Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP - DANKO- TẬP 1. MỘT QUYỂN SÁCH RẤT NỔI TIẾNG MÀ CÁC BẠN SINH VIÊN KHÔNG NÊN BỎ QUA!
п. Е. ДАН КО} А. Г. ПОПОВ} Т. я. КОЖЕВНИКОВА Высшая математика в упражнениях и задачах в двух частях Часть 1 б-е издание Москва « ОНИКС 21 век» « Мир и Образование» 2003 УДК 516+517 ББК 22.lя73 Д17 Данко п. Е. Все права защищены. Переnе'/атка отдеАЬНЫХ глав II nроuзведеНllЯ в целом без 1ll1L'b",reHHO~O разреUlения вАадеАЬцев прав запрещена. ДI7 Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: Учеб. пособие для вузов / п. Е. Данко, А. Г . Попов, Т . Я. Кожевникова . - б-е изд. - М.: 000 «Издательский дОМ «ОНИКС 2] век »: 000 «Изда тельство «Мир И Образование » , 2003. - 304 с.: ил. ISBN 5-329-00326-] (000 «Издательский дОМ «ОНИКС 21 век») ISBN 5-946бб-008-Х (000 «Издательство «Мир И Образование » ) Содержание первой части охватывает следующие разделы программы: ана литическую геометрию, основы линейной алгебры . дИфференциаЛЬНQе исчисле · нне функций одной и нескольких переменных. интегральное исчисление функ ций одной переменной, элементы линейного программирования. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведеиия. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое коли чество задач для самостоятельной работы. Учебное издание данко Павел Ефимович, Попов Александр Георгиевич, Кожевникова Татьяна Яковлевна ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ В двух частях Часть I Редактор А. М. Сухадский УДК 516+517 ББК 22.lя73 Подписано в печать с готовых диапозитивов 31 .03.2003. Формат 60 х 901/ la' Гарнитура ,Литературная •. Печать офсетная. Уел. печ. л. 19,0. Доn. тираж 30 000 экз. Заказ Nv 78. Общероссийскнй класснфикатор продукцин ОК-ОО5-93. том 2: 953005 - учебная литература 000 " Издательский дом «ОНИКС 21 Be~» . Изд. лиц. ИД i{~ 02795 от 11.09.2000. 105066. Л10сква . ул . Доброслободская. 5а . Отдел реализации: тел. (095) 310·75 25, 150·52-11. Inlernet: W\\ ' W.OI1YX.ru; е·та; 1: mail@onyx.ru 000 « Издательство « Мир И Образование » . Изд. лиц. ИД N~ 05088 от 18.06. 2001 . 109193. Москва. 5·я Кожуховская ул д. 13. стр. 1. ТеЛ/факс (095) 928·78-26. E·mail : miг-оЬrаzоvаlliе@гаmbIег.гu ИздаНl1е осуществлено при учаСГИII 000 «Издательство дет » ОЛО .Санкт-Петербургская типографИЯ ' N2 б •. 191144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10. Телефои отдела маркетинга 271-35-42. ISBN 5-329-00326·1 (000 «Издательский дом «ОНИ КС 21 век») ISBN 5 · 94666·008·Х (000 « Издательство «Мир И Образование » ) © Данко П . Е Попов А. Г Кожевникова Т. Я 2003 © 000 «ИздательсКl.Й ДОМ « ОНИКС 21 век .) . Оформление обложки. 2003 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . 5 г ЛQ8а 1. Ана.lнтическая геометрия на ПJ10СКОСТИ § 1. Прямоугольные и полярные координаты 6 § 2. Прямая. . , . . . . . . . . . . . 15 § 3. Кривые второго порядка . . . . . . . 25 § 4. Преобразование координат и упрощеиие уравнений кривых ВТОРО- ro порядка . . . . . , • . . . . . . . . . . 32 § 5. Опреде.лите.ли второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными • , • • • • . • • •• 39 г ЛО8а IJ. Элементы векторной алгебры § 1. Прямоугольные координаты в пространстве . • . " . . . . . 44 § 2. Векторы и простеJ1шне действия над ними. . . . . . . . . . 