Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượng giác trong chương trình THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Không thể phủ nhận cách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giải bài toán trở nên thuận lợi hơn. Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phương trình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiến thức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10. Vậy nên, nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trình hoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa số các em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giải một bài toán. Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng được xem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượng giác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã có khác của các em học sinh. Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệ giữa lượng giác và đại số. Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việc học tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Đó là những lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác.
GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượng giác trong chương trình THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Không thể phủ nhận cách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giải bài toán trở nên thuận lợi hơn. Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phương trình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiến thức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10. Vậy nên, nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trình hoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa số các em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giải một bài toán. Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng được xem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượng giác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã có khác của các em học sinh. Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệ giữa lượng giác và đại số. Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việc học tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Đó là những lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác. II. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: Càng nắm được nhiều công thức lượng giác, các tính chất của hàm số lượng giác và cách biến đổi lượng giác các em học sinh càng có thể sử dụng một cách có hiệu quả cách đặt ẩn phụ để giải một phương trình lượng giác. Ở đây tôi quan tâm tới việc sử dụng ít nhất các công thức lượng giác, ít phép biến đổi lượng giác nhất và đưa về phương trình hoặc hệ phương trình đại số một cách nhanh nhất và có tính khả thi nhất trong việc giải ra đáp số của bài toán. Để vận dụng được chuyên đề này một cách hiệu quả trước tiên các em học sinh cần nắm vững một số kiến thức: 1) Về lượng giác: : - Các tính chất của hàm số lượng giác, công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, tổng thành tích, tích thành tổng, … - Biết giải các phương trình lượng giác cơ bản. 2) Về đại số: 1 - Biết giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn. - Giải và biện luận hệ phương trình. - Nắm vững một số định lí như Cauchy, Lagrange, Roll,… III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI : 1. Cơ sở lý luận : Biểu thức lượng giác và biểu thức đại số có nhiều mối quan hệ biện chứng với nhau, ta có thể thấy mối quan hệ đó qua bảng tóm tắt vài điều dễ thấy như sau: Công thức lượng giác Đặt ẩn phụ Điều kiện Biểu thức đại số 2 1 cos x = 1+tan 2 x tan=t x Î ¡t 2 2 1 1 cos = +t x cos2x = 2cos 2 x - 1 osx=t c 1 1- £ £t cos2x = 2t 2 - 1 cos2x = 1 – 2sin 2 x sin=t x 1 1- £ £t cos2x = 1 - 2t 2 tan2x = 2 2tan 1 tan- x x tan x=t 1¹ ±t tan2x = 2 2 1- t t 3 sin3 3sin 4sin= -x x x sin=t x 1 1- £ £t 3 sin3 3 4= -x t t cos3x = 4cos 3 x - 3cosx osx=t c 1 1- £ £t cos3x = 4t 3 – 3t 2 2 2 tan sin 1 tan = + x x x tan x=t Î ¡t 2 2 2 sin 1 = + t x t 2 2 1 cos 1 tan = + x x tan x=t Î ¡t 2 2 1 cos 1 = + x t 2 tan sin cos 1 tan = + x x x x tan x=t Î ¡t 2 sin cos 1 = + t x x t 2 1 cos2 sin 2 - = x x cos2=t x 1 1- £ £t 2 1 sin 2 - = t x 2 1 cos2 cos 2 + = x x cos2=t x 1 1- £ £t 2 1 cos 2 + = t x 2 1 cos2 tan 1 cos2 - = + x x x cos2=t x 1 1- < £t 2 1 tan 1 - = + t x t 2 2tan sin 2 1 tan = + x x x tan x=t Î ¡t sin2x = 2 2 1+ t t 2 2 1 tan os2 1 tan - = + x c x x tan x=t Î ¡t 2 2 1 os2 1 t - = + t c x 2 tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b + + = - tan tan a b = = x y 1¹xy tan( )a b+ = 1 + - x y xy 2 1 1 cos a - = tan 2 α 2 1 cos a =t 1³t tan 2 α = t 2 - 1 …. Chú ý: Ta cần xét cos 0=x trước khi đặt ẩn phụ tan=t x để tránh làm mất nghiệm của phương trình . 2. Nội dung thực hiện các phương pháp của đề tài : 2.1) Dạng phương trình bậc nhất, phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Ở đây tôi chỉ nói đến những phương trình bậc nhất và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ở dạng đơn giản. Các dạng này không nên đặt ẩn phụ mà nên đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải(tránh phức tạp hóa bài toán). 2.2) Dạng phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: A) Dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Bảng tóm tắt cách giải: TT Phương trình ban đầu Đặt ẩn phụ Điều kiện Phương trình mới 1 asin 2 x + bsinx + c = 0( 0¹a ) sinx = t 1£t 2 0+ + =at bt c 2 acos 2 x + bcosx + c = 0( 0¹a ) cosx = t 1£t 2 0+ + =at bt c 3 atan 2 x + btanx + c = 0( 0¹a ) tanx = t , 2 p p¹ + Î ¢x k k 2 0+ + =at bt c 4 acot 2 x + bcotx + c = 0( 0¹a ) cotx = t ,p¹ Î ¢x k k 2 0+ + =at bt c Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos 2cos 3 0 2 2 + - = x x Giải: Đặt x os , 1 2 = £t c t ta được phương trình 2 1 2 3 0 3( ) t t t t loaïi é = ê + - = Û ê =- ë Với t = 1 ta được x x os 1 2 2 2 p= Û =c k 4 ,pÛ = Îx k k Z . Ví dụ 2. Giải phương trình 2 3cot 2cot 1 0+ - =x x 3 Gii: t cot=t x , ta c phng trỡnh 2 1 3t 2t 1 0 1 3 ộ =- ờ + - = ờ ờ = ờ ở t t ( ) 3 cot 1 4 1 1 cot arccot 3 3 p p p ộ ộ ờ = + =- ờ ờ ị ẻ ờ ờ ổử ờ ờ = ữ ỗ = + ờ ờ ữ ỗ ở ữ ỗ ố ứ ờ ở Â x k x k x x k Vớ d 3. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim 2 1 1 cos 4 cos4 - 0 2 2 - - =x x m Gii: t cos4 , 1= Êt x t . Khi ú, ta c phng trỡnh 2 2 1 1 1 1 - 0 - 2 2 2 2 - - = - =t t m t t m . t 2 1 1 ( ) t - 2 2 = -f t t , 1 1- Ê Êt 1 '( ) 2 2 ị = -f t t , 1 1 '( ) 0 2 0 2 4 = - = =f t t t Ta cú 1 9 ( 1) 1, ( ) , (1) 0 4 16 - = =- =f f f Vỡ ( )=y f t liờn tc trờn [ ] 1;1- nờn [ ] [ ] 1;1 1;1 9 minf(t) , maxf(t)=1 16 - - =- v [ ] 9 ( ) 1, 1;1 16 - Ê Ê " ẻ -f t t Vy phng trỡnh cú nghim khi ch khi giỏ tr ca m thuc min giỏ tr ca ( )=y f t hay 9 1 16 - Ê Êm Nhn xột: õy l mt trong nhng dng toỏn gii phng trỡnh lng giỏc n gin. Cỏch t n ph gii bi toỏn dng ny ụi khi lm phc tp húa vn ngoi tr nhng bi toỏn cú cha tham s nh vớ d 3. Tng t nh trờn ta hon ton cú th nh ngha v a ra cỏch gii phng trỡnh bc ba, bc bn i vi mt hm s lng giỏc( loi phng trỡnh cú cỏch gii c bit). Bi tp vn dng: Gii phng trỡnh : 1) 2 2sin 5sin 7 0- - =x x 4 2) 2 2 2 5cos 7cos 2 0 3 3 - + = x x 3) 2 tan tan 6 0 2 2 - - = x x 4) 2 cot 5cot 6 0- + =x 5) 4 2 cos 3cos 2 0 3 3 - + = x x 6) 1005 2010 tan 2tan 1 0- + =x x 7) 2012 1006 cos 2 1 sin 2x- =x 8) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m: 2 cos 1 cos= -x m x 9) Xác định m để phương trình sau có nghiệm 2 sin sin 1 0+ - + =x m x m B) Dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Đây là dạng bài toán rất đa dạng, phong phú. Sau đây là một số loại phương trình thường gặp: 1) Dạng phương trình lượng giác đơn giản áp dụng công thức lượng giác cơ bản hoặc công thức nhân TT Phương trình ban đầu Đặt ẩn phụ Điều kiện Phương trình mới 1 asin 2 x + bcosx + c = 0, 0¹a cosx = t 1£t 2 (1 ) 0- + + =a t bt c 2 acos 2 x + bsinx + c = 0, 0¹a sinx = t 1£t 2 (1 ) 0- + + =a t bt c 3 acos2x + bsinx + c = 0, 0¹a sinx = t 1£t 2 (1 2 ) 0- + + =a t bt c 4 acos2x + bcosx + c = 0, 0¹a cosx = t 1£t 2 (2 1) 0- + + =a t bt c 5 atanx + bcotx + c = 0, 0¹a tanx = t 0¹t 1 0+ + =at b c t 6 sin3 sin2 sin 0+ + =a x b x c x cos =x t 1£t 2 sin ( ) 0+ + =x At Bt C …. …. … … … Ví dụ 1. Giải phương trình 2 6cos 5sin 7 0+ - =x x Giải: 2 6cos 5sin 7 0+ - =x x 2 2 6(1 sin ) 5sin 7 0 6sin 5sin 1 0Û - + - = Û - + =x x x x Đặt 2 sin ,0 1= £ £t x t phương trình trở thành 5 2 6 5 1 0- + =t t . Phương trình này có nghiệm 1 3 =t và 1 2 =t Với 1 3 =t ta được 1 arcsin 2 1 3 sin ( ) 1 3 arcsin 2 3 p p p é ê = + ê = Û Î ê ê = - + ê ë ¢ x k x k x k Với 1 2 =t ta được 1 sin 2 =x 2 6 ( ) 5 2 6 p p p p é ê = + ê Û Î ê ê = + ê ë ¢ x k k x k Vậy nghiệm của phương trình là 1 1 arcsin 2 , arcsin 2 3 3 p p p= + = - +x k x k , 2 6 p p= +x k , 5 2 6 p p= +x k .