LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Hợp, người ủng hộ, động viên cho em lời khuyên sâu sắc, q báu suốt q trình thực khóa luận Em xin cảm ơn thầy, cô khoa Vật Lí trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt thầy tổ Vật Lí Lí Thuyết tận tình giảng dạy, bảo cho em suốt thời gian em học tập khoa Em xin cảm ơn anh chị, bạn khoa giúp đỡ cho em nhiều lời khuyên, lời động viên chân thành, bổ ích, cho em sống, học tập làm việc môi trường thân thiện Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo trường, khoa tạo điều kiện tốt cho chúng em học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình ln ủng hộ chỗ dựa vững cho suốt thời gian học tập Hà Nội, tháng 4, năm 2014 Sinh viên Trần Thị Hương Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Thế kỉ 20, học lượng tử coi thành tựu trí tuệ thời kì Các tính chất học lượng tử giải thích vận hành laze, transistor, kính hiển vi điện tử hay đi-ốt… (các thiết bị điện tử thiếu xã hội nay) Cơ học lượng tử tiên đoán tính chất hạt phù hợp với phép đo thực nghiệm Dù vậy, từ đầu, học lượng tử không công nhận lí thuyết đầy đủ với tất nhà vật lí Einstein-nhà vật lí lỗi lạc thời đại phủ nhận tính đầy đủ lí thuyết Đối với ông luôn tồn thực khách quan độc lập với nhận thức dù cấp độ vi mơ hay vĩ mơ Ơng phủ nhận tính xác suất tồn trạng thái lượng tử với quan điểm”Chúa không chơi xúc sắc” Đặc biệt năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky Nathan Rosen thường gọi nhóm EPR đề xuất nghịch lý EPR (EPR paradox) báo mang tên “Can quantum- mechanical description of physical reality be considered complete?” ( Liệu mơ tả thực vật lí học lượng tử xem đầy đủ hay khơng? ) Nội dung nghịch lý tóm tắt sau: người ta chế tạo cặp hạt rối lượng tử Tách hai hạt xa nhau, đo tọa độ hạt thứ biết tọa độ hạt thứ hai, chúng rối với Ngay sau đó, đo xung lượng hạt thứ hai ta lại biết xung lượng hạt thứ Như ta đồng thời đo xác tọa độ lẫn xung lượng hạt, điều trái với nguyên lý bất định Heisenberg học lượng tử Mãi đến năm 1964, John Bell đưa bất đẳng thức (Bell’s inequality) dạng tham số ẩn mà EPR nghĩ tới khơng tương thích với quan sát Tuy nhiên, rối lượng tử lần đầu đưa EPR tài nguyên quý giá việc phát triển công nghệ lượng tử như: mật mã lượng tử (quantum cryptography), điện toán lượng tử (quantum computing), viễn chuyển trạng thái lượng tử (quantum teleportation), Chúng nhắc đến điều kì lạ song điều kì lạ lại xuất điều kì diệu khoa học công nghệ thông tin lượng tử, lĩnh vực thực thu hút đông đảo nhà khoa học giới thập niên gần đây.[2] Khoa học thông tin kết hợp dựa quy luật vật lí, tốn học, khoa học máy tính kĩ thuật Những nguyên tắc lí thuyết lượng tử áp dụng vào cho phép thơng tin mã hóa trạng thái lượng tử có tính chất kì lạ Song, nghiên cứu gần lí thuyết mang đến nhiều ngạc nhiên Sự phát triển bùng nổ khoa học thơng tin gần quy cho hội tụ hai yếu tố Thứ nhất, lí thuyết thơng tin cổ điển Shannon phát minh năm 1948 nhánh toán học ứng dụng kĩ thuật điện, từ ngày đầu mở rộng phạm vi ứng dụng nhiều hướng khác xử lí thơng tin, mật mã học,… đạt thành công phủ nhận cịn có nhiều hạn chế hạn chế đặt móng cho đời lí thuyết thơng tin lượng tử Thứ hai, phát triển khoa học cơng nghệ kèm theo xuất nhiều phịng thí nghiệm đại, tinh vi có khả thực thao tác kiểm chứng hiệu ứng lượng tử tác động lên trạng thái lượng tử thực có sức lơi mạnh mẽ nhà khoa học tham gia nghiên cứu lĩnh vực Nổi bật giải Nobel vật lí năm 2012 giành cho Serge Haroche David J.wineland, người phát minh phương pháp để thực thao tác cần thiết hạt hệ lượng tử riêng lẻ mà bảo toàn chất lượng tử chúng, mở kỉ nguyên cho nghiên cứu sâu rộng thông tin lượng tử Vào năm 1937, George Stibitz chế tạo máy vi tính sử dụng hệ đếm nhị phân, hay mã nhị phân, để thực tính tốn số học