Đang tải... (xem toàn văn)
phép tính biến phâncao xuân phương
1 Phép tính biến phân. Xuyên suốt trong các phần 1 và 2 của bài báo cáo này, ta giả sử rằng Ω là một tập con mở trong không gian m \ sao cho biên ∂ Ω trơn và bao đóng _ _ Ω là một tập compact . Cho : m α ∂Ω → \ là một ánh xạ trơn. Ta chú ý rằng khái niệm “ trơn ” ở đây được hiểu theo nghĩa là nó có đạo hàm liên tục mọi cấp, tức là một hàm f trơn trên Ω nếu () fC ∞ ∈Ω. Định nghĩa I.1 : ( ) , m C α ∞ Ω \ là không gian tất cả các hàm trơn : m u Ω→\ sao cho u α ∂Ω = . Định nghĩa I.2 : Cho ( ) 1 : n m L + Ω× →\\ là một ánh xạ trơn và ( ) :, m JC α ∞ Ω→\\ là một hàm được xác định bởi tích phân sau : ( ) ( ) 1 1 , , , , . n x xn Ju L xuu u dx dx Ω = ∫ Hàm L như trên được gọi là Lagrangian và J là phiếm hàm được xác định bởi L . Phép tính biến phân nghiên cứu những điều kiện ràng buộc trên u trong () , m C ∞ α Ω \ khi u là một “ điểm tới hạn ” của J .Trước đây chúng ta chỉ đề cập đến khái niệm điểm tới hạn trong không gian vector hữu hạn chiều, nhưng vì ( ) , m C α ∞ Ω \ là một không gian vector vô hạn chiều nên chúng ta cần phải mở rộng khái niệm của điểm tới hạn trong không gian hàm này. Đầu tiên, ta nhắc lại một vài nét về điểm tới hạn trong không gian vector hữu hạn chiều n \ mà chúng ta đã làm quen trước đây, chúng ta có một mệnh đề quan trọng sau đây : Mệnh đề I.1 : Cho : n f →\\ là một hàm trơn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương với nhau : () 1: p là một điểm tới hạn của f . 2 () 2: ( ) ( ) ( ) 12 0 n xx x fp f p f p==== . () () 0 3: () 0 t d ft dt = = α , với mọi đường cong trơn α đi qua p . Chú ý ở đây, để thuận tiện ta ký hiệu () () i x i f f pp x ∂ = ∂ với 1,2, , .in = Chứng minh : Ta chứng minh mệnh đề theo chiều ( ) ( )()() 1231⇒⇒⇒. * () ( ) 12:⇒ Ta gọi () 1 , , n n pp p=∈\ là một điểm tới hạn của hàm f nên ta có () 0fp∇=. Nghĩa là, ( ) ( ) ( ) 12 0 n xx x fp f p f p = == = . * () () 23:⇒ Cố định một 0> ε cho trước. Cho ()t α là đường cong bất kỳ được tham số hóa trong n \ sao cho ( ) 0 p α = , trong đó () ,t ε ε ∈ − . Giả sử rằng , () 1 () (), , () n txtxt α = . Khi đó : () ( ) 1 () (), , () n f tfxtxt ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ α Ta lấy đạo hàm theo biến t hai vế biểu thức trên, ta được : () () () // 11 1 1 () (), , (). () (), , (). () nnn n df f f t xtxtxt xtxtxt dt x x ∂∂ =++ ∂∂ α Thay 0t = vào biểu thức trên, ta có được : () ()() / 0 () . 0 t d ft fp dt = =∇ αα Nhưng theo giả thiết thì () ( ) 1 0 n xx fp fp = ==, nghĩa là () 0fp ∇ = .Do đó () 0 () 0 t d ft dt = = α . * () () 31:⇒ Giả sử rằng, với mọi đường cong trơn α đi qua p ta có : () 0 () 0 t d ft dt = = α . Suy ra : () ( ) () 1 // 111 (0), , (0) . (0) (0), , (0) . (0) 0 , * n xn x nn fx x x fx x x++ = Chúng ta cần chứng minh : ( ) ( ) 1 0 n xx fp fp = ==.Thật vậy, ta xét : () () 112 , , , n tptpp α =+ , ( ) ,t ∈ − ε ε . thì () () 11 0 , , n p pp α ==, nghĩa là đường cong 1 α là đường cong đi qua p . 3 Từ () * dẫn đến () 1 0 x fp= . Bằng cách tiến hành tương tự, ta sẽ có được : () () 2 0 n xx fp fp== =. Như vậy, ( ) ( )() ( ) 1 , , 0 n xx fp f p f p ∇ ==. Mệnh đề đã được chứng minh . Chúng ta sẽ sử dụng () 3 để định nghĩa điểm tới hạn cho phiếm hàm J mà được xác định bởi Lagrangian L . Bây giờ cho ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ , ta có các định nghĩa cơ bản sau đây : Định nghĩa I.2 : Một biến phân trơn của ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ là một đường cong ( ) ( ) :, , m C α βεε ∞ −→Ω\ sao cho ( ) 0 u β = và ( ) ( ) ( ) , s xsx β 6 là trơn . Chúng ta chú ý rằng () ()() 0s vx s x s β = ∂ = ∂ là một ánh xạ trơn từ Ω vào m \ mà triệt tiêu trên ∂Ω . Thật vậy, ta có ( ) ( ) , m sC ∞ ∈Ω\ α β nên ( ) ( ) ( ) s xx= β α với mọi x ∈∂Ω. Do đó ()() () 00 0 ss sx x ss == ∂∂ = = ∂∂ βα với mọi x ∈∂Ω . Định nghĩa I.3 : Ta nói rằng ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ là một điểm tới hạn của phiếm hàm J nếu ()() / 00J β =D , với mọi biến phân trơn β của ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ . Mệnh đề I.2 : Giả sử rằng ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ là cực đại ( hoặc cực tiểu ) của phiếm hàm J , thì u là một điểm tới hạn của J . Chứng minh : Cho 0 ε > , ta xét () ( ) :, , m C α βεε ∞ −→Ω\ là một biến phân trơn bất kỳ của hàm ( ) , m uC α ∞ ∈Ω\ .Ta có ( ) :,J β εε − →D\.Theo định nghĩa I.2 thì () 0 u β = . Theo định nghĩa I.3, thì ta chỉ cần chứng minh ()() / 00J β =D . Thật vậy, đặt ( ) rs = β , theo nguyên tắc đạo hàm hàm hợp, ta có : ()()()() () () ( ) () / // / / (). ddJdr Js Js JrsJss ds dr ds ====DD ββ βββ 4 Thay 0 s = vào biểu thức trên ta được : ()() / // 0().(0)JJu=D ββ . Nhưng theo giả thiết thì u là cực đại ( hoặc cực tiểu), nghĩa là ulà một cực trị của J nên () / 0Ju= . Vậy ()() / 00J β = D . Mệnh đề đã được chứng minh . Để tìm được điều kiện cho u trở thành điểm tới hạn của phiếm hàm J , chúng ta cần đến bổ đề sau đây : Bổ đề I.1 : Cho ánh xạ trơn ( ) 1 , , : m m ggΩ→\ , nếu ( ) ( ) 1 1 0 n jj n j g x h x dx dx = Ω = ∑ ∫ . với mọi hàm trơn () 1 , , : n n hhΩ→\ thỏa 0h ∂Ω = , thì 0,1 j gjn ≡ ≤≤. Chứng minh : Đầu tiên, ta sẽ chứng minh cho trường hợp 1m = và 1n = . Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử ( ) ,abΩ= là một tập mở và bị chặn trong \ . Giả sử phản chứng g là không đồng nhất 0 trên ( ) ,ab , điều đó có nghĩa là tồn tại ( ) 0 , x ab∈ sao cho 0 ()0gx ≠ . Theo tính chất của hàm g liên tục trên khoảng () ,ab thì tồn tại một khoảng mở ( ) ( ) 12 ,,ab⊂ δ δ sao cho g là hàm dương trên khoảng ( ) 12 , δ δ . Chọn 0 ε > sao cho 21 2 δ δ ε − < . Ta chọn h là hàm trơn không âm xác định trên () ,ab mà triệt tiêu bên ngoài ( ) 12 , δ δ và dương trong khoảng ( ) 12 , δ εδ ε +−.Thì rõ ràng gh là hàm dương trên ( ) 12 , δ εδ ε +− và không âm trên () ,ab . Do đó, áp dụng tính chất của tích phân xác định, ta được : ()() ()() 2 1 0 b a gxhxdx gxhxdx − + ≥> ∫∫ δε δε . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là ()() 0 b a gxhxdx= ∫ . Vậy 0g ≡ trên ( ) ,ab Ω = . Trong trường hợp tổng quát của m và n . Giả sử phản chứng là tồn tại {} 0 1, ,jn∈ sao cho 0 j g không đồng nhất 0 trên Ω , điều đó có nghĩa là tồn tại điểm 0 m x ∈Ω⊂\ sao cho ( ) 0 0 0 j gx ≠ . Bởi vì Ω mở trong m \ nên tồn tại () 0 ,Bx r với r đủ nhỏ sao cho ( ) 00 ,xBxr ∈ ⊂Ω. Ta giả sử rằng 0 j g dương trên () 0 ,Bx r. Ta chọn 0 j h là hàm trơn không âm xác định trên Ω sao 5 cho nó dương trên () 0 ,Bx r−ε và triệt tiêu bên ngoài ( ) 0 ,Bx r với 0 r<< ε đủ nhỏ cho trước. Ta các chọn các hàm j h bằng 0 trên Ω với {} 1, ,jn∈ mà 0 jj≠ . Như vậy 00 j j gh là dương trên ( ) 0 ,Bx r − ε và không âm trên Ω. Ta có: () () () () 00 11 1 n j jnjj n j g xh xdx dx g xh xdx dx = ΩΩ = ∑ ∫∫ ( ) ( ) () 00 0 1 , 0 jj n Bx r g x h x dx dx −ε ≥> ∫ . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vậy 0 j g ≡ trên Ω với 1 jn≤≤. 1. Phép tính biến phân một biến . Trong phần này, chúng ta sẽ tìm được điều kiện cho một đường cong trên một mặt M nhúng trong n \ nối , p qM ∈ mà có chiều dài ngắn nhất . Định nghĩa 1.1 : Cho , n pq∈\ , ,pq M được định nghĩa là không gian các đường cong trơn :[0,1] n x → \ thỏa ( ) ( ) 0,1 x px q = = . Cho :[0,1] nn L ××→\\ \ một hàm trơn và , : pq JM → \ là phiếm hàm được xác định bởi tích phân sau : () ( ) 1 / 0 ,(), ()Jx Ltxt xt dt= ∫ , ( ) 1.1 Ta có các kết quả nhận được sau đây : Định lý 1.1 : Cho , : pq JM → \ là phiếm hàm được xác định bởi () ,, L txy , nghĩa là, () () 1 / 0 ,(), ()JLtttdt γγγ = ∫ . Thì ,pq M γ ∈ là một điểm tới hạn của phiếm hàm J nếu và chỉ nếu nó thỏa : ()() / // , ( ), ( ) , ( ), ( ) jj LL tt t tt t xy γγ γγ ⎛⎞ ∂∂ = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ , ( ) 1.2 Phương trình trên được gọi là phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm J . Chứng minh : Trước tiên, ta chú ý rằng : 6 () 1 () (), , () n n xt x t x t=∈\ , [0,1]t ∈ () ( ) /// 11 () (), , () (), , () n nn xt xt xt yt yt==∈\ . Giả sử rằng γ là một điểm tới hạn của J . Cho β là một biến phân của γ , và () / 0 h β = . Cho : (,) ()()bst s t β = . Bởi vì β là một biến phân của γ nên theo định nghĩa I.2 thì (0) β γ = , và ta có : (0, ) (0)( ) ( )bt t t β γ == , () / () (0)() 0, b ht t t s β ∂ == ∂ , ( ) ( ) 010hh==. Theo định nghĩa của điểm tới hạn và sử dụng tích