Đang tải... (xem toàn văn)
Các xấp xỉ đạo hàm trong hai chiều là phương pháp xấp xỉ giá trị đạo hàm của một hàm số hai biến tại một điểm cụ thể trong không gian hai chiều. Các xấp xỉ này thường được sử dụng khi không thể tính chính xác giá trị đạo hàm hoặc khi việc tính toán đạo hàm trở nên phức tạp. Có hai phương pháp xấp xỉ đạo hàm phổ biến trong hai chiều là xấp xỉ đạo hàm theo hướng x và xấp xỉ đạo hàm theo hướng y. Cả hai phương pháp trên đều sử dụng xấp xỉ đơn giản để tính toán đạo hàm theo một chiều cụ thể. Tuy nhiên, chúng chỉ xấp xỉ tốt khi giá trị của h và k đủ nhỏ, và không phản ánh chính xác tính chất của đạo hàm toàn cục của hàm số. Do đó, khi có thể, nếu có thể tính toán đạo hàm chính xác hoặc sử dụng các phương pháp xấp xỉ đạo hàm cao cấp khác như xấp xỉ đạo hàm hình học hoặc xấp xỉ đạo hàm số học, thì sẽ tốt hơn để đạt được kết quả chính xác hơn.
HCMUS CÁC XẤP XỈ ĐẠO HÀM TRONG CHIỀU Năm học 2022-2023 Bài tập Tìm cơng thức sai phân tiến (forward), sai phân lùi (backward), sai phân trung tâm (central) xấp xỉ cho: ∂u ∂u (xi , yj ), (xi , yj ) ∂x ∂y SAI PHÂN HỮU HẠN Chúng ta có khai triển Taylor u(x(t), y(t)) 2D (xi , yj ): ∂u ∂u (xi , yj )∆x + (xi , yj )∆y u(x(t), y(t)) = u(xi , yj ) + t ∂x ∂y t2 ∂ u ∂ 2u ∂u 2 + (xi , yj )∆x∆y + (xi , yj )(∆y) + O(h3 ), (xi , yj )(∆x) + ∂x2 ∂x∂y ∂y (1) với ∆x = x(t) − xi ∆y = y(t) − yi * Chúng ta xét: x(t) = (1 − t)xi + txi+1 , Chọn t = 1, được: x(1) = xi+1 , Suy ra: ∆x = xi+1 − xi , y(t) = (1 − t)yj + tyj = yj y(1) = yj ∆y = Khi đó, từ (1) suy ra: BÀI TẬP ∂u u(x(1), y(1)) = u(xi+1 , yj ) = u(xi , yj ) + t (xi , yj )∆x ∂x t2 ∂ u + (xi , yj )(∆x) + O(h3 ) ∂x2 {z } | (2) O(h2 ) Do ∂u u(xi+1 , yj ) − u(xi , yj ) (xi , yj ) = + O(h) ∂x ∆x Vậy công thức sai phân tiến xấp xỉ ∂u (xi , yj ) theo hướng x, có bậc hội tụ bậc ∂x 19/03/2022 * Chúng ta xét: x(t) = (1 − t)xi + txi−1 , y(t) = (1 − t)yj + tyj = yj Chọn t = 1, được: x(1) = xi−1 , y(1) = yj Suy ra: ∆x∗ = xi − xi−1 = −∆x, (3) ∆y = FDM Khi đó, từ (1) suy ra: HCMUS ∂u u(x(1), y(1)) = u(xi−1 , yj ) = u(xi , yj ) − t (xi , yj )∆x ∂x t2 ∂ u + (xi , yj )(∆x) + O(h3 ) ∂x2 | {z } (4) O(h2 ) Do ∂u u(xi , yj ) − u(xi−1 , yj ) (xi , yj ) = + O(h) ∂x ∆x SAI PHÂN HỮU HẠN Vậy công thức sai phân lùi xấp xỉ (5) ∂u (xi , yj ) theo hướng x, có bậc hội tụ bậc ∂x Lấy (2) − (4), được: u(xi+1 , yj ) − u(xi−1 , yj ) = ∂u (xi , yj )∆x + O(h3 ) ∂x Do ∂u u(xi+1 , yj ) − u(xi−1 , yj ) (xi , yj ) = + O(h) ∂x 2∆x Vậy công thức sai phân trung tâm xấp xỉ ∂u (xi , yj ) theo hướng x, có bậc hội tụ bậc ∂x * Chúng ta xét: x(t) = (1 − t)xi + txi+1 , y(t) = (1 − t)yj + tyj = yj Chọn t = 1, được: x(1) = xi+1 , y(1) = yj Suy ra: ∆x = 0, (6) ∆y = yj+1 − yj Khi đó, từ (1) suy ra: BÀI TẬP ∂u u(x(1), y(1)) = u(xi , yj+1 ) = u(xi , yj ) + t (xi , yj )∆y ∂y t2 ∂ u + (xi , yj )(∆y) + O(h3 ) ∂y {z } | (7) O(h2 ) Do ∂u u(xi , yj+1 ) − u(xi , yj ) (xi , yj ) = + O(h) ∂y ∆y 19/03/2022 Vậy công thức sai phân tiến xấp xỉ ∂u (xi , yj ) theo hướng y, có bậc hội tụ bậc ∂y * Chúng ta xét: x(t) = (1 − t)xi + txi = xi , Chọn t = 1, được: x(1) = xi−1 , Suy ra: ∆x = 0, (8) y(t) = (1 − t)yj + tyj+1 y(1) = yj ∆y∗ = yj − yj−1 = −∆y FDM Khi đó, từ (1) suy ra: HCMUS ∂u (xi , yj )∆y u(x(1), y(1)) = u(xi , yj−1 ) = u(xi , yj ) − t ∂y t2 ∂ u + (xi , yj )(∆y) + O(h3 ) ∂y | {z } (9) O(h2 ) Do ∂u u(xi , yj ) − u(xi , yj−1 ) (xi , yj ) = + O(h) ∂y ∆y SAI PHÂN HỮU HẠN Vậy công thức sai phân lùi xấp xỉ (10) ∂u (xi , yj ) theo hướng y, có bậc hội tụ bậc ∂y Lấy (7) − (9), được: u(xi , yj+1 ) − u(xi , yj−1 ) = ∂u (xi , yj )∆y + O(h3 ) ∂y Do ∂u u(xi , yj+1 ) − u(xi , yj−1 ) (xi , yj ) = + O(h) ∂x 2∆y Vậy công thức sai phân trung tâm xấp xỉ (11) ∂u (xi , yj ) theo hướng x, có bậc hội tụ bậc ∂y Bài tập Tìm cơng thức sai phân trung tâm xấp xỉ ∂ 2u (xi , yj ) với bậc hội tụ ∂y Chúng ta có: BÀI TẬP ∂u t2 ∂ u u(xi , yj+1 ) = u(xi , yj ) + t (xi , yj )∆y + (xi , yj )(∆y) ∂y ∂y t3 ∂ u + (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) 3! ∂y ∂u t2 ∂ u u(xi , yj−1 ) = u(xi , yj ) − t (xi , yj )∆y + (xi , yj )(∆y) ∂y ∂y t3 ∂ u − (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) 3! ∂y (12) (13) 19/03/2022 Lấy (12) + (13), được: t2 ∂ u u(xi , yj+1 ) + u(xi , yj−1 ) = 2u(xi , yj ) + (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) ∂y Chọn t = 1, suy ra: ∂ 2u u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 ) (xi , yj ) = + O(h2 ) 2 ∂y (∆y) (14) FDM ∂ 2u (xi , yj ) với bậc hội tụ Tương tự, ∂y ∂ 2u có cơng thức sai phân trung tâm xấp xỉ (xi , yj ) với bậc hội tụ sau: ∂x2 Vậy (14) công thức sai phân trung tâm xấp xỉ HCMUS ∂ 2u u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) (xi , yj ) = + O(h2 ) ∂x (∆x)2 (15) Bài tập (Một cách làm tổng quát) Xác định α, β, γ, δ cho công thức sai phân tiến sau: SAI PHÂN HỮU HẠN ∂ 2u (xi , yj ) = αu(xi , yj ) + βu(xi+1 , yj ) + γu(xi+2 , yj ) + O(hδ ) ∂x2 (16) Chúng ta có: (2t)2 ∂ u ∂u (xi , yj )∆y + (xi , yj )(∆y) u(xi , yj+2 ) = u(xi , yj ) + t ∂y ∂y (2t)3 ∂ u + (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) 3! ∂y t2 ∂ u ∂u (xi , yj )∆y + (xi , yj )(∆y) u(xi , yj+1 ) = u(xi , yj ) + t ∂y ∂y t3 ∂ u (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) + 3! ∂y (17) (18) Chọn t = lấy (17) − × (18), được: ∂ 2u u(xi , yj+2 ) − 2u(xi , yj+1 ) = −u(xi , yj ) + (xi , yj )(∆y) ∂y ∂ u (xi , yj )(∆y) + O(h4 ) + ∂y BÀI TẬP Suy u(xi , yj+2 ) − 2u(xi , yj+1 ) + u(xi , yj ) ∂ 2u (xi , yj ) = + O(h2 ) ∂y (∆y)2 Vậy (19) công thức sai phân tiến xấp xỉ (19) ∂ 2u có bậc hội tụ ∂x2 19/03/2022 FDM