Đang tải... (xem toàn văn)
1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai giao điểm đó Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối , AB CD không song song với nhau. a) Tìm giao tuyến của ( ) SAC và ( ) SBD b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD
1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai giao điểm đó Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối , AB CD không song song với nhau. a) Tìm giao tuyến của ( ) SAC và ( ) SBD b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD Giải: Hình vẽ: a) Ta có ( ) ( ) SAC SBD S ∩ = Vì ( ), ( ) AC SAC BD SBD ∈ ∈ mà ( ) ( ) AC BD O SAC SBD SO ∩ = ⇒ ∩ = Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBD b) Ta có ( ) ( ) SAB SBD S ∩ = Vì ( ), ( ) CD SCD AB SAB ∈ ∈ mà , AB CD không song song với nhau nên AB CD M ∩ = M O D C B A S 2 ( ) ( ) SAB SBD SM ⇒ ∩ = Vậy SM là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ),( ) SAB SCD • Chú ý: Trong bài toán này ta đã dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng mà chúng không song song với nhau thì phải cắt nhau tại một điểm Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh , AB CD lần lượt lấy các điểm , M N sao cho MN không song song với BC . Gọi I là một điểm bên trong tam giác BCD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) MNI với các mặt phẳng ( ),( ),( ) BCD ABD ACD Giải: Hình vẽ • Tìm giao tuyến của ( ) MNI và ( ) BCD Ta thấy ( ) ( ) MNI BCD I ∩ = Vì MN không song song với BC nên MN BC J ∩ = Vậy giao tuyến của ( ) MNI và ( ) BCD là IJ • Tìm giao tuyến của ( ) MNI và ( ) ABD F E K J I N A D C B 3 Ta thấy ( ) ( ) MNI ABD M ∩ = ( ), ( ) ( ) IJ MNI IJ BD K MNI ABD MK ∈ ∩ = ⇒ ∩ = Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) MNI và ( ) ABD là MK • Tìm giao tuyến của ( ) MNI và ( ) ACD Ta thấy ( ) ( ) MNI ACD N ∩ = Mà ( ), ( ) ( ) IJ MNI IJ CD F MNI ACD NF ∈ ∩ = ⇒ ∩ = Vậy giao tuyến của ( ) MNI và ( ) ACD là NF Trong bài toán này các em hs cần chú ý: - Để việc hình dung điểm I được rõ ràng trong mặt phẳng ( ) BCD ta đã dựng một đường thẳng DE nằm trong ( ) BCD sau đó xác định một điểm I thuộc DE - Khi ta đã tìm được một điểm J thuộc mặt phẳng ( ) MNI thì ta có ( ) ( ) MNI MIJ ≡ điều đã này giúp ta giải quyết câu hỏi sau được dễ dàng hơn. Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Trên cạnh SD ta lấy điểm M sao cho 1 3 SM SD = . N là điểm thay đổi trên cạnh BC . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng a) ( ) SBC và ( ) SAD b) ( ) AMN và ( ) SCD c) ( ) AMN và ( ) SBC Giải: a) Ta thấy ( ) ( ) SBC SAD S ∩ = Qua điểm S ta kẻ đường thẳng Sx song song với BC thì Mặt phẳng ( ) SBC cũng là mặt phẳng chứa Sx và BC Mặt phẳng ( ) SAD cũng chính là mặt phẳng chứa Sx và AD Từ đó suy ra ( ) ( ) SBC SAD Sx ∩ = b) Giao tuyến của ( ) AMN và ( ) SCD Ta thấy ( ) ( ) AMN SCD M ∩ = . 4 Mặt khác AN không song song với CD nên AN CD E ∩ = Vậy iao tuyến của ( ) AMN và ( ) SCD là ME c) Giao tuyến của ( ) AMN và ( ) SBC Ta thấy ( ) ( ) AMN AME ≡ Vì ( ) ( ) AMN SBC N ∩ = ; ( ) ( ) ME SC F AMN SBC NF ∩ = ⇒ ∩ = Vậy giao tuyến của ( ) AMN và ( ) SBC là NF Hình vẽ: Trong bài toán này học sinh cần chú ý: Hai đường thẳng song song luôn xác định một mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC • Để tìm giao tuyến của đường thẳng ( ) ∆ và mặt phẳng ( ) P ta làm như sau: + Tìm mặt phẳng ( ) Q chứa đường thẳng ∆ + Tìm giao tuyến ( ) d của mặt phẳng ( ) P và mặt phẳng ( ) Q F E x N M D C B A S 5 + Giao điểm của đường thẳng ( ) d và đường thẳng ∆ chính là giao điểm của đường thẳng ( ) ∆ và mặt phẳng ( ) P . • Để xác định thiết diện của một khối chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( ) P ta tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) P với các mặt của hình chóp ( nếu có). Khi đó các đoạn thẳng có được từ giao của ( ) P với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( ). P Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD . Gọi M là trung điểm của SA , N là một điểm thuộc cạnh bên SC ( N không phải là trung điểm của SC ) a) Tìm giao tuyến của ( ) ABN và ( ) CDM b) Xác định giao điểm của MN với ( ) SBD c) P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) MNP Giải: Ta có ( ) ( ) AB CD O ABN CDM OQ AN CM Q ∩ = ⇒ ∩ = ∩ = a) Tìm giao điểm của MN và ( ) SBD Q O M N D C B A S 6 Ta có + ( ) MN SAC ∈ , + ( ) ( ) SAC SBD SO ∩ = + ( ) MN SO K MN SBD K ∩ = ⇒ ∩ = b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) PMN + Ta có ( ) ( ) MN AC R MNP MPR ∩ = ⇒ ≡ + Nối , P R cắt , BC AD lần lượt ở , U T + Nối , T M cắt SD ở V Thiết diện là ngũ giác PMVNU O K M S A B C D N 7 Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , AC BC . Ttên cạnh BD ta lấy điểm K sao cho 2 BK KD = a) Tìm giao điểm E của CD và ( ) IJK . Chứng minh DE DC = b) Tìm giao điểm F của AD và ( ) IJK . Chứng minh 2 FA FD = c) Gọi , M N là hai điểm bất kỳ thuộc , AB CD . Tìm giao điểm của MN và ( ) IJK Giải: a) Tìm giao điểm E của CD và ( ) IJK . Chứng minh DE DC = Ta thấy ( ) CD BCD ∈ mà ( ) ( ) BCD IJK JK ∩ = Kéo dài JK cắt CD tại E thì ( ) CD IJK E ∩ = Ta có K là trọng tâm của tam giác BCE nên BD chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B , do đó D là trung điểm của EC hay DE DC = b) Ta thấy rằng ( ) ( ) IJK IJE ≡ Vì ( ) AD ACD ∈ mà ( ) ( ) ACD IJK IE ∩ = Ta có ( ) IE AD F AD IJK F ∩ = ⇒ ∩ = . V T U P R M S A B C D N 8 Dễ thấy F là trọng tâm tam giác ACE nên 2 FA FD = c) Ta có ( ) MN MCD ∈ Vì , ( ) ( ) MC IJ U MD FK T MCD IJK UT ∩ = ∩ = ⇒ ∩ = ( ) UT MN P MN IJK P ∩ = ⇒ ∩ = Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD , M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc SC sao cho 2 3 SN SC = a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( ) AMN b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( ) SAD . Xác định giao tuyến của ( ) AMN và ( ) PBD c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) MNP Giải: a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( ) AMN Xét ( ) CD ABCD ∈ . Ta có ( ) ( ) ; MN BC H AMN ABCD AH AH CD K ∩ = ⇒ ∩ = ∩ = Suy ra giao điểm của CD với mặt phẳng ( ) AMN là điểm K b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( ) SAD . Xác định giao tuyến của ( ) AMN và ( ) PBD P T U N M F E K J I D C B A 9 Kẻ một đường thẳng DL thuộc mặt phẳng ( ) SAD . Trên DL ta lấy một điểm P Như vậy ( ) ( ) BPD BDL ≡ , theo câu a ta có ( ) ( ) AMN AMH ≡ Giả sử , ( ) ( ) AM BL I AH BD J BDL AMH IJ ∩ = ∩ = ⇒ ∩ = c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) MNP Trong mặt phẳng ( ) SAD , , SP AD E ∩ = Trong mặt phẳng ( ) ABCD , HE CD F ∩ = Trong mặt phẳng ( ) SEH , SF HP G ∩ = Ta có hai trường hơp sau: Trường hợp 1: Trong mặt phẳng ( ) SCD , NG SD Q ∩ = ( điểm Q có thể trùng vào ) D Khi đó trong mặt phẳng ( ) SAD có QP SA R ∩ = ( QP không thể cắt AD ở giao điểm bên trong đoạn AD vì nếu QP cắt AD ở giao điểm O bên trong thì ( ) HO CD MNP CD ∩ ⇒ ∩ tại một điểm bên trong. Điều này vô lý vì ( ) MNP đã cắt , SB SC tại , ) N Q Ta thấy ( ) ( ) Q HP MNP Q SD MNP ∈ ⊂ ⇒ = ∩ ; ( ) ( ) R QP MNP R SA MNP ∈ ⊂ ⇒ = ∩ I J H L P N D C B A S M 10 Thiết diện là tứ giác MNQR Trường hợp 2: Trong mặt phẳng ( ) SCD , NG CD T HT AD U ∩ = ⇒ ∩ = Trong mặt phẳng ( ) SAD , UP SA V ∩ = ( UP không thể cắt SD vì ( ) MNP đã cắt , SC CD tại , ) N T R Q G F E K H L P N D C B A S M V U T G N M P F E H C D B A S [...]... diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD , M là trung điểm của cạnh SA , N là điểm thuộc cạnh SC ( N không là trung điểm của SC ) a) Xác định giao tuyến của ( ABN ), (CDM ) b) Tìm giao điểm của MN với ( SBD ) c) P là một điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) Câu 5) Cho hình chóp... MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 3a 2 2a khi x = 9 3 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều với BC = 2a, AB = AD = CD = a Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC , BD Biết SD vuông góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng (α ) qua điểm M thuộc đoạn BD và song song với SD và AC 28 Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt (α ) theo a và x = BM 3 Tính x để diện tích... mp ( BCC ' B ') kẻ đường thẳng qua CC ', BC , B ' C ' với (α ) … D và song song với IC để tìm các giao điểm S , K , H của 32 S J A C K B N R A' C' L I B' H VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Một mặt phẳng ( P ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt ở M , N , E , F Chứng minh SA SC SB SD + = + SM SE SN SF Giải: S S F M M E N A... diện cắt bởi mặt phẳng ( β ) đi qua J và song song với ( A ' IC ) 25 Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a 3 Gọi E , F lần lượt là trung điểm SA, SB Điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC , đặt BM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( MEF ) Thiết diện là hình gì? b) Tính FM và diện tích thiết diện theo a và x Giải: S F E D N C M H A... M là điểm trên AB , mp ( β ) qua M song song với SB và OA , cắt BC , SC , SA lần lượt tại N , P, Q Đặt x = BM ( 0 < x < a ) a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông b) Tính theo a , x diện tích hình thang này Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất Giải: S P a Q N C B O x M a A a) Do ( β ) song song với OA và SB nên giao tuyến của ( β ) với ( ABC ) song song với OA Giao tuyến của ( β )... thức theo các cạnh còn lại) 2 2 4R S hv = a 2 ; S hcn = ab; S ∆ABC = 1 Diện tích hình thang S = (a + b) h (trong đó a, b, h lần lượt là độ dài hai cạnh đáy, 2 đường cao) Nếu ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có độ dài 1 m, n ⇒ S = mn 2 Nếu đáy là hình đa giác bất kỳ ta cần khéo léo chia nhỏ để tạo các hình đặc biệt rồi cộng hoặc trừ các diện tích Khi giải các bài toán liên quan đến... đường trung tuyến ma 2 = 2(b 2 + c 2 ) − a 2 , …… 4 Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , I là trung điểm các cạnh AB, CD, SA a) Chứng minh SC / / ( MNI ) b) P là một điểm thuộc cạnh SB Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( CIM ) và ( APN ) c) Q là một điểm thuộc mặt bên ( SAD ) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( CPQ ) Giải: a) Gọi J là trung điểm... và ( ANP ) c) Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) 35 Câu 2) Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm cạnh BD và J JC thuộc CD sao cho =2 JD a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ ) b) M là điểm thuộc đoạn AJ Xác định giao điểm của GM với ( ABD ) Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của cạnh... các điểm M , N , H và như vậy hình dạng thiết diện phụ thuộc vào giao điểm G của HP và mặt bên ( SCD ) Rõ ràng việc biện luận theo NG là tự nhiên nhất vì điểm G là giao điểm dễ phát hiện nhất 2) Khi xác định một điểm P ∈ ( SAD ) ta phải dựng một đường thẳng SE ∈ ( SAD ) sau đó chọn điểm P ∈ SE điều này giúp ta dễ hình dung điểm P và phát hiện ra các giao điểm khác VẤN ĐỀ 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG... định giao điểm của AM với ( SBD ) Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là điểm thuộc SD sao cho 1 SM = SD 3 a) Xác định giao điểm của BM với ( SAC ) b) N là điểm thay đổi trên BC Xác định giao tuyến của ( AMN ), ( SBC ) Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định c) G là trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNG ) Câu 7) . 1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG. ) P với các mặt của hình chóp ( nếu có). Khi đó các đoạn thẳng có được từ giao của ( ) P với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình chóp, lăng trụ. phẳng ( ). P Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD . Gọi M là trung điểm của SA , N là một điểm thuộc cạnh bên SC ( N không phải là trung điểm của