Mã nhị phân dùng hai số Hiện nay, máy vi tính ngồi khả tính tốn phức tạp, sở hạ tầng dịch vụ viễn thông Viễn thông việc truyền dẫn thông tin qua khoảng cách đáng kể mặt địa lí Một hệ thống viễn thơng bao gồm ba thành phần chính: phát nhận thơng tin mã hóa thơng tin thành dạng tín hiệu, mơi trường truyền dẫn truyền tín hiệu thu nhận tín hiệu giải mã thành thông tin ban đầu Hiện nay, môi trường truyền dẫn sử dụng vô tuyến, sợi quang kết hợp với vệ tinh thông tin internet Tập hợp phát, thu thông tin với gọi mạng Mạng thông tin bao gồm phận tổng đài dùng để thiết lập kết nối Khi truyền tín hiệu dạng bit cổ điển dễ dàng bị đọc chép trộm cách y nguyên mà không bị phát hiện, thơng qua hệ thống tổng đài truyền thơng cổ điển q trình khơng an tồn Năm 1982, Feynman vật lí lượng tử mô tả cách hiệu máy tính cổ điển, ơng nghĩ đến loại máy tính có hoạt động ngun tắc học lượng tử giải vấn đề khó mà máy tính số bình thường khơng thực Đến năm 1985 David Deutsch dựa vào tính chất lượng tử song song tồn máy tính lượng tử với việc xử lí thơng tin mã hóa bit lượng tử cách hồn hảo Hơn nữa, lí thuyết lượng tử cịn cho phép tồn trạng thái đặc biệt qubit trạng thái rối lượng tử, tính chất lạ lùng, mối tương quan phi định xứ vô tinh tế phần hệ lượng tử, điều mà lí thuyết cổ điển khơng có Các hạt rối với có tính chất thật đặc biệt: Một phép đo hạt ảnh hưởng đến trạng thái hạt cho dù chúng cách xa bao xa Đáng kinh ngạc hơn, hạt lượng tử rối với cho dù trước chúng khơng có tương tác thơng qua tượng tráo rối lượng tử (entanglement swapping) Cách vài thập niên, rối lượng tử trở thành chủ đề nghiên cứu chuyên sâu nhà khoa học quan tâm đến lí thuyết lượng tử trở thành nguồn tài ngun vơ có giá trị nhà khoa học khai thác cách hữu ích, điều kiện cần để hồn thành nhiều nhiệm vụ mang tính chất khơng tưởng, ví dụ như: mật mã lượng tử, Viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) hay chia sẻ bí mật thơng tin lượng tử… Hiện nay, vấn đề bảo mật truyền tải thông tin vơ quan trọng Cũng mà nhà khoa học khơng ngừng tìm kiếm cách thức để thơng tin an tồn tuyệt đối truyền Các giao thức bảo mật thông tin đời Giao thức bảo mật đại khám phá mật mã lượng tử Một công nghệ bảo mật thông tin truyền truyền thông quang, thông qua sợi quang học Mật mã lượng tử loại mật mã dựa vào quy luật tự nhiên, loại mật mã khơng thể cơng sức mạnh tính tốn Cho dù mục đích đời chống lại hiệu ứng máy tính lượng tử thật kì diệu mật mã lượng tử thực hóa thành cơng trước đời máy tính lượng tử Giao thức tiến hành thành công vào năm 1991 đường truyền dài 32 cm theo thể thức BB84.[1,10] Đầu năm 2012, nhà nghiên cứu châu Âu sử dụng laser để truyền thành cơng photon hai hịn đảo, nằm quần đảo Canary Đúng vào lúc chùm laser quần đảo chùm laser giống hệt lại xuất quần đảo khác cách 143 km, nên người ta thấy chùm sáng di chuyển tức thời Các nhà khoa học gọi Viễn chuyển trạng thái lượng tử Viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) giao thức đề xuất lần Bennet với cộng ông vào năm 1993 Thành phần VCTTLT kênh rối lượng tử phép đo Bell, kết hợp với kênh truyền tin cổ điển Để hiểu rõ hoạt động giao thức xét toán Alice Bob hai người sống hai nơi khác biệt, với họ tạo chung với cặp rối Nhiều năm sau đó, Alice giao nhiệm vụ chuyển cho Bob trạng thái lượng tử an toàn nguyên vẹn Cả Alice Bob trạng thái Alice gửi trực tiếp trạng thái qua kênh truyền cho Bob bị thất lạc nghe trộm May mắn họ tạo với cặp rối từ trước nên nhiệm vụ hồn thành việc Alice gửi lượng nhỏ bit cổ điển từ kết phép đo cô Sau nhận kết quả, Bob cần thực thao tác địa phương thu trạng thái cần gửi Đến đây, nhiệm vụ Alice hồn thành Chúng ta đặt tình điều xảy Alice biết trạng thái cần gửi? Một giao thức đời, Viễn tạo trạng thái lượng tử (VTTTLT) Tuy nhiên, VTTTLT, thông tin để lộ cho Alice biết, khả thông tin bị rò rỉ cao Khắc phục điều này, đảm bảo thơng tin an tồn tuyệt đối, ý tưởng đời ta thêm người gửi, tức gồm hai người gửi, giả sử bao gồm Alice Charlie Thông tin trạng thái cần gửi tách làm hai phần theo quy tắc định đó, người tham gia gửi biết phần thơng tin Trong trường hợp thay thực phép đo Bell lên qubit Người gửi thực phép đo von Neumann qubit dựa hệ sở phụ thuộc vào thông tin trạng thái gốc Nhờ thơng tin đảm bảo an tồn tuyệt đối Giao thức thực gọi Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (ĐVTTTLT).