45 § 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение 48 Глава 111. АнаЛИТllческая геометрия в пространстве § 1. Плоскость и прямая •• § 2. Поверхности второго порядк а . Глава IV. Опреде.лители и матрн цы 53 6з § 1. Понятие об определителе n-го порядка . . . . . . . . . . . 70 § 2. Линейные преобразования и матрицы. . . 74 § 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и по- верхностей второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 8\ § 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы . . . . . . . . . . 86 § 5. Исследование системы т линейных уравнений с n неизвестными . 88 § 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса . . , 91 § 7. Применение метода Жордана-Гаус с а к решению систем линей- ных уравнений . . . . • . . . . • . . • . . . . . . • 94 ГЛQ8а V. Основы лннейноii алгебры § 1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Лреобразование координат при переходе к новому базису § 3. Подпространства . § 4. Линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . § 5. Евклидово простр а нство . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Ортогональный базис и ортогональные П;:Jе:Jбразования § 7. Квадратичные формы • • • . . . . . . . . . г лава V 1. Введение в анализ § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. Абсолютная ' и относительная погрешности Функция одной независнмоII п е ременноfl Построение графиков функцнй. Преде.лы . • • I Сравнение бесконечно малых. . Непрерывиость функции • •• • I , • • • • • " . . . 103 109 111 115 124 128 131 136 137 140 142 147 149 3 Глава V /1. Дифференциальное исчнсление функций одной иезависимоА пе- ременной § 1. Производная и дифференциал . 151 § 2. Исследование функций 167 § 3. Кривизна плоской линии . . . . 183 § 4. Порядок касания плоских кривых 185 § 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная • 185 § 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривиз, на и кручение • . . . . . . . . . . . . . . . . • • • , •• 188 Глава V /11. Дифференциальное исчисление фун.кциЙ нескOJJЬКИХ независи- мых переменных § 1. Обдасть определеНИII функцни. Линии и поверхности уровня 192 § 2. Производные и дифференциалы ФУIIКЦИЙ нескольких переменных. 193 § З. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . 203 § 4. Экстремум функции двух независимых· переменных • , , •• ,. 204 Г ЛCllJа 1 Х. Неопределенный интеграл § 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегри. рование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . 20В § 2. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . 21В § 3. Интегрирование простейших нррациональных функций 229 § 4. Интегрирование тригонометрических функций 234 § 5. Интегрирование разных функций ,.", 242 r лава Х. Определенный интеграл § 1. Вычисление определенного интеграла. 243 § 2. Несобственные интегралы . . . . . . 247 § 3. Вычисление площади плоской фигуры . 251 § 4. Вычисление длины дуги плоской кривой 254 § 5. Вычисление объема тела. . . . . . . . 255 § 6. Вычисление площади поверхности вращения 257 § 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур 258 § В. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена 260 § 9. Вычисление работы и давления . . . . . . . . . 262 § 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях 266 Глава Х /. Элементы линейного программирования § 1. Линейные неравенства и область решений системы линеl\ных не· равенств • . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 § 2. Основная задача линейного программирования 274 § 3. Симплекс-метод . . . . . . . . . . . . . . . 276 § 4. Двойственные задачи 2В7 § 5. Транспортная задача 288 Ответы ПРЕДИСЛОВИЕ При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авторы стремились раскрыть содержание основных по нятий И теорем курса на специально подобранных упражнениях и задачах . В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения, состоящие из определений и основных математических понятий данного раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств). В пособие включены типовые задачи, для наглядности сопро вождаемые иллюстрациями, и подробно рассматриваются методы их решения. На все задачи для самостоятельной работы даны от веты. В приложении приводятся таблицы, необходимые при реше нии некоторых задач . В книге используются следующие обозначения : начало и ко нец решения задачи отмечаются соответственно знаками tJ. и А, а вместо слова « Указание » употребляется знак •. При создании настоящего пособия авторы . использовали неко торые методические приемы и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления » , т. 1 - 1 1 1; Курант Р. « Курс дифференциального и интегрального исчисле ния», т. 1, 11; Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. « Сборник задач по высшей математике » , т . 1-111; Демидович Б. П . и др. « Сборник задач и упражнений по математическому анализу » ; Фролов С. В., Шостак Р. Я . « Курс высшей математики» . Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность студентам и преподавателям высших учебных заведений, рецензентам всех изданий книги, чьи поправки, крити ческие замечания и предложения способствовали улучшению дан ного пособия. Авторы ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § t. ПРЯМОУ!"ОЛЬНЫЕ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении. Точку М координатной оси Ох, имеющую абсциссу х, принято обозначать через М (х) . Расстояние d между точками М 1 (Хl) и М 2 (Xt) оси при любом раСПО.10жении точек на оси определяется формулой d=\XZ-Хll. (1) Пусть на произвольной прююй задан отрезок А В (А - иача.,о отрезка, В его конец); тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в неке тором отношеиии л, где /,= ± \ АС 1:1 СВ 1. Если отрезки АС Ii СВ напраВ.1ены в одну стороиу, то л приписывают Зllак «+»; если же отрезки АС и СВ направ .!JeHbl в противоположные СТОрОIiЫ, то Л приписывают знак "-». Иными словаыи, л положительно, если точка С лежит меж.J.У ТО'Jками А и В и отрицательно, если точка С лежит на прямой вие отрезка АВ. _ Если точки А и В лежат на оси Ох, то координата точки С (Х), делящей отрезок между точками А (Хl) и В (x~) в отношении Л, определяется по формуле - Х, +ЛХ2 x=~. (2) в частности, при л= 1 получается формула для координаты середины отрезка: (3) 1. Построить на прямой точки А (3), В (-2), С (О), D(V2'), Е (-3,5). 2. Отрезок АВ четырьмя точками разделен на пять равных частей. Определить координату ближайшей к А точки деления, если А (-3), В (7). 6. Пусть С Й-искомая точка; тогда ~,= I АС \:1 СВI = 1/4. Следовательно; по формуле (2) находим - Х 1 +ЛХ 2 -3+(1/4) 7 Х= I+J, 1+1/4 -1, т. е. С (-1) 3. Известны точки А (1), В (5)-концы отрезка АВ; вне этого отрезка расположена точка С, причем . ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки ' С. 6. Нетрущtо видеть, что л=-IАСI:IВСI=-3 (рекомендуем сделать чер 'Iеж). Таким образом, - 1-3·5 х=-т=з=7, т. е . С (7) 4. Определить расстояние между точками: 1) М (3) и N (-5); 2) Р (-11/2) и Q (-5;2). 6 5. Найти координаты середины отрезка, если известны его КQНЦЫ: 1) А (-6) и В (7); 2) С(-5) и D(1 / 2) . 6. Найти точку М, симметричную точке N (-3) относительно точки Р (2). 7. Отрезок АВ двумя точками разделен на ' три равные части. Определить координаты точек деления, если А (-1), В (5). 8. Даны точки А (-7), В (-3). Вне отрезка АВ расположены точки С и D, причем ICAI=IBDI=0,5IABI. Определить коорди наты точек С и D. 2. Примоугольиые координаты на плоскости. Простеiiшие задачи. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат хОу, то точку М этой ПЛОСКОСТII, имеющую координаты х н у, обозначают М (х; у). Расстояние d между точками М 1 (Хl; Уl) и М 2 (Xz; У2) определяется по фор муле (1) В частности, расстояние d точки М (х; у) от начала координат определяется по формуле d= : Yx 2 +y 2 • (2) Координаты точки С (х; У), делящей отрезок между точками А (x l ; yJ и В (Хз; У2) в заданном отношении л (см. п. 1), определяются по формулам - Хi+ Лх 2 - Yl+"Y2 (3) x=~; Y=~' В частности, при л= 1 получаются формулы для координат середины отрезка: - ~+~ - ~+~ (4) Z=-2-; У=-2-' Площадь треугольника с вершинами А (Xl; 'Yl)' В (Хз; Уз), С (хз; Уз) опреде ляется по формуле s={-I хl (Уз-Уз) +Х2 (Уз-Уд +хз (Yi-Y2) 1= 1 =2"' (ХЗ- Х l) (УЗ-Уl) - (ХЗ- Х l) (Уз -Уд 1· (5) Формулу для площади треугольника можно записать в виде 1 s=2" I tJ./; где 1 1 1 1 I tJ. = Хl x~ Х з У! Уз Уз (понятие об определителе третьего порядка дано в § 5 этой главы). (6) 9. Построить на координатной плоскости точки А (4; 3), В (-2;5), С (5; -2), D (-4; -3), Е (-6; О), F (О; 4). 10. Определить расстояние между точками А (3; 8) и В (-5; 14). 6. Воспользовавшись формулой (1), получим d= У (-5-3)2+ (14-8)2= У64+36= 10. А 7 t t. Показать, что треугольник с вершинами А (-3; -3), В ~-1; 3). C(ll; -1)-прямоугольныЙ. D. Найдем ДЛИИы сторон треугольиика: I АВ 1= У(-1 +3)2+(3+3}2= У 40, I ВС /= У(11 + 1)2+(-1_3)2= У160. / АС I = У (11 +3)2+ (-1 +3)2= У200. Так как IAB1 2 =40, tBc12=160, /ACI 2 =200, то IABI2+IBCI2=IACI~. Таким образом, сумма квадратов длин двух сторои треугольника , равна квадрату длины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треуго.%ник АВС прямоуго.~ь ный и сторона АС является его гипотенузой . 12. Известны точки А (-2; 5), В (4; 17) - концы отрезка АВ. На этом отрезке находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Определить координаты точки С. /~ Так как IACI=2ICB/, то Л=IАСI:/СВI=2. Здесь xl=-2, Yl=5, Ха =4, Уа = J 7; следовательно, - -2+2·4 - 5+2.17 Х= 1+2 2, У 1+2 13, т. е. С(2; 13) 13. Точка С (2; 3) служит серединой отрезка АВ. Определить координаты точки А, если В (7; 5). 6. Здесь х=2, у=3, Х2=7, У2=5, откуда 2=(Xl+7)/2, 3=(Yl+5)/2. Сле довательно, Хl = -3, Уl = 1, т. е. А (-3; 1) 14. Даны вершины треугольника АВС:А (х 1 ; Yl)' В (Ха; Уа). С (х з ; Уз)' Определить координаты точки пересец:~ния медиан треу гольника. 6. Находим координаТbI точки D-сереДИНbI отрезка АВ; имеем XD=(Xl+X2)/2, YD=(Yl+Y2)/2. Точка М, в которой пересекаются медианы, делиг отрезок CD в отнс.