Huỳnh Bửu Tính 1 V V E E C C T T O O R R V V À À T T Ọ Ọ A A Đ Đ Ộ Ộ T T R R O O N N G G M M Ặ Ặ T T P P H H Ẳ Ẳ N N G G j ) ) 1. Tọa độ vector. Định nghĩa: ( ; )axy axiy=⇔=+ GG GG Cho Khi đó 11 2 2 ( ; ), ( ; ).uxyvxy== GG + 1212 (;uv x xy y±= ± ± GG + 11 .(;ku kx ky= G + cùng phương ⇔ ∃k ≠ 0: v ,uv GG ku= GG ⇔ x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 + 12 12 x x uv yy = ⎧ =⇔ ⎨ = ⎩ GG + 12 12 .uv xx yy=+ GG + 22 11 ||uxy=+ G + m 12 12 2222 1122 cos( , ) . xx yy uv x yxy + = ++ GG + .0uv uv⊥⇔ = GG GG 2. Tọa độ của điểm. Định nghĩa: (; ) M xy OM xi yj⇔=+ JJJJG GG Cho các điểm A(x A ;y A ), B(x B ;yB B B ) ). Khi đó + (; BABA A Bxxyy=− − JJJG + 22 || ( )( ) BA BA A BAB xx yy== − +− JJJG + Điểm M(x;y) chia đoạn AB theo tỷ số k ≠ 1 ⇔ . M AkMB= J JJG JJJG ⇔ 1 1 AB AB x kx x k y ky y k − ⎧ = ⎪ ⎪ − ⎨ − ⎪ = ⎪ − ⎩ Đặc biệt: Khi k = −1, thì M là trung điểm đoạn AB ; 22 ABAB x xy y M ++ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + A, B, C thẳng hàng ⇔ , A BAC JJJGJJJG cùng phương + () . cos cos , . A BAC AABAC A BAC == JJJG JJJG JJJG JJJG + Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC ; 33 ABCABC x xxyyy G ++ ++ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ .0 .0 AH BC BH AC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG + I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ 22 22 A IBI A ICI ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ Huỳnh Bửu Tính 2 + Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB AB ax bx cx x abc ay by cy y abc ++ ⎧ = ⎪ ⎪ ++ ⎨ ++ ⎪ = ⎪ ++ ⎩ C C + Tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A AB AB ax bx cx x abc ay by cy y abc −++ ⎧ = ⎪ ⎪ ++ ⎨ −++ ⎪ = ⎪ ++ ⎩ C C + Tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác ABC BC BC bx cx x bc by cy y bc + ⎧ = ⎪ ⎪ + ⎨ + ⎪ = ⎪ + ⎩ + Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ A DBC= J JJG JJJG . + Diện tích tam giác ABC 22 2 11 .(.)( )( )( )( 22 ABC B A C A C A B A S ABAC ABAC x xy y x xy y Δ =−=−−−− JJJG JJJG JJJG JJJG )− Chú ý. Cho điểm M(x;y). Khi đó − M 1 (−x;−y) đối xứng với M qua gốc tọa độ O − M 2 (x;−y) đối xứng với M qua trục hoành − M 3 (−x;y) đối xứng với M qua trục tung − M 4 (y;x) đối xứng với M qua đường phân giác y = x − M 5 (−y;−x) đối xứng với M qua đường phân giác y = − x Bài tập. Bài 1. Cho tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(1;4), N(3;0), P(−1;1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đó. Bài 2. Cho hai điểm A(−3;2) và B(4;3). Tìm tọa độ của 1. Điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M. 2. Tìm điểm N trên trục Oy sao cho NA = NB. Bài 3. Cho ba điểm A(−1;1), B(3;1), C(2;4). 1. Tính góc A và diện tích của tam giác ABC. 2. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Chứng minh 3. I HIG= JJJGJJG Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết A(3;1), B(−2;4) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên Ox. Xác định tọa độ hai đỉnh C và D. Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD trong mỗi trường hợp sau 1. Biết A(2;−1) và B(−1;3). 2. Biết A(3;0) và C(−4;1). Bài 6. Cho ba điểm A(3;1), B(0;7) và C(5;2). 1. Chứng minh ABC là tam giác vuông. 2. M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh trọng tâm G của tam giác MBC luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 7. Cho A(2;1), B(3;−1), C(−2;3). 1. Tìm tọa độ điểm D trên Oy để ABDC là hình thang có hai đáy AB và CD. 2. Tìm tọa độ điểm hình chiếu H của A trên BC. Huỳnh Bửu Tính 3 P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T H H Ẳ Ẳ N N G G 1. Phương trình của đường thẳng. 