Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Chi là: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 13 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG C(x) = x2 + x3 + x4 + x5 = x2( 1 + x + x2 + x3) 1− x4 = x2 1 − x Hàm sinh cho số cách phân phối 12 quả cam... dạng toán phức tạp và bước đầu xây dựng phương pháp giả các phương trình sai phân đơn giản NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến.Giáo trình Lý thuyết tổ hợp [2] Kenneth H Rosen Toán học rời rạc và ứng dụng trong tin học, nhà xuất bản thống kê 2002 [3] Một số tài liệu trên internet khác NHÓM 10_PHƯƠNG... các số hạng của các dãy số ở trên, ta thấy F(x) có chứa các hàm phân thức với tử và mẫu là các đa NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 18 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG thức Để đi đến kết quả cuối cùng, ta phải phân tích các phân thức này thành các phân thức sơ cấp Sau đó sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm các hệ số của các phân... các ví dụ ứng dụng hàm sinh để giải bài toán đếm nâng cao ở phần II chúng ta rất hay sử dụng công thức (*) NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 3 ỨNG DỤNG HÀM SINH THƯỜNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI 3.1 Bài toán ( Số Fibonacci) Giải công thức truy hồi sau an = an-1 +an-2 , với n ≥ 2, a0 = 0, a1 = 1 Bài giải Gọi g(x) là hàm sinh thường của dãy an... Việc sử dụng hàm sinh sẽ cho chúng ta lời giải hiệu quả 3.2.2.2 Có bao nhiêu cách xếp một giỏ gồm n trái cây gồm (táo, chuối, cam, đào) sao cho số táo phải là chẵn, số chuối chia hết cho năm, chỉ có thể nhiều nhất 4 quả cam và nhiều nhất 1 quả đào Giải: Hàm sinh cho số cách chọn quả táo (số chẵn) là: 1 2 A(x) = 1+ x2 + x4 + x6 + = 1 − x Hàm sinh cho... – 6an-2 & a0 = 0, a1 = 1 ∞ Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(X) = Ta có ∞ F(X) = ∑a n =0 n ∞ ∑ (5a xn = a0 + a1x + ∞ ∑ an−1 x n − 6 = x + 5 n =2 n=2 n −1 n=2 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP n =0 n xn − 6a n − 2 )x n ∞ ∑ a n−2 x n ∑a ∞ = x + 5x ∑ an−1 x n−1 n=2 ∞ - 6x2 ∑a n=2 n−2 x n−2 Trang 16 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG = x + 5x.(F(x) – a0) – 6x2... thức truy hồi an = an-1 +2n-1 – 1 & a0 = 1 ∞ Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = Ta có ∞ F(x) = ∑ an x n n =0 ∑ (a ∞ = a0 + n =1 ∞ = 1 + x ∑ an−1 x n−1 n =1 n −1 n =0 n xn ) + 2 n −1 − 1 x n ∞ ∞ ∑ 2n x n − ∑ x n + 2-1 n =1 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP ∑a n =1 Trang 17 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 2x x − = 1 + x.F(x) + 2-1 1 − 2 x 1 − x Suy... Trang 12 LÝ THUYẾT TỔ HỢP α −β =− 5 Vì HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 1 1 αr −βr (− β )r − (− α )r − r = r (− 1)r = và α β , ta có r r ∞ 1 1 + 5 1 − 5 r ∑ 5 2 − 2 .x r =0 g(x) = Cuối cùng ta nhận được: n n 1 1 + 5 1 − 5 − 5 2 2 an = ∀n ≥ 2 , 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải . 8 2. Hàm sinh thường 9 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 9 2.2 Định lý 9 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi 12 3.1 Bài toán (số Fibonaci) 12 3.2 Ứng dụng hàm. tiếng. 2. Chương 2. Hàm sinh thường. Phát biểu và đưa ra một số ví dụ về hàm sinh thường. 3. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi. Sử dụng phương pháp. TỔ HỢP 1.1. Các bài toán tổ hợp Có thể nói rằng bài toán tổ hợp rất đa dạng và phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Một cách tổng quát rằng lí thuyết tổ hợp