Đang tải... (xem toàn văn)
Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. Phép biến đổi Laplace 5 1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường . . . 5 1.1.1. Định nghĩa hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . 6 1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace . . . . . 8 1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc . . . . . . 12 1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . 14 1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng 20 1.3. Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . 20 1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2. Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . 22 1.4.3. Công thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4. Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm suy rộng 25 1.4.5. Điều kiện của hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.1.1. Đặt bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2. Trường hợp hệ số của phương trình không phụ thuộc vào t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Áp dụng biến đổi Laplace giải bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 0 . 34 2.2.2. Trường hợp g = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1. Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (Ω = R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2. Bài toán phân bố nhiệt độ bên trong một thanh kim loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS - TS Hà Tiến Ngoạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang - Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Học viên Nguyễn Hữu Việt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Luận văn trình bày tổng quan cơ sở phép biến đổi Laplace đối với các hàm số một biến t xác định trên nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu hạn và phụ thuộc vào tham số vectơ x. Trên cơ sở đó, dùng phép biến đổi Laplace như một công cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên-ban đầu hỗn hợp của phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, khi hệ số của phương trình không phụ thuộc vào biến thời gian t. Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [5]. Bố cục của luận văn gồm 2 chương: • Chương 1 của Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường, nhắc lại các khái niệm về hàm suy rộng, hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach và phép biến đổi Laplace đối với hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach. • Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm của bài toán và một số ví dụ áp dụng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Phép biến đổi Laplace 1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường 1.1.1. Định nghĩa hàm gốc Định nghĩa 1.1. Hàm một biến thực f(t) được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn ba điều kiện sau : 1) f(t) = 0 với mọi t < 0. Điều này được đặt ra vì trong thực tế t thường là biến thời gian. 2) f(t) liên tục từng khúc trong miền t ≥ 0. Điều này có nghĩa là nếu lấy một khoảng (a,b) bất kì trên nửa trục thực t ≥ 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn các khoảng nhỏ, sao cho trong mỗi khoảng nhỏ f(t) liên tục và tại mút của mỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn một phía. 3) f(t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞. Nghĩa là tồn tại M > 0, σ 0 > 0 sao cho |f(t)| ≤ Me σ 0 t , ∀t > 0, (1.1) trong đó σ 0 được gọi là chỉ số tăng của f(t). Rõ ràng σ 0 là chỉ số tăng thì mọi số σ 1 > σ 0 cũng là chỉ số tăng. Ví dụ 1.1. Hàm bước nhảy đơn vị η (t) = 0 nếu t < 0 1 nếu t ≥ 0 là hàm gốc vì η(t) liên tục với mọi t ≥ 0 và không tăng nhanh hơn hàm mũ với chỉ số tăng σ 0 = 0. Ví dụ 1.2. Các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = t m , f(t) = sin t, f(t) = cos t đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng vẫn chưa phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Tuy nhiên hàm số sau : f(t)η(t) = 0 nếu t < 0 f(t) nếu t ≥ 0 là một hàm gốc. 1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace (hay còn gọi là toán tử Laplace) được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2. Giả sử f(t) là hàm gốc xác định với mọi t > 0. Biến đổi Laplace của hàm số f(t) được định nghĩa và ký hiệu là F (p) = L{f(t)}(p) = +∞ 0 e −pt f (t) dt. (1.2) Định lý 1.1. Nếu f(t) là hàm gốc với chỉ số tăng σ 0 thì tồn tại biến đổi Laplace F (p) = L{f(t)}(p) = +∞ 0 e −pt f (t) dt xác định với mọi số phức p = σ + iτ sao cho σ > σ 0 và lim Re(p)→∞ F (p) = 0. Hơn nữa hàm biến phức F (p) là giải tích trong miền Re(p) > σ 0 với đạo hàm F (p) = +∞ 0 (−t)e −pt f (t) dt. (1.3) Chứng minh. Với mọi p = σ + iτ sao cho σ > σ 0 ta có f (t) e −pt Me (σ 0 −σ)t , mà +∞ 0 e (σ 0 −σ)t dt hội tụ, do đó tích phân +∞ 0 f (t) e −pt dt hội tụ tuyệt đối. Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace F(p) và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 |F (p)| +∞ 0 |f (t) e −pt |dt = +∞ 0 f (t) e −σt e −iτt dt = +∞ 0 |f (t) e −σt |dt +∞ 0 Me (σ 0 −σ)t dt = Me (σ 0 −σ)t σ 0 − σ +∞ 0 = M σ 0 − σ . Ngoài ra lim σ→∞ M σ − σ 0 = 0 suy ra lim Re(p)→∞ F (p) = 0. Tích phân +∞ 0 f(t)e −pt dt hội tụ và tích phân +∞ 0 ∂ ∂p f(t)e −pt dt = +∞ 0 f(t)e −pt (−t)dt hội tụ đều trong miền {p|Re(p) σ 1 } với mọi σ 1 > σ (theo Định lý Weierstrass). Suy ra hàm ảnh F (p) có đạo hàm F (p) = +∞ 0 ∂ ∂p f(t)e −pt dt tại mọi điểm p thuộc các miền trên. Vì vậy F (p) giải tích trong miền Re(p) > σ 0 . Nhận xét 1.1. Từ Ví dụ 1.2 suy ra các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = t m , f(t) = sin t, f(t) = cos t đều có biến đổi Laplace L{f(t)η(t)}. Do đó thay vì viết đầy đủ L{f(t)η(t)} ta có thể viết tắt L{f(t)}. Chẳng hạn ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)}. Ví dụ 1.3. Biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 là F (p) = L{1}(p) = +∞ 0 e −pt dt = e −pt −p +∞ 0 = 1 p Ví dụ 1.4. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là F (p) = L{t}(p) = +∞ 0 e −pt tdt = 1 p 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Ví dụ 1.5. Cho hàm f(t) = t n , biến đổi Laplace của f(t) là F (p) = L{t n }(p) = +∞ 0 e −pt t n dt = 1 p n+1 Ví dụ 1.6. Hàm f(t) = e αt , α ∈ R có biến đổi Laplace là F (p) = L{e αt }(p) = +∞ 0 e −pt e αt dt = 1 p − α Ví dụ 1.7. Hàm sin t có chỉ số tăng σ 0 = 0 do đó có biến đổi Laplace là F (p) = L{sin t}(p) = +∞ 0 e −pt sin tdt. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được F (p) = −cos te −pt +∞ 0 − +∞ 0 pe −pt cos tdt = 1 − pe −pt sin t| +∞ 0 − p 2 +∞ 0 e −pt sin tdt. ⇒ (1 + p 2 )F (p) = 1 ⇒ F (p) = 1 1 + p 2 1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất 1.1. Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính. Nếu f(t) và g(t) có biến đổi Laplace thì Af(t)+Bg(t) cũng có biến đổi Laplace (A, B là các hằng số) và L{Af(t) + Bg(t)}(p) = AL{f(t)}(p) + BL{g(t)}(p). (1.4) Chứng minh. Gọi F (p), G(p) lần lượt là ảnh của f(t) và g(t) qua phép biến đổi Laplace. Theo định nghĩa L{Af(t) + Bg(t)}(p) = +∞ 0 e −pt [Af(t) + Bg(t)]dt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Do tính chất tuyến tính của tích phân nên ta có +∞ 0 e −pt [Af(t) + Bg(t)]dt = A +∞ 0 e −pt dt + B +∞ 0 e −pt dt = AF (p) + BG(p). Thay vào trên ta có L{Af(t) + Bg(t)}(p) = AF (p) + BG(p). Ví dụ 1.8. L{6 + 7 sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) = 6 s + 7 1 + s 2 . Tính chất 1.2. Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng. Nếu F (p) = L{f(t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có L{f(λt)}(p) = 1 λ F ( p λ ). (1.5) Chứng minh. Theo định nghĩa ta có L{f(λt)}(p) = +∞ 0 e −pt f(λt)dt. Đổi biến λt = t 1 , dt = 1 λ dt 1 ta được L{f(λt)}(p) = +∞ 0 e −pt f(λt)dt = +∞ 0 e − p λ t 1 f(t 1 )dt 1 = 1 λ F ( p λ ). Ví dụ 1.9. L{sin ωt}(p) = 1 ω 1 (p/ω) 2 + 1 = ω p 2 + ω 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... (x)vxj (x)dx j=1 Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải bài toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic Trong phần này ta chỉ xét bài toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic trong trường hợp các hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 0 Giả sử bài toán (2.12)−(2.13)−(2.14) có nghiệm u(x, t) Để biểu... nhanh tại +∞ với σ > σ1 Ta đặt k+2 d T = f dt Rõ ràng T ∈ D+ (E) và T có biến đổi Laplace Theo cách đặt của f thì biến đổi Laplace của T chính bằng h(p) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Chương 2 Bài toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.1 2.1.1 Đặt bài toán Đặt bài toán tổng quát Ta xét một miền Ω (nghĩa là một tập mở liên thông) trong... điều kiện (2.3) chính là điều kiện biên trong như trong bài toán Dirichlet và điều kiện (2.2) tương tự với điều kiện ban đầu của bài toán Cauchy Do vậy bài toán (2.1)−(2.2)−(2.3) được gọi là bài toán biên- ban đầu hỗn hợp Ta có thể chỉ ra rằng điều kiện biên (2.3) không nhất thiết phải thuộc loại Dirichlet Nó có thể thuộc loại Neumann, thay vì áp đặt nhiệt độ trên biên Γ, ta có thể cố định các dòng... hơn trong tính toán nếu ta hạn chế biến thời gian t trong khoảng (0, T ), với T > 0 Do đó bài toán biên- ban đầu hỗn hợp đối với phương trình parabolic có dạng tổng quát như sau ∂u ∂ + A(x, t, )u = f (x, t) trong Ω × (0, T ), ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x), trong Ω, (2.6) (2.7) u(x, t) = g(x, t) trên Γ × (0, T ) (2.8) 2.1.2 Trường hợp hệ số của phương trình không phụ thuộc vào t ∂ Giả sử hệ số của toán tử vi phân... 17 1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trước thành một hàm ảnh Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại Tức là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc Tuy nhiên, không phải hàm nào cũng có thể là hàm ảnh được Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó a Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược... = (2.18) 0 Áp dụng biến đổi Laplace và hai vế của (2.12), từ các tính chất của biến đổi Laplace ta có pU − u(x, 0) + A x, ∂ U = F (x, p), ∂x (2.19) trong đó F (x, p) = L{f (x, ·)}(p) (2.20) 1 Do đó với mỗi p cố định, hàm U (·, p) ∈ H0 (Ω) là nghiệm của phương trình sau A x, ∂ ∂x + p U = F (x, p) + u(x, 0) (2.21) Để giải phương trình (2.21) ta cần xác định ánh xạ nghịch đảo của p+A Ta liên hợp A với... (t)}(τ ) chính là biến đổi Fourier của e−σt f (t), trong đó biến đổi Fourier của g(t) được định nghĩa theo công thức sau e−itτ g(t)dt F{g(t)}(τ ) = (1.30) R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Ta ký hiệu D+ là tập hợp các hàm suy rộng T trên trục thực thoả mãn T = 0 trong (−∞, 0) Chẳng hạn δa (t) ∈ D+ (E) Khi đó ta sẽ mở rộng phép biến đổi Laplace cho các hàm... lý trên c Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 biến đổi ngược Chẳng hạn hàm F (p) = p2 không thể là ảnh của hàm gốc nào vì lim F (p) = ∞ Re(p)→∞ Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược Định lý 1.7 Giả sử hàm phức... theo biến p Thật vậy, ta có L{δa (t)}(p), L{ϕ(t)}(p) = 2π δa (t), ϕ(−t) +∞ = 2π 1 2π e(σ+iτ )t L{ϕ(t)}(σ + iτ )dτ t=0 −∞ +∞ = L{ϕ(t)}(σ + iτ )dτ = 1p , L{ϕ(t)}(p) −∞ 1.4.3 Công thức nghịch đảo Ta có công thức nghịch đảo cho khai triển Laplace như sau T = F −1 {eσt L{T }(σ + iτ )} (1.36) Trong công thức trên, F −1 là biến đổi Fourier ngược, biến đổi các hàm suy rộng biến τ thành các hàm suy rộng biến. .. a)ϕ(t) − η(t − b)ϕ(t) Biến đổi Laplace của hàm xung đơn vị là e−ap − e−bp L{ηa,b (t)}(p) = L{η(t − a)}(p) − L{η(t − b)}(p) = p Ví dụ 1.13 Tìm biến đổi Laplace của hàm xung 0 nếu t < 0 f (t) = sin t nếu 0 < t < π 0 nếu t > π Ta có f (t) = η(t) sin t − η(t − π) sin t = η(t) sin t + η(t − π) sin(t − π) Vậy 1 e−πp 1 + e−πp L{f (t)}(p) = 2 = 2 p + 1 p2 + 1 p +1 Ví dụ 1.14 Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc . PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN BIÊN -BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng. đổi Laplace giải bài toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 0 . 34 2.2.2. Trường hợp g = 0 . gian Banach. • Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi