Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát d·y sè D·y tun tÝnh víi hƯ sè h»ng sè 1.1Bµi tËp thĨ u0 = 1;  → CSC un = un −1 − 2, ∀n ≥ u0 = 2;  → CSN un = 2un−1 , ∀n ≥ u0 = −2 3;  → −1 = − + 2 un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ u0 = 4;  → 3n = − [ 3n + 6] + 3 ( n − 1) +    un = 2un−1 + 3n, ∀n ≥ khác hệ số nên ta giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) − g ( n − 1) , g ( n ) = an + b u0 = 2 → 2n + =  n + 2n  − ( n − 1) + ( n − 1)  5;      un = un−1 + 2n + 1, n hệ số nên phải n©ng bËc: 2n + = g ( n ) − g ( n − 1) , g ( n ) = an + bn u0 =  → 2n = −2.2n + 3.2.2n −1 6;  n un = 3un −1 + , ∀n ≥  n = a 2n − 3a 2n −1 u0 =  7;  n un = 2un−1 + , ∀n ≥  2n = n 2n + ( n − 1) 2n −1 u0 = 1; u1 = 8;  un − 5un−1 + 6un− = 0, ∀n ≥ u0 = 1; u1 = 9;  un − 4un −1 + 4un− = 0, ∀n ≥ u0 = −1; u1 =  10;  → 2n + 2n + = g ( n ) − g ( n − 1) + g ( n − ) , g ( n ) = an + bn−1 + c un − 5un −1 + 6un− = 2n + 2n + 1, ∀n ≥  u0 = 1; u1 = 11;  un − 3un−1 + 2un − = 2n + 1, ∀n ≥ u0 = 1; u1 = 12;  un − 2un −1 + un− = 2n + 1, ∀n ≥ u0 = −1; u1 =  13;  n un − 5un−1 + 6un− = 2.5 , ∀n ≥  u0 = −1; u1 =  14;  n un − 5un −1 + 6un− = 2.3 , ∀n ≥  u0 = 1; u1 =  15;  n un − 4un −1 + 4un − = , ∀n ≥  Trang Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số 1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai ph©n)  x , x , , xk  1.2.1 Loại nhất: a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = 0, n (1) Đầu tiên giải phơng trình đặc trng: a0 k + a1 k1 + + ak = 0, (*) Các trờng hợp xảy là: (i) Nếu (*) có k nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 , , λk th× nghiƯm cđa (1) lµ x n = c1λ1n + c2λ2n + ckλkn , ∀n = 1, 2, ( víi c1 , c2 , , ck số ) (ii) Nếu (*) đợc viết lại nh sau s h a0 k + a1λ k −1 + + ak = a0 (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) (λ − λ3 ) (λ − λq ) = , víi , , , , q khác đôi Tức (*) có nghiƯm béi s, vµ λ2 lµ nghiƯm béi h, vµ , , q nghiệm đơn, s + h + (q − 2) = k , th× (1) cã nghiƯm lµ n xn = c3λ3n + + cqλq + (c11 + c12 n + + c1s n s−1 )λ1n + n + (c21 + c22 n + + c2 h n h−1 )λ2 , ∀n = 1, 2, ( víi c11 , c12 , , c1s , c21 , c22 , , c2 h , c3 , , cq lµ h»ng sè) (iii) NÕu (*) cã k-2 nghiƯm ph©n biƯt λ1 , λ2 , , λk−2 vµ λk = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λk = a + b , ϕ = Argk ) nghiệm phức số phức liên hỵp λk = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) cịng lµ nghiƯm cđa (*) Khi (1) có nghiệm xn = c11n + c2λ2n + ck−2λkn−2 + r n ( A cos nϕ + B sin nϕ) , ∀n = 1,2, ( víi c1 , c2 , , ck−2 , A, B số ) (4i) Nếu (*) có s nghiƯm thùc ph©n biƯt λ1 , λ2 , , λs vµ λq = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λq = a + b , ϕ = Argλq ) nghiệm phức bội h, số phức liên hỵp λq = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) cịng lµ nghiƯm phøc béi h cđa (*) Khi ®ã (1) cã nghiƯm tỉng quát x n = c11n + c22n + cssn + +r n ( A1 + A2 n + + Ah n h−1 ) cos nϕ + ( B1 + B2 n + + Bh n h−1 ) sin nϕ  , ∀n = 1,2,   ( víi c1 , c2 , , ck−1 , A1 , A2 , , Ah , B1 , B2 , , Bh số ) Tóm lại cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn cần phức, nghiệm bội phức công thức nghiệm (1) VD: Giải lại tập phần trớc Trang Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số x , x , , xk 1.2.2 Loại không nhất:   (2) a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = fn , ∀n ≥ B1: Tìm nghiệm loại t−¬ng øng Gs: xn = c1λ1n + c2λ2n + ckλkn , ∀n = 1,2, B2: Ta thay xn* = c1 (n)λ1n + c2 (n)λ2n + ck (n)λkn , ∀n = 1,2, vào (2) để xđ hàm ci ( n ) B3: NghiƯm cđa (2) lµ: xn = xn + xn* Để không sử dụng kiến thức chơng trình ta nên làm theo hớng: Làm nháp phơng pháp sai phân để tìm nghiệm ta chứng minh qui nạp + VD: Tìm số hạng tổng quát dÃy: { xn }n=1 : x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, Nháp: Giải phơng trình đặc trng = tìm đợc = * Vậy số hạng tổng quát dÃy số đà cho có dạng xn = xn + xn Trong ®ã xn = cλ n = c, ∀n = 1, 2, ( c * lµ h»ng sè tìm sau), xn đợc tìm nh sau: * * Ta xem c lµ mét hµm theo n vµ tìm xn = cn Thay xn = cn vào xn+1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2, , ta đợc cn+1 = cn + sin nx, ∀n = 1, 2, ⇔ cn+1 − cn = sin nx, ∀n = 1, 