BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP Chun ngành: Hình học và tơpơ Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.LÊ ANH VŨ Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.Lê Anh Vũ. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Thầy đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi tiếp xúc với các nguồn tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hơn nữa, Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Đặc biệt là các Quý Thầy Cô tổ Hình học, Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 18 Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã cung cấp những kiến thức chuyên môn cần thiết cho tôi để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng khoa học công nghệ - Sau Đại học, phòng Kế hoạch - tài chính Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường THPT Phú Nhuận cùng toàn thể các đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học và nghiên cứu luận văn này. Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ, động viên của gia đình tôi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn. Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011 Tác giả Bùi Thị Vân Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 3 MỤC LỤC 4 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU 7 LỜI MỞ ĐẦU 9 1. Lý do chọn đề tài 9 2. Mục đích 11 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 11 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn 11 5. Cấu trúc luận văn 11 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 12 1.1.1 Định nghĩa 12 1.1.2 Định nghĩa 12 1.1.3 Bổ đề 12 1.1.4 Định nghĩa 13 1.1.5 Nhận xét 13 1.1.6 Dạng chính tắc của dạng song tuyến tính 13 1.1.6.1 Bổ đề 13 1.1.6.2 Bổ đề 13 1.2. ĐẠI SỐ LIE 14 1.2.1 Đại số 14 1.2.1.1 Định nghĩa 14 1.2.1.2 Ví dụ 14 1.2.2 Đại số Lie 15 1.2.2.1 Định nghĩa 15 1.2.2.2 Nhận xét 15 1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) 15 1.2.2.4 Ví dụ 16 1.3. ĐỒNG CẤU 17 1.3.1 Định nghĩa 17 1.3.2 Nhận xét và ví dụ 17 1.4. ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG 17 1.4.1 Định nghĩa 17 1.4.2 Định nghĩa 17 1.4.3 Định nghĩa 17 1.4.4 Tính chất 18 1.4.5 Mệnh đề 18 1.4.6 Nhận xét 18 1.5. ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 19 1.5.1 Bổ đề 19 1.5.2 Nhận xét 19 1.5.3 Định nghĩa 19 1.5.4 Ví dụ 19 1.5.5 Bổ đề 20 1.5.6 Bổ đề 20 1.5.7 Bổ đề 20 1.5.8 Hệ quả 21 1.6 ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH 21 1.6.1 Chúng ta xét dãy các ideal : 21 1.6.2 Định lý 21 1.6.3 Định nghĩa 22 1.6.4 Nhận xét 22 1.6.5 Tâm của đại số Lie 22 1.6.6 Bổ đề 22 1.7 ĐẠI SỐ LIE ĐƠN VÀ NỬA ĐƠN 23 1.7.1 Định nghĩa 23 1.7.2 Định nghĩa 23 1.7.3 Ví dụ 23 1.7.4 Định lý (Cartan – Levi – Malxev) 23 1.7.5 Bổ đề 23 1.7.6 Nhận xét 24 CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC 25 2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC. VÀI VÍ DỤ 25 2.1.1 Định nghĩa đại số Lie quadratic 25 2.1.2 Vài ví dụ 26 2.2. VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC 27 2.2.1 Vài khái niệm 27 2.2.2 Các tính chất 29 2.3. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐỊA PHƯƠNG 30 2.3.1 Vài khái niệm 31 2.3.2 Các tính chất 31 CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC CÓ CHIỀU QUADRATIC BẰNG 2 37 3.1. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC GIẢI ĐƯỢC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 2 37 3.1.1. Các tính chất 37 3.1.2 Các hệ quả 43 3.1.3 Các ví dụ 44 3.2. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐẦY ĐỦ VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 2 46 3.2.1 Mệnh đề (xem [5, trang 726]) 46 3.2.2 Định lý (xem [5, Theorem 5.1]) 46 3.2.3 Ví dụ 47 3.3. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC THỰC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 2 47 3.3.1 Tính chất về số chiều quadratic của đại số Lie thực quadratic 48 3.3.2 Tính chất bất khả qui của đại số Lie thực quadratic có chiều quadratic bằng 2 (xem [5, Proposition 6.2]) 48 3.3.3 Bổ đề (xem [5, Lemma 6.1]) 48 3.3.4 Tính chất (xem [5, Proposition 6.3]) 49 KẾT LUẬN 50 CHỈ MỤC 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải thích ký hiệu Mat(n,K) Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường K gl(n;K) Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên K sl(n,K) Không gian các ma trận có vết bằng không b(n,K) Không gian các ma trận tam giác trên n(n,K) Không gian các ma trận tam giác trên ngặt End(V) Không gian các toán tử tuyến tính [ ] .,. Móc Lie (hay hoán tử) Tr Vết Z (  ) Tâm của đại số Lie  /I Đại số Lie thương [,] Đại số dẫn xuất của  Rad (hay ) Căn giải được của  ad x Biểu diễn phụ hợp giữa các đại số Lie  Đại số Lie đơn K Trường giao hoán đóng đại số có đặc số là 0 (g,B) Đại số Lie quadratic của đại số Lie B trên g V ⊥ Trực giao của V Der(g) Đại số Lie các toán tử vi phân trên g Der a (g,B Đại số Lie con của Der(g) F(g) Không gian vectơ của các dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên g B (g) Không gian vectơ của các tích vô hướng bất biến trên g () q dg Chiều quadratic của đại số Lie g Cent s (g,B) Tập tất cả các phần tử B - đối xứng trong trọng tâm của g M(g) Tập tất cả các ideal cực tiểu trên g Soc(g) Tổng các ideal cực tiểu trong g g  Mở rộng phức của g k Dạng Killing K Dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên g  Kết thúc một chứng minh LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhóm Lie, đại số Lie, đặc biệt là Đại số Lie Quadratic (hay đại số Quadratic) đã ngày càng có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học và Vật lý. Nhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy là Sophus Lie (1842 – 1899), là một khái niệm tổng hòa từ hai khái niệm cơ bản là nhóm (trong Đại số học) và đa tạp vi phân (trong Hình học – Tôpô). Nhóm Lie là công cụ của gần như tất cả các ngành toán hiện đại và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là lý thuyết các hạt. Một trong những ý tưởng của lý thuyết nhóm Lie là thay thế cấu trúc nhóm toàn cục bởi phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa. Sophus Lie gọi đó là nhóm Lie vô cùng bé. Sau đó người ta gọi đó là Đại số Lie. Một đại số Lie là quadratic nếu nó được bổ sung một bất biến thể hiện dưới dạng một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến. Các đại số Lie quadratic thú vị không chỉ vì những quan điểm đại số mới lạ mà còn do chúng được áp dụng trong nhiều lĩnh vực toán học và vật lý. Hiểu về đại số quadratic giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc Poisson trực giao, nhóm Lie Poisson và phương trình Lax. Trên cơ sở đại số Lie với một bất biến được bổ sung, ta xây dựng được nhiều lớp các cấu trúc đại số quadratic cụ thể như: đại số quadratic Novikov, đại số quadratic giải được, đại số quadratic đối ngẫu,…. Đại số quadratic đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết trường bảo giác. Nappi và Witten đã chứng minh được rằng các phép dựng hình loại Sugawara tồn tại trong đại số quadratic và các phép dựng hình này được khái quát hóa cho việc mở rộng Abel của các đại số Euclide. Ngoài ra, Mohammedi cũng đã chứng minh rằng, điều kiện cho phép dựng hình Sugawara tương đương với điều kiện thiết yếu của đại số Lie quadratic. Thêm vào đó, M. Bordemann cũng đưa ra khái niệm mở rộng T* của đại số Lie. Dựa trên khái niệm này, ông chứng minh được rằng mọi đại số Lie quadratic giải được trên trường đóng đại số có đặc