шенин 2: !, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М опре деляются по формулам - хз+ 2Х D - уз+ 2 УD Х= 1+2 ,у= '+2 ; т. е. - хз+2(Хl+Х2)/2 - уз+ 2 (Уl+У2)/2 Х 3 ' у= 3 • Окончательно получаем - Xl +Х2+ Хз - Yl+Y2+ УЗ Х 3 ' у= з . - 15. Определить площадь треугольника с вершинами А (-2; -4), 8(2; 8) и C(lO; 2). 6. Используя формулу (5), получаем s= ~ 1(2+2) (2+4)-(10+2) (8+4) '=} 124-1441 =60 ' кв. ед.) 16. Определить расстояние между точками: 1) А (2; 3) и В (-10; -2); 2) C(V2; -V7) и D(2V2; О). 8 17. Покаэать, что треугольник с вершинами А (4; 3), В (7; 6) и С (2; 11)-прямоугольныЙ. 18. Показать, что треугольник с вершинами А (2; -1), В (4; 2) и С (5; 1) - равнобедренный. 19. Даны веРШИНЬI треугольника: А (-1 ;-1), В (О; -б) и С (-10; -2). Найти длину медианы, проведенной из вершины А. 20. Даны концы отрезка АВ: А (-3; 7) и В (5; 11). Этот отре:юк rремя точками разделен на четыре равные части. Определить ко ординаты точек деления. 21. Найти площадь треугольника с вершинами А (1; 5), В (2; 7), С(4; 11). 22. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(11; 4), В(-I; -1), С(5; 7). Определить координаты четвертой вершины. 23'. Даны две вершины треугольника А (3; 8) и В (10; 2) и точка пересечения медиан М (1; 1). Найти координаты третьей вершины треугольника. 24. Даны вершины треугольника: А (7; 2), В (1; 9) и С'( -8; -11). Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треуголь ника. '25. Точки L (О; О), М (3; О) и N (О; 4) являются серединами сторон треугольника. Вычислить п,тющадь треуго.l'JЬника. 3. Поnярные координаты. В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется ее расстоянием 10М I=p от полюса О (p-ntJлярныl1 радUУС-8еICnWР точки) и углом е, образованным отрезком ОМ с пол'ярной осью Ох (fJ-nолярный угол точки) . Угол 6 С'IИтается положительным при отсчете от по лярной оси против часовой стрелки. Если точка М имеет полярные координаты р > о и о ; е < 2л, то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (р; (}+2kл), где kEZ. ' Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с по люсом. а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольные КООРДИllаты х и у точки М и ее полярные координаты р и () связаны следующими формулами: x=pcosB. y=psln6; р= у х 2 +у2, tg в=у/х. (1 ) (2) 26. Построить точки, заданные полярными координатами: А (4; л/4) , В (2; 4л/3) , С (3; -л/б), D (-3; л/З), Е (О; а), F (-1; -Зл/4). 27. Найти полярные координаты точки М (1; -V'З) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ocb-с положительным направлением оси абсцисс. 6. На основании равенств (2) находим р= VI 2 +(_Y з)2=2; tg о=-У3. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно, () = 5л/3. Итак, М (2; 5л/3) 28. Найти прямоугольные координаты точки А (2J!2; Зл/4). если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направ лена по оси абсцисс. 9 /.':,. Используя формулы (1), имеем х = 2 у"2 cos (331/4) = - 2, У = = 2У2 sln (331/4) =2. 'Итак, А (-2; 2) 29. Найти полярные координаты точек: А (2VЗ; 2), В (О; -3), С(-4; 4), D(V2, -V2), Е (-V2; V6), Р(-7; О). 30. Найти прямоугольные координаты точек: А (10; л/2),. В (2; 5n/4). С(О; лJlО) , D(I; -л/4), E(-l; n/4), Р(-1; -n/4). 31. Определить расстояние между точками М 1 (Р1; (1) и М 2 (Р2; (2)' • Применить к треугольнику OM 1 M 2 теорему косинусов. 