Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM a/ Định nghĩa: * Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống có dạng:        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 bxa xaxa bxa xaxa bxa xaxa )1( Trong đó: a ij , b i (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x 1 , … , x n là các ẩn của hệ. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) * Ma trận               = mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211               = mmnmm n n B baaa baaa baaa A 21 222221 111211 * Ma trận được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1) được gọi là ma trận của hệ (1) Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích: * Nếu đặt               = m 2 1 b b b B thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B * Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất.               = n 2 1 x x x X ; ; Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích (tt): * Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. * Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu hệ này không có nghiệm. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER a/ Định nghĩa: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ không suy biến. Tức là hệ có dạng:        =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa )2( 2211 22222121 11212111 Trong đó A = (a ij ) ∈ M n (K) và detA ≠ 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) b/ Định lý Cramer: Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: n, ,2,1i, A A x )i( i ==           = n 1 b b B Trong đó: A (i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Chú thích: * Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là X = 0. * Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm không tầm thường ⇔ detA = 0. Ví dụ: giải hệ phương trình sau      =+− =++ =−− 58 124 522 321 321 321 xxx xxx xxx Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : Ta có: 18 11-8 214 2-1-2 detA == 3,2,1i, A A x )i( i == Nhận xét: detA ≠ 0. Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: [...]...2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : 5 −1 − 2 A(1) = 1 1 2 = 18 5 −1 2 A( 2) = 4 8 5 −2 1 2 = 18 5 1 1 2 A(3) = 4 −1 1 5 1 = − 36 8 −1 5 Vậy nghiệm của hệ là  x1 = 1   x2 = 1  x = −2  3 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ a/ Định lý Kronecker – Capeli (Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn) Hệ phương trình (1) có... Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt): Các nghiệm x1, x2, … , xn – r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất sau đây  x1 + 2 x2 + 4 x3 − 3x4 = 0   x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0  2 x + 5 x + 3x − 2 x = 0  1 2 3 4 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN... Toán 2 t1 , t 2 ∈ R Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): c/ Trường hợp m = – 2: Hệ đã cho trở thành − 2 x + y + z = 1   x − 2y + z = 1  x + y − 2z = 1  Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3 Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất...  Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Ví dụ 2: Với điều kiện nào của α thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy?  x1 + α x2 + 2 x3 = 0   2 x1 + x2 + 3 x3 = 0  4x − x + 7x = 0  1 2 3 Ta có: Toán 2 α 1 A=2 1 4 −1 2 3 = −2(α + 1) 7 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG... GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó phương trình cuối có dạng: 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 2 Vậy hệ đã cho là vô nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x1 + x2 − 2 x3 = 6 2 x + 3 x − 7 x = 16  1 2 3  5 x1 + 2 x2 + x3 = 16  3 x1 − x2 + 8 x3 = 0  Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN... trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng của hệ * Nội... hệ tương đương với hệ:   3x2 = x3 Ở đây r(A) = 2 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do và nghiệm tổng quát có dạng: x = − 5 t  1 3  1   x2 = t 3   x3 = t   Toán 2 ; t tùy ý Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính * Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ. .. Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): m ≠ 1 a/ Trường hợp:  ⇒ det A ≠ 0  m ≠ −2 ⇒ hệ có nghiệm duy nhất x = 1  m +2  1  y = m +2  z = 1  m +2  Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): b/ Trường hợp m = 1: Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình x+y+z=1 Lúc này r(A) = r(AB) = 1 Vậy hệ. .. 2   Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): 1 − 2 3 − 4  h3 → h3 + 3h2 8 − 11 h4 → h4 + 2 h2  0 − 3    →  0 0 10 − 20  0 0 10 − 20  1 − 2 3 − 4  8 11 h4 → h4 − h3  0 − 3    →  0 0 10 − 20  0 0 0 0  Toán 2 2  9 18   20   2  9 18   2  Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP... TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Xét:  1 2 4 − 3  h2 → h2 − h1  1 2 4 − 3    h → h − 2h   3   → 0 1 − 5 3 2 A =  1 3 −1 1   4   2 5 3 − 2 0 1 − 5 4      1 2 4 − 3  h3 → h3 − h2     → 0 1 − 5 4   0 0 0 0    Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Hệ đã cho tương đương với hệ  x1 + 2 x2 . 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 3 Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ này viết lại ở dạng ma. là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : 18 1 15 211 2 15 )1( = − −− = A 18 158 214 252 )2( = − = A 36 51 8 114 51 2 )3( −= − − = A Vậy