số bằng 0 là mở rộng T* hoặc là ideal không suy biến có số đối chiều là 1. Cũng dựa trên khái niệm này, M. Bordemann chứng minh được rằng mọi đại số Lie quadratic hữu hạn chiều trên trường đóng đại số có đặc số bằng 0 là một cặp Manin trong chiều của Drinfel’d. Mặt khác, nhờ khái niệm mở rộng kép được giới thiệu bởi Medina và Revoy, ta có thể chứng minh được một điều quan trọng là mọi đại số Lie quadratic trong không gian hữu hạn chiều có thể được tạo nên bởi đại số Lie 1 chiều hoặc đại số Lie đơn bởi một dãy các phép dựng trong đó mỗi phép dựng là tổng trực tiếp trực giao hoặc là mở rộng kép. Ngoài ra, dựa vào khái niệm mở rộng kép ta còn chứng minh được đại số Lie quadratic giải được n chiều có thể nhận được từ đại số Lie quadratic (n-2) chiều bởi đại số 1 chiều tích nửa trực tiếp với một đại số 1 chiều khác. Khái niệm mở rộng kép đóng một vai trò quan trọng vì nó là cơ sở cho phương pháp phân loại quy nạp các đại số Lie quadratic. Ngoài ra, nếu G là một nhóm Lie và g là metric song bất biến nửa Riemann trên G thì đại số Lie(G) của nó G khi bổ sung dạng song tuyến tính không suy biến g sẽ trở thành đại số Lie quadratic. Ngược lại, sẽ có một tích vô hướng bất biến B trên một đại số Lie h được tạo ra bởi phép tịnh tiến trái một metric song bất biến nửa Riemann trên nhóm Lie G bất kì mà h = Lie(G). Do vậy, việc nghiên cứu đại số Lie quadratic rất hữu ích cho hình học nửa Riemann. Đặc biệt, tập các tích vô hướng bất biến trên đại số Lie quadratic tương ứng 1-1 với tập các metric song bất biến trên nhóm Lie tương ứng. Trên nhóm Lie người ta còn xét cấu trúc Novikov như là một trường hợp đặc biệt của cấu trúc affin bất biến trái trên nhóm Lie. Hơn nữa, một nhóm Lie chấp nhận cấu trúc Novikov khi và chỉ khi nhóm Lie là nhóm giải được. Fuhai Zhu và Zhiqi Chen dựa trên đại số Novikov trang bị thêm một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến bất biến tạo thành một đại số Novikov quadratic. Trong lý thuyết các đại số Novikov quadratic, người ta chứng minh được một kết quả quan trọng là mỗi đại số Novikov quadratic trong không gian có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 4 đều giao hoán, hơn nữa tồn tại đại số Novikov không giao hoán có chiều lớn hơn 4, cụ thể là đại số Novikov quadratic trong không gian 6 chiều. Dựa trên sự đa dạng, mới mẻ, nhiều ứng dụng của đại số quadratic và để hiểu rõ hơn về đại số quadratic, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về đại số quadratic với số chiều quadratic là 2. Vì vậy, luận văn của chúng tôi có tên là “Đại số Lie quadratic số chiều thấp”. [...]...2 Mục đích Trình bày một cách cơ bản nhất các kiến thức về đại số Lie quadratic, đặc biệt là đại số Lie quadratic có số chiều quadratic bằng 2 3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu Đại số Lie quadratic số chiều quadratic thấp, cụ thể là bằng 2 4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đại số Lie quadratic có ý nghĩa rất lớn trong nghiên cứu khoa học, toán học và vật lý 5 Cấu trúc luận... gọi  là đại số Lie thực hay phức 1.2.2.2 Nhận xét (1) Số chiều của đại số Lie  chính là số chiều của K-không gian vectơ  (2) Dễ dàng kiểm tra, điều kiện (i) sẽ tương đương với (i’) a, b    b, a  , với mọi a,b ∈      (3) Nếu a, b  0 , ∀a,b ∈  thì ta nói rằng móc Lie của đại số Lie là tầm thường và ta gọi đại số Lie  là giao hoán (4) Mỗi K - đại số Lie đều là K- đại số Ngược... K- đại số  đều có thể xem là một K - đại số Lie khi ta định nghĩa móc Lie nhờ hoán tử của phép nhân Cụ thể ta có định lý sau: 1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) Cho  là một K - đại số Trên  ta định nghĩa móc Lie như sau : [.,.]:    , a, b  ab  ba , a,b     Khi đó,  cùng với