32. Определить расстояние между точками М (3; л/4) и N (4; Зл/4). 33. Найти полярные координаты точки, симметричной точке М (р; 8) относительно полярной оси. 34. Найти полярные координаты точки, симметричной точке М (р; 8) относительно полюса. 35. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам (3; л/б), (5; 2л/3) и (2; -л/б): 1) относительно полюса; 2) относи тельно полярной оси. 36. Найти полярные координаты точки, симметричной точке М (р; 8) относительно прямой, проходящей через полюс перпенди кулярно полярной оси. 4. Уравнение линии. Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматри ваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координаты любой точки М (х; у) (<<текущей точки»), лежащей на этой линии. Такое уравне ние называется уравнение"l данной линии. Ес.~и в уравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежа щей на · этрй линии, то уравнение обращается в тождество. Если · же в уравнение линии подстаnИТh координаты любой точки, не ПРlIнадлежащей этой линии, то уравнение не удовлетворяется. 37. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отреЗI<а, если длина отрезка равна с. 6. Пусть м (х; у)-середина отрезка. Длина отрезка ом (длина медианы) равна половине гипотенузы, т. е. 10М I =с/2. Сдругой стороны, 10М I = V х 2 +у2 (расстояние точки М от начала координат). . Таким образом, приходим к уравнению V х 2 +у2=с/2, или х 2 +у2=с 2 /4. Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что этоl\линией является ькружность радиуса с/2 с центром 1\ начале координат. А 38. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки кото рой ОТ точки F (О; 1/4) равно расстоянию этой же точки от прямой У= -1/4. 6. Возьмем на иско~юй линии произвольную точку М (х; у). Расстояние точки М от точки F опреде.lllТСЯ по формуле расстояни)! между двумя точками: 10 [...]... определим 19 Остаекя определить расстояние между точками М и N: d= у ( - о)2+(у_уо)2= = ' /( А v Ахо+Вуо+С А2+8 2 )2+(8 Ахо+Вуо+С)2 = А2+В2 85 Определить расстояние от точки -2 1 -5 8=0 6 d- 12 0· 1- 2 1 · 2-5 81 У А2+В3 до прямой 20х (1; 2) 12 0-4 2-5 81 29 - -' ~уr=4О==:ОО===+==;::44; =1 ', В М I Ахо+8Уо+СI 1- 8 01 _222 29 - 29'· 86 дана прямая [:4 -3 -7 =О Какие из точек А (5/2; 1) (3; 2), С (1; -1 ), D (О; -2 )... соответствующее углу пово рота радиуса СМ t жения, то 1 ОА 1= 1\ .1: 4 = at / '- (' = АСМ) Так как качение происходит без CKOJ/b- Используя это, выразим координаты точки М через (: '-" х =1 ON 1 =1 ОА 1- 1 NA 1= МА-I NA I=ai-asin t=a(t-sln t)i у =1 NM 1 =1 АР 1= 1 АС 1- 1 РС I=a-acos t=a (l-cos t) Таким образом, параметрические уравнения искомой линии имеют вид х=а (t-sJл t), y=a(l-cost) Эта линия называется Ц/lклоидой;... I BD 1: I DC 1= 1 АВ 1: I АС 1 НО IABI=Y(IO-I)2+(I 3-] )2=]5, I ACI=Jf(l 3 -1 )2+( 6 -1 )2 =13 Следо· вательно, 7.= I BD 1: I DC 1= 15/ 13 Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС, то координаты точки D определятся по форму.