2, Suy c2 − c1 = sin x , c3 − c2 = sin x , cn − cn −1 = sin(n 1) x Cộng lại ta đợc cn − c1 = sin x + sin x + + sin(n − 1) x VËy x = cn = [ c1 + sin x + sin x + + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2, * V× xn = cn tháa xn+1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2, nªn c1 = x1 = VËy * n * xn = [sin x + sin x + + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2, x x * NÕu sin = th× xn = ⇒ xn = 0, ∀n = 1, 2, Cßn nÕu sin ≠ th× víi mäi n = 1, 2, , ta cã  x x x  sin sin x + sin sin x + + sin sin(n − 1) x  = x  sin  x 3x   3x 5x   (n − 2) x (n − 1) x   − cos  cos − cos  +  cos − cos  +  cos  2   2   2  = x 2sin nx (n − 2) x sin sin  x (n − 1) x  4 = cos − cos = x x 2   2sin sin 2 * xn = Vậy Trang Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số xn = c + sin nx (n − 2) x sin 4 , ∀n = 1, 2, x sin x x x − sin sin sin 4 =c− ⇒ c = tan x Bëi vËy V× x1 = nªn = c + x x sin cos nx (n − 2) x sin sin x 4 xn = tan + , ∀n = 1, 2, x sin Lêi gi¶i: Ta sÏ chøng minh víi mäi n = 1, 2, th× nx (n − 2) x sin sin x 4 xn = tan + x sin phơng pháp quy nạp Theo giả thiết ta có x x x x sin sin sin sin x 4 = tan x − 4 x1 = = tan − x x x 2sin cos sin 4 (1) n=1 Giả sử (1) n=k, tức x xk = tan + ®ã sin kx (k − 2) x sin 4 x sin kx (k − 2) x sin 4 + sin kx = x sin kx (k − 2) x x sin sin + sin sin kx x 4 = tan + = x sin (k + 1) x (k − 1) x sin sin x 4 = tan + x sin x xk +1 = xk + sin kx = tan + sin Bài toán đợc giải xong Giải lại phần trớc Trang (1) Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè 1.3 Ta sÏ gi¶i mét sè d·y đặc biệt gọi dÃy số tuần hoàn Định nghĩa DÃy số { xn }n=1 đợc gọi dÃy số tuần hoàn tồn số k N cho xn + k = xn , ∀n = 1,2, (1) +∞ Sè k bÐ nhÊt tháa m·n (1) đợc gọi chu kỳ dÃy số tuần hoàn { xn }n =1 Sử dụng phơng trình sai phân ta xác định đợc dÃy số tuần hoàn Bài toán (dÃy số tuần hoàn chu kú 2) +∞  x = α , x2 = β +∞ T×m d·y sè { xn }n=1 biÕt    xn + = xn , ∀n = 1,2, Lời giải Phơng trình đặc trng dÃy số đà cho = ⇔ λ ∈ {−1,1} xn = A.1n + B(−1)n , ∀n = 1,2, Bëi vËy tõ gi¶ thiÕt x1 = α , x2 = β , ta cã  α +β A = A − B = α  ⇔  A + B = β B = β − α   Do ®ã xn = α + β β −α + (−1)n , n = 1,2, 2 Bài toán (dÃy số tuần hoàn chu kỳ 3) + Tìm dÃy sè { xn }n=1 biÕt xn +3 = xn , ∀n = 1,2, vµ x1 , x2 , x3 cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dÃy số đà cho có nghiệm 1, −1 − i −1 + i 2π 2π 2π 2π ( hay 1, cos − i sin , cos + i sin ) , 2 3 3 Do ®ã n2π n2π + C sin , ∀n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác ®Þnh biÕt x1 , x2 , x3 xn = A + B cos Bài toán (dÃy số tuần hoàn chu kỳ k bất kỳ) + T×m d·y sè { xn }n=1 biÕt xn + k = xn , ∀n = 1,2, vµ x1 , x2 , , xk cho trớc Lời giải Phơng trình ®Ỉc tr−ng λ = cđa d·y sè ®· cho có nghiệm k cos h2 h + i sin , víi h = 0,1, 2, , k − k k Hay viÕt thĨ lµ 1, cos 2π 2π 4π 4π 2(k −1)π 2(k −1)π + i sin , cos + i sin , ,cos + i sin k k k k k k Do ®ã  2π 2π   4π 4π  xn = c +  A1 cos + B1 sin  +  A2 cos + B2 sin  +          k k   k k  Trang Do ®ã Huúnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số   2(k −1)π 2(k −1)π  + +  Ak−1 cos + Bk−1 sin  , ∀k = 1,2,      k k Mµ cos 2π 2(k −1)π 4π 2(k − 2)π = cos , cos = cos , k k k k sin 2π 2(k −1)π 4π 2(k − 2)π = sin ,sin = sin , k k k k vµ nên ta viết lại nh sau k   h2π h2π   + sin x n = ∑ βh cos , ∀n = 1,2, ,    k k  h =0 ®ã c¸c h»ng sè β0 , β1 , , βk−1 sÏ đợc xác định biết x1 , x2 , , xk D·y ph©n tun tÝnh víi hƯ sè số 2.1 Định nghĩa Cho a, b, c, d ∈ ℝ cho ad − bc ≠ vµ c ≠ XÐt d·y sè ( xn ) nh− sau: x1 ∈ R vµ víi mäi n = 1,2, th× xn+1 = axn + b +∞ , tồn Khi dÃy số ( xn ) n =1 gọi dÃy phân tuyến tính cxn + d Chó ý r»ng nÕu cho ( xn )n =1 dÃy phân tuyến tính ta hiểu với n=1,2, tồn xn 2.2 Số hạng tổng quát dÃy phân tuyến tính + a) XÐt d·y ph©n tuyÕn tÝnh { xn }  x1 = p xác định , a, b, c, d, vµ p axn + b   xn +1 = cx + d , ∀n ≥ n số cho trớc Giả sử xn = ax + b y yn Khi ®ã: xn+1 = n ⇔ n +1 zn cxn + d zn+1 yn +b zn y ay + bzn = ⇔ n+1 = n y zn +1 cyn + dzn c n +d zn a Nh vậy, ta xác định ®−ỵc hai d·y ( yn ) , ( zn )  y1 = p, z1 = :  yn +1 = ayn + bzn , ∀n ≥ th× coi nh đà xác z = cy + dz , n n n n+1 định đợc số hạng tổng quát dÃy