[2] Để hoàn thành toán truyền tin theo phương thức ĐVTTTLT, người gửi người nhận ban đầu phải chia sẻ với trạng thái rối giống nguồn tài ngun khơng thể thiếu cho q trình thực Các nguồn rối vơ phong phú, họ tạo với cặp rối EPR, trạng thái rối Greenberger-Home-Zeilinger(GHZ) hay trạng thái W,… Việc tạo phân phối rối lượng tử vấn đề khó thực tốn Việc tạo rối đôi đơn giản dễ thực nhiều so với việc tạo rối nhiều thành phần hơn, thao tác kiểm tra phân phối rối cho hai người đơn giản tốn hơn, đó, việc sử dụng đơn giản có lợi kinh tế Người ta thấy việc tạo rối EPR tốn kinh tế loại rối khác [1] Xác suất thành công giao thức vấn đề quan trọng, phụ thuộc vào loại rối chọn Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày “ Sự phụ thuộc xác xuất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào lựa chọn nguồn rối ” Mật mã lượng tử xuất kéo theo xuất nhiều đề án, đề án “ chữ kí số ” Con người sử dụng hợp đồng dạng điện tử từ 100 năm với việc sử dụng mã Morse điện tín Tuy nhiên, với phát triển khoa học kỹ thuật gần chữ ký điện tử vào sống cách rộng rãi Hiện nay, chữ ký điện tử bao hàm cam kết gửi email, nhập số định dạng cá nhân (PIN) vào máy ATM, ký bút điện tử với thiết bị hình cảm ứng quầy tính tiền, chấp nhận điều khoản người dùng (EULA) cài đặt phần mềm máy tính,ký hợp đồng điện tử online Chúng ta có tốn sau: Alice muốn gửi thông tin cho Bob muốn Bob biết thơng tin thực Alice gửi Alice gửi cho Bob văn kèm với chữ ký số Chữ ký tạo với khóa bí mật Alice Khi nhận văn bản, Bob kiểm tra thống văn chữ ký thuật tốn kiểm tra sử dụng khóa cơng khai Alice Bản chất thuật toán tạo chữ ký đảm bảo cho trước văn bản, khó (gần không thể) tạo chữ ký Alice khơng biết khóa bí mật Alice Nếu phép thử cho kết Bob tin tưởng văn thực Alice gửi Thơng thường, Alice khơng mật mã hóa tồn văn với khóa bí mật mà thực với giá trị văn Điều khiến việc ký trở nên đơn giản chữ ký ngắn Tuy nhiên, làm nảy sinh vấn đề hai văn khác lại cho giá trị băm Đây điều xảy xác suất thấp.[3] Vật lý hệ lượng tử mở cánh cửa khả hấp dẫn cho mật mã, vẽ truyền tải khoa học diện kẻ cơng Một mục tiêu mật mã cổ điển để xác nhận nguồn gốc văn Giống chữ ký viết tay tài liệu giấy, chữ ký số xác nhận tài liệu điện tử đảm bảo không bị giả mạo Tầm quan trọng kỹ thuật số chữ ký để thương mại điện tử đại mà Rivest viết " chúngcó thể chứng minh phát minh hữu ích mật mã đại " Sự an toàn tất cách thức chữ ký kỹ thuật số khóa cơng khai phụ thuộc vào bất lực kẻ giả mạo, để giải vấn đề tốn học khó, chẳng hạn phân tích thành thừa số số lớn Không may, với máy tính lượng tử, phân tích thành thừa số trở nên dễ kiểm sốt, cho phép chữ ký bị giả mạo.[8] Chữ kí số phát triển mạnh, văn vừa không bị quên người nhận, vừa khơng bị cơng Sự an tồn chữ kí số phải dựa sở máy điện tốn phức tạp ví dụ EIGamal DSA.Tuy nhiên, bị cơng mối đe dọa vào máy tính số bật máy tính lượng tử phân phối dễ dàng Trong mật mã lượng tử, giảm phức tạp, ví dụ, vấn đề phân tích thừa số nhanh hơn, với nguồn lượng nhỏ mật mã cổ điển sử dụng trạng thái lượng tử song song Khác với mật mã cổ điển, mật mã lượng tử có sở tính chất vật lí, ví dụ, người nghe trộm dị đổ sập trạng thái lượng tử trình đo Thơng tin chữ kí lượng tử (QMS) cơng nghệ mà kết hợp lí thuyết lượng tử với mật mã cổ điển tận dụng kết đo lượng tử để hoàn thành tuyệt đối an tồn Zeng nghiên cứu phân phối thơng tin chữ kí lượng tử ba trạng thái GHZ, đề án ông thuộc cách phân xử phân phối chữ kí, người trọng tài đáng tin cậy có người kí Lee đề xuất đề án chữ kí lượng tử với phục hồi văn bản, cách phân chia sử dụng bảng công khai Cách phân chia ông ta, cung cấp thêm lợi ích người trọng tài chữ kí kí người Trong đề án chữ kí này, người trọng tài hệ thống đạo lấy thơng tin nội dung văn Vì vậy, an toàn người xác nhận phân phối chữ kí phụ thuộc nhiều vào tính chất đáng tin cậy người trọng tài Hơn nữa, tồn người trọng tài giảm bớt hiệu truyền thông tin phương thức Viễn chuyển trạng thái lượng tử có vai trị quan trọng cơng nghệ truyền thơng tin lượng tử, phát minh Bennett phát triển nhiều nhà khoa học khác Sự phân phối viễn chuyển trạng thái lượng tử thực cách thận trọng lần xuất Karlsson Bourennane Đó ý tưởng tương tự (giống) với cách chia sẻ bí mật lượng tử, đưa Hillery, tùy theo phân phối họ, bao gồm ba người tham gia, kênh lượng tử quản lí người tham gia này, trạng thái ban đầu chuyển tất ba người tham gia đồng ý.[5] Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày giao thức cho thơng tin chữ kí lượng tử với trạng thái GHZ điều khiển viễn chuyển lượng tử Điểm đặc biệt giao thức văn kí nhiều người khơng dựa vào người trọng tài Tuy đánh giá cao giao thức bị công nhiều cách khác có công hạt rối phụ trợ [11] Trong luận chúng tơi trình bày phương thức đảm bảo an tồn thơng tin trước công hạt rối phụ trợ Phương pháp nghiên cứu: Để giải vấn đề đặt sử dụng lý thuyết sau: 1/ Cơ học lượng tử 2/ Định lí khơng thể nhân trạng thái lượng tử 3/ Các cổng logic lượng tử 4/ Phép đo lượng tử Ý nghĩa thực tiễn: Đánh giá phụ thuộc xác suất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào rối lượng tử Nghiên cứu giao thức viễn chuyển chữ kí lượng tử, cách công hạt rối phụ trợ đề xuất giao thức đảm bảo an tồn viễn chuyển chữ kí lượng tử trước công hạt rối phụ trợ 4.Bố cục Bố cục khóa luận gồm chương: ● Chương 1: Các khái niệm (giới thiệu khái niệm cần thiết cho việc tính tốn phần sau) ● Chương 2: Sự phụ thuộc xác xuất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào lựa chọn nguồn rối ( Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử phụ thuộc xác xuất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng vào lựa chọn nguồn rối ) ● Chương 3: Viễn chuyển chữ kí lượng tử ( Chúng tơi trình bày chữ kí lượng tử, viễn chuyển chữ kí lượng tử cách cơng hạt rối phụ trợ, đề xuất giao thức chống lại công giao thức hạt rối phụ trợ ) thể bị phát mà Alice khơng biết Lúc này, Oscar giả mạo R mà M a khơng tìm S Trong bước sáu, với giúp đỡ ba GHZ, Bob nhận giả mạo 3.3.3 Phân tích an tồn q trình phân xử chữ kí lượng tử Một q trình chữ kí an tồn phải thỏa mãn điều sau: người kí khơng thể chối bỏ chữ kí, người nhận kẻ cơng khơng thu chữ kí khóa chữ kí Bây giờ, chúng tơi phân tích an tồn q trình chữ kí a) Chữ kí bị giả mạo Bob không trung thực kẻ cơng tìm cách giả mạo chữ kí Alice Trong phần này, chúng tơi rằng, Bob kẻ công giả mạo chữ kí văn Giả sử Bob người không trung thực cố gắng giả mạo chữ kí Alice Nếu thành cơng thay đổi chữ kí Alice để tạo chữ kí để văn có ích cho Khóa K a giữ bí mật Alice người trọng tài Bob thu trạng thái R ( xem phương trình (3.10) ) Hơn nữa, tham số γ khơng xác nên giả mạo bị phát người trọng tài giải chanh chấp Bob Charlie Kẻ công thành cơng thành cơng thuật tốn chúng tơi, thông số công khai P , S , yb , ytb khơng cung cấp khóa bí mật K a , K b Đặc biệt, kẻ cơng giữ khóa Alice Bob, kẻ giả mạo thu trạng thái ban đầu Điều kẻ cơng khơng có quyền truy cập vào kết đo Alice M a , bí mật có liên quan đến tạo chữ ' kí lượng tử S ( xem lại phương trình (3.10) ) Điều