móc Lie trên trở thành một K - đại số Lie Như vậy, ta thấy rằng: + Mỗi đại số Lie đều là một đại. .. giữa các đại số Lie giao hoán (2) Mỗi đồng cấu đại số đều trở thành đồng cấu đại số Lie khi xét cấu trúc đại số Lie cảm sinh bởi hoán tử 1.4 ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG 1.4.1 Định nghĩa Không gian vectơ con K của đại số Lie  được gọi là đại số Lie con của  nếu a, b   K với mọi a, b ∈ K    1.4.2 Định nghĩa Không gian vectơ con I của đại số Lie L được gọi là ideal của  nếu [a,b] ∈ với... một đại số (không kết hợp) Trong khi đó, mỗi đại số nói chung không phải là đại số Lie, nhưng nếu ta lấy móc Lie là hoán tử thì mỗi đại số đều trở thành đại số Lie + Mỗi không gian vectơ chính là một đại số Lie giao hoán 1.2.2.4 Ví dụ (1) Không gian R3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 -chiều (2) Kí hiệu Mat(n;K) là không gian vectơ n2 – chiều trên K Ta xác định trên g móc Lie: (A,B)→[A,B]... thực 3 – chiều  3 (móc Lie là tích có hướng thông thường) và tích vô hướng chính tắc B là một đại số Lie quadratic thực 3 – chiều 2.1.2.2 Cặp (  n , B) gồm đại số Lie thực n – chiều giao hoán  n (móc Lie tầm thường) và tích vô hướng chính tắc B là một đại số Lie quadratic thực n – chiều giao hoán 2.1.2.3 Tương tự, cặp ( n , B) gồm đại số Lie phức n – chiều giao hoán n (móc Lie tầm thường) và tích... Cho (g,B) là một đại số Lie quadratic Khi đó, Z(g)  Z(g)  khi và chỉ khi g không có ideal 1- chiều không suy biến 2.3 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐỊA PHƯƠNG 2.3.1 Vài khái niệm 2.3.1.1 Đại số Lie quadratic địa phương (xem [5, trang 727]) Một đại số Lie quadratic (g,B) được gọi là địa phương nếu g có duy nhất một ideal cực đại 2.3.1.2 Ideal cực tiểu (xem [5, trang 727]) Cho g là một đại số Lie và đặt M(g)... Z(g) = {0} Vậy g là đại số Lie đầy đủ Hơn nữa, Soc(g) = ((g))┴ là một ideal cực tiểu vì hạng tử Levi  của g là một ideal đơn, do đó g là đại số Lie quadratic địa phương 2.3.2.5 Nhận xét + Kết quả của định lý trên cho ta thấy rằng để nghiên cứu đại số quadratic với chiều bằng 2 ta chú ý đến hai trường hợp đại số Lie giải được và đại số Lie đầy đủ + Chúng ta biết mọi đại số Lie quadratic bất khả quy... CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC 2.2.1 Vài khái niệm 2.2.1.1 Đại số Lie các toán tử vi phân phản xứng của đại số Lie quadratic (xem [5, trang 726]) Cho K – đại số Lie quadratic g,B Xét đại số Lie Der(g) các toán tử vi phân trên g Kí hiệu Der a (g,B) là tập con của Der(g) bao gồm các toán tử vi phân F trên g phản xứng đối với B, tức là B(Fx, y) = – B(x, Fy) với mọi x ,y thuộc g Khi đó, Der a (g,B) là đại số. .. đại số Lie quadratic thực hay phức 2.1.1.4 Chú ý + Với mỗi không gian con V của đại số Lie quadratic g,B , ta kí hiệu V  là không gian con trực giao của V đối với B + Lưu ý rằng, đối với đại số Lie quadratic, biểu diễn phụ hợp tương đương với biểu diễn đối phụ hợp Các đại số Lie như thế được gọi là đại số Lie tự đối ngẫu đối xứng 2.1.2 Vài ví dụ 2.1.2.1 Cặp (  3 , B) gồm đại số Lie thực 3 – chiều . kiến thức về đại số Lie quadratic, đặc biệt là đại số Lie quadratic có số chiều quadratic bằng 2. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Đại số Lie quadratic số chiều quadratic thấp, cụ thể. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC THỰC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 2 47 3.3.1 Tính chất về số chiều quadratic của đại số Lie thực quadratic 48 3.3.2 Tính chất bất khả qui của đại số Lie thực quadratic có chiều. rằng móc Lie của đại số Lie là tầm thường và ta gọi đại số Lie  là giao hoán. (4) Mỗi K - đại số Lie đều là K- đại số. Ngược lại, mỗi K- đại số  đều có thể xem là một K - đại số Lie khi ta