phân tuyến tính b)Ta xÐt ( yn ) , ( zn )  y1 = p, z1 =  :  yn +1 = ayn + bzn , ∀n ≥  z = cy + dz , ∀n ≥ n n  n+1 C¸ch 1: yn+ = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn ) = ayn +1 + bcyn + bdzn = ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 − ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc − ad ) yn ⇔ yn + = ( a + d ) yn +1 + ( bc − ad ) yn Trang Huỳnh Thanh Luân Tìm đợc yn zn Cách 2: Xác định số hạng tổng quát dÃy số yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn *)  ⇒ ⇒ yn +1 − λ zn +1 = ( a − λ c ) yn + ( b − λ d ) zn  zn +1 = cyn + dzn λ zn+1 = λ cyn + λ dzn b − λd  b − λd  yn+1 − λ zn +1 = ( a − λ c )  yn − zn  → chän λ = λc − a  λc − a   yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn *)  ⇒ ⇒ yn +1 + β zn +1 = ( a + β c ) yn + ( b + β d ) zn  zn +1 = cyn + dzn  β zn +1 = β cyn + β dzn  b + βd  b+ βd yn +1 + β zn +1 = ( a + β c )  yn + zn  → chän β = a + βc  a + βc  y c) Theo trªn, ta xét hội tụ tìm giới hạn cđa d·y sè ( xn ) , víi xn = n , y1 vµ z1 zn cho tr−íc vµ yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn 2.3 Bµi tËp u0 = 2; v0 =  1; un = 2un −1 + −1 , ∀n ≥ v = u + 2v , ∀n ≥ n −1 n −1  n u0 =  2;  2un −1 un = 3u + , ∀n ≥ n −1  u0 =  3;  −9un −1 − 24 un = , ∀n ≥  5un−1 + 13  Tuy nhiên ta có cách khác để tìm số hạng tổng quát dÃy phân tuyến tính đơn giản nh− sau: u0 =  1;  2un −1 un = 3u + , ∀n ≥ n −1  3un −1 + 1 *) = = + ⇒ un 2un −1 un −1 un u0 =  2;  −9un −1 − 24 un = 5u + 13 , ∀n n *)Đặt un = xn + t → xn + t = ( −9 − 5t ) xn −1 − 5t − 22t − 24 −9 xn−1 − 9t − 24 ⇔ xn = xn−1 + 5t + 13 xn −1 + 5t + 13 *)Chän t : −5t − 22t − 24 = → t = −2 *) xn = xn −1 1 ⇒ = +5 xn −1 + xn xn −1 Trang Huúnh Thanh Luân Sau ta xét thêm số tính chất dÃy Xác định số hạng tổng quát dÃy số 2.4 Tính chất Định lí Cho a, b, c, d ∈ R cho ad − bc ≠ 0, c ≠ Cho x1 ∈ ℝ với n = 1, 2, , đặt axn + b = xn +1 , nÕu nã tån Xét hàm số f(x) nh sau: cxn + d  −d  a  f : ℝ\  → ℝ\   c  c ax + b x ֏ cx + d a) Chøng minh f lµ song ¸nh b) Cho d·y sè ( tn ) −d  t1 = đợc định nghĩa bởi: c t = f −1 (t ), ∀n = 1, 2,  n +1 n (DÃy không xác định kể từ thứ tự đó.) Chứng minh ( xn )+1 dÃy phân n= tuyến tính vµ chØ x1 ≠ tn , ∀n = 1, 2, Chøng minh d c a ta cã c ax + b b − dy y= ⇔ cyx + dy = ax + b ⇔ x = cx + d cy − a Víi mäi x, y ∈ ℝ, x ≠ − , y ≠ VËy f lµ song ánh + b) { xn }n=1 dÃy phân tuyến tÝnh vµ chØ  x1 ≠ t1  ∃x2 ∈ R, x2 ≠ t1  ∃x3 ∈ R, x3 t1 Điều quy x1 tn với n mà tn xác định Xét d·y (xn) : xn+1 = axn + b , ∀n = 1, 2, Khi ta có định lí sau: cxn + d Định lí Nếu dÃy { xn } hội tụ đến L cL2 + (d − a) L − b = Chøng minh axn + b , ∀n = 1, 2, cho n + ta đợc cxn + d aL + b L= ⇔ cL2 + (d − a ) L b = cL + d Định lí Khi ∆ = (d − a ) + 4bc 0 Gäi α , β hai nghiệm phơng trình (ẩn x) cx + (d − a) x − b = Khi ®ã: a) x1 = α ⇔ xn = α , ∀n = 1, 2, Trang Huúnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số b) Giả thiết x1 , đặt X n = c) NÕu λ = NÕu λ = xn − β cα + d , ∀n ∈ N * , λ = Khi ®ã: xn − α cβ + d X n +1 = λ X n , ∀n = 1, 2, cα + d < th× lim xn = β n →∞ cβ + d cα + d > th× lim xn = α n →∞ cβ + d NÕu λ = −1 x1 = lim xn = n Nếu = x1 dÃy { xn } phân kỳ với giá trị x1 xn xen kẽ Trờng hợp = xảy Chứng minh aL + b nên cL + d aα + b aβ + b α= ,β = cα + d cβ + d a) Ta cần chứng minh x1 = xn = α , ∀n = 1, 2, v× chiỊu ngợc lại hiển nhiên Vì , nghiệm phơng trình L = Ta dùng phơng pháp quy nạp Giả sử x1 = Khi ax1 + b aα + b = =α cx1 + d cα + d ax + b aα + b Giả sử xn = Khi xn+1 = n = = α VËy theo nguyªn lý quy nạp suy x1 = cxn + d cα + d xn = α , ∀n = 1, 2, x2 = b)Ta cã X n +1 = xn +1 − β  axn + b a β + b   axn + b aα + b  = − − : , xn +1 − α  cxn + d cβ + d   cxn + d cα + d  cα + d xn − β X n +1 = = λ X n , ∀n = 1, 2, cβ + d xn c) Theo kết câu (b) suy X n = λ n −1 X , ∀n = 1, 2, NÕu λ < lim n1 = Do lim X n = lim λ n −1 X = Tõ X n = n →∞ n →∞ n →∞ xn = α Xn − β X n −1 ⇒ lim xn = lim n →∞ n →∞ α Xn − β X n −1 xn − β ta cã xn − α =β NÕu λ > th× lim λ n −1 = ∞ Do ®ã lim X n = lim λ n−1 X = ∞ Do ®ã n →∞ n →∞ n →∞ α− lim n →∞ β Xn α − α Xn − β = ⇒ lim xn = lim = lim = =α n →∞ n →∞ X − x →∞ Xn 1− n 1− Xn x1 − β Do ®ã nÕu x1 = β th× X = Theo kết