kiện kiểm tra P = P không thỏa mãn M a sai b) Người kí khơng thể phủ nhận Nếu Alice phủ nhận chữ kí ấy, điều dễ bị phát Chuỗi khóa Alice bao gồm chữ kí S , vậy, Alice Bob tham gia vào vụ 59 tranh chấp phủ nhận Alice, họ phải gửi văn chữ kí S cho người trọng tài Nếu chữ kí S bao gồm khóa K a Alice chữ kí thực Alice Nếu chữ kí khơng bao gồm K a Alice chứng tỏ bị giả mạo Bob kẻ công Vậy trọng tài có vai trị đánh giá xem Alice có chối bỏ chữ kí hay khơng c) Khơng thể bị từ chối người nhận Q trình chữ kí thơng thường chữ kí số cho khơng thể phủ nhận Bob nhận văn Alice Thuật tốn chúng tơi có tính chất này, tức Bob phủ nhận anh nhận chữ kí S chuỗi qubit thơng tin P Trong trình kiểm tra, Bob thu yb bước gửi cho Alice người trọng tài q trình cũ Sau đó, Alice ~ thu chữ kí S = K a (M a , R , yb ) gửi cho trọng tài Chúng tơi nhấn mạnh rằng, Alice khơng thể thu khóa Bob Yb Người trọng tài sau sửa đổi yta bước ba giai đoạn kiểm tra ~ ~ y tb = K b ( M a , M b , M t , γ , S ) ~ Sau thay đổi, khóa Alice Bob có chữ kí S , Bob khơng thể phủ nhận thực tế nhận văn từ Alice Các nguyên tắc chung tất bước chi tiết trình chữ kí lượng tử mơ tả giải thích Q trình có tương đồng với q trình chữ kí số, vị trí phương pháp lượng tử nhấn mạnh Q trình chữ kí lượng tử gồm ba giai đoạn: giai đoạn đầu, giai đoạn chữ kí, giai đoạn kiểm tra Khóa chuẩn bị phân phối với vướng víu tạo người truyền thông tin bao gồm trọng tài Giai đoạn chữ kí, chữ kí lượng tử tạo kết hợp với văn cổng lượng tử, khóa, trạng thái GHZ phép đo Bell Người nhận kiểm tra tính xác thực chữ kí giai đoạn kiểm tra Tương tự q trình chữ kí cổ điển có tham gia người trọng tài, việc kiểm tra chữ kí 60 q trình phân xử chữ kí lượng tử cần có giúp đỡ trọng tài Thuật toán đề xuất phải thực tế Phân tích an tồn q trình đề xuất an tồn khơng thể từ chối người kí, khơng thể phủ nhận người gửi Ngồi cách truyền thơng tin chữ kí lượng tử cách sử dụng đề phán xử chữ kí lượng tử cịn viễn chuyển chữ kí lượng tử 3.4 Viễn chuyển chữ kí lượng tử Sau chúng tơi trình bày sở lí thuyết q trình viễn chuyển chữ kí lượng tử [5] 3.4.1 Cơ sở lí thuyết: Trạng thái GHZ trạng thái rối qubit có dạng: ψ = ( 000 + 111 ) 123 (3.20) Giả sử rằng, người gửi Alice, người sở hữu tất hạt chọn phép biến đổi lên trạng thái trên: Biến đổi 1: Nếu Alice dùng cổng CNOT tác động lên hai qubit (qubit thứ qubit mục đích qubit thứ hai qubit điều khiển), trạng thái ba hạt biến thành: π = ( 000 + 011 ) 123 π = CNOT21 ψ = => π = ⊗ ( 000 + 011 )123 , ( 00 + 11 ) 23 (3.21) Hệ ba hạt biến đổi thành hai hệ độc lập hai qubit cuối trạng thái + Bell φ Biến đổi 2: Nếu Alice dùng toán tử Unita dạng: 0 1 σx = 1 0    (3.22) lên ba qubit trạng thái GHZ, có: ψ ' =σx ψ = ( 001 + 110 ) σ x tác động lên qubit thứ 61 123 (3.23) Sau đó, dùng cổng CNOT lên trạng thái làm bước cô có: π ' = CNOT21 ψ ' = ( 001 + 010 ) = 01⊗ 123 ( 01 + 10 ) 23 (3.24) + đó, qubit cuối trạng thái Bell ψ Bây giờ, giả sử rằng, Alice muốn chuyển trạng thái đơn lẻ hạt M cho Bob, trạng thái là: ψ M = a +b1 (3.25) 2 đó, a b thỏa mãn a + b = Do đó, thông báo phép biến đổi mà cô chọn Sau đó, Alice giữ hạt tay chuyển hạt M hạt cho Charlie, hạt cho Bob Hạt M, trở thành trạng thái φ1 = (a + b )M ⊗ M 23 φ2 = (a + b )M ⊗ M 23 2 ( 00 + 11 ) 23 ( 01 + 10 ) 23 (3.26) (3.27) Có thể viết thành: φ1 φ2 M 23 M 23 +  +   φ M (a + b )3 + ψ M (a + b )3  = + φ − (a − b )3 + ψ − M (a − b )3  M2   +  +   φ M (a + b ) + ψ M (a + b )3  = + φ − (a − b )3 + ψ − M (a − b )3  M2   (3.28) (3.29) đó: φ± ψ± M2 M2 = = 2 ( 00 ± 11 ) M ( 01 ± 10 ) M2 (3.30) 62 Alice Charlie Bob M ψ M M 2 U GHZ a b ψ c Hình 3.1: Sự phân phối giao thức chữ kí lượng tử a)Alice thực biểu diễn trạng thái GHZ để thu S A b)Charlie thực phép đo Bell M2 để thu S C c)Bob thực bước hạt để kiểm tra chữ kí Sau nhận hạt M, từ Alice, Charlie thực phép đo Bell qubit M 2, sau thơng báo kết tác dụng anh Tùy vào cách chọn { } + − + − phép biến đổi Alice phép đo sở φ , φ , ψ , ψ , Bob tìm lại nguyên hạt M từ hạt ψ = (a + b )3 (3.21) cách sử dụng toán tử biến đổi liệt kê bảng Bảng 1: Phép biến đổi Alice, kết đo Charlie cổng tương ứng mà Bob phải dùng để thu trạng thái ban đầu Alice chọn phép biến đổi Kết phép đo Phép biến đổi tương ứng hạt GHZ Charlie hạt M φ+ Bob hạt φ− σz ψ+ σx ψ− σz σx φ+ σx φ− σz σx Biến đổi Biến đổi 63 I M ψ+ I ψ− σz Trong đó, ma trận cột là: 1 0 0 1 1  I =   ; σ x =   ; σ z =  − 1            (3.22) Bây giở, xem xét trạng thái nguyên ban đầu M xây dựng lại Giả sử, Alice thông báo rằng, cô thực biến đổi hạt GHZ, sau đó, gửi tập hạt M,2 Alice gửi hạt cho Bob Nếu Charlie thực phép đo Bell lên hai qubit M,.2 thông báo kết đo φ − , sau Bob thực tác động σ z lên hạt để tìm lại trạng thái hạt M Chúng ta kết thúc việc thu lại trạng thái nguyên hạt M, sử dụng hạt GHZ kênh chuyển đến Bob trợ giúp Charlie 3.4.2 Mơ tả giao thức viễn chuyển chữ kí: Bây giờ, xem xét Alice Charlie hoàn thành chữ kí văn lượng tử nào, sau đó, Bob xác nhận văn chữ kí (xem hình 3.1) Chúng ta chứng tỏ văn mà Alice gửi cho Bob M, chữ kí Alice S A chữ kí Charlie S C Giai đoạn đầu: 1) Alice chuẩn bị hệ n hạt rối trạng thái ψ { ψ (1) 123 , ψ (2) 123 , ψ (3) 123 , , ψ (n) 123 123 biểu diễn là: } 2) Alice chuẩn bị qubit sở ( , ), tương ứng với văn cổ điển M, trạng thái n hạt viết: ψ M { = ψ (1) M , ψ (2) M , , ψ (n) M } = { a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn } đó, = bi = = bi = 64 (3.23) 3) Để giữ bí mật chữ kí, Alice chia sẻ chìa khóa lượng tử K a với Bob, Charlie chia sẻ chữ kí lượng tử K C cho Bob Chúng thiết lập chìa khóa bí mật giao thức BB84 Giai đoạn chữ kí: Bước 1: Alice thực biến đổi hai lên ba tùy theo K a i Nếu K a = , cô thực biến đổi ψ biến đổi hai ψ (i) 123 123 i Nếu K a = , cô thực , Alice ghi lại: T A = {T (1), T ( 2), T (3), , T (n)} Ti ∈ {“ biến đổi ”, “ biến đổi ”}, mã hóa T A ( a i , bi ) với khóa K a Cơ có chữ kí S A = E K a {T A , (a1 , b1 ), (a , b2 ), , (a n , bn )} (3.24) Bước 2: Với ba, Alice rời hạt cho gửi tập hợp hạt { M ( i )} tương ứng với hạt đến Charlie, đồng thời cô gửi S A với hạt đến Bob, Alice kết thúc bước cô cho chữ kí văn M Bước 3: Sau nhận { M ( i )} hạt từ Alice, Charlie thực phép đo Bell lên qubit M2 với { ghi lại kết } β C = { β (1), β (2), β (3), , β (n)} với ( β (i ) ) ∈ φ + , φ − , ψ + , ψ − Anh mã hóa β C với K C thành: S C = E KC ( β C ) S C chữ kí Charlie cho văn M Bước 4: Charlie gửi S C cho Bob Giai đoạn xác minh Bob xác minh chữ kí Alice Charlie bước sau: Bước 1: Sau nhận S A với hạt từ Alice, S C từ Charlie Bob giải mã S A thành T A { ( , bi )} K a giả mã S C thành β C K C Bước 2: Bob thực tương tự biến đổi U hạt với thu giá trị T ( i ) β ( i ) , phương pháp biến đổi trình bày bảng 65 + VD: Nếu T (1) = “ Biến đổi ” β (1) = φ sau Bob tác động I lên hạt ba Bước 3: Bằng biến đổi Bob, hạt tìm lại dạng: ψ (i ) ( ) = a i' + bi' Bob đo trạng thái hạt trên hệ sở { , } đọc giá trị ' ' bi Bước 4: Bob so sánh ( ai' , bi' ) với ( a i , bi ) ' ' Nếu = , bi = bi anh chấp nhận S A S C chữ kí văn M theo thứ tự kí Alice Charlie 3.4.3 Phân tích an tồn viễn chuyển chữ kí lượng tử Văn kí khơng thể bị lộ giao thức chúng ta, Alice gửi { M ( i )} cho Charlie, Charlie phải biết nội dung văn anh kí Ngồi ra, khơng bắt hạt này, để lộ thơng tin ngồi phép đo Điều khơng gây lỗi cho giao thức chúng tơi Alice gửi mật mã { ( a1 , b1 ) , ( a , b2 ) , , ( a n , bn )} K a đến Bob Tuy nhiên, việc quên văn tìm thấy Bob Sự an tồn giao thức chữ kí phụ thuộc vào việc chữ kí khơng thể bị qn người kí khơng thể phủ nhận chữ kí anh Chúng tơi chứng minh rằng, biểu diễn giao