~ам 10 + (15 / 13 ) ]3 13 + (15 / 13 ) 6 1+ 15 /13 ' У= 1+ 15/ 13 х или х=325/28, ч=259/28, т е D (325/28; 259/ 28) Задача нию уравнения прямой, проходящей через точки А н у-I j... Перепишем уравнение в виде 3 .11 2_2 (4x-l) -' (3х2 -1 4х+8) =0 Разре· шим уравнение m:носительно 11 = 4х-l 11 .: ± У(4 - 2+(9х 2 -4 2х+24) 3 ' И .1 11 = 4х-l Получаем уравнения прямых у=З -2 и !I= (- +4)/З ыожно записать Б виде З - -2 =О, х+3 -4 =;=0 19 8 ± (5 -5 ) 3 Эти Какая линия определяется уравнением ху+ 2 -4 у • уравнения -8 = О? 6 Запишем уравнение Б виде х(у+2 )-4 (у+2)=О, ИЩI ( -4 ) (у+2) =0 Таким образом,... равен -3 /4 Воспользовавшнсь уравнениеи (2) п -( -5 ) С = (-3 /4) [ -( -2 )], т е коэффициент получаем 3х+4у+26=0.6, 88 Даны вершины треугольника: А (2; 2) В (-2 ; (-6 ;-2 ) Составить уравнения медиан треугольника 6 Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ: х'= (-2 - )/2 =-4 , -8 ) и у'.= (-8 -2 )/2 =-5 ; A l (-4 ; -5 ); 81 (~2; О); у"'=( 2-8 )/2 =-3 ; С 1 (0; -3 ) х"=( 2-6 )/2 =-2 , х'''=( 2-2 )/2=0; искомой 5, у"=( 2-2 )/2=О;... с угловым у=(3/5}х+7/5 Здесь и у= (-5 /3)х +1/ 2 ki=3/5, k z =-5 /3 Так как ki.=-I/k 2 , то прямые перпендикулярны 81 и козфрициентом получаем Составить уравнение прямой, проходящей через точки М ( -1 ; 3) N (2; 5) -" 1; Yi = 3, Ха = 2, Уа = 5 в уравненин (3) 11 ; 5; получаем ~ Полагая Xl = -3 х +1 или 5-3 =2+ 1 j -3 х +1 -2 - =-3 -' Итак, искомое уравнение имеет вид 2 -3 у+ 11 Полезно проверить, что уравнение... точки Уравнение медианы AA 1 : ( -2 ) / (-5 -2 ) = ( -2 )/ (-4 -2 ), или ( -2 )/7=( -2 )/6, т е 7 -6 -2 =0 Находим уравнение медианы В8 1 ; поскольку точки В имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВ 1 параллельна нне х+2=О (-2 ; -8 ) и 81 (-2 ; О) оси ординат Ее уравне Уравнение медианы СС.!: (у+2) / (-3 +2)=(х+6)/(О+6), или х+6у+ 89 Даны вершины треугольника: А (О; 1) ; В (6; 5) 18 =0.6, и С (12 ; -1 ) Составить уравнение... должны У .1 влетворять уравнению прямой Имеем: АЕ!, так как 4(5/2 )-3 · 1- 7 =0; Bft!, так как 4· 3-3 · 2-7 :F О; С Е {, так как 4· 1- 3 ( -1 )-7 =0; D ~!, так как 4· 0-3 (-2 ) ,-7 :f- О; ЕЕ/, так как 4. 4-3 . 3-7 =0; F ~l, так как 4· 5-3 · 2-7 т= О М 87 Составить уравнение прямой проходящей через точку (-2 ; -5 ) и параллельной прямой 3х+ 4у+ 2 = О 6 Разрешив последнее уравнение относительно' у, получим у =-( З/4) X-I/2 Следовательно,... построить лемни скату (рис 2) А 11 41 точек f: Составить 1) A(l; уравнецие множества точек, равноудаленны.хо,Т 8(3; 3) и = 1 В 1 Пусть точка М принадлежит · искомому множеству; тогда 1 МА 1 По формуле ра сстояиия между двумя точками находим 1 А 1= y(x-l)2+(y- 1) 2, 1 В 1= У( - )2+( - )' и уравнение линии может быть записано в виде у (х - 1) 2 + ( - 1) 2 = У ( :- ~3",)2~+~( :- ~з;;;;)g Возведя обе часtи посдеднего... преобразовання координат: х =х' + 1, у у' +2 Относнте.llЬИО новых осеА уравнение кривой примет вид = 4х,2+9у,2=З6, или х,2/9+у,2/4= 1 Таким образом, заданная кривая является :mлипсоМ • 18 6 Какую линию определяет уравнение -4 4=О? 6 x l -9 y'+2x+ 36у Преобраэуем данное уравнеиие так: (x l +2x+ 1- 1 )-9 (y 1- 4 g+ 4-4 ) =44; (х+ 1) !-9 ( -2 )I=44+ 1- 3 6; (х :-+ 1) 2-9 ( -2 )' =9 Произведем параЛЛe-!JьныА перенос осей координат, . " . . . 10 3 10 9 11 1 11 5 12 4 12 8 13 1 13 6 13 7 14 0 14 2 14 7 14 9 3 Глава V /1. Дифференциальное исчнсление функций одной иезависимоА пе- ременной § 1. Производная и. то 1 ОА 1 = 1 .1: 4 = at. Используя это, выразим координаты точки М через (: '-" х =1 ON 1 =1 ОА 1- 1 NA 1= МА-I NA I=ai-asin t=a(t-sln t)i у =1 NM 1 =1 АР. ~ -1; 3). C(ll; -1) -прямоугольныЙ. D. Найдем ДЛИИы сторон треугольиика: I АВ 1= У( -1 +3)2+(3+3}2= У 40, I ВС /= У (11 + 1) 2+( -1_ 3)2= 16 0. / АС I = У (11 +3)2+ (-1