1.1. Dạng tổng quát. Δ: Ax + By + C = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 Đường thẳng qua điểm M(x 0 ;y 0 ), có phương trình Δ: A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 Nếu Δ qua gốc tọa độ O, thì Δ: Ax + By = 0, A 2 + B 2 ≠ 0. Ví dụ. Cho tam giác ABC đều. Biết A(3;2) và B(1;1). 1. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB. 2. Tìm tọa độ đỉnh C. 1.2. Dạng tham số. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ), vector chỉ phương (;) 0uab = ≠ G G . Δ: 0 0 , x xat yy bt =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ t là tham số thực. Ví dụ. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và có vectơ chỉ phương (3;4)u =− G . Tìm điểm N ∈ Δ sao cho tam giác OMN vuông tại O. 1.3. Dạng chính tắc. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ), vector chỉ phương (;) 0uab = ≠ G G . Δ: 00 x xyy ab −− = Đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) : AA BA B A x xyy AB x xyy −− = −− Ví dụ. Cho tam giác ABC biết A(2;3), B(−1;2) và C(1;4). 1. Viết phương trình đường trung tuyến AM. 2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và vuông góc với AM. 1.4. Phương trình đoạn chắn. Đường thẳng Δ chắn trên Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (ab ≠ 0), có phương trình Δ: 1 xy ab += Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng qua M(3;2), cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho 1. OA + OB = 12. 2. S ΔOAB = 12 đvdt. B 1.5. Đường thẳng có hệ số góc. Δ: y = kx + b − Nếu Δ qua M(x 0 ,y 0 ), hệ số góc k thì Δ: y − y 0 = k(x − x 0 ). − Giả sử k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d 1 , d 2 và α là góc giữa hai đường thẳng đó. Khi đó 21 21 tg 1 kk kk α − = + , α ≠ 90 ° . Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(−2;3) và hợp với trục hoành một góc 60 ° . 2. Cho đường thẳng d: x − 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ qua gốc tọa độ O và hợp với đường thẳng d một góc α biết tgα = 1 3 . Chú ý. Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0. Khi đó (i) Δ 1 // Δ ⇒ Δ 1 : Ax + By + C 1 = 0, C 1 ≠ C. (ii) Δ 2 ⊥ Δ ⇒ Δ 2 : Bx − Ay + C 2 = 0. Huỳnh Bửu Tính 4 Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB: 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ nhật là I(4;5). Viết phương trình các cạnh còn lại. 2. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng. Cho đường thẳng Δ và điểm M. Khi đó hình chiếu H của điểm M trên Δ được xác định như sau (1) Lập phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với Δ, (2) H = d ∩ Δ. Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: x + 2y + 3 = 0 và điểm M(2;5). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên Δ. Từ đó suy ra điểm N đối xứng với điểm M qua Δ. Chú ý. (i) H là hình chiếu của điểm M trên Δ ⇔ . .0 H MH u Δ ∈Δ ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ JJJJGJJG (ii) A đối xứng với B qua Δ ⇔ .AB u I Δ ⎧ 0 = ⎪ ⎨ ∈Δ ⎪ ⎩ J JJGJJG , trong đó I là trung điểm AB. Ví dụ. Cho điểm M(3;5) và đường thẳng Δ: 12 23 x t y t =+ ⎧ ⎨ = −− ⎩ . Gọi N là điểm di động trên Δ. Xác định tọa độ điểm N để đoạn MN ngắn nhất. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng Δ 1 : A 1 x + BB 1 y + C 1 = 0 và Δ 2 : A 2 x + B 2 B y + C 2 = 0. (1) 11 11 11 22 22 22 ,, xy A BBCC DD D A A BBCC === A − Δ 1 cắt Δ 2 ⇔ D ≠ 0 ⇒ Tọa độ giao điểm là ; y x D D I D D ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ − Δ 1 // Δ 2 ⇔ 0 00 xy D DD = ⎧ ⎨ ≠∨ ≠ ⎩ − Δ 1 ≡ Δ 2 ⇔ D = Dx = D y = 0 (2) Nếu A 2 BB 2 C 2 ≠ 0, thì − 111 12 222 // . A BC A BC ΔΔ⇔ = ≠ − 111 12 222 . A BC A BC Δ≡Δ⇔ = = − Δ 1 cắt Δ 2 11 22 . A B A B ⇔≠ Chú ý. Cho hai đường thẳng d 1 : y = k 1 x + b 1 và d 2 : y = k 2 x + b 2 . Khi đó (i) d 1 // d 2 ⇔ 12 12 kk bb = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ (ii) d 1 ≡ d 2 ⇔ 12 12 kk bb = ⎧ ⎨ = ⎩ (iii) d 1 cắt d 2 ⇔ k 1 ≠ k 2 d 1 ⊥ d 2 ⇔ k 1 k 2 = −1 Ví dụ. 1. Tìm m để hai đường thẳng d 1 : 2x − y + m + 2 = 0 và d 2 : (m − 1)x + y − 1 = 0 cắt nhau tại một điểm trên parabol (P): y = 2x 2 . Huỳnh Bửu Tính 5 2. Cho điểm I(−2;0) và hai đường thẳng d 1 : 2x − y + 5 = 0, d 2 : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho 2 I AIB = J JGJJG . 