Đang tải... (xem toàn văn)
Một số vấn đề cơ sở trong giải tích p adic
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO NGỌC DIỆP MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 3 1 Trường các số p−adic 5 1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian siêu metric . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric . . . . . . . . 9 1.2 Trường các số p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Số p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa 21 2.1 Chuỗi lũy thừa p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Định lý biểu diễn Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Đa giác Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Ta biết trường các số hữu tỷ Q đóng kín với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, tức là Q đóng kín đối với các phép toán số học. Tuy nhiên, trường Q không đầy đủ vì có những dãy Cauchy không hội tụ trong Q. Điều này làm cho việc thực hiện các phép toán về giới hạn trên Q sẽ gặp nhiều khó khăn. Do đó chúng ta cần phải mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Khi mở rộng Q theo metric tự nhiên ta sẽ được tập số thực R. Khi đó R là một trường số đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy của R đều hội tụ trong R. Ta gọi việc mở rộng này là mở rộng theo phép toán giải tích. Tuy nhiên, R không đóng đại số vì đa thức bất khả quy x 2 + 1 không có nghiệm trong R. Trong thực tế, ta tiếp tục mở rộng R thành trường số C sao cho đa thức x 2 + 1 luôn có nghiệm. Việc mở rộng đơn giản nhất từ R thành C nhờ vào việc đưa thêm một đại lượng số ảo i : i 2 = −1. Ta biết C đóng với mọi phép toán số học, đầy đủ và đóng đại số. Một vấn đề tự nhiên được đặt ra là việc mở rộng này có là duy nhất hay không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét lại quá trình mở rộng trên. Việc mở rộng Q theo phép toán giải tích được tiến hành như sau: Đầu tiên, chúng ta trang bị cho Q một chuẩn, chính là chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, khi đó metric ρ(x, y) = |x − y| sinh ra trên Q một tôpô và Q không đầy đủ với tôpô này. Bổ sung đủ của Q theo tôpô cảm sinh bởi chuẩn chúng ta sẽ được R. Tuy nhiên, ta biết rằng có nhiều cách trang bị chuẩn cho Q và sinh ra các cấu trúc tôpô khác nhau. Trong Luận văn này chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về bổ sung đủ của Q khác với R và một số tính chất về giải tích trên bổ sung đủ đó. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Cấu trúc luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian siêu metric và trường số phức p−adic C p . Chương 2: Trình bày một số nghiên cứu về hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa p−adic như chuỗi lũy thừa p−adic, Định lý biểu diễn Weierstrass, Đa giác Newton. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm của thầy Hà Trần Phương. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin trường ĐHKH Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt cho tôi kiến thức trong quá trình học tập và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành tới tất cả những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và hoàn thiện luận văn. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2012 Học viên Cao Ngọc Diệp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Trường các số p−adic 1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ 1.1.1 Không gian siêu metric Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số ρ :X × X → R (x, y) → ρ(x, y), thoả mãn các điều kiện sau 1) ρ(x, y) 0 ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X; 3) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X. Khi đó, ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X. Và cặp (X, ρ) gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X. Điều kiện 1 gọi là tiên đề đồng nhất, Điều kiện 2 gọi là tiên đề đối xứng, Điều kiện 3 gọi là tiên đề tam giác. Nếu ρ thỏa mãn Điều kiện 1, Điều kiện 2 và Điều kiện 3 sau đây 3 ) ρ(x, y) max{ρ(x, z), ρ(z, y)} với mọi x, y, z ∈ X thì metric ρ được gọi là siêu metric và X được gọi là không gian siêu metric. Ví dụ. Chọn X = Q (hoặc X = R); ta xác định metric trên X như sau: ρ(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 6 Dễ chứng minh được (X, ρ) là không gian metric. Cho (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric, {x n } là một dãy các phần tử của X, ta nói {x n } hội tụ đến x o ∈ X nếu lim n→∞ ρ(x n , x o ) = 0. Khi đó ta viết lim n→∞ x n = x o , hoặc x n → x o khi n −→ ∞. x o gọi là giới hạn của dãy {x n }. Ta đã biết, sự hội tụ trong không gian metric là duy nhất. Định lý sau đây cho thấy tính chất tương tự của không gian siêu metric. Định lý 1.1. Cho (X, ρ) là một không gian siêu metric. Khi đó 1) Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 2) Nếu lim n→∞ x n = a; lim n→∞ y n = b thì lim n→∞ ρ(x n , y n ) = ρ(a, b). Tức là hàm khoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y. Chứng minh. 1) Giả sử lim n→∞ x n = a, lim n→∞ x n = b trong X. Khi đó ρ(a, b) max{ρ(a, x n ), ρ(x n , b)} với mọi n. Từ giả thiết ta suy ra ρ(a, b) = 0, kéo theo a = b. 2) Với mọi n ta đều có ρ(a, b) max{ρ(a, x n ), ρ(x n , y n ), ρ(x n , b)} ρ(a, x n ) + ρ(x n , y n ) + ρ(y n , b). Suy ra ρ(a, b) − ρ(x n , y n ) ρ(a, x n ) + ρ(b, y n ). Tương tự, ta cũng có ρ(x n , y n ) − ρ(a, b) ρ(a, x n ) + ρ(b, y n ). Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được |ρ(a, b) − ρ(x n , y n )| ρ(a, x n ) + ρ(b, y n ). Theo giả thiết lim n→∞ ρ(x n , a) = 0; lim n→∞ ρ(y n , b) = 0, ta có lim n→∞ ρ(x n , y n ) = ρ(a, b). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 7 Định lý được chứng minh. Cho (X, ρ) là không gian siêu metric, x o ∈ X và r > 0. Tập B(x o , r) = {x ∈ X : ρ(x o , x) < r} gọi là hình cầu mở tâm x o bán kính r. Tập B(x o , r) = {x ∈ X : ρ(x o , x) r} gọi là hình cầu đóng tâm x o bán kính r. Cho A ⊂ X, điểm x o ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x o , r) ⊂ A. Hiển nhiên, theo định nghĩa, điểm trong của A phải thuộc tập hợp A. Điểm x o ∈ X được gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi r > 0, B(x o , r) ∩ A = ∅ và B(x o , r) ∩ X\A = ∅. Tập hợp tất cả các điểm biên của A kí hiệu là δA. Chú ý rằng, điểm biên của A có thể thuộc A hoặc không thuộc A. Ngoài ra, ta cũng có δA = δ(X\A). Điểm x o ∈ X được gọi là điểm tụ của tập A nếu với mọi r > 0, hình cầu B(x o , r) luôn chứa vô số điểm của A. Điểm tụ của A có thể thuộc A hoặc không thuộc A. Tập các điểm tụ của A kí hiệu là A d . Có thể thấy x ∈ A d khi và chỉ khi với mọi r > 0, hình cầu B(x o , r) chứa ít nhất một điểm của A. Tập hợp A\A d được gọi tập các điểm cô lập của A. Như vậy, x ∈ A là một điểm cô lập của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ∩ (A\{x}) = ∅. Cho (X, ρ), tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu mỗi điểm của A đều là điểm trong của A. Tập A trong không gian metric X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C X A = X\A là tập mở. Dễ thấy X và tập rỗng là những tập mở. Hình cầu mở B(x o , r) là một tập mở, vì với mọi x ∈ B(x o , r) luôn tồn tại r 1 = r − ρ(x o , x) > 0 sao cho B(x, r 1 ) ⊂ B(x o , r), tức là mọi điểm của B(x o , r) đều là điểm trong. Hiển nhiên X, ∅ là