Đang tải... (xem toàn văn)
Hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X X . X x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0. αx =| α | ·x, ∀α ∈ R, ∀x ∈ X. ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y. R k x = (x 1 , , x k ) y = (y 1 , , y k ) xy = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x k y k . (x, y) = (y, x) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (αx, y) = α(x, y) (x, x) ≥ 0 (x, x) = 0 ⇔ x = 0 (x, x) = x 2 (x, y) (x + y, x + y) + (x − y, x − y) = 2(x, x) + 2(y, y). x + y 2 + x − y 2 = 2(x 2 + y 2 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x (x, x) X X α 0 ≤ (x − αy, x − αy) = (x, x) − 2α(x, y) + α 2 (y, y), | (x, y) |≤ x . y . (x + y)(x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤ x 2 +2 x . y + y 2 = ( x + y ) 2 . x + y ≤ x + y . x > 0 x = 0. x = 0 x = 0, αx =| α | · x . x X R n p x = (x 1 , , x n ) x = n i=1 | x i | p 1 p , 1 ≤ p ≤ +∞. p = 2 E n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn l p x = (x 1 , , x n ) x = n i=1 | x i | p 1 p < +∞, p = 2 x, y x ⊥ y (x, y) = 0 x ⊥ y y ⊥ x x ⊥ x ⇔ x = 0 0 x x ⊥ y 1 , y 2 , , y n x ⊥ α 1 y 1 + α 2 y 2 + + α n y n . x ⊥ y n , y n −→ y(n −→ ∞) x ⊥ y M X M ⊥ 0 x ⊥ M ⇒ x = 0 x ⊥ y x + y 2 = x 2 + y 2 M X x X x = y + z y ∈ M, z ∈ M ⊥ y M x x − y ≤ x − u, ∀u ∈ M {e n } X (e i , e j ) = δ ij δ ij = 1 i = j δ ij = 0 i = j e i = 1, ∀i {e n } x ∈ X ζ i = (x, e i ) x e i ∞ i=1 ζ i e i x {e n } ∞ i=1 ζ 2 ≤ x 2 ∞ i=1 ζ i e i (x − ∞ i=1 ζ i e i ) ⊥ e n {e n } 0 x ⊥ e n (n = 1, 2, ) ⇒ x = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn {e n } ζ n = (x, e n ) x e n {e n } x = ∞ i=1 ζ i e i , ∀x ∈ X x 2 = ∞ i=1 ζ 2 i , ∀x ∈ X (x, y) = ∞ i=1 ζ i η i , ∀x, y ∈ X η i y e i {e n } X e n {e n } X {e n } X {ξ} n i=1 ξ 2 i < ∞ x ∈ X {ξ i } x = n i=1 ξ i e i , x 2 = ∞ i=1 ξ 2 i . a X f(x) = (a, x), f(x) X f = a. f(x) X f(x) = (a, x) a X f = a. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A X f(x, y) = (Ax, y) f(x, y) f = A f(x, y) X f(x, y) = (Ax, y) A X f = A. A X (Ax, y) A ∗ (Ax, y) = (x, A ∗ y). A ∗ A A ∗ (Ax, y) a A ∗ = A. (A ∗ ) ∗ = A. (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ , (αA) ∗ = αA ∗ . (AB) ∗ = B ∗ A ∗ . A x, y (Ax, y) = (x, Ay). A = A ∗ A λ A A = λx x x A λ A λ X A λ A A A A A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 bi toán cân bằng Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nó là sự mở rộng của nhiều bài toán khác như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash Sau đây là nội dung của bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan 2.1 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm Định nghĩa 2.1.1[8]... trường hợp riêng của bài toán cân bằng (EP ) nêu ở trên Ta đều có: F (x, x) = 0, x K 31 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3 Phư ơng pháp hiệu chỉnh điểm gần kề Ta nhắc lại bài toán cân bằng: Tìm xK sao cho: F (, y) 0, y K x (EP ) Việc giải chính xác nghiệm của một bài toán cân bằng nói chung không đơn giản vì với giả thiết toán cân bằng F đơn điệu trên... xỉ nghiệm của bài toán cân bằng ta thêm vào song hàm F một song hàm đơn điệu được một bài toán cân bằng đơn điệu mạnh, với mục đích