phân từng phần, ta nhận được : ()() () () ( ) 1 // 00 0 0 0 ( ) , ( )( ), ( ) ( ) ss dd JJsLtststdt ds ds == == = ∫ D ββ ββ 1 0 0 ,(,), (,) s db L tbst st dt ds t = ∂ ⎛⎞ = ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ∫ 1 0 0 , (,), (,) s db L tbst st dt ds t = ⎡⎤ ∂ ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎢⎥ ∂ ⎝⎠ ⎣⎦ ∫ () 2 1 0 0 0, , , ( , ) s bb L st st dt sts = ⎛⎞ ∂∂ =∇× ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ ∫ 2 2 1 11 0 0 11 . . . nn s nn bb bb LLL L dt xs x s yts yts = ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ ∂∂∂ ∂ =+++++ ⎜⎟ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ∫ () () 2 1 1 0 .0, . 0, n jj j jj bb LL ttdt xs yts = ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ∑ ∫ () () 2 11 11 00 .0, . 0, jj nn jj jj bb LL tdt tdt xs yts == ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ∫∫ () () 2 11 11 00 .0, . 0, jj nn jj jj bb LL tdt tdt xs yst == ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ∫∫ 11 / 11 00 nn jj jj jj LL hdt h dt xy == ⎛⎞⎛⎞ ∂∂ =+ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∑∑ ∫∫ 7 1/ 11 11 1 00 0 t nn n jj j jj j jj j t LL L hdt h h dt xy y = == = = ⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤⎛⎞ ∂∂ ∂ ⎢ ⎥ =+− ⎜⎟ ⎢⎥⎢⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎝⎠ ⎣ ⎦ ∑∑ ∑ ∫∫ 1 / 1 11 0 0 t nn jj jj jj j t LL L hdt h xy y = == = ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎢⎥ =− + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ∑∑ ∫ Nhưng vì () () 010hh== nên ( ) ( ) 0 1 0, 1,2, , jj hh j n = == . Cuối cùng ta thu được kết quả : / 1 1 0 0 n j j jj LL hdt xy = ⎡⎤ ⎛⎞ ∂∂ ⎢⎥ − = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ ∑ ∫ . với mọi hàm trơn [] :0,1 n h → \ với ( ) ( ) 010hh = = . Áp dụng bổ đề I.1, ta nhận được kết quả : ()() / // , ( ), ( ) , ( ), ( ) jj LL tt t tt t xy γγ γγ ⎛⎞ ∂∂ = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ . Nghĩa là định lý đã được chứng minh . Thí dụ 1.1 Cho () 2 1 ,, n i i L txy y = = ∑ và , : pq EM → \ là một phiếm hàm được xác định bởi L , nghĩa là : () ( ) 12 / 1 0 () n i j E tdt γγ = = ∑ ∫ . Phiếm hàm E được gọi là phiếm hàm năng lượng . Ta đi thiết lập phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm năng lượng E này . Thật vậy : 0 i L x ∂ = ∂ và () / / /// 111 222() nnn iii iii i L yy t y === ⎛⎞ ∂ === ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ∑∑∑ γ . Như vậy, áp dụng công thức ( ) 1.2 thì phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm năng lượng E là : // 1 () 0 n i i t = = ∑ γ . Ta có thể cho : // ( ) 0 ; 1,2, , i ti nγ= = , nghĩa là // () 0tγ=. Do đó : 8 ( ) ( ) / ,tAtAtBγ=γ=+ Vì () 0 p γ= nên Bp= , và ( ) 1 qγ= nên A qp = − . Tóm lại, ta nhận được : () ( ) tptqpγ=+ −, [0,1]t ∈ . nghĩa là nó là một đường thẳng nối p và q . Như vậy ( )() tptqpγ=+ − là điểm tới hạn cho phiếm hàm năng lượng E . 2. Khảo sát đường trắc địa. Cho M là một mặt nhúng trong 3 \ , và : f OUM→⊂ là một hệ tọa độ lân cận, chúng ta cần lưu ý rằng O là một tập con mở trong 2 \ . Một đường cong trơn α→:[0,1] U được cho bởi một đường cong trơn () 12 (), () x txt trong O sao cho : ( ) ( ) 12 (), ()tfxtxt α = . Lấy đạo hàm hai vế theo t , ta được : ( ) // i x i i tfxα= ∑ . Do đó, ta có được : () () 2 /// / / // (). . . ij ij x ixjxxij ij ij tttfxfxffxx ⎛⎞ ⎛⎞ == = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ∑ ααα . Suy ra : () () ///// . ij x xij ij ij ij ij tffxxgxxx== ∑∑ α với () . ij ij x x gx ff= . Ta gọi () ij gx là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của mặt .Ta thấy rằng ( ) ij g là một ma trận đối xứng . Chiều dài của đường cong α được xấp xĩ bằng : () 11 // // 00 0 lim ( ) ( ) ( ) ij i j t ij H x t t t dt g x x x dt Δ→ =Δ== ∑∑ ∫∫ αα . Bây giờ chúng ta cần xác định phương trình Euler-Lagrange cho các phiếm hàm năng lượng và phiếm hàm chiều dài trên mặt ( ) M fO = ( thực chất thì f chỉ là một tham số hóa trong một lân cận U của mặt M thôi ) trong 3 \ . 9 Cho ()() 00 11 12 12 ,, , p xx q xx O==∈ và ,pq M được định nghĩa là không gian tất cả các hàm trơn [] :0,1 x O→ sao cho ( ) ( ) 0,1 x px q = = . Ta giả sử dạng cơ bản thứ nhất của mặt M là ( ) ij i j ij g x dx dx Ι = ∑ . Ta xét : f x γ = D thì γ là một đường cong trên mặt M nối ( ) f p và () f q và ta có : () ()()() 2 /// () ij i j ij tgxtxtxt= ∑ γ , [ ] 0,1t ∈ . Bây giờ ta cho : () () 1 , 2 ij i j ij L xy g x yy= ∑ và , E H được định nghĩa là các hàm phiếm hàm năng lượng và chiều dài : () () 1 / 0 (), () E xLxtxtdt= ∫ - phiếm hàm năng lượng . () () 1 / 0 (), () H xLxtxtdt= ∫ - phiếm hàm chiều dài . Phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm , E H lần lượt là : / / k k L L x x ⎛⎞ ∂∂ = ⎜⎟ ∂ ∂ ⎝⎠ , () 2.1 / / 11 22 k k L L x x LL ⎛⎞ ∂∂ = ⎜⎟ ∂ ∂ ⎝⎠ , () 2.2 Ta nhận được mệnh đề sau : Mệnh đề 2.1 : Nếu () x t là một điểm tới hạn của phiếm hàm năng lượng E thì : ():i x là nghiệm của phương trình : // / / 0 m mijij ij xxx + Γ= ∑ , trong đó () ,,, 1 2 mkm ij ki j jk i ij k k gg g gΓ= + − ∑ , ( ) 2.3 ():ii / () x t không phụ thuộc vào t . Chứng minh : ():i Trước tiên, ta lưu ý rằng : () () () () // // / 111 ,,. 222 ij i j ij i j ij i j ij ij ij L xy gxyy gxxx gxx Lxx==== ∑∑∑ 10 Ta sẽ thiết lập phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm năng lượng E .Thật vậy, theo () 2.2 thì : / / k k L L x x ⎛⎞ ∂∂ = ⎜⎟ ∂ ∂ ⎝⎠ . Ta có : // // // , 11 1 . 22 2 ijij ijij ijkij ij ij ij kk k L gxx gxx g xx xx x ⎛⎞⎛⎞ ∂∂ ∂ == = ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ∂ ⎝⎠⎝⎠ ∑∑∑ ; trong đó để cho tiện trình bày, ta ký hiệu : () () , ij ij k k g gx x x ∂ = ∂ . Mặt khác, ta có : // // / // / 11 . 22 ijij ijij iki ij ij i kk k L gxx gxx gx xx x ⎛⎞⎛⎞ ∂∂ ∂ == = ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ∂ ⎝⎠⎝⎠ ∑∑∑ . Do đó : / / /////// ,, / , ik i ik m i m ik i ik m i m iim im k L gx g xx gx g xx x ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ∂ == += + ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ∂ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ∑∑∑ ∑ // ik i i gx+ ∑ . Ta thay đổi các chỉ số chạy trong tổng như sau : // // // ,,, , mj i j ik m i m ik j i j jk i j i i m ij ji gxx gxx gxx =↔ == ∑∑∑ . Suy ra : // // // ,,, , 1 2 ik m i m ik j i j jk i j i i m ij ji gxx gxx gxx ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑∑ . Do đó, phương trình Euler-Lagrange cho phiếm hàm năng lượng E được viết lại : // // // // ,,, 11 22 ij k i j ik j i j jk i j i ik i ij ij ji i gxx g xx gxx gx ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑∑∑ hay là : // // // // ,,, 11 22 ij k i j ki j i j jk i i j ik i ij ij ji i gxx gxx gxx gx ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑∑∑ suy ra : [...]... chính quy xét một cách địa phương phải là một đồ thị Chứng minh : Chúng ta có thể tham khảo phương pháp chứng minh trong [1] Bởi vì điều kiện cho điểm tới hạn của một phiếm hàm biến phân được tính 3 toán một cách địa phương và tính địa phương của một mặt trong là một đồ thị như trong mệnh đề 4.1, nên từ đây chúng ta có thể giả sử rằng f : Ω → là một đồ thị và phương pháp biến phân được sử dụng xuyên... trắc địa Phương trình ( 2.3) được gọi là phương trình vi phân đường trắc địa hay ngắn gọn hơn là phương trình đường trắc địa Từ mệnh đề I.2 nếu γ ( t ) = f ( x1 (t ), x2 (t ) ) là một đường cong trên M nối p, q mà được tham số hóa theo chiều dài và có chiều dài ngắn nhất, thì γ là đường trắc địa, và ( x1 (t ), x2 (t ) ) là nghiệm của phương trình đường trắc địa 3 Phép tính biến phân hai biến 2 sao... của phiếm hàm J Điều này chúng ta có thể thực hiện giống như trong trường hợp 13 một biến ngoại trừ việc chúng ta cần sử dụng đến dạng hai chiều của Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân, nghĩa là, công thức Green hoặc định lý Stoke’s trong trường hợp hai chiều Trước tiên, chúng ta nhớ lại định nghĩa của tích phân đường ∫∂Ω P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy Cho ( x, y ) : [ a, b ] → 2 là một tham... trơn , với mọi hàm trơn g : ∂Ω → sao cho 0 thì f = 0 Chứng minh : Phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự như trong chứng minh của bổ đề I.1 Định lý 3.2 : Nếu u là một điểm tới hạn của J mà được xác định bởi ( 3.1) , thì khi đó ∂L ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂L −⎜ ⎟ −⎜ ∂u ⎝ ∂u x ⎠ x ⎜ ∂u y ⎝ ⎞ ⎟ = 0 , ( 3.4 ) ⎟ ⎠y Phương trình này là phương trình Euler-Lagrange của phiếm hàm J được xác định bởi ( 3.1) Chứng minh :... y = d } và C4 ≡ h1 ( y ) và các đường cong này được định hướng sao cho khi đi trên ∂Ω thì miền Ω nằm về bên phía tay trái Theo tính chất của tích phân đường ta có : ∫∂Ω Qdy = ∫ C1 Qdy + ∫ Qdy + ∫ Qdy + ∫ Qdy = ∫ Qdy + ∫ Qdy C2 C3 C4 C2 C4 bởi vì trên C1 và C3 thì các tích phân đường tương ứng bằng không Ta tham số − hóa các đường C2 và C4 như sau : C2 = { ( h (t ), t ) ∈ 2 15 2 :c ≤ t ≤ d } C4− = {... quả thu được lại với nhau ( chú ý rằng tích phân trên các đoạn song song với các trục Οx hoặc Οy triệt tiêu từng đôi một ) ta sẽ có : ⎛ ∂Q ∂P ⎞ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜ dxdy − ∫∂Ω Ω ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ Chú ý : Công thức Green vẫn còn đúng cho miền đa liên Định lý đã được chứng minh Giả sử u là một điểm tới hạn của J , chúng ta muốn tìm điều kiện trên u Cho β là một biến phân của u trong Cγ ( Ω, ) , và h = β / ( 0... một biến phân của u trong Cγ ( Ω, ) , và h = β / ( 0 ) , nghĩa là ta có ∂ s = 0 β ( s )( x, y ) Vì β là một biến phân của u trong Cγ ( Ω, ) , ∂s nghĩa là β : ( −ε , ε ) → Cγ ( Ω, ) nên β ( s ) ∈ Cγ ( Ω, ) , tức β ( s ) ∂Ω = γ h ( x, y ) = nên ta có h ∂Ω = 0 Mặt khác, ta cũng có β ( 0 ) = u Tính toán trực tiếp, ta nhận được kết quả sau : d ds s =0 = ∫Ω J ( β (s) ) = d ds ∫ ⎛ s = 0 Ω L ⎜ x, ⎝ y, β... điểm tới hạn của H nên x là nghiệm của phương trình ( 2.2 ) ( Nhưng mà L x, x / ) ≡ 1 nên x cũng là nghiệm của phương trình ( 2.1) , nghĩa là x là một điểm tới hạn cho E theo định lý 1.1 * Ngược lại, nếu x là một điểm tới hạn của phiếm hàm năng lượng E thì theo ( mệnh đề 2.1 − ( ii ) ta có được L x, x / ) là hằng số Nếu L ( x(t ), x (t ) ) là hằng / số thì các phương trình ( 2.1) và ( 2.2 ) là như... 2u x và = 2u y ∂u ∂u x ∂u y Theo ( 3.4 ) , phương trình Euler-Lagrange của phiếm hàm J là : ∂L ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂L −⎜ ⎟ −⎜ ∂u ⎝ ∂u x ⎠ x ⎜ ∂u y ⎝ Suy ra : 19 ⎞ ⎟ = 0 ⎟ ⎠y ∂ 2u ∂ 2u + = u xx + u yy = 0 ∂x 2 ∂y 2 Đây chính là điều kiện của u ∈ Cγ ( Ω, ) mà chúng ta cần tìm 4 Mặt cực tiểu Cho M là một mặt nhúng trong 3 và f ( x1 , x2 ) : O → U là một hệ tọa độ địa phương trên M , và cho Ω ⊂ O là một miền compact... x = a } và các đường cong này được định hướng sao cho khi đi trên ∂Ω thì miền Ω nằm về bên phía tay trái Theo tính chất của tích phân đường thì : ∫ ∂Ω Pdx = ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx = ∫ Pdx + ∫ Pdx C1 C2 C3 C4 C1 C3 bởi vì trên C2 và C4 ta có x là hằng số , nghĩa là dx = 0 nên các tích phân trên C2 và C4 triệt tiêu − Bây giờ ta sẽ tham số hóa đường cong C1 và đường cong C3 : C1 = { ( t , g (t