câu (b) suy x1 X n = 0, ∀n = 1, 2, Suy lim X n = Tơng tự nh suy lim xn = β Ta cã X = n →∞ n →∞ Trang Huúnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số n Nếu = x1 X ≠ vµ X n +1 = (−1) X , ∀n = 1, 2, Ta sÏ chøng minh d·y sè ( yn ) víi yn = (−1) n , víi mäi n=1, 2,…, kh«ng héi tô Ta cã lim y2 n −1 = lim(−1) = −1 ≠ = lim y2 n VËy d·y ( yn ) phân kỳ DÃy ( yn ) không héi tơ mµ n →∞ n →∞ n →∞ X n +1 = yn X , ∀n = 1, 2, nên dÃy { X n } không héi tô Tõ X n = xn − β v−β suy d·y { xn } kh«ng héi tơ ( v× nÕu lim xn = v ∈ ℝ th× lim X n = , nghÜa n →∞ n →∞ xn − α v −α lµ d·y { X n } hội tụ, đến ta gặp mâu thuẫn) c + d = Suy cβ + d cα + d = cβ + d ⇒ cα = c = Mà điều xảy đợc = (d b) + 4bc >0 ad Khi Định lí Gi¶ thiÕt ∆ = (d − a) + 4bc = đặt g = 2c a) x1 = g vµ chØ xn = g , ∀n = 1, 2, 2c b) Gi¶ thiÕt x1 g , đặt X n = Khi , n = 1, 2, , đặt = a+d xn − g X n +1 = X n + µ , ∀n = 1, 2, Tr−êng hợp = xảy nÕu λ = th× c) lim xn = g n Chứng minh a) Vì =0 nên phơng trình cL2 + (d a) L b = ( tức phơng trình L = nghiệm kÐp lµ g = a−d 2c b) Víi mäi n = 1, 2, , ta cã X n +1 =  ax + b a − d  2c(cxn + d ) = 1:  n − = xn +1 − g 2c  c(a + d ) xn + 2bc − ad + d  cxn + d (d − a ) Do ®ã (d − a) 2bc − ad + d = − − ad + d = ( −d + 2ad − a − 2ad + 2d ) = 2 1 = (d − a ) = − (a − d )(a + d ) = − gc(a + d ) = −c(a + d ) g 2 V× ∆ = (d − a) + 4bc =0, nên 2bc = Từ X n +1 = = 2c (cxn + d ) 2(cxn + d ) = c ( a + d ) xn − c (a + d ) g ( a + d )( xn − g ) 2c( xn − g ) + 2cg + 2d 2c( xn − g ) 2(cg + d ) = + (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) 2c (a + d ) 2c = + = + = µ + Xn a + d (a + d )( xn − g ) a + d xn − g ( 2(cg + d ) = a + d V× ( cg + d ) = 2cg + 2d = a − d + 2d = a + d ) Trang 10 aL + b ) có cL + d Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số Cho số thực ≠ vµ d·y sè thùc { xn } , n = 1, 2,3, , xác định bởi: x1 = 0, xn +1 ( xn + α ) = α + ( ∀n = 1, 2, ) a) HÃy tìm số hạng tổng quát dÃy số đà cho b) Chøng minh d·y sè ( xn ) cã giới hạn hữu hạn n + HÃy tìm giới hạn Lời giải Trờng hợp 1: = −1 Khi ®ã xn = 0, ∀n = 1, 2, Tr−êng hỵp 2: α ≠ −1 Khi ®ã xn ≠ −α , ∀n = 1, 2, Do ®ã ta cã xn +1 = VËy xn+1 cã d¹ng xn+1 = α +1 , ∀n = 1, 2, xn + α (1) axn + b , víi a = , b = α + , c = , d = α , c ≠ vµ cxn + d ad − bc = α + ≠ ( α ≠ −1) XÐt hai d·y sè ( yn ) vµ ( zn ) thâa m·n ®iỊu kiƯn sau:  yn +1 = (α + 1) zn  , y1 = x1 = 0, z1 =   zn +1 = yn + α zn  Khi ®ã yn + = (α + 1) zn +1 = (α + 1)( yn + α zn ) = (α + 1) yn + α (α + 1) zn = (α + 1) yn + yn +1 Vậy phơng trình đặc trng dÃy số { yn } = −1 λ = α + λ − αλ − (α + 1) = ⇔  Tr−êng hợp 2a: = Khi phơng trình λ − αλ − (α + 1) = cã nghiÖm kÐp λ1 = λ2 = −1 Suy yn = ( C + Dn )( −1) , ∀n = 1, 2, ( víi C vµ D số tìm sau ) Vì y1 = nên C + D = Vì y2 = (α + 1) z1 = α + = −1 nªn C + D = −1 n C + D = ta cã C + D = −1 Tõ hÖ   D = −1  C = VËy yn = (1 − n )( −1) , ∀n = 1, 2, vµ zn = n Ta cã xn = yn +1 n +1 = n ( −1) , ∀n = 1, 2, α +1 yn n − = , ∀n = 1, 2, zn n Tr−êng hỵp 2b: Khi số hạng tổng quát cđa d·y sè { yn } lµ: yn = A ( −1) + B (α + 1) , ∀n = 1, 2, n n ( A vµ B lµ số tìm sau ) Vì y1 = nªn − A + B (α + 1) = V× y2 = (α + 1) z1 = α + nªn A + B (α + 1) = α + Trang 12 Huúnh Thanh Lu©n Xác định số hạng tổng quát dÃy số +1  A = α +  VËy víi mäi n=1, 2, ta cã  B =  α +2  α +1 n n yn = ( −1) + (α + 1) , ∀n = 1, 2, α +2 α +2 n +1 n yn +1 ( −1) (α + 1) , ∀n = 1, 2, zn = = + α +1 α + α +2 − A + B (α + 1) = Tõ  ta cã   A + B (α + 1) = α + Tơng tự trờng hợp 2a, quy nạp ta chứng minh đợc: n n ( + 1) ( −1) + (α + 1) yn (α + 1)( −1) + (α + 1) = = xn = n +1 n n +1 n zn ( −1) + (α + 1) ( −1) + (α + 1) n n −1   , ∀n = 1, 2, c) Theo kết câu (a) suy ra: Nếu = −1 th× xn = 0, ∀n = 1, 2, Do ®ã lim xn = n →∞ NÕu α = −2 th× xn = n −1 , ∀n = 1, 2, Do ®ã n n −1  1 lim xn = lim = lim 1 −  = n →∞ n →∞ n n →∞  n (α + 1) ( −1) + (α + 1)  th× xn = n +1 n ( −1) + (α + 1) n NÕu α ≠ −2 n −1   , ∀n = 1, 2, Ta cã (α + 1) − (α + 1) = x2 n−1 = n −1 + (α + 1) n −1 1+ (α + 1) (α + 1) n −1 x2 n = Do ®ã nÕu α + + (α + 1) α +1 > (α + 1) 2n th× −1 n →∞ (α + 1) = 1− n −1 , ∀n = 1, 2, +1 , ∀n = 1, 2, (α + 1) +1 2n lim x2 n = lim x2 n −1 = ⇒ lim xn = n →∞ lim x2 n = − (α + 1) = lim x2 n −1 ⇒ lim xn = − (α + 1) n →∞ 2n 2n−2 n →∞ n →∞ NÕu α +1 < n Bài tập ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng A, năm 2004) ( + cos 2α ) xn + cos α , ( − cos 2α ) xn + cos tham số thực Tìm tất giá trị ®Ĩ d·y sè { yn } , víi XÐt d·y sè { xn }n =1 nh− sau: x1 = với n = 1, ,, xn +1 = +∞ n yn = ∑ k =1 , n = 1, 2, có giới hạn hữu hạn n + HÃy tìm giới hạn cña d·y sè { yn } xk + trờng hợp Bài giải Dễ chứng minh xn > 0, ∀n = 1, 2, Víi mäi n = 1, 2, …, ta cã: Trang 13 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát d·y sè ( + cos 2α ) xn + cos α xn +1 + = +1 = ( − cos 2α ) xn + − cos 2α ( + cos 2α ) xn + cos α + ( − cos 2α ) xn + − cos 2α = = ( − cos 2α ) xn + − cos 2α = xn + cos α + − ( cos α − 1) ( − cos 2α ) xn + − cos 2α Do ®ã xn +1 + = Bëi vËy = = ( xn + 1) ( − cos 2α ) xn + − cos 2α ( − cos 2α ) xn + − cos 2α ( xn + 1) = (2 xn + 1) − − cos 2α xn + − cos 2α (1 − cos 2α )(2 xn + 1) + = ( xn + 1) ( xn + 1) 2sin α ( xn + 1) + 1   = =  2sin α +  , ∀n = 1, 2, xn +1 + xn + 3 xn +   1 − sin α =  − sin α  , ∀n = 1, 2, xn +1 +  xn +  1 Gäi un = − sin α , ∀n = 1, 2, Khi ®ã un +1 = un , ∀n = 1, 2, Nh− thÕ ( un ) lµ mét cÊp sè xn + 1 nhân với số hạng đầu công bội Do u1 = sin q= 3 1− n n 31 1 1   ∑ uk =  − sin α  31 =  − sin α 1 − 3n  Suy      k =1 1− n n 31 1  ∑ x + = ∑ (un + sin α ) =  − sin α 1 − 3n  + n sin α    k =1 k =1 n +∞ V× d·y sè  n  héi tơ nªn d·y sè ( yn ) héi tơ vµ chØ d·y sè {n sin α }n =1 héi tô   3  ⇔ sin α = ⇔ α = kπ , k ∈ Z Khi ®ã: 31 1 1  lim yn = lim  − 1 − n  = = n →∞ n →∞    2(2 xn + 1) +∞ Bµi tËp 6: Cho d·y { xn }n=1 nh− sau: x1 = 1, xn +1 = , ∀n = 1, 2, Chøng minh r»ng d·y sè ®· xn + Suy cho hội tụ tìm giới hạn dÃy số Đáp số lim xn = n Bài tập ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 ) Cho d·y { xn } nh− sau: x0 = 1982, xn +1 = (n = 0,1, ) H·y t×m lim xn n →∞ − xn Bài tập ( Đề thi vô địch Tiệp ) Cho dÃy số ( an ) đợc xác ®Þnh nh− sau: a1 = 2, an +1 = − (∀n = 1, 2, ) an Trang 14 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè Chøng minh r»ng d·y sè ®· cho có giới hạn tính giới hạn dÃy số Đáp số: lim an = n Bµi tËp Cho d·y sè { xn } nh− sau: x0 = − 1, xn +1 = ( ( ) +1 ) +1 n +3 n +1 xn + xn + Chøng minh dÃy { xn } hội tụ tìm lim xn n →∞ ( ) +1 n+2 , n = 0,1, 2, phơng pháp quy nạp Việc dự đoán công thức dùng phơng pháp qui nạp để chứng minh phơng pháp mạnh cho dÃy số công thức phần dÃy số phụ thuộc vào số tự nhiên u1 = u2 =  1; ( un ) :  u n−1 + , ∀n ≥ un = u n −2  Ta hy väng đa đợc dÃy tuyến tính: un + aun−1 + bun−2 + c = 0, ∀n ≥ n = 3, 4,5 ⇒ a = −4; b = 1; c = → un = 4un−1 − un−2 , n Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán u1 = a; u2 = b Tổng quát dÃy số có dạng ( un ) :  u + c cã thÓ tuyÕn tÝnh hãa un = n−1  un−  u0 =  2; ( un ) :  + un un+1 = , ∀n = 0,1,2,  − 3un  T×m u1997 HD: Ta hy vọng dÃy tuần hoàn Tính trực tiÕp ta thÊy u3 = u0 Do ®ã ta dự đoán: u3n = u0 , n = 0,1, 2, Bằng quy nạp ta chứng minh điều u1997 = − u0 = 3;  un+1 = un − 3un , ∀n = 0,1, 2, *)XÐt un d¹ng: un = a3 + b3 Khi ®ã, n ( un − 3un = a + b3 n n ) ( n ) − a + b3 = a + b3 + ( ab ) n n n +1 n +1 = un+1 + 3( ab ) 3n Trang 15 (a 3n 3n (a 3n ) ( + b3 − a + b3 n ) ( n + b3 − a + b3 n n n ) n ) Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số *)Nh vậy, ta chọn ab = đà thỏa công thức truy håi u0 = ⇔ a + b = 3n 3n  3+  3−  a + b = *)  → un =  +     ab =   u0 = 4;  un+1 = un + 3un , ∀n = 0,1, 2, *)XÐt un d¹ng: un = a3 + b3 Khi ®ã, n ( un + 3un = a + b3 n n ) ( n ) + a + b3 = a3 + b3 + ( ab ) n n n +1 n +1 = un+1 + ( ab ) 3n (a 3n 3n (a 3n ) ( + b3 + a + b3 n ) ( + b3 + a + b3 n n n n ) n ) *)Nh− vËy, nÕu ta chän ab = −1 đà thỏa công thức truy hồi u0 = ⇔ a + b = 3n 3n  + 13   − 13  a + b = *)  → un =  +     ab = −1   L−u ý: Mäi ®a thøc bËc ba ta đa hai dạng u1 = 5;  un+1 = un + 3un 3, n = 1,2, v1 = Đặt = un + 1(n = 1, 2, ) →  vn +1 = − 3vn , ∀n = 1, 2, L−u ý: Mét sè phÐp ®ỉi biến +) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c ta dời gốc tọa độ đỉnh b b b , f (− )) cđa Parabol Tøc lµ ta ®æi biÕn X = x + 2a 2a 2a +) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba f ( x) = ax3 + bx + cx + d ta dời gốc tọa độ điểm uốn b b b A(− , f (− )) cña đồ thị f(x) Tức ta đổi biến X = x + 3a 3a 3a A(− +) NÕu ta gặp hàm số tổng quát ta đổi biến cho hàm số trở thành hàm số lẻ hàm số chẵn u1 = 6; u = 24u − 12 6u + 15u − 6, ∀n ≥ n n n  n+1 v1 = Đặt = 6un (Đây ta bậc chẵn, giống chøng vn+1 = 4vn + 3vn (n = 1, 2, ) minh hàm lẻ mà) Tiếp theo ta lµm mÊt hƯ sè cđa v3n Trang 16 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát d·y sè 3 → avn +1 = 4a 3vn + 3avn → +1 = + 3vn → 4a = a = Đặt = axn = (  x1 = xn →   xn +1 = x n + xn → xn = + ) 3n−1 ( + 2− ) 3n−1 → = ( 1 2+ 2  ) 3n−1 ( + 2− ) 3n−1 (    → un =  +   ) 3n−1 ( + 2− ) 3n−1  + u1 = (đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999) 7;  un+1 = 9un + 3un , ∀n = 1, 2,  v1 = HD:Đặt 3un = +1 = + 3vn phơng pháp lợng giác Khi công thức truy hồi xuất yếu tố gợi đến công thức lợng giác ta thử với phép lợng giác u1 = 1;  u = 2u − 1, ∀n ≥ n −1  n *)un−1 = cos α ⇒ un = cos 2α π = cos n −1 π *)un = cos , ∀n ≥ Chøng minh b»ng qui n¹p u1 2;  un = 2u n−1 − 1, ∀n ≥ *) u1 ≤ → u1 = cos α → un = cos 2n−1α *)u1 = 1 1  n −1  *) u1 > → u1 =  a +  → un =  a + 2n −1  2 a 2 a  u0 = c TQ:  , ab = 2 un+1 = au n − b, ∀n ≥ *)un = bvn → vn+1 = 2v n − Vµ ta cịng biÕt r»ng mäi tam thøc bËc hai bÊt kú ta ®Ịu cã thĨ ®ỉi biÕn vỊ ®Ønh để ta đợc hàm chẵn, tức ®i bËc nhÊt: ax + b Tuy nhiªn, có thỏa tính chất hay không ta cần phải kiểm tra cụ thể Trang 17 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số u1 3;  un = 4u n−1 − 3un −1 , ∀n ≥ *) u1 ≤ → u1 = cos α → un = cos 3n −1α 1 1 1  *) u1 > → u1 =  a +  → un =  a n −1 + n−1  2 a 2 a  u1 4;  un = 4u n−1 + 3un −1 , ∀n ≥ 1 1 1  *)u1 =  a −  → un =  a n −1 − n −1  a a  2 2 u1 5;  un = au n−1 + bu n −1 + cun−1 + d , n Đa hai dạng  u1 =  6;  → un −1 = sin α − − u n −1  , ∀n ≥ un =  a+b  u1 = ; v1 = bu1  7;  ;0 < a < b u = un−1 + vn−1 ; v = u v n n n −1  n  a α α *) = cos α → u1 = b cos ; v1 = b cos 2 b *)u2 = b cos α cos *)un = = b cos α α 2 ; v2 = b cos cos α 2 α .cos 2 α cos 22 α 2n u1 =   8;  un + − un +1 = + − u , ∀n = 1, 2, n Tìm u2003 ( Đề thi chÝnh thøc OLYMPIC 30/04/2006 ) ( *)tg HD: π ) = − ⇒ un +1 = un + tan π − un tan , ∀n = 1, 2, π π  *)un = tan α → un +1 = tan  + Trang 18 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số u1 =  9;  u +2− un +1 = n , ∀n = 1, 2,  − − un  π π §S: un = tg  + (n − 1)  , ∀n = 1, 2, 6 12    u1  10;  u +b un = n−1 , ∀n ≥  − bun−1  ( ) u1 =  11;  un −1 , ∀n ≥ un = + + u n −1  *)un = un −1 + + u n−1 → 1 = + + → xn = xn −1 + + x n −1 un un −1 u n−1 *) xn−1 = cotα → xn = cotα + + cot 2α = cotα + cos α + α = = cot sin α sin α vài DÃy số khác 3.1 DÃy số có d¹ng: x1 = α , xn+1 = n(n + 1) (n + k ) ( xn + 1) , ∀n = 1, , (n + k + 1) (n + 2k + 1) Bài toán Tìm xn biÕt r»ng x1 = , xn+1 = n ( xn + 1) , n ∈ N * n +1 Lêi gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã (n + 1)xn+1 = nxn + n Đặt un = nxn , ta cã un+1 = un + n, ∀n = 1, , VËy u2 = u1 + u3 = u2 + u4 = u3 + un+1 = un + n Cộng lại rút gọn ta đợc: un+1 = u1 + (1 + + + n ) = n(n + 1) , ∀n = 1, , n(n − 1) n −1 , ∀n = 1, , Suy xn = , ∀n = 1, , 2 Bài toán Tìm xn biết x1 = vµ n(n + 1) xn+1 = ( xn + 1) , n ∈ N * (n + )(n + ) VËy un = Trang 19 (1) Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè H−íng dÉn gi¶i Tõ gi¶ thiÕt (1), ta cã xn+1 = n(n + 1)2 (n + ) ( xn + 1) , n ∈ N * (n + 1)(n + )2 (n + ) Do ®ã (n + 1)(n + )2 (n + )xn+1 = n(n + 1)2 (n + )xn + n(n + 1)2 (n + ) Đặt n(n + 1)2 (n + )xn = un , thay vào ta đợc un+1 = un + n(n + 1)2 (n + ), ∀n = 1, , (n 1)( 2n + 1) Từ ta tìm đợc un , sau ta tìm đợc xn = 10(n + 1) Nhận xét Việc giải toán tổng quát đợc tiến hành tơng tự x = a >  3.2 D·y sè d¹ng:   k  xn+1 = g (n) xn , ∀n ≥   , ®ã g (n) > 0, n ∈ N * , k ∈ R Lêi gi¶i Ta cã ln xn+1 = ln g (n) + k ln xn Đặt ln xn = yn , ®ã: (1) yn+1 − kyn = ln g (n), n = 1, 2, ln g (n) Đặt yn = k n1un , thay vào (1) ta đợc un+1 − un = n Suy k ln g (1) u2 = u1 + k ln g (2) u3 = u2 + k2 ln g (n −1) un = un1 + k n1 Cộng lại ta đợc n−1 un = u1 + ∑ i=1 ln g (i ) ki Suy víi mäi n = 1, 2, , th× yn xn = e = e k n−1un =e n−1   ln g ( i )    k n−1u1 +       ki   ∑ i=1 =e n−1   