thức chữ kí an tồn a) Khơng thể giả mạo Trong giao thức chúng tơi, chữ kí Alice S A mã hóa K a chữ kí Charlie S C = K C ( β C ) mã hóa K C Bởi K a K C phân bố theo đường giao thức QKD chứng tỏ bảo đảm tuyệt đối kẻ công ' ' Eve giả mạo S A S C Nếu Eve tình cờ chọn hai khóa K a K C để thực giao thức, công chiến lược bị phát Bob với xác suất lớn 1- K a + KC , K a K C hiểu độ lớn K a K C theo thứ tự Nếu K a + K C >> xác suất xấp xỉ 66 Chúng ta giả sử Alice không trung thực thử giả mạo chữ kí ấy, nhiên, chữ kí việc dùng phép biến đổi lên ba theo K a , chữ kí giống hệt với K a biết Bob Alice có kế hoạch gian lận gửi T A = {T (1), T ( 2), T (3), , T (n)} S A theo K a Thực tế, cô dùng phép biến đổi ngược lên ba để gian lận Bob Nhưng cô biết kết đo Charlie nên giả mạo nội dung cột bảng giả mạo nội dung cột 2, kế hoạch gian lận bị phá vỡ tương quan viễn chuyển phát Bob Giả sử rằng, Charlie không trung thực cố gắng giả mạo chữ kí anh { S C , anh cố tình chọn phép đo Bell sai (một số φ + , φ − , ψ + , ψ − }) để thay cho kết đo xác Có thể nói anh giả mạo nội dung cột bảng gia mạo cột để thu S A , giả mạo anh bị phát sai lệch kết tương quan viễn chuyển Giao thức cần Alice Charlie hợp tác để hồn thành chữ kí văn bản, khơng có khả Alice Charlie thông đồng gian lận Bob b) Khơng thể phủ nhận Chữ kí S A Charlie bao gồm khóa bí mật K a , chữ kí Charlie bao gồm khóa bí mật K C Alice Charlie phủ nhận tương ứng họ Nhưng kĩ xảo kiểm tra chiều chữ kí mật mã cổ điển, văn kí coi chìa khóa bí mật phủ nhận chữ kí anh Tuy nhiên, giao thức có sở chất học lượng tử, có nhiễu loạn hạt rối cơng Ví dụ, ngăn chặn Eve kết đo phá hủy tương quan trạng thái rối dễ để phát Cho nên Alice, Charlie Bob phủ nhận họ dùng cổng tương ứng lên hạt Nói cách khác, người kí khơng thể phủ nhận chữ kí họ người xác minh khơng thể phủ nhận chữ kí c) Xem xét vấn đề người tham gia Alice Charlie 67 Trạng thái Alice khác so với Charlie, Alice chuẩn bị văn người thực kí Nhưng Charlie biết phận văn chữ kí, vậy, điều tự nhiên ta phải xem xét người tham gia Alice Charlie giao thức Trong thực tế, có người dùng khác, người mà thay cho Alice để chuẩn bị trạng thái GHZ, điều hạn chế hiệu truyền thông giao thức Thường xuyên tồn khả rằng, số khơng trung thực, phải xem xét người tham gia Alice Charlie Tuy có ưu điểm so với giao thức khác giao thức viễn chuyển chữ kí lượng tử bị công cách: Tấn công cách gửi lại, công giả mạo Bob, cơng từ bên ngồi, cơng hạt rối phụ trợ Trong khóa luận này, chúng tơi tập trung nghiên cứu rối lượng tử nên chọn cách công hạt rối phụ trợ để nghiên cứu đề giao thức an toàn trước công hạt rối phụ trợ 3.5 Hạt rối công phụ trợ Nếu Charlie giành trạng thái mong muốn việc công hạt rối phụ trợ [11] giao thức khơng an toàn Trong Alice gửi tất hạt 2, Charlie làm rối hạt phụ trợ vào trạng thái Bell cổng CNOT sau gỡ rối ngồi cổng CNOT khác, qubit điều khiển hai cổng CNOT qubit thứ trạng thái Bell qubit mục đích hạt phụ trợ Để trạng thái Bell hạt phụ trợ kết hợp thành hệ thống phức hợp, mang đến xuất trường hợp sau: Ω 11 = φ+ = = Ω 21 2 = ψ+ = = 2 23 ⊗ ( 00 23 ( 000 23 g + 11 ( 01 23 ( 010 23 g g ) (3.25) g + 10 23 g )⊗ + 110 23 g ⊗ 23 23 )⊗ + 100 23 g g ) (3.26 ' ) 68 đó, (3.25), (3.25 ' ) đặc trưng cho hai trường hợp sử dụng biến đổi biến đổi hai theo thứ tự Chỉ số g biểu thị cho hạt phụ trợ Nếu Charlie thực cổng CNOT2 g , trạng thái Bell hạt phụ trợ hệ tương quan biến thành Ω 12 Ω 22 = ( 000 = 23 g + 111 23 g ) (3.26) ( 010 23 g + 101 23 g ) (3.26 ' ) Bây giờ, Charlie tác động cổng CNOT3 g lên qubit hạt phụ trợ, Ω Ω 22 12 trở thành trạng thái khác sau đây: Ω 13 = = 2 + = φ Ω 23 = = 2 ( 000 ( 00 23 23 g 23 + 110 + 11 23 23 g ) )⊗ g ⊗ g ( 011 ( 01 23 g 23 (3.27) + 101 + 10 23 23 g ) )⊗ g (3.27 ' ) Chúng ta thấy hạt phụ trợ bị gỡ rối từ nhiều hạt trạng thái rối, từ (3.27) (3.27 ' ) Quan trọng hơn, trạng thái nguyên ảnh hưởng phép biến đổi khác đơn lẻ Kết quả, Charlie tận dụng tác động để công, thực mà không để lại dấu vết Hơn nữa, Charlie đo hạt phụ trợ hệ sở { , } , thu thông tin phép biến đổi dùng Từ đó, từ trạng thái g mơ tả trường hợp trên, g = , Alice sử dụng phép biến đổi 1, g = , Alice sử dụng phép biến đổi Có thể nói, tìm thấy thuộc tính mang lại khả không thành thực Charlie để gian lận giao thức Tương tự tranh luận từ trước, Charlie thu tồn phép biến đổi mà Alice sử dụng đo văn bản, sau đó, hồn tồn thu khóa bí mật K a để đạt giả mạo 69 3.6 Giao thức đảm bảo an tồn trước cơng hat rối phụ trợ Vì giao thức có hai phép biến đổi nên dễ dàng bị công hạt rối phụ trợ giao thức chúng đề xuất thêm hai phép biến đổi khác sau: Biến đổi 3: ψ = ( 000 + 111 ) 123 Đầu tiên, ta dùng cổng σ z tác động lên hạt trạng thái ψ σz ψ = ( 000 − 111 ) 123 Sau dùng cổng CNOT21 tác dụng lên trạng thái vừa thu được: π '' = CNOT21σ z ψ = = 01⊗ ( 00 ( 000 − 011 ) 123 − 11 ) − = 01⊗φ (3.28) 70 Biến đổi 4: ψ = ( 000 + 111 ) 123 Đầu tiên tác dụng cổng CNOT21 lên trạng thái ψ CNOT21 ψ = ( 000 + 011 ) 123 Sau đó, dùng cổng σ x tác dụng lên hạt trạng thái vừa thu được: σ x CNOT21 ψ = ( 001 + 010 ) 123 Tiếp theo, tác dụng σ z lên hạt trạng thái vừa thu được: π ''' = σ z σ x CNOT21 ψ = ( 001 − 010 ) = ⊗ ( 01 − 10 123 ) 23 − = 01⊗ψ (3.29) Từ ta có: φ3 M 23 = (a + b ) M ⊗ ( 00 − 11 ) 23 −  +  φ M (a − b )3 + φ M (a + b )3 = + ψ + (− a + b )3 + ψ − M (− a − b M2  φ4 M 23   )3   (3.40) −  +   φ M (a − b )3 + φ M (a + b )3  = + ψ + (− a + b )3 + ψ − M (− a − b )3  M2   (3.41) = (a + b )M ⊗ ( 01 − 10 ) 71 23 Bây bảng bổ sung sau: Alice chọn phép biến đổi Kết phép đo Phép biến đổi tương ứng hạt GHZ Charlie hạt M φ+ Bob hạt φ− σz ψ+ σx ψ− σz σx φ+ σx φ− σz σx ψ+ I ψ− σz φ+ σz φ− I ψ+ σx σz ψ− -i σ z σ y φ+ iσy φ− σx ψ+ -i σ y σ x ψ− −σ y Biến đổi Biến đổi Biến đổi Biến đổi I Khi đó, Charlie cơng hạt rối phụ trợ ta có: Ω 31 = φ− = = Ω 41 2 = ψ− = = 2 23 ⊗ ( 00 ( 000 23 g − 11 ) 23 ⊗ g − 110 ⊗ 23 g (3.42) g ( 01 − 10 ) ( 010 ) 23 − 100 ⊗ ) 23 g g (3.43) 72 Tác động cổng CNOT2 g lên hai trạng thái (3.42), (3.43) ta có: Ω 32 Ω 42 = CNOT2 g Ω 31 = CNOT2 g Ω 41 = = 2 ( 000 − 111 ) 23 g (3.44) ( 010 − 101 ) 23 g (3.45) Tác động cổng CNOT3 g lên hai trạng thái (3.44), (3.45 ta có: Ω 33 = CNOT3 g Ω = = Ω 43 2 ( 00 = 2 = ( 000 − 11 ) 23 ⊗ − 110 ) 23 g g φ− ⊗ g = CNOT3 g Ω = 32 42 = ( 01 − 10 ) 23 (3.46) ( 011 − 101 ) ⊗1 23 g g ψ− ⊗1 g (3.47) Như thấy,.chúng bổ sung hai phép biến đổi trên,nếu Charlie cơng hạt rối Charlie thu trạng thái hạt rối g phân biệt Alice dùng phép biến đổi hay phép biến đổi 3,tương tự, Charlie thu trạng thái hạt rối g khơng thể phân biệt Alice dùng phép biến đổi hay phép biến đổi 4,tức Charlie khơng thu khóa bí mật K a để thực việc gian lận hạt rối phụ trợ Vì vậy, giao thức mà chúng tơi đề xuất khóa luận an toàn so với giao thức trình bày tài liệu [5] KẾT LUẬN Trong khn khổ khóa luận chúng tơi nghiên cứu rối lượng tử vấn đề sau: - Rối lượng tử đồng viễn tạo trạng thái lượng tử 73 ... thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào lựa chọn nguồn rối ( Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử phụ thuộc xác xuất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng vào lựa chọn nguồn rối ) ● Chương... nhân trạng thái lượng tử 3/ Các cổng logic lượng tử 4/ Phép đo lượng tử Ý nghĩa thực tiễn: Đánh giá phụ thuộc xác suất thành công đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào rối lượng tử Nghiên cứu. .. rối lượng tử sử dụng để viễn chuyển trạng thái lượng tử trạng thái EPR (1.25) Trong Alice giữ qubit A, Bob giữ qubit B Trạng thái lượng tử (1.2) kênh rối lượng tử (1.25) tạo thành giao thức lượng