Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN HƯỞNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R n R n [1], [2] [3] a, b R n a b x R n x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R a, b x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0; 1] C ∈ R n C C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C x x 1 , x 2 , , x k x = k j=1 λ j x j , λ j > 0, ∀j = 1, , k, k j=1 λ j = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D D x, y ∈ D ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 −λ)y ∈ D C C ∀x ∈ N, ∀λ 1 , , λ k > 0, k j=1 λ j = 1, ∀x 1 , , x k ∈ C =⇒ k j=1 λ j x j ∈ C. k = 2 k −1 k x k x 1 , , x k ∈ C x = k j=1 λ j x j , λ j > 0 ∀j = 1, , k, k j=1 λ j = 1. ξ = k−1 j=1 λ j . 0 < ξ < 1 x = k−1 j=1 λ j x j + λ k x k = ξ k−1 j=1 λ j ξ x j + λ k x k . k−1 j=1 λ j ξ = 1 λ j ξ > 0 j = 1, , k −1 y := k−1 j=1 λ j ξ x j ∈ C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x = ξy + λ k x k . ξ > 0, λ k > 0 ξ + λ k = k j=1 λ j = 1, y x k C x ∈ C A, B R n C R m A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B} αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} A × C := {x ∈ R n+m |x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} D = ∅ D = M + a M R n a ∈ R n M D R n {x ∈ R n |a T x = α} a ∈ R n {x|a T x ≥ α} a = 0 α ∈ R {x|a T x > α} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S ⊂ R n S k + 1 S k := {x ∈ R k |x ≥ 0, k j=1 x j ≤ 1} R k D := {x ∈ R n |a j , x ≤ b j , j = 1, , m} A m a j , j = 1, , m b T = (b 1 , , b m ) D = {x ∈ R n |Ax ≤ b} a, x = b a, x ≤ b, −a, x ≤ b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D D D coD D D a D x ∈ D λ > 0 a + λ(x −a) ∈ D D riD D ∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D. D ⊆ R n x 0 ∈ D. N D (x 0 ) := {ω ∈ R n : ω, x − x 0 ≤ 0, ∀x ∈ D. D x 0 −N D (x 0 ) D x 0 N ε D (x 0 ) := {ω ∈ R n : ω, x − x 0 ≤ ε, ∀x ∈ D. ε D x 0 0 ∈ N D (x 0 ) N D (x 0 ) C D H := {x : v, x = λ} C D v, a ≤ λ ≤ v, b, ∀a ∈ C, b ∈ D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... (2.10) Vậy hi (x ), d < 0 i=1 x là nghiệm tối ưu của bài toán (P) 30 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3 Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một phương pháp cơ bản để giải bài toán quy hoạch lồi Đó là phương pháp điểm trong, tính đồng thuận và thuật toán gốc Đây là chương chính của luận văn Các kiến thức... [3] và [5] Bài toán và các tính chất cơ bản 2.1.1 Các khái niệm Cho D Rn và f : Rn R Xét bài toán quy hoạch toán học min{f (x) : x D} Bài toán này được hiểu là hãy tìm một điểm với mọi x D Mỗi điểm được của bài toán (P) Tập x D D (P ) x D sao cho được gọi là một phương án chấp nhận được gọi là miền (tập) chấp nhận được, được gọi là hàm mục tiêu của bài toán (P) Bài toán quy hoạch lồi, nếu thường,... dụng trong các lĩnh vực khác nhau Ví dụ, trong kinh tế nó là bài toán xác định phương án sản xuất sao cho chi phí thấp nhất Trong ví dụ này, x là phương án sản xuất mà mỗi tọa độ xj 22 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn của nó là số lượng sản phẩm loại x phương án j cần sản xuất, còn f (x) là chi phí ứng với Bài toán (P) trong mô hình này có nghĩa là tìm một phương. .. phương án sản xuất trong tập các phương án chấp nhận được D sao cho chi phí sản xuất ứng với phương án này là thấp nhất x D được gọi là lời giải tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho Định nghĩa 2.1 Điểm f (x ) f (x), x U D và x gọi là lời giải tối ưu toàn cục của (P) nếu f (x ) f (x), x D (P ) Định lý 2.0 Cho là một quy hoạch lồi Khi đó mọi nghiệm tối ưu địa phương đều là tối... được dT f (x ) + o(||d||) 0, > 0 đủ nhỏ Suy ra (2.7) x D Một điểm của f trên Ví dụ 2.1 mà thỏa mãn điều kiện (2.7) được gọi là điểm dừng D Một điểm dừng chưa chắc là điểm cực tiểu địa phương Xét bài toán min f (x) = x3 trên C = [1; 2] x = 0 là điểm dừng của f (x) nhưng điểm cực tiểu của f (x) trên C đạt tại x = 1 Rõ ràng Xét bài toán (P): min f (x) với điều kiện x D := {x X, gj (x) 0, hi (x)... chặn ii) Nếu có thêm f là một hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó: C ri(domf ), tập xC f (x) bị chặn đóng thì có đẳng thức Fenchel sau: f (x ) + f (x) = x , x x f (x), x f (x ) 21 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Bài toán quy hoạch lồi Chương này trình bày một số kiến thức quan trọng, đó là khái niệm bài toán quy hoạch lồi, sự tồn tại nghiệm tối ưu,... trong, tính đồng thuận và thuật toán gốc Đây là chương chính của luận văn Các kiến thức của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu 3.1 [4] và [5] Phương pháp hàm phạt điểm trong Phương pháp hàm phạt điểm trong được sử dụng khi tồn tại một điểm x0 D0 , trong đó D0 := {x : gj (x) < 0, j = 1, , m} Hàm phạt p : D0 R được xây dựng thỏa mãn các điều kiện sau: p liên tục trên D0 ; k 0 0 k b) Với dãy bất... và lồi chặt trên intD; (ii) (x) + khi x D (biên của D ) (i) Do D bị chặn, từ các tính chất trên suy ra điểm duy nhất trong D luôn đạt được tại một Điểm cực tiểu duy nhất đó được gọi là tâm Giải tích của các hàm ràng buộc Sử dụng tham số min (x) gj (j = 1, , m) t > 0 và xét bài toán tối ưu không ràng buộc sau min{Ft (x) := f (x) + t(x) : x intD} Rõ ràng, nếu hàm f lồi và liên tục trên t > 0 bài toán. .. các hàm gj lồi thì p lồi chặt Với mỗi t > 0 cố định, ta định nghĩa bài toán phạt: Rõ ràng min{Ft (x) := f (x) + tp(x) : x D0 } 31 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (Bt ) Giả sử bài toán (P) có nghiệm Cho dãy số dương tk đơn điệu k giảm đến 0 và x là nghiệm của bài toán (Btk ) Khi đó: k k+1 i) p(x ) p(x ), Định lý 3.1 ii) f (xk ) hội tụ giảm đến f và mọi điểm tụ của... Rn ì R|f (x) à} Ta có quy ước sau: Nếu Định nghĩa 1.14 lồi trên C nếu Cho epif = 0, thì f (x) = 0 với mọi x = C Rn lồi và là một tập lồi trong Ta sẽ chủ yếu làm việc với hàm f : C R Ta nói f là hàm Rn+1 f : Rn R {+} Trong trường hợp này, dễ thấy rằng định nghĩa trên tương đương với f (x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y), x, y C, (0; 1) Hàm f : Rn R {+} được gọi là lồi chặt trên C nếu f (x . NGUYỄN VĂN HƯỞNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên,