Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn Đường cong phẳng
ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TRUNG KIÊN ĐƯỜNG CONG PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TRUNG KIÊN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS-TS: ĐÀM VĂN NHỈ Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời nói đầu 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vành đa thức và nghiệm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Kết thức và biệt thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG 21 2.1 Khái niệm đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tham số hóa đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Điểm hữu tỷ trên đường cơnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Cấu trúc nhóm trên đường cong bậc ba khơng có điểm kỳ dị . . . 28 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 3.1 Một vài bài hình sơ cấp qua tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Một vài phương trình nghiệm ngun qua tham số hóa . . . . . . 35 3.3 Phép biến hình N ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Một vài bài tốn về đường cong bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NĨI ĐẦU Đã từ lâu, người ta rất quan tâm đến những phương trình kiểu x 2 + y 2 = z 2 hay x 3 +y 3 = z 3 với x, y, z ngun. Việc giải các bài tốn này khi z = 0 cũng chính là việc tìm các điểm hữu tỷ trên đường cong phẳng x 2 + y 2 = 1 hay x 3 + y 3 = 1. Chính vì vậy một vấn đề nẩy sinh là xác định các điểm hữu tỷ trên đường cong phẳng. Để có thể xác định được hầu hết các điểm hữu tỷ, người ta thường tham số hóa đường cong phẳng trong R 2 . Một vấn đề nữa cũng được nhiều người quan tâm là: Một kết quả trong hình học đúng cho đường tròn thì còn đúng cho đường elip, hypecbol, parabol khơng? Để có được kết quả đúng cho đường conic thì các hệ thức phải có các hệ số tương ứng kèm theo. Vấn đề thứ ba là: Mơ tả một tập hợp điểm trong hình học phẳng khơng phải cứ dùng thước kẻ và compa là dựng được. Khi đó muốn tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng ta có thể mơ tả qua đường cong phẳng. Với ba vấn đề đặt ra ở trên luận văn này tập trung nghiên cứu về đường cong phẳng và mở rộng một vài kết quả đã biết từ lâu. Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. Trình bày một vài kiến thức chuẩn bị về nhóm, vành đa thức, kết thức và biệt thức. Chương 2. Tập trung trình bày về đường cong phẳng. Mục 2.1 trình bày khái niệm đường cong phẳng. Chúng tơi đã chứng minh được mệnh đề 2.1.2. về giao hữu hạn điểm của hai đường cong phẳng. Mục 2.2 trình bày việc tham số hóa các đường conic và một vài đường cong phẳng khác. Chúng tơi tham số hóa theo 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ kiểu phân thức hữu tỷ để áp dụng vào xác định điểm hữu tỷ trên đường cong phẳng. Cạnh đó chúng tơi cũng tham số hóa hàm lượng giác để chuyển một vài kết quả từ đường tròn sang elip. Mục 2.3 chúng tơi trình bày một phương pháp xác định điểm hữu tỷ trên đường conic. Mục 2.4 trình bày cấu trúc nhóm trên đường cong bậc ba khơng có điểm kỳ dị. . Chương 3. Một số ứng dụng Mục 3.1 trình bày một vài bài hình sơ cấp qua tham số hóa. Trong mục này tơi đã sử dụng tham số hóa để giải quyết một số bài tốn tập hợp điểm mà quỹ tích của chúng là một đường cong phẳng bậc