ln g ( i )    k n−1ln a +       ki   ∑ i=1  x1 = a >    * * 3.3 D·y sè d¹ng:   x = f (n + 1) x k , ∀n ≥ 1, ®ã f (n) > 0, ∀n ∈ ℕ ; k ∈ ℕ  n+1 n k   ( f ( n))   H−íng dÉn gi¶i Ta cã k n xn+1 x xn k k Đặt = = , vn+1 = Vì > , nên từ vn+1 = ta cã k f (n + 1) ( f (n)) f (n + 1) ln vn+1 = k ln Gäi un = ln Khi ®ã un+1 = kun , ∀n = 1, 2, Trang 20 Huúnh Thanh Lu©n VËy {u } +∞ n n =1 Xác định số hạng tổng quát dÃy số tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 , công bội k, un = u1k n−1 , ∀n = 1, 2, Sau ngợc trở lại ta tìm đợc { xn }n=1 +∞  x2 − a xn+1 = n 3.4 D¹ng:  xn −1    x1 = b, x2 = c xn − a , ta có Cách giải Từ xn+1 = xn1 xn −1xn +1 = xn + a (1) T−¬ng tù ta còng cã xn− xn = xn −1 + a (2) Trõ (1) cho (2) theo vÕ ta ®−ỵc 2 2 xn−1xn+1 − xn− xn = xn − xn−1 ⇒ xn−1xn +1 + xn −1 = xn − xn + xn ⇒ xn−1 ( xn −1 + xn+1 ) = xn ( xn − + xn ) ⇒ xn xn −1 = xn −1 + xn+1 xn− + xn Bëi vËy xn xn−1 x2 = = = = xn−1 + xn+1 xn− + xn x1 + x3 c =α c2 + a b+ b Suy xn = α ( xn−1 + xn+1 ) ⇒ α xn+1 + xn + xn = Từ ta tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số đà cho u1 = α; v1 = β    3.5 D·y sè d¹ng: un = u n−1 + av n−1   v = 2u v  n n−1 n−1   HD:     un = u n−1 + av n−1 un = u n−1 + av n−1   un +   ⇒ ⇒     vn = 2un−1vn−1     avn = aun−1vn−1 un −     un +  ⇒   un −    u1 = 2; v1 =    VD: un = u n−1 + 2v n−1   v = 2u v  n n−1 n−1    x0 = α    3.6 D·y sè d¹ng:   x2 + a  xn = n−1 , ∀n ≥   xn−1   ( = (u avn n−1 ( = (u − − avn−1 avn Trang 21 2 2n−1 ) av ) avn = u1 + a v1 ) ) avn = un−1 + avn−1 ⇒ un ; Huúnh Thanh Luân HD: Đặt xn = Xác định số hạng tổng quát dÃy số un ta đa dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển hệ nhé, mạnh đấy) u1 = 3.7 D·y sè d¹ng:   un = aun−1 + bu n−1 + c , ∀n ≥   , víi a − b = HD: un = aun−1 + bu n−1 + c ⇔ un − aun−1 = bu n−1 + c ⇔ (un − aun−1 ) = bu n−1 + c ⇒ u n − 2aunun−1 + a 2u n−1 = bu n−1 + c ⇔ u n − 2aunun−1 + (a − b) u n−1 − c = ⇔ u n − 2aunun−1 + u n−1 − c = u n − (2aun−1 ) un + u n−1 − c = u n − 2aun−1un + u n−1 − c =    ⇒ ⇒ ⇒ un , un−2 lµ hai nghiƯm cđa pt:  u n−1 − 2aun−1un−2 + u n−2 − c = u n−2 − (2aun−1 ) un−2 + u n−1 − c =     t − (2aun−1 ) t + u n−1 − c = ⇒ un + un−2 = 2aun−1 u1 = α    un−1 3.8 D·y sè d¹ng: u = , ®ã: α > 0; a > 1; a − b =  , ∀n ≥  n   a + cu n−1 + b      1  +c un = ⇒ =a + b   u  un un−1  n−1  a + cu n−1 + b HD: Đặt xn = chuyển dạng un un1 u1 ; u2 3.9 DÃy số d¹ng:   un + − ( pn + qn ) un +1 + ( pn −1.qn ) un = f n , ∀n ≥  HD: *)un+ − ( pn + qn ) un +1 + ( pn−1.qn ) un = ( un + − pnun+1 ) − qn ( un +1 − pn −1un ) = +1 − qn Víi v n = un +1 − pn −1un *)v2 − q1v1 = f1 v3 − q2 v2 = f − qn −1vn −1 = f n −1 a a ⇒ ( v2 − q1v1 ) = f1 q1 q1 a a ( v3 − q2v2 ) = f q2 q2 a qn−1 ( − qn−1vn −1 ) = a f n −1 qn −1 Trang 22 Huúnh Thanh Lu©n Xác định số hạng tổng quát dÃy số n −1  n−1 f  f a − av1 = a ∑ i ⇒ = qn−1  ∑ i + v1  qn −1 i =1 qi i =1 qi Trờng hợp đặc biệt dạng hay gặp hai hàm hàm u1 ; u2 , tức pt đặc trng có hai nghiệm là: ; qn  un + − ( λ + qn ) un +1 + ( λ.qn ) un = f n , ∀n ≥  u = 1; u2 = VD:   un = ( n − 1)( un −1 + un − ) , n n 1 *)Đặt un = n !vn → − vn−1 − − = n n −1 *) Pt cã hai nghiÖm 1; n *) → ( − −1 ) + ( vn−1 − − ) = n Lun tËp: Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 0, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 2, n ≥ Baøi taäp : u1 =  un +1 − un = 2, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 4n + 5, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 − un = 4n + 5, n ≥ Bài tập : Bài tập : Bài tập : Bài tập : Bài tập 10 : Bài tập 11 : u1 =  n un +1 + 3un = , n ≥ u1 =  n +1 un +1 − 7un = , n ≥ u1 = 2, u2 =  un + − 3un +1 + 2un = 0, n ≥ u1 = −9, u2 = 45  n un + + 2un +1 − 8un = 27.5 , n ≥ u1 = −9, u2 = 45  un + + 2un+1 − 8un = n + 2n, n ≥ u1 = −9, u2 = 45  un + + 2un+1 − 3un = n + 2n, n ≥ Trang 23 Huúnh Thanh Lu©n Xác định số hạng tổng quát dÃy số Baứi taäp 12 : u1 = 1, u2 = 2, u3 =  un +3 − 6un + + 11un +1 − 6un = 0, n ≥ Baøi taäp 13 : u1 = 4, u2 = 26, u3 = 74   un +3 − 6un + + 11un +1 − 6un = 6n − 4n − 8, n ≥  Bài tập 14 : Bài tập 15 : Bài tập 16 : Bài tập 17 : u1 = 1, v1 =  un +1 = un − 6vn v = u + 6v n n  n +1 u1 =  un +  un +1 = u + n  