4. Chùm đường thẳng. Giả sử hai đường thẳng Δ 1 : A 1 x + BB 1 y + C 1 = 0 và Δ 2 : A 2 x + B 2 B y + C 2 = 0 cắt nhau tại điểm I. Khi đó, tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm I được gọi là chùm đường thẳng tâm I. Phương trình chùm đường thẳng: m( A 1 x + BB 1 y + C 1 ) + n(A 2 x + B 2 B y + C 2 ) = 0, m 2 + n 2 ≠ 0. Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và giao điểm của hai đường thẳng d 1 : 3x + 5y − 7 = 0 và d 2 : x − 3y + 1 = 0. 2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d 1 : 2x − y + 1 = 0 và d 2 : x − 2y − 3 = 0 đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. 5. Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng Δ 1 : A 1 x + BB 1 y + C 1 = 0 và Δ 2 : A 2 x + B 2 B y + C 2 = 0. Đặt . Khi đó n 12 (, )α= Δ Δ 12 12 2222 11 22 || cos . AA BB A BAB + α= ++ Ví dụ. 1. Tính góc giữa hai đường thẳng d 1 : x + 3y − 8 = 0 và d 2 : 2x + y − 4 = 0. 2. Cho hai đường thẳng d 1 : x + (2m − 1)y + 2m 2 + 1 = 0 và d 2 : (m − 1)x + my + 3m − 4 = 0. Định m để góc giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 bằng 45 ° . Chú ý. (i) 0 ° ≤ α ≤ 90 ° (ii) 12 12 // 0 ΔΔ ⎡ α= ⇔ ⎢ Δ≡Δ ⎣ D (iii) α = 90 ° ⇔ Δ 1 ⊥ Δ 2 ⇔ A 1 A 2 + BB 1 B 2 B = 0 (iv) Hai đường thẳng Δ 1 và Δ 2 (không vuông góc với nhau) có hệ số gốc lần lượt k 1 và k 2 . Khi đó 12 12 tg 1 kk kk − α= + 6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M(x 0 ;y 0 ). Khi đó 00 22 || (;) A xByC dM AB ++ Δ= + Chú ý. Cho hai đường thẳng song song Δ 1 : Ax + By + C 1 = 0 và Δ 2 : Ax + By + C 2 = 0. Khi đó 12 12 1 21 22 (, ) ( , ), || ddMM CC AB ΔΔ = Δ ∀ ∈Δ − = + 1 Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: 3x − 4y + 8 = 0 và điểm A(−3; 1). 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ. 2. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho d(M,Δ) = 3. 3. Viết phương trình đường thẳng d song song với Δ và cách Δ một khoảng bằng 2. 7. Phân giác của góc giữa hai đường thẳng. − Cho hai đường thẳng Δ 1 : A 1 x + BB 1 y + C 1 = 0 và Δ 2 : A 2 x + B 2 B y + C 2 = 0. Khi đó, tập hợp tất cả các điểm có cùng khoảng cách đến Δ 1 và Δ 2 là 11 1 2 2 22 22 11 22 2 A xByC AxByC AB AB ++ ++ =± ++ ( * ) Nếu Δ 1 và Δ 2 cắt nhau, thì ( * ) là phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng Δ 1 và Δ 2 . − Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài hạ từ A của tam giác ABC. Khi đó Huỳnh Bửu Tính 6 D BABE AC B D CEC =− =− JJJG JJJG JJJG JJJG và , BC B DD bx cx by cy xy bc bc C + + == + + ; , BC B C EE bx cx by cy xy bc bc −− == −− Ví dụ. Cho hai đường thẳng Δ 1 : 3x + 5y − 10 = 0 và Δ 2 : 3x + 5y + 8 = 0. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ cách đều Δ 1 và Δ 2 . 2. Viết phương trình đường thẳng Δ 3 đối xứng với Δ 1 qua Δ 2 . 8. Bài tập cơ bản. Bài 1. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(−1;1), N(1;9), P(9;1) là các trung điểm của ba cạnh tam giác. Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;−1), B(−2;1), C(3;5). 1. Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BM của tam giác ABC. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với trung tuyến BM. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có AB: 3x − y − 2 = 0, BC: x + y − 2 = 0 và tâm I(3;1). Viết phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AD và CD. Bài 4. Cho đường thẳng Δ: 22 12 x t y t =− − ⎧ ⎨ =+ ⎩ và điểm M(3;1). 1. Tìm điểm A trên Δ sao cho 13.AM = 2. Tìm điểm B trên Δ sao cho MB ngắn nhất. Bài 5. Một cạnh của tam giác có trung điểm là M(−1;1). Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng d 1 : x + 6y + 3 = 0 và d 2 : 2 x t y t =− ⎧ ⎨ = ⎩ . Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó. Bài 6. Cho tam giác ABC có BC: 1 12 xy−− = − 3 , các trung tuyến BM: 3x + y − 7 = 0 và CN: x + y − 5 = 0. Viết phương trình các cạnh AB và AC. Bài 7. Xác định các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng 2 12 x mt y t = + ⎧ ⎨ =− ⎩ và 3x + 4y + 12 = 0 bằng 45 0 . Bài 8. Cho đường thẳng d: 3x − 4y − 12 = 0. 1. Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ. 2. Viết phương trình đường thẳng d / đối xứng với d qua trục Ox. 3. Viết phương trình đường thẳng d // đối xứng với d qua điểm I(−1;1). Đs. 1. S = 6 (đvdt) 2. 3x + 4y − 12 = 0 3. 3x − 4y + 26 = 0. Bài 9. Cho hai đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + m + 1 = 0 và d / : mx − 3y + 1 = 0. 1. Định m để hai đường thẳng cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm M. 2. Tìm số nguyên m để tọa độ giao điểm là số nguyên. Đs. 1. m ≠ − 3, ( ) 2 31 1 33 ; mm mm M −− −+ ++ 2. m ∈ {−11;−7;−5;−4;−2;−1;1;5}. Bài 10. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là M(1;3), trung điểm của AC là N(−3;1). Điểm A thuộc trục Oy và BC qua gốc tọa độ O. 1. Viết phương trình BC. 2. Tìm tọa độ A và viết phương trình đường cao BH. Đs. A(0;5), BC: x − 2y = 0 và BH: 3x + 4y − 10 = 0. Bài 11. Cho điểm M(3;3). Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(2;1), cắt tia Ox và Oy tại A và B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Đs. x + 2y − 4 = 0 và x + y − 3 = 0. Bài 12. Cho tam giác ABC có BC: 2x − y − 4 = 0 và hai đường cao BH: x + y − 2 = 0, CK: x + 3y + 5 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác. Đs. AB: 3x − y − 6 = 0, AC: x − y − 3 = 0. Huỳnh Bửu Tính 7 Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có AB: 2x − y − 1 = 0, AD qua M(3;1) và tâm 1 2 (1;)I − . Viết phương trình các cạnh AD, BC và CD. Đs. AB: x + 2y − 5 = 0, BC: x + 2y + 5 = 0, CD: 2x − y + 6 = 0. Bài 14. Cho tam giác ABC có 1 2 (;0M − ) là trung điểm AB và H(1;3), K(−1;1) lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh B và C (B có hoành độ dương). 1. Viết phương trình cạnh AB. 2. Tìm tọa độ A, B, C. Đs. 1. AB: 2x + y + 1 = 0 2. A(−2;3), B(1;−3), C(3;3). Bài 15. Cho tam giác ABC đều có đỉnh A(3;−5) và trọng tâm G(1;1). 1. Viết phương trình cạnh BC. 2. Viết phương trình cạnh AB và AC. Đs. BC: x − 3y + 12 = 0, AB: (6 5 3) 3 3 15 3 0xy+−++= , AC: (6 53) 3 3153 0xy − −+− = Bài 16. Cho hình thoi ABCD có A(−2;3), B(1;−1) và diện tích hình thoi bằng 20. 1. Tìm tọa độ đỉnh D biết nó có hoành độ dương. 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi. Đs. D(3;3) Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2;2), AB: x − 2y − 3 = 0 và AB = 2AD và y A > 0. 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc K của I lên AB. 2. Tìm tọa độ A và B. Đs. K(3;0), A(7;2), B(−1;−2). Bài 18. Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là 5x − 12y − 5 = 0, 3x + 4y = 0, 5x − 12y + 21 = 0. Viết phương trình cạnh còn lại. Đs. 3x + 4y ± 10 = 0. Bài 19. Viết phương trình bốn cạnh của hình vuông biết bốn cạnh lần lượt đi qua bốn điểm M(0;2), N(5;−3), P(−2;−2) và Q(2;−4). Đs. x − 3y − 2 = 0, 3x + y + 12 = 0, x − 3y − 4 = 0, 3x + y + 2 = 0 hoặc 7x − y − 2 = 0, x + 7y − 16 = 0, 7x − y + 12 = 0, x + 7y − 26 = 0 9. Bài tập tổng hợp và nâng cao. Bài 1. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x − 2y + 6 = 0 và 4x + 7y − 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O. Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;3), hai đường trung tuyến lần lượt là d 1 : y − 1 = 0 và d 2 : x − 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 41 33 ;(G ), BC: x − 2y − 4 = 0 và BG: 7x − 4y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 4. Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0. Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. Bài 5. Cho hai đường thẳng d 1 : x + y + 5 = 0 và d 2 : x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2;3). Tìm điểm B trên d 1 và điểm C trên d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0). Bài 6. Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4), C(6;0) và các điểm M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. Bài 7. Cho đường thẳng Δ: x − y + 2 = 0 và hai điểm A(1;−2), B(2;1). Tìm điểm M ∈ Δ sao cho 1. MA + MB nhỏ nhất. 2. |MA − MB| lớn nhất. Bài 8. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết tâm I(1;6) và các điểm M(3;0), N(6;6), P(5;9), Q(−5;4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Bài 9. Cho hai điểm A(−2;2), B(1;3) và đường thẳng d: 2x + 3y − 4 = 0. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho |MA − MB| lớn nhất. Huỳnh Bửu Tính 8 Bài 10. Cho điểm A(−1;3) và đường thẳng Δ: x − 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD, biết rằng B, C nằm trên Δ và C có các tọa độ dương. Bài 11. Cho A(10;5), B(15;−5), D(−20;0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD. Tìm tọa độ đỉnh C biết AB // CD. Bài 12. Cho các điểm I(1;1), M(−2;2) và N(2;−2). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, M nằm trên cạnh AB và N nằm trên cạnh CD. Bài 13. Cho hai đường thẳng d 1 : x − y = 0 và d 2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ d 1 , C ∈ d 2 và B, D ∈ Ox. Bài 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết A(−1;4) và trung điểm của BC là M(3;1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A biết AB: 2x − y + 3 = 0, BC: x + y − 1 = 0. Viết phương trình cạnh AC biết nó qua gốc tọa độ O. Bài 16. Cho hình vuông ABCD biết AB: 3x + 5y − 29 = 0 và tâm I(6;0). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình vuông ABCD. Bài 17. Cho các đường thẳng d 1 : x + y + 3 = 0, d 2 : x – y – 4 = 0, d 3 : x – 2y = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d 1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2 . ờng thẳng Δ m : (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(1;0). Bài 18. Cho đư 1. Chứng minh rằng Δ m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 2. Xác định m để Δ m có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB. 3. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ m là lớn nhất. Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD biết rằng tâm )1;( 2 1 − I , AB: x − 2y = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Bài 20. Cho đường thẳng Δ: 5x − 12y + 32 = 0 và hai điểm A(1;−1), B(5;−3). Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách Δ một khoảng bằng 4 và cách đều hai điểm A, B. Bài 21. Cho đường thẳng Δ: x.cosα − y + sinα + 2cosα = 0. Xác định α để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ đạt giá trị lớn nhất. Bài 22. Cho ba điểm A(−6;−3), B(−4;3), C(9;2). 1. Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. 2. Tìm điểm P trên đường thẳng d sao cho tứ giác ABPC là hình thang. Bài 23 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;−1), đường cao và đường phân giác trong kẻ lần lượt từ đỉnh B và C là 3x − 4y + 27 = 0, x + 2y − 5 = 0. Bài 24. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;−1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là 2x − 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0. Bài 25. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt là x + 2y − 5 = 0, 4x + 13y − 10 = 0. Bài 26. Cho tam giác ABC biết A(2;−3), trung tuyến m B: 10x + 3y − 12 = 0 và trung trực của cạnh BC là d: x − 3y + 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Bài 27. Cho A(1;3) và đường cao BH: 2x − 3y − 10 = 0. 