những tập đóng, dễ chứng minh được hình cầu đóng là tập đóng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 8 Định lý 1.2. Trong không gian siêu metric X ta luôn có 1) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở. 2) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Chứng minh. 1) Giả sử {U s } s∈S là một họ tuỳ ý các tập mở trong X. Đặt U = ∪ s∈S U s , giả sử x o ∈ U tuỳ ý, khi đó x o phải thuộc một tập U s nào đó trong họ. Do U s mở nên tồn tại một hình cầu B(x o , r) ⊂ U s ⊂ U, suy ra x o là điểm trong của U, tức là U là tập mở. 2) Giả sử U 1 , . . . , U n là những tập mở. Đặt V = ∩ n i=1 U i . Giả sử x o ∈ V tuỳ ý, khi đó x o ∈ U i ∀i = 1, . . . , n. Do U i , i = 1, . . . , n, là những tập mở nên tồn tại các số r i > 0 sao cho B(x o , r i ) ⊂ U i với mỗi i = 1, . . . , n. Chọn r = min{r 1 , . . . , r n }, khi đó B(x o , r) ⊂ U i , ∀i = 1, . . . , n, nên B(x o , r) ⊂ ∩ n i=1 U i . Kéo theo V mở. Định lý 1.3. Trong không gian siêu metric X ta luôn có 1) Giao của họ tuỳ ý các tập đóng là đóng; 2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. Bây giờ chúng ta đề cập đến hai tính chất hình học đặc trưng trong không gian siêu metric. Các tính chất này tương đối khác lạ với tính chất hình học của không gian metric thông thường. Dựa vào tính chất của siêu metric ta có: Mệnh đề 1.4. Trong không gian siêu metric X ta luôn có: 1) Mọi tam giác đều cân. 2) Mọi điểm trong hình cầu đóng hay mở trong không gian siêu metric đều là tâm của mặt cầu. Chứng minh. 1) Giả sử x, y, z là ba điểm thuộc không gian X, không mất tính tổng quát ta giả thiết ρ(x, y) > ρ(x, z). Khi đó ρ(x, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(z, y)} = ρ(z, y) và ρ(z, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(x, y)} = ρ(x, y). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 9 Do đó ρ(z, y) = ρ(x, y). 2) Với mỗi điểm b nằm trong hình cầu B(a, r) và z ∈ X sao cho ρ(a, z) = r. Hiển nhiên ρ(a, b) < r = ρ(a, z) nên từ nhận xét trên suy ra ρ(b, z) = ρ(a, z) = r. Điều này kéo theo b cũng là tâm của hình cầu. Mệnh đề 1.5. Cho X là một không gian siêu metric, B(a, r 1 ), B(b, r 2 ) là hai hình cầu trong X. Khi đó một trong hai điều sau đây xảy ra: 1) B(a, r 1 ) ⊂ B(b, r 2 ) hoặc B(b, r 2 ) ⊂ B(a, r 1 ); 2) B(a, r 1 ) ∩ B(b, r 2 ) = ∅. Chứng minh. Giả sử B(a, r 1 ) ∩ B(b, r 2 ) = ∅, khi đó tồn tại c ∈ B(a, r 1 ) ∩ B(b, r 2 ). Theo Mệnh đề 1.4 ta thấy c chính là tâm hình cầu B(a, r 1 ) và B(b, r 2 ). Nói cách khác B(a, r 1 ) = B(c, r 1 ) và B(b, r 2 ) = B(c, r 2 ). Điều này kéo theo: nếu r 1 r 2 thì B(a, r 1 ) ⊂ B(b, r 2 ) và nếu r 2 r 1 thì B(b, r 2 ) ⊂ B(a, r 1 ). 1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric Giả sử (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric. Dãy {x n } các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu lim m,n→∞ ρ(x m , x n ) = 0. Nghĩa là, với mọi ε > 0, tồn tại một số n o ∈ N ∗ , ∀m, n n o ta luôn có ρ(x m , x n ) < ε. Nhận xét. Hiển nhiên, một dãy hội tụ trong không gian metric hoặc siêu metric đều là dãy Cauchy. Thật vậy, giả sử lim n→∞ x n = x o . Khi đó với mọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 10 ∀ε > 0, tồn tại một số n o ∈ N ∗ , ∀n n o ta luôn có ρ(x n , x o ) < ε/2. Suy ra, khi m, n > n o , ρ(x n , x m ) ρ(x n , x o ) + ρ(x o , x m ) < ε. Như vậy {x n } là một dãy Cauchy. Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ, Q với metric ρ(x, y) = |x − y|; x, y ∈ Q là một không gian metric. Dễ thấy dãy {x n = 1 + 1 n n } ∞ n=1 là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q. Không gian metric hoặc siêu metric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ. Dễ thấy Q không phải là không gian metric đầy đủ, nhưng R, C với metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ. Định lý 1.6. Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu metric không đầy đủ. Khi đó tồn tại một không gian siêu metric đầy đủ ( X, ρ) sao cho 1) X đẳng cự với một không gian con X 1 của X, 2) X 1 trù mật trong X. Chứng minh. Gọi S là tập hợp tất cả các dãy Cauchy trong không gian siêu metric X, trên S ta trang bị một quan hệ như sau: hai phần tử {x n }, {y n } của S được gọi là tương đương với nhau và viết là {x n } ∼ {y n }, nếu lim n→∞ ρ(x n , y n ) = 0. Ta có thể kiểm tra được một cách dễ dàng quan hệ trên là quan hệ tương đương. Gọi X là tập hợp tất cả các lớp tương đương, tức là X = S/ ∼. Ta kí hiệu các phần tử của X là x, y, . . . Bây giờ ta sẽ xây dựng ρ trên X. Giả sử x, y ∈ X và {x n }, {y n } theo thứ tự là hai phần tử của các lớp tương đương x, y. Với hai số n, m ∈ N ta luôn có ρ(x n , y n ) max{ρ(x n , x m ), ρ(x m , y m ), ρ(y m , y n )} ρ(x m , y m ) + max{ρ(x n , x m ), ρ(y m , y n )}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... = pvp (y) y với x , y có tử và mẫu không chia hết cho p Ta thấy x.y = pvp (x)+vp (y) x y và hiển nhiên x y cũng có tử và mẫu không chia hết cho p Suy ra |x.y |p = p (vp (x)+vp (y)) = p vp (x) p vp (y) = |x |p |y |p Ngoài ra, với mọi x, y ∈ Q giả sử x = pvp (x) x ; y = pvp (y) y với x , y có tử và mẫu không chia hết cho p Đặt vo = min(vp (x), vp (y)) Khi đó: x + y = pvp (x) x + pvp (y) y = pvo (pvp (x)−vo... Qp (x; r) = Qp x; r p x ∈ Qp ; r ∈ R+ Như vậy vành OQp = Qp [0; 1] = Qp (0; p) là t p vừa đóng, vừa mở, nó được gọi là vành các số nguyên p adic và kí hiệu là Zp Với mỗi n ∈ Z+ , vành Zp được phủ bởi các t p Qp [k; p n ] = k + pn Zp , k = 0, 1, , pn − 1 Điều này kéo theo Zp là compact, như thế Qp compact địa phương Bao đóng đại số của Qp kí hiệu là Qp , giá trị tuyệt đối trên Qp được mở rộng từ... điều kiện trên tồn tại một cách duy nhất, sai khác một ph p đẳng cự, được gọi là trường các số phức p adic Nó cũng có tính chất: (4) Với mỗi x ∈ Cp∗ , tồn tại một số hữu tỷ vp (x) sao cho |x |p = p vp (x) , tức là hàm giá trị liên kết vp trên Qp được mở rộng lên Cp và ảnh của Cp∗ dưới ánh xạ vp chính là Q∗ (5) Cp đầy đủ, đóng đại số có đặc số không, nhưng không compact địa phương Số hóa bởi Trung tâm... |. |p trên Qp và cũng kí hiệu là |. |p Chú ý rằng Qp không đầy đủ Trường bổ sung đủ của Qp theo t p cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối |. |p , kí hiệu là Cp Như vậy: (1) Tồn tại một ph p nhúng Qp → Cp và giá trị tuyệt đối |. |p trên Cp nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối |. |p trên Qp Ta đồng nhất Qp với ảnh của nó trong Cp (dưới ánh xạ nhúng); (2) Qp trù mật trong Cp ; (3) Cp là đầy đủ Trường Cp... p ∈ {p1 , p2 , , pk } và vp (m) = αi / nếu p = pi , tương tự vp (n) = 0 nếu p ∈ {q1 , q2 , , qs } và vp (n) = βj nếu / p = pj Khi đó: Chứng minh Giả sử x > 0 và x = |x |p = p . DI P MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH P ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PH P TOÁN SƠ C P Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN, 2012 Số. cho p. Đặt v o = min(v p (x), v p (y)). Khi đó: x + y = p v p (x) .x + p v p (y) .y = p v o (p v p (x)−v o .x + p v p (y)−v o .y ). Từ đó |x + y| p p −v o = max {p −v p (x) , p −v p (y) }. vành O Q p = Q p [0; 1] = Q p (0; p) là t p vừa đóng, vừa mở, nó được gọi là vành các số nguyên p adic và kí hiệu là Z p . Với mỗi n ∈ Z + , vành Z p được phủ bởi các t p Q p [k; p −n ] = k + p n Z p ,