ba. Mục 3.2 đưa ra cách giải một vài phương trình nghiệm ngun sử dụng phương pháp tham số hóa. Mục 3.3 trình bày về khái niệm và một vài tính chất của phép biến hình N ab . Trong mục này tơi trình bày định lý Ptolemy và định lý Newton đối với đường tròn. Từ kết quả này sử dụng phép biến hình N ab phát hiện ra một số kết quả tương tự cho elip. Mục 3.4 tơi trình bày một số bài tốn về đường cong phẳng bậc ba đặc biệt là bài tốn đường cong phẳng 21- điểm K 3 . Đích cuối cùng luận văn muốn đạt được là: 1. Kết thức và phép khử với những tính chất cơ bản và ứng dụng. 2. Đường cong phẳng trong mặt phẳng và một vài tính chất. 3. Tham số hóa đường cong phẳng và sử dụng tham số hóa đường cong phẳng trong một số bài tốn về phương trình nghiệm ngun, điểm hữu tỷ và một số bài hình sơ cấp. 4. Phương pháp tìm điểm hữu tỷ trên đường conic và cấu trúc nhóm trên đường cong phẳng bậc ba khơng kỳ dị. 5. Trình bày phép biến hình N ab và một vài tính chất. 6. Bài tốn đường cong phẳng 21 - điểm K 3 . Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ giáo và các bạn. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ . Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy. Em xin cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun, nơi em đã nhận được một học vấn căn bản sau đại học. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thơng, ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học cao học và viết luận văn. Thái Ngun, ngày 10 tháng 5 năm 2013 Người viết Phạm Trung Kiên 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Giả sử X là một tập khác rỗng. Xét tích X × X = {(a, b) |a, b ∈ X }. Một ánh xạ ∗ : X ×X → X được gọi là một phép tốn hai ngơi trên X. Giả thiết ∗ là một phép tốn hai ngơi trên X. Phép tốn ∗ được gọi là có tính chất kết hợp nếu (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) thỏa mãn cho mọi a, b, c ∈ X. Phép tốn ∗ được gọi là có tính chất giao hốn nếu a ∗b = b ∗a thỏa mãn cho mọi a, b ∈ X. Giả sử A là một tập con của X. Tập A được gọi là ổn định với phép tốn ∗ nếu a ∗b ∈ A với mọi a, b ∈ A. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử tập X = ∅ với phép tốn hai ngơi ∗. Phần tử e ∈ X được gọi là phần tử trung hòa nếu a ∗e = e ∗a = a thỏa mãn cho mọi a ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Cho tập X = ∅ với phép tốn hai ngơi ∗ và phần tử trung hòa e. Giả sử phần tử a ∈ X. Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử ngược của a nếu a ∗ b = b ∗ a = e. Định nghĩa 1.1.3. Cho tập X = ∅ với phép tốn hai ngơi ∗ và phần tử trung hòa e. Giả sử phần tử a ∈ X. Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử ngược của a nếu a ∗b = b ∗a = e và ta nói a có phần tử ngược là b. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu X = ∅ với phép tốn hai ngơi kết hợp ∗ mà có phần tử trung hòa e thì phần tử e là duy nhất và nếu phần tử a ∈ X có phần tử ngược b ∈ X thì b cũng là duy nhất. Định nghĩa 1.1.4. Cho tập X = ∅ với phép tốn hai ngơi ∗. X được gọi là 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ một nhóm nếu X cùng phép tốn ∗ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) X có phần tử trung hòa e. (ii) Phép tốn ∗ có tính chất kết hợp, có nghĩa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗c) thỏa mãn cho mọi a, b, c ∈ X. (iii) Mọi phần tử a ∈ X đều có phần tử ngược, có nghĩa: Có b ∈ X để a ∗ b = b ∗a = e. Nhóm X với phép tốn ∗ được gọi là nhóm giao hốn nếu x ∗y = y ∗x thỏa mãn cho mọi phần tử x, y ∈ X. Nếu phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X được kí hiệu bởi phép cộng + thì thay cho việc viết a ∗ b ta viết a + b và được gọi là tổng của a và b. Nhóm (X, +) gọi là nhóm cộng. Phần tử trung hòa e của nhóm này là phần tử khơng và được kí hiệu là 0. Phần tử ngược của a được gọi là phần tử đối và kí hiệu qua −a. Do vậy a −a = a + (−a) = 0. Nếu phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X được kí hiệu bởi phép nhân . thì thay cho việc viết a ∗b ta viết a.b hoặc viết đơn giản ab và gọi là tích của a và b. Nhóm (X, .) được gọi là nhóm nhân. Phần tử trung hòa e của nhóm này được gọi là phần tử đơn vị và được kí hiệu là e. Phần tử ngược của a được gọi là phần tử nghịch đảo và được kí hiệu qua a −1 . Do vậy aa −1 = e. 1.2 Vành đa thức và nghiệm đa thức 1.2.1 Khái niệm vành đa thức Giả sử R là vành giao hốn với đơn vị 1. Kí hiệu P ⊂ R N là tập hợp tất cả các dãy f = (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0 ) với các a i ∈ R và chỉ có một số hữu hạn thành phần khác 0. Như vậy phần tử thuộc P hoặc có dạng(0, 0, , 0, 0, ) hoặc (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0, ) với thành phần cuối cùng a n = 0. Ta đưa phép tốn vào P để biến P thành một vành. Với f = (a 0 , , a n , 0, ), g = (b 0 , , b m , 0, ) ∈ P , định nghĩa: f = g khi và chỉ khi a i = b i , i = 0, 1, 2, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ f + g = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , , a k + b k , , 0, ) f.g = (a 0 b 0 , a 1 b 0 + a 0 b 1 , a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 , , 0, ) Bổ đề 1.2.1. Tập (P, +, .) là một vành giao hốn với đơn vị (1, 0, 0, ) và ánh xạ φ : R → (P, +, .) , a → (a, 0, 0, ) là một đơn cấu. Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra các kết quả trên. Đặt x = x 1 = (0, 1, 0, 0, ) và quy ước x 0 = (1, 0, 0, ). Ta có biểu diễn x 0 = (1, 0, 0, ) x = (0, 1, 0, 0, ) x 2 = (0, 0, 1, 0, 0, ) x 3 = (0, 0, 0, 1, 0 ) = f = (a 0 , a 1 , , a n , 0, 0, ) = (a 0 , 0, 0, ) + (0, a 1 , 0, 0, ) + + (0, 0, , 0, a n , 0, ) = (a 0 , 0, ) x 0 + (a 1 , 0, ) x + + (a n , 0, 0, ) x n Nếu đồng nhất a ∈ R với ảnh φ (a) = (a, 0, 0, ) , x 0 = (1, 0, 0, ) = φ (1) ta có biểu diễn f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n . Lúc này vành (P, +, .) được kí hiệu qua R[x] và ta có R [x] = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n |a i ∈ R = n i=0 a i x i |a i ∈ R Mỗi phần tử f ∈ R [x] được gọi là một đa thức của x với các hệ số a i thuộc vành R. Hệ số a n = 0 được gọi là hệ số cao nhất, còn hệ số a 0 được gọi là hệ số tự do của f, n được gọi là bậc của đa thức f và kí hiệu là degf(x). Riêng đa thức 0 được quy định có bậc là −∞ hoặc −1. Vì tính chất đặc biệt của x nên đơi khi ta gọi x là một biến trên R và đa thức f còn được viết qua f(x). Nếu f (x) = n i=1 a i x i , g (x) = m i=1 b i x i ∈ K [x] thì f(x) = g(x) khi và chỉ khi m = n, a i = b i với 0 ≤ i ≤ n f (x) + g (x) = i=0 (a i + b i ) x i , f (x) g (x) = i=0 i j=0 (a i−j b j ) x i Ta có các kết quả sau đây: Định lý 1.2.2. Với trường K, K[x] là một vành giao hốn. Hơn nữa, K[x] còn là một miền ngun. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.2.3. Với các đa thức f (x), g(x) ∈ K[x] và g(x) = 0 có hai đa thức duy nhất q(x), r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) với degr( x) < degg(x). Định lý 1.2.4. Giả sử K là một trường. Khi đó vành K[x] là một vành chính và nó là vành nhân tử hóa. Ví dụ 1.2.5. Cho hai số tự nhiên n và p với n > p ≥ 1. Tìm điều kiện cần và đủ để x n − a n chia hết cho x p − a p với a ∈ R, a = 0. Bài giải: Biểu diễn n = qp + r trong Z với 0 ≤ r < p. Khi đó có thể viết x n − a n = (x p − a p ) x n−p + a p x n−2p + + a (q−1)p x n−qp + a qp (x r − a r ) . Vậy, điều kiện cần và đủ để x n − a n chia hết cho x p − a p là n chia hết cho p. Giả sử trường K là trường con của trường K ∗ . Với α ∈ K ∗ và đa thức f (x) = n i=1 a i x i ∈ K [x]. Biểu thức f (α) = n i=1 a i α i ∈ K ∗ được gọi là giá trị của f(x) tại α trong K ∗ . Nếu f(α) = 0 thì α được gọi là một nghiệm của f(x) trong K ∗ . Giả sử số ngun m ≥ 1. Phần tử α ∈ K ∗ được gọi là một nghiệm bội cấp m của f(x) trong K ∗ nếu f(x) chia hết cho (x −α) m và f(x) khơng chia hết cho (x −α) m+1 trong K ∗ [x]. Khi m = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn. Định lý 1.2.6. Đa thức f(x) ∈ K[x] bậc n ≥ 1. Khi đó ta có kết quả sau: (i) Nếu α ∈ K là nghiệm của f(x) thì f(x) = (x − α)g(x) với g(x) ∈ K[x]. (ii) f(x) có khơng q n nghiệm trong K. 1.3 Kết thức và biệt thức Kết thức của hai đa thức được biết đến và ứng dụng mạnh mẽ trong đại số máy tính. Nó đặc trưng cho việc xác định tính chất đặc trưng của hai đa thức một biến trên trường K có nghiệm chung thơng qua hệ số của hai đa thức đó mà khơng đòi hỏi phải tìm nghiệm của chúng. Kết thức là cơng cụ đáng ngạc nhiên trong việc giải quyết các bài tốn về hệ phương trình đại số. 1.3.1. Khái niệm kết thức Giả sử u 0 , u 1 , , u m và v 0 , v 1 , , u n là một họ gồm m + n + 2 biến độc lập đại số 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG 2.1 Khái niệm đường cong phẳng Xét một đường cong phẳng quen biết trong mặt phẳng R2 cho bởi phương trình sau: (l) : y 2 = x2 + x3 Đây là đường cong đi qua gốc tọa độ O(0, 0) Để mơ tả các điểm khác nữa trên đường cong, ta thực hiện phép biến đổi bẳng cách đặt y = tx và thay nó vào phương trình đường cong Ta có t2 x2 = x2 + x3 Khi x = 0 ta... đường cong phẳng Định nghĩa 2.2.1 Đường cong phẳng V (f ) được gọi là đường cong phẳng hữu tỷ nếu có hai hàm hữu tỷ ϕ (t) , ψ (t) ∈ R (t) của biến t và cả hai khơng đồng thời thuộc R thỏa mãn f (ϕ (t) , ψ (t)) = 0 Đường cong phẳng hữu tỷ có quan hệ tới việc tìm các nghiệm (a, b) ∈ R2 của phương trình f (x, y) = 0 hoặc tìm các điểm thuộc đường cong phẳng với tọa độ là những số hữu tỷ Khi biểu diễn đường. .. là một đường Vậy x2 + t2 − b2 t2 + b2 t2 − b2 x khi t2 + b2 = 0 t2 + b2 x2 = xt 1 − cong phẳng hữu tỷ Ví dụ 2.2.9 Chứng minh rằng đường cong phẳng (l) : x2 y 2 + 2 a2 b 2 = x2 y c2 với abc = 0 là đường cong phẳng hữu tỷ Bài giải: Nếu x = 0 thì y = 0 Khi x = 0, đặt y = y= 2.3 a2 b2 t2 c2 (t2 + 1) 2 b a3 bt tx Khi đó x = và 2 a c2 (t2 + 1) Vậy (l) là một đường cong phẳng hữu tỷ Điểm hữu tỷ trên đường. .. tròn này 2.4 Cấu trúc nhóm trên đường cong bậc ba khơng có điểm kỳ dị Do mục đích sử dụng đường cong để nghiên cứu tốn sơ cấp nên ta giới hạn chỉ xét đường cong y = x3 + ax2 + bx + c trên trường thực R Sử dụng phép biến đổi x − a được thay bằng x nên ta chỉ cần xét đường (l) : y = x3 + ax + b 3 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Trên đường cong phẳng (l) bậc ba khơng có điểm kì... đi qua P của đường tròn (Ct ) là đường cong phẳng bậc ba x x2 + y 2 − a x2 − y 2 + b2 (x − a) = 0 Ví dụ 3.1.6 Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và điểm A ∈ d cố / định Đường tròn (Ct ) thay đổi đi qua A và cắt d tại hai điểm M và N sao cho π 2 (i) Tìm tập hợp các tâm đường tròn (Ct ) và chỉ ra các đường tròn (Ct ) ln tiếp ∠M AN = α khơng đổi sao cho 0 < α < Khi đó hãy xúc với một đường tròn cố... trên đường conic Cho đường conic (C) có phương trình ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 vấn đề đặt ra là có tồn tại điểm hữu tỷ trên đường conic khơng và nếu có thì tìm bằng cách nào? Giả sử tồn tại điểm hữu tỷ O trên đường cơnic này, ta sẽ thực hiện phép chiếu các điểm trên đường cơnic là một đường thẳng Ta đã biết tập hợp các điểm hữu tỷ trên đường thẳng (d) vì vậy ta lấy điểm hữu tỷ E bất kì trên đường. .. d = degf (x, y) Định nghĩa 2.2.2 Cho đường cong phẳng bất khả quy (l) Những điểm thuộc (l) với tọa độ thuộc Q được gọi là những điểm hữu tỷ của (l) Mệnh đề 2.2.3 Đường tròn (C) : x2 + y 2 = 1 là đường phẳng hữu tỷ được tham số hóa qua x(t) = 2t 1 − t2 2t , y(t) = với quy ước x (∞) = lim = 2 2 t→∞ 1 + t2 1+t 1+t 1 − t2 = −1 t→∞ 1 + t2 0; y (∞) = lim Chứng minh: Đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1) ∈ (C)... (At d2 ) Ta có At F1 = ed (At , d1 ) và At F2 = ed (At , d2 ) Từ đây nhận được hiệu |At F1 − At F2 | = a2 e.2 = 2a c và tỷ số Ví dụ 2.2.8 Trong mặt phẳng, đường cong phẳng Lemniscat với phương trình (L) : x2 + y 2 2 = b2 x 2 − y 2 , b = 0 là một đường cong phẳng hữu tỷ Bài giải: Đặt x2 + y 2 = t (x − y) và thay vào phương trình, ta có t2 (x − y)2 = 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/... y) = 0 hoặc tìm các điểm thuộc đường cong phẳng với tọa độ là những số hữu tỷ Khi biểu diễn đường cong phẳng V (f ) qua x = ϕ (t) , y = ψ (t) ∈ R (t) ta nói rằng đã tham số hóa được V (f ) Việc tham số hóa các đường cong phẳng qua các hàm hữu tỷ như sau: Chọn điểm P ∈ V và viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua P sao cho (d) cắt V tại đúng điểm thứ hai khác P Cho (l) : f (x, y) = 0 với... sử hai đường thẳng xx và yy vng góc với nhau tại O Lấy điểm P = O cố định thuộc xx’ và điểm A chạy trên yy’ Qua A kẻ đường thẳng vng góc với PA và đường này cắt xx’ tại B Dựng đường thẳng Bb vng góc với xx’ Đường thẳng Bb cắt PA ở M Khi đó hãy (i) Xác định quỹ tích điểm M (ii) Giải phương trình x3 + 29z(x2 + y 2 ) = 0 trong Z Bài giải: (i) Dựng hệ tọa độ Oxy Gọi P (a, 0), a = 0 Phương trình đường thẳng . điểm trong mặt phẳng ta có thể mơ tả qua đường cong phẳng. Với ba vấn đề đặt ra ở trên luận văn này tập trung nghiên cứu về đường cong phẳng và mở rộng một vài kết quả đã biết từ lâu. Luận văn được. . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG 21 2.1 Khái niệm đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tham số hóa đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . Tập trung trình bày về đường cong phẳng. Mục 2.1 trình bày khái niệm đường cong phẳng. Chúng tơi đã chứng minh được mệnh đề 2.1.2. về giao hữu hạn điểm của hai đường cong phẳng. Mục 2.2 trình bày