1. Giả sử BC: 5x − 3y − 34 = 0. Tìm tọa độ B, C. 2. Giả sử AB: 5x + y − 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C. Tìm B, C. Bài 28 . Cho hai đường thẳng d 1 : 2x − y − 1 = 0, d 2 : x + y − 5 = 0 và điểm P(−2;−1). Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm P và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho 1. P là trung điểm AB. 2. IA = AB (A, B ≠ I). Bài 29 . Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) biết đỉnh A(1;3), BC: x − 5 = 0 và tâm đường tròn nội tiếp hình thang là I(3;−1). Tìm tọa độ B, C, D. Huỳnh Bửu Tính 9 Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T R R Ò Ò N N 1. Định nghĩa. − Cho điểm I cố định và số thực dương R. Khi đó, tập hợp (C) = {M | IM = RR} là đường tròn tâm I, bán kính R. − Cho AB cố định, AB = a > 0. Khi đó, tập hợp (C) = {M | } n 90AMB = D là đường tròn tâm I (trung điểm AB), bán kính . 2 a R = 2. Phương trình đường tròn. Dạng 1. Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình là (C): (x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2 Nếu I ≡ O, thì (C): x 2 + y 2 = R 2 . Dạng 2 . Cho đường cong (C): x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0, với a 2 + b 2 − c > 0. Khi đó (C) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính . 22 cbaR −+= Ví dụ 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau 1. (C 1 ): x 2 + y 2 − 4x + 2y − 4 = 0. 2. (C 2 ): 2x 2 + 2y 2 − 4x + 3y = 0. Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau 1. AB là đường kính của (C), với A(−1;2) và B(3;2). 2. (C) ngoại tiếp tam giác ABC, với A(1;2), B(2;−1) và C(1;1). 3. (C) đi qua hai điểm A(−1;2), B(3;1) và tâm I thuộc đ ờng thẳng d: 2x − 3y + 1 = 0. ư Chú ý. (i) (C) tiếp xúc Ox ⇔ R = |b|. (ii) (C) tiếp xúc Oy ⇔ R = |a|. (iii) (C) tiếp xúc với Ox và Oy ⇔ R = |a| = |b|. ⇒ tâm I thuộc đường phân giác y = x hoặc y = − x. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường tròn (C) 1. Đi qua điểm A(2;−1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy. 2. Tiếp xúc với trục hoành tại A(−1;0) và qua B(3;2). 3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 và điểm M(x 0 ;y 0 ) cố định. Đặt F(x,y) = x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c. Khi đó phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là 22 00 (, ) () M M IRFxy C ρ =−= = x 0 2 + y 0 2 − 2ax 0 − 2by 0 + c. Nhận xét. (i) F(x 0 ,y 0 ) > 0 ⇔ M nằm ngoài (C). (ii) F(x 0 ,y 0 ) = 0 ⇔ M ∈ (C). (iii) F(x 0 ,y 0 ) < 0 ⇔ M nằm trong (C). Ví dụ 1. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4x + 8y − 5 = 0 và điểm A(−1;0). 1. Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua kẻ từ A. Ví dụ 2. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0. Gọi I là tâm và R là bán kính của (C). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: 2x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R. 4. Trục đẳng phương của hai đường tròn. Cho hai đường tròn không đồng tâm (C 1 ): x 2 + y 2 − 2a 1 x − 2b 1 y + c 1 = 0 và (C 1 ): x 2 + y 2 − 2a 2 x − 2b 2 y + c 2 = 0. Khi đó, trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 ) là một đường thẳng có phương trình Δ: 2(a 1 − a 2 )x + 2(b 1 − b 2 )y + c 2 − c 1 = 0. Huỳnh Bửu Tính 10 ế 0 ) Chú ý. (i) Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm I 1 I 2 . (ii) Nếu (C 1 ) ∩ (C 2 ) = {A,B}, thì AB là trục đẳng phương. (iii) Nếu (C 1 ) ∩ (C 2 ) = {H}, thì tiếp tuyến chung tại H là trục đẳng phương. Ví dụ. Cho hai đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 − 2x + 2y − 7 = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 + 4x − 6y − 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). 