là tính ổn định và duy nhất nghiệm Tuy nhiên, đối với mỗi họ bài toán phụ (AEP ) đưa ra, để có được xấp xỉ đủ tốt ta cần hiệu chỉnh các tham số cần thiết Nội k dung chính của phương pháp hiệu chỉnh này là xây dựng dãy {x } xấp xỉ k nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) trong... \ M với F (x, y) < 0 thì bài toán cân bằng (EP ) có nghiệm với Định lý 2.1.1[6] mỗi (Định lý tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng) F : K ì K R {+} là hàm cân bằng Khi đó : i) Nếu F đơn điệu chặt thì bài toán cân bằng (EP ) có nhiều nhất một Xét hàm nghiệm F (., y) là bán liên tục trên với y K , F (x, ) là lồi chặt, nửa dưới với x K và F là đơn điệu mạnh thì bài toán cân bằng ii) Nếu liên tục (EP... của bài toán bù phi tuyến 2.2.5 Bài toán điểm bất động Kakutani T :K R với K T (x) là tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng, với x K Khi đó bài toán điểm bất động Kakutani được phát biểu như Cho sau: Tìm x K sao cho x T (x ) Nếu ta đặt: F (x, y) = maxT (x) x , y x , x, y K thì bài toán cân bằng (EP ) tương đương bài toán điểm bất động Kakutani Thật vậy, giả sử x K là nghiệm của bài toán điểm. .. (x), y x , x, y K khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bài toán (EP ) Thật vậy, vì x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát nên: T (x ), y x 0, y K Theo cách đặt trên ta có: F (x , y) = T (x ), y x 0, y K x là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) Ngược lại, cho x là nghiệm của bài toán cân bằng Vậy (EP ) nên: F (x , y) 0, y K Theo cách đặt ta có: F (x ,... là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thành bài Vậy toán điểm bất động Browder sau: Tìm x K sao cho x = T (x ) 30 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu ta đặt F (x, y) = x T (x), y x , x, y K thì với cách lập luận như trên, ta chỉ ra được bài toán điểm bất động Browder tương đương bài toán cân bằng (EP ) 2.2.6 Bài toán điểm yên ngựa K1 , K2... K là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) Ngược lại, cho x K là nghiệm của bài toán cân bằng Vậy (EP ) nên ta có: F (x , y) 0, y K Theo cách đặt ta có: F (x , y) = J(y) J(x ) 0, y K J(y) J(x ), y K Vậy x K là nghiệm của bài toán tối ưu 2.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân T : K R là ánh xạ đơn trị, nửa liên tục trên thỏa mãn T (x) là lồi, đóng, bị chặn x K Khi đó, bài toán bất đẳng thức... của bài toán phụ đơn giản hơn Trước hết ta xét bài toán cân bằng phụ (AEP ) sau: 3.1 Phương pháp bài toán phụ Định nghĩa 3.1.1[8] Cho H : K ì K R và > 0, ta xét bài toán cân bằng phụ sau: Tìm x K sao cho: F (x , y) + H(x , y) 0, y K (AEP ) F : K ì K R với F (x, x) = 0, x K và cho x K Giả sử F (x , ) : K ì K R là hàm lồi khả vi Cho H : K ì K X là hàm lồi, khả vi, không âm trên tập lồi K theo. .. bằng F đơn điệu trên K thường dẫn tới nghiệm của bài (EP ) không là duy nhất và tính chất các nghiệm không ổn định theo nghĩa sai số nhỏ dẫn tới sai lệch lớn về nghiệm Một phương pháp tương đối tự nhiên được đưa ra là phương pháp bài toán phụ Với ý tưởng là thay vì phải giải bài toán cân bằng ban đầu tương đối khó, ta xây dựng và giải một dãy các bài toán đơn giản hơn sao cho (EP ) Cụ thể là mạnh H(x