Î ¢k Ví dụ 2. Giải phương trình cos2 -3cos 2 0+ =x x Giải: 2 2 os2x - 3cosx + 2 = 0 2cos 1 3cos 2 0 2cos 3cos 1 0Û - - + = Û - + =c x x x x Đặt osx, t 1= £t c ta được phương trình 2 1 2 3 1 0 1 2 é = ê - + = Û ê ê = ê ë t t t t Với 1 cos 1 2 ,p= Þ = Û = Î ¢t x x k k Với 1 1 cos 2 , 2 2 3 p p= Þ = Û =± + Î ¢t x x k k Vậy nghiệm của phương trình là 2p=x k , 2 , 3 p p=± + Î ¢x k k . Ví dụ 3. Giải phương trình tan - 2cot 1 0+ =x x Giải: Điều kiện của phương trình là , 2 p ¹ Î ¢ k x k Đặt tan=t x , 0¹t . Khi đó phương trình trở thành 2 1 2 1 0 2 0 2 é = ê - + = Û + - = Û ê =- ë t t t t t t Với 1 tan 1 , 4 p p= Þ = Û = + Î ¢t x x k k Với 2 tan -2 arctan(-2) ,p=- Þ = Û = + Î ¢t x x k k Vậy nghiệm của phương trình là 4 p p= +x k , arctan(-2) ,p= + Î ¢x k k Ví dụ 4. Giải phương trình 2 2 tan 1/ os 4 2 80 0+ - = x c x 6 Gii: 2 2 2 2 tan 1/ os 2tan tan 4 2 80 0 2 2.2 80 0+ - = + - = x c x x x t 2 tan 2 , 0= > x t t . Khi ú ta c phng trỡnh 2 8 2 80 0 10( ) t t t t loaùi ộ = ờ + - = ờ =- ở Vi 2 tan 3 2 8 2 8 2 tan 3= ị = = = x t x tanx= 3 , . 3 p p = + ẻ Âx k k Vớ d 5. Gii phng trỡnh 4 6 cos - cos2 2sin 0+ =x x x (*) Gii: (*) 2 3 1 os2x 1 os2x os2x+2 0 2 2 ổ ử ổ ử + - ữ ữ ỗ ỗ - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ c c c ( ) ( ) 2 3 1 os2x 4cos2 1 os2x 0 + - + - =c x c t cos2x = t, 1 1- Ê Êt c phng trỡnh: ( ) 2 3 1 4 (1 ) 0+ - + - =t t t 2 3 2 3 2 1 2 4 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 1 ) 0 + + - + - = - + - = - + - = t t t t t t t t 2 2 ( ) (1 ) (2 ) 0 1 cos2 1 2 2 , . t loaùi t t t x x k x k kp p ộ = ờ - - = ờ = ở ị = = = ẻ Â Vớ d 6. [ Vụ ch New York 1973 ] Gii phng trỡnh 8 8 97 sin cos 128 + =x x . Gii: 8 8 97 sin cos 128 + =x x 4 4 1 cos2 1 cos2 97 2 2 128 ổ ử ổ ử - + ữ ữ ỗ ỗ + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ x x ( ) ( ) 4 4 97 cos2 1 cos2 1 8 + + - =x x . t cos2=t x , 1Êt ta c ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 3 97 81 4 1 1 2 12 0 27 8 8 4 ộ ờ = ờ + + - = + - = ờ ờ =- ờ ở t t t t t t 2 3 4 =t 7 2 3 1 cos4 3 cos 2 4 2 4 + Þ = Û = x x ( ) 1 cos4 4 2 2 3 12 2 p p p pÛ = Û =± + Û =± + Î ¢ k x x k x k . Ví dụ 7. [TSĐH Khối A-1976] Với giá trị nào của m thì phương trình 2 os2x+sin cos 1 0+ + =c x m x có nghiệm? Giải: Cách 1: 2 2 cos2 sin cos 1 0 cos cos 1 0+ + + = Û + + =x x m x x m x Đặt osx,-1 t 1= £ £t c , ta được 2 2 1 1 0 + + + = Û - = t t mt m t ( vì t = 0 không thỏa phương trình) Xét 2 1 ( ) + =- t f t t . Ta có 2 2 1 '( ) - = t f t t 2 2 1 '( ) 0 0 1 - = Û = Û =± t f t t t . Bảng biến thiên của ( )=y f t trên đoạn [ ] 1;1- : Dựa vào bảng biến thiên của ( )=y f t trên đoạn [ ] 1;1- suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi 2£ -m hoặc 2³m Vậy 2³m thì phương trình đã cho có nghiệm. Nhận xét: Cách giải và biện luận phương trình bằng cách sử dụng đồ thị rất thuận lợi cho việc giải bài toán dạng này. Tuy nhiên, ta cần lưu ý với học sinh xét trường hợp hệ số của m bằng 0(ở ví dụ trên là xét t = 0) trước khi đưa ra được phương trình ( )=m f t ( vì trường hợp này học sinh rất hay quên). Với ví dụ trên nếu học sinh không xét trường hợp t = 0 cũng không ảnh hưởng đến kết quả bài toán nhưng nếu là bài toán khác học sinh rất dễ lầm và dẫn đến mất nghiệm của bài toán. Ví dụ như với bài toán trên ta thay phương trình đã cho 8 thnh 2 os2x+sin cos 1 0+ - + =c x m x m thỡ cỏc em d lm mt nghim ca bi toỏn. Cỏch 2: Cỏch gii ng dng tam thc bc hai ó c gim ti trong chng trỡnh sỏch giỏo khoa hin nay. Tuy vy, ta vn cú th a ra cỏch gii theo hng ny cỏc em hc sinh khỏ, gii cú iu kin tham kho lm phong phỳ cỏch gii quyt vn , tha món c tớnh linh ng v sỏng to ca cỏc em. Gii: Phng trỡnh ó cho cú nghim khi ch khi 2 ( ) 1= + +f t t mt cú ớt nht mt nghim trong on [ ] 1;1- 2 f(-1)f(1) 0 (2+m)(2-m) 0 0 4 0 af(-1)>0 (2+m)(2-m) 0 m 2 2 0 af(1)>0 (voõ nghieọm) 2 0 S -1< 1 2 1 1 2 m m m m ộ Ê ờ ờ ộ Ê ờ ờ ỡ D ù ờ ờ ù ỡ ù - ù ờ ờ ù ù ù ờ ù ờ Ê ù ù + > ờ ù ù ờ ớ ù ờ ù ờ ù ớ - > ờ ù ờ ù ù ờ ù ờ ù ù < ù ờ - ờ ù ù - < < ù ù ợ ờ ờ ù ờ ờ ù ợ ở ở Vy phng trỡnh cú nghim khi 2m . Chỳ ý: Khụng phi lỳc no gp dng bi toỏn cú cha tham s nh trờn ta cng dựng cỏc cỏch gii ó núi m phi linh hot tng bi toỏn, chng hn nh vớ d 8 sau õy Vớ d 8. Xỏc nh a phng trỡnh 4 2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a cú nghim. Gii: Nu a = 0, cú phng trỡnh cos2x + 3 = 0 (vụ nghim) Nu 0ạa ta cú 4 2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a ( ) 2 2 1- cos2 2(1 )cos2 2 6 0 cos 2 - 2(1 2 ).cos2 3 6 0 - + + + = + + + = x a a x a a x a x a t cos2x = X, 1ÊX c phng trỡnh aX 2 - 2(1+2a)X+3a+6=0 phng trỡnh ny cú 2 2 2 ' 1 4 4 (3 6) 2 1 ( 1)D = + + - + = - + = -a a a a a a a 9 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ( ) a a a X a a a a X lo aïi a é + - + + ê = = ê Þ ê + + - ê = = ê ë Phương trình có nghiệm khi: 2 1 1 + - £ £ a a 2 2 2 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 ì ì + + ï ï ì é £ - ï ï ï + ³ ³ ï ï ï ê ï ï ï ï ï ï ê Û Û Û > í í í ë ï ï ï + ï ï ï - £ £ ï ï ï < ï î ï ï ï ï î î a a a a a a a a a a 1Û £ -a Vậy giá trị cần tìm của a là 1£ -a . Bài tập vận dụng Giải phương trình: 1) [ĐHNN_97] os2 5sin 2 0+ + =c x x 2) tan 2 cot 1 2+ = +x x 3) [ĐHY_97] 4 6 os sin os2x+ =c x x c 4) [CĐSP HN_97] 2 cos2 sin 2sin 1 0+ + + =x x x 5) sin3 18sin 2 5sin 0- + =x x x 6) [ĐHDL Phương Đông_96] 4 4 sin (1 sin ) 17+ - =x x 7) [ĐHAN Khối D_99] 2 2 sin cos 9 9 10+ = x x 8) [HVBCVT II_97] 6 2 cos sin 1+ =x x 9) [HVKTMM_99] 8 8 17 sin os 32 + =x c x 10) [ĐHNT_95] 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 + =x x x 11) [ĐHPCCC_00] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nhiệm cos2 cos 2 1 0+ + + =x m x m 12) [TSĐH_84] Cho phương trình 6 6 2 2 cos sin tan 2 cos sin + = - x x m x x x a) Giải phương trình khi 1 4 =m b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm? 10