x = ( xn ) :   xn +1 = 3xn + n + 1, ∀n = 1, 2, +∞ { xn }n=0 : x0 = 99, xn+1 = xn − 2n − 1, n = 0,1, 2, Đáp số xn = 99 − n , ∀n = 0,1, 2,  x1 =  n  xn +1 = xn + , n = 1, 2, Đáp sè: xn = 3n − 2n , ∀n = 1, 2, Bài tập 18 : ( xn ) : Bài tập 19 : +∞ { xn }n=1 : x1 = 101, xn+1 = xn + n +1 , ∀n = 1, 2, Bài tập 20 : { xn }n=1 : x0 = 1, xn+1 = +∞ 1 nπ xn − sin , ∀n = 0,1, 2, 2 nπ , ∀n = 0,1, 2, u1 = 1, un +1 = 2un + n + 2.2n , n ∈ N * Đáp số xn = cos Baứi taọp 21 : §S: un = 5.2n −1 − n2 − 2n − + n.2n , ∀n = 1, 2, Baøi taäp 22 : x1 = 1, x2 = 0, xn +1 − xn + xn −1 = 0, ∀n = 2,3, nπ nπ + sin , ∀n = 1, 2, 3 Bài tập 23 : x1 = 0, x2 = 1, xn +1 − xn − xn −1 = 0, ∀n = 2,3, 1 Đáp số xn = (1)n + 2n , ∀n = 1, 2, Bài tập 24 : Cho dÃy số { p(n)} đợc xác định nh sau: §S: xn = cos p (1) = 1, p (n) = p (n − 1) + p (n − 2) + + (n − 1) p(1) HÃy xác định p(n) với n=1,2, Baứi taọp 25 : x1 = 1, x2 = 0, xn +1 − xn + xn −1 = 2.2n , ∀n = 2,3, Đáp số: un = 9n + 2.2n +1 , ∀n = 1, 2, Baøi taäp 26 :  x1 = 1, y1 =   xn+1 = xn − yn , ∀n ≥  y = x + y , ∀n ≥ n n  n+1 Trang 24 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số n n Đáp số Với n = 1,2, , th× xn = , yn = Bài tập 27 : ( un ) ; ( ) : u0 = 0, v0 = cos α , un+1 = un + 2vn sin α , vn+1 = + 2un cos α ( ∀n ∈ N ) n n    un = sin α (1 + sin 2α ) − (1 − sin 2α )   §S:  , ∀n = 0,1, 2, v = cos α (1 + sin 2α )n + (1 − sin 2α ) n     n Cho dÃy số { xn }n=1 đợc xác định nh− sau: +∞ Bài tập 28 : xn x1 = , xn +1 = (n = 1, 2, ) 2(2n + 1) xn + H·y tÝnh tổng 2001 số hạng dÃy số { xn }n=1 ( Đề thi HSG quốc gia năm học 2000-2001, bảng B ) + ĐS: x1 + x2 + + x2001 = − 4002 = 4003 4003  u1 = Bài tập 29 :  u = − u , ∀n ≥ n −1  n *)un = − u n−1 → aun = − a 2u n −1 → a = → = − 2v n −1 , un = 2vn  3 u1 =  u = 2.32n u − 32n ( n +1) , ∀n ≥ n  n +1 Bài tập 30 : n1 Đặt un = 32 +1 = 2v n − u1 =   2n un +1 = u n − 2.6 , n n 2.62 2n c *)Đặt un = 2.e → +1 = 2v n − 2n c → chän c = ln → +1 = 2v n − 2.e  x0 = a > c >  Bài tập 32 :  1 c   xn +1 =  xn +  , ∀n ≥ 2 xn   Bài tập 31 : x − c *) = n    xn +1 + c  xn + c  xn+1 − c log arit → yn +1 = ( yn )  un +1 = 2un → 2   x1 = ; x2 =  Bài tập 33 :   x − ( n + ) x + ( n + 1)( n + ) x = n ( n + ) , ∀n ≥ n  n + ( n + 1)( n + ) n +1 n ( n + 3) n+3  x x x n+2 *)Chia hai vế cho , ta đợc: n + − n +1 + n = n n+2 n +1 n n+3 n+3 n+2 n +1 → un + − 3un +1 + 2un = n Trang 25 Huỳnh Thanh Luân Baứi taọp 34 : Xác định số hạng tổng quát dÃy số x0 = 1; x1 = 2; x2 =   −2  xn +3 = x n + x n +1.xn Chứng minh dÃy số dơng lấy logrit hai vế để tuyến tính hóa Bài tập 35 :  x0 = a    xn +1 = xn ( − cxn ) , ∀n ≥  *)c = *)c ≠ → cxn +1 = cxn ( − cxn ) = 1 − (1 − cxn )  1 + (1 − cxn )  = −    ⇔ − cxn +1 = (1 − cxn )  x1 = x2 =  Bài tập 36 : xn xn +1   xn + = x − x , ∀n ≥ n n +1  xn xn +1 xn − xn +1 1 xn + = → = =2 − → un + = 2un +1 − un xn − xn +1 xn + xn xn +1 xn +1 xn Bài tập 37 :  x1 = 1; x2 =    xn + = xn +1.xn , ∀n ≥  LÊy logarit hai vÕ Bài tập 38 : x1 = α, xn+1 = axn + bxn + c, ∀n = 1, 2, ®ã a ≠ vµ c = Bài tập 39 : Bài tập 40 : {x } {x } +∞ n n =1 +∞ n n =1 b − 2b 4a : x1 = α, xn+1 = axn + b, ∀n ∈ ℕ* , ab = −2 : x1 = α, xn+1 = axn + b, ∀n ∈ ℕ* , ab = Đặt xn = byn , lu ý đến công thức ch2 = 2sh2 +1 Baứi taäp 41 : {x } +∞ n : x1 = α, xn+1 = xn − 2a , ∀n ∈ ℕ* , a > 0, a ≠ n n =1 n1 Đặt xn = 2a yn , ®ã yn+1 = yn −1, ∀n = 1, 2, Bài tập 42 : {x } +∞ n n =1 n n : x1 = α, xn+1 = 2a xn2 − a ( n+1)2 , n * , a > n1 Đặt xn = a n yn , ®ã yn+1 = yn −1, ∀n = 1, 2, Baøi taäp 43 : {x } +∞ n n =1 : x0 = α, xn+1 = axn − xn , a > Trang 26 ... Trang (1) Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số 1.3 Ta giải số dÃy đặc biệt gọi dÃy số tuần hoàn Định nghĩa DÃy số { xn }n=1 đợc gọi dÃy số tuần hoàn tồn số k N cho xn + k = xn ,... Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số Cho số thực α ≠ vµ d·y sè thùc { xn } , n = 1, 2,3, , xác định bởi: x1 = 0, xn +1 ( xn + α ) = α + ( ∀n = 1, 2, ) a) HÃy tìm số hạng tổng quát dÃy số ®·... Cho dÃy số ( an ) đợc xác định nh sau: a1 = 2, an +1 = − (∀n = 1, 2, ) an Trang 14 Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát dÃy số Chứng minh dÃy số đà cho có giới hạn tính giới hạn dÃy số