5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ. Khi đó (i) d(I,Δ) > R ⇔ Δ ∩ (C) = ∅ (ii) d(I,Δ) = R ⇔ Δ ∩ (C) = H , Δ được gọi là tiếp tuyến của (C), H là tiếp điểm. { } (iii) d(I,Δ) < R ⇔ Δ ∩ (C) = A B{ , } Chú ý. Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R. (i) N u biết tiếp điểm T(x 0 ;y 0 ), thì tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua T và vuông góc với có phương trình là 0 (;TI a x b y=− − JJG Δ: (a − x 0 )(x − x 0 ) + (b − y 0 )(y − y 0 ) = 0. (ii) Nếu không biết tiếp điểm, thì dùng điều kiện sau để giải Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) ⇔ d(I,Δ) = R. Ví dụ. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4x − 2y − 4 = 0 và đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + 1 = 0. 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;1) ∈ (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: 12x + 5y − 10 = 0. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm N(−1;2). 4. Chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của AB. 6. Vị trí tương đối giữa các đường tròn. Cho hai đường tròn (C 1 ) = (I 1 ,R 1 ) và (C 2 ) = (I 2 ,R 2 ). Khi đó (i) (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ |R 1 − R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 (ii) (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 ) ⇔ 12 1 2 12 1 2 ||II R R II R R =− ⎡ ⎢ =+ ⎣ (tieáp xuùc trong) (tieáp xuùc ngoaøi) (iii) (C 1 ) và (C 2 ) không cắt nhau ⇔ 12 1 2 12 1 2 ||(loàng nhau) (ngoaøi nhau) II R R II R R <− ⎡ ⎢ >+ ⎣ Ví dụ. 1. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). 2. Cho đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 − 12x − 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C 2 ) tiếp xúc với Ox, Oy và tiếp xúc ngoài với (C 1 ). 3. Cho hai đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 = 1 và (C 2 ): (x − 2) 2 + (y − 3) 2 = 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. 4. Cho hai đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 − 8x − 4y + 16 = 0. 4.1. Chứng minh hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). 4.2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ). Bài tập. Bài 1. Cho phương trình x 2 + y 2 + 2mx − 2my + 3m 2 − 4 = 0 (1) 1. Định m để (1) là phương trình một đường tròn. 2. Tính bán kính của đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x − y = 0. Bài 2 . Cho A(2;0) và B(0;1). Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA 2 − MB 2 = MO 2 là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy. [...]... Bài tập Bài 1 Cho (P): x2 = 2y và d: 2mx − 2y + 1 = 0 1 Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N 2 Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của (P) Bài 2 1 Cho (P) có đỉnh tại gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 2 2) Đường thẳng d đi qua I ( 5 ;1) cắt (P) tại M, 2 N sao cho IM = IN Tìm tọa độ M và N 2 Cho (P): y2 = 64x và đường thẳng Δ: 4x + 3y + 46 = 0 Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động... cắt nhau Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn ấy Bài 12 Cho đường thẳng Δ: x + 1 = 0 và Δ/: x − 1 = 0 cắt Ox lần lượt tại A và B Gọi M và N là hai điểm di động trên Δ và Δ/ có tung độ là m và n sao cho mn = 4 1 Viết phương trình đường thẳng AN và BM 2 Chứng minh giao điểm I của AN và BM thuộc một đường tròn cố định 11 Huỳnh Bửu Tính ĐƯỜNG ELÍP 1 Định nghĩa Cho hai điểm F1, F2 cố định... sao cho tam giác OAB vuông cân tại O x2 y2 Bài 10 Cho elip (E): + = 1 và điểm A(−3; 16 ) Gọi Δ là tiếp tuyến kẻ từ A của (E) Tìm hai điểm P và Q 5 25 16 trên Δ sao cho mỗi tiêu điểm của (E) nhìn đoạn PQ dưới một góc 90° x2 Bài 11 Cho điểm C(2;0) và (E): + y 2 = 1 Xác định tọa độ hai điểm A, B ∈ (E) sao cho thỏa mãn một trong 4 các điều kiện sau 1 Tam giác ABC đều 2 CA = CB và tam giác ABC có diện... 144 trong mỗi trường hợp sau 1 Δ qua điểm A(4;−9) Tìm tọa độ tiếp điểm 2 Δ // d: 2 x − 2 y + 1 = 0 Tìm tọa độ tiếp điểm 3 Δ hợp với d: 3x + 2y + 5 = 0 một góc 45° x2 y2 Bài 5 Cho họ đường cong (Cm ) : 2 + 2 = 1 , m ∉ {0,±5} m m − 25 1 Tùy theo m, hãy xác định khi nào (Cm) là elip và khi nào là hypebol 2 Giả sử A(1;a) (a ≠ 0) Chứng minh với mỗi điểm A luôn có 4 đường cong của họ (Cm) đi qua Hỏi trong. .. vuông góc với đường thẳng d: 3x − 4y − 1 = 0 Tìm tọa độ tiếp điểm 4 (E): 4x2 + y2 − 4 = 0, biết tiếp tuyến lập với trục hoành một góc 60° 5 (E): 4x2 + 9y2 − 36 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3;−4) 6 (E): 5x2 + 18y2 − 90 = 0, biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến bằng 3 Bài 6 Cho (E): 8x2 + 18y2 = 144 và điểm M di động trên (E) Tìm M sao cho 1 Tiếp tuyến của (E) tại M tạo với hai trục tọa. .. (C) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau Bài 6 1 Cho hai đường thẳng d1: 4x − 3y − 12 = 0, d2: 4x + 3y − 12 = 0 Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp (C) của tam giác có các cạnh lần lượt nằm trên trục tung Oy, d1 và d2 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC: 3 x − y − 3 = 0 ; A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 Tìm tọa độ A, B, C Bài 7 Cho đường tròn (C):... trên (P) và Δ Xác định M, N để MN ngắn nhất 3 Lập phương trình chính tắc của (P) có trục đối xứng Ox, biết rằng (P) chắn trên d: x + 2y = 0 một đoạn có độ dài 4 5 Bài 3 Cho (P): y2 = 2x 1 Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MF = 2 2 Tìm A, B ∈ (P) sao cho ΔOAB đều 3 Cho A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB = 4 Tìm tập hợp trung điểm H của đoạn AB Bài 4 Cho (P): y2 = x và điểm I(0;2) Tìm tọa độ hai điểm... A2 − A2 = 1 a b 4 Tính chất MFi = e , ∀i = 1,2 M ∈ (H) ⇔ d (M , Δi ) 5 Bài tập Bài 1 Cho (H): 9x2 − 16y2 = 144 1 Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai 2 Viết phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2 và tìm giao điểm của (C) với (H) 3 Viết phương trình chính tắc của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) Bài 2 Lập phương trình chính tắc của (H) 1 (H) tiếp... trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau 1 Tâm I ∈ d: x + y − 3 = 0, tiếp xúc trục hoành và có bán kính R = 1 2 (C) qua hai điểm A(2;1), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y − 2 = 0 3 (C) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0 tại điểm A(1;−4) và qua điểm B(5;2) 4 Tâm I ∈ d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc đồng thời với d1: 3x + 4y + 5 = 0, d2: 4x − 3y − 5 = 0 5 Tâm I(2;−4) và cắt đường thẳng... B(−2;3) 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng d: 3x + 2y − 7 = 0 Bài 6 Cho (P): x2 = 2y và điểm A( 15 ; 27 ) 8 8 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua B (−1; 1 ) và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại B 2 2 Tìm tất cả các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M Bài 7 Cho parabol (P): y = x2 − 2x + 3 và đường thẳng d cùng phương với đường thẳng y . 0. 2. (H): 4x 2 − 5y 2 − 20 = 0, song song với đường thẳng d: 3x + 2y − 1 = 0. Bài 4 . Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (H): 9x 2 − 16y 2 = 144 trong mỗi trường hợp sau 1. Δ qua điểm. hypebol. 2. Giả sử A(1;a) (a ≠ 0). Chứng minh với mỗi điểm A luôn có 4 đường cong của họ (C m ) đi qua. Hỏi trong bốn đường cong đó có bao nhiêu elip và bao nhiêu hypebol. Bài 6 . Cho (H): 2x 2 −. tiếp tuyến Δ của đường tròn (C) 1. Δ vuông góc với đường thẳng d: 8x + 6y − 9 = 0. 2. Δ song song với đường thẳng d: 3x + 4y − 2 = 0. 3. Δ đi qua điểm A(3;5). 4. Δ hợp với đường thẳng