50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1:                       Phương trình (1)  x 2 + x – 12 = y 2 – 7y  x 2 + x – (y 2 – 7y + 12) = 0.  = 4y 2 – 28y + 49 = (2y – 7) 2 . Do đó x = y – 4 hoặc x = 3 – y. Bài 2:                                                                                                                           (Chú ý là x 2 + 1  1,      nên ta chọn f(t) trong miền t ). Thay vào Pt2  x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x – 2 = 0.  (x 2 + x – 1)(x 2 + x + 2) = 0. Bài 3:                                 Pt1  x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – 4y 3 = x 2 y + 2xy 2  x = y. Thay vào Pt2 ta có x 2 + 2x +      = 3. Ta thấy vế trái là hàm đơn điệu (f’(x) > 0). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài 4:                          Pt1  4x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 – 4x 2 y 2 = 2x 2 + 2xy + y 2  (2x 2 + 2xy + y 2 )(2x 2 – 2xy + y 2 ) = 2x 2 + 2xy + y 2 . Chú ý rằng x và y không đồng thời bằng 0 nên 2x 2 + 2xy + y 2 > 0. Do đó 2x 2 – 2xy + y 2 = 1. Vậy 2x 2 + y 2 = 2xy + 1  4x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 = 4x 2 y 2 + 4xy + 1. Vậy      = 4xy + 1. Thay vào pt2  (xy) 7 + 4xy = 5. Chú ý phương trình bậc lẻ, hệ số dương luôn là hàm đồng biến. Vậy xy = 1. Do đó ta có hệ:         Bài 5:                    Phương trình 1  y = x 2 . Thay vào pt2  x 2 + 6x – 3 = 4x    . Đặt t =     ta có x 2 + 3(2x – 1) = 4x     nên x 2 + 3t 2 = 4xt. Bài 6:                             Đặt y + 2 = t + 1 hay y = t – 1. Ta có                  Hàm đặc trưng f(t) =          là hàm đồng biến nên x = t hay y = x – 1. Thay vào pt2 ta có: 3x 2 + 4x – 3 = 4x    . Đặt     = t. Ta có: 3x 2 + t 2 = 4xt. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Bài 7:                            Pt1  x 6 +      = (–y) 3 +       . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 +     là hàm đồng biên nên ta có y = –x 2 . Thay vào pt2 ta có: 3x 2 + 2x + 7 = 3(x + 1)       2(x 2 + 3) + (x + 1) 2 = 3(x + 1)      . Đặt a = x + 1, b =      , ta có 2a 2 + b 2 = 3ab. Bài 8:                       Chia 2vế phương trình 1 cho x 5 . Ta có: x 10 + 2x 2 =      + 2.   . Do đó   = x 2 hay y = x 3 . Thay vào pt2 ta có: x 2 + 5x + 7 = 7.           . Đặt     = a,        = b, ta có 6a 2 + b 2 = 7ab. Bài 9:                Ta có                6(x 3 – y 3 ) = (8x + 2y)(x 2 – 3y 2 ) (Phương trình đồng bậc) Bài 10:                           Pt1  xy(x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 ) – 2xy – 2 = 0  xy = –1 hoặc x 2 + y 2 = 2. Ta chú ý rằng điều kiện x  1,    1 nên:  x 2 + y 2 = 2 khi và chỉ khi x = 1, y = .  xy = –1, thay y =   vào pt 2 ta có:                       Kết luận: x = 1, y =  Bài 11:                       Pt1  (y – 1)(y – 3) = x 2 (y – 1). Do đó y = 1 hoặc y = x 2 + 3. Với trường hợp y = x 2 + 3, ta có x 4 + 3x 2 + 14x = 4x 3 + 12x + 1  x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 2x – 1 = 0. Xét f’(x) = 4x 3 – 12x 2 + 6x + 2, f”(x) = 12x 2 – 24x, f (3) (x) = 24x – 24. Vậy f’(x) và f (3) (x) có nghiệm chung x = 1. Ta đặt x = X + 1. Vậy (X + 1) 4 – 4(X + 1) 3 + 3(X + 1) 2 + 2(X + 1) – 1 = 0  X 4 – 3X 2 + 1 = 0. Tìm ra X rồi tìm ra x. Bài 12:                             Từ pt1 ta chia 2 vế cho y 3 , ta chứng minh được x = y 2 . Thay vào phương trình 2  x 2 – x + 1 =                                                                    50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389                                                                                                                                                                                                  Kỹ thuật này ta gọi là kỹ thuật trục căn thức 2 lần. Bài 13:                                     >      |x| + x  Do đó: Phương trình 1         =         y = .Thay vào pt2 ta có: x 2 + 5 = 4         . Làm tương tự bài 12, ta có: (x + 1)(x – 2)(1 +       +       ) = 0 Bài 14: 3x 2  5.            (x + 1) 3 + 5(x + 1) = (x 3 + 1) + 5.        3        . Bài 15:                   Đặt a =  , b =       . Ta có a + 2b =       Bài 16:                      Ta có hàm đặc trưng f(t) =          . Do đó f(x) = f(     ) khi x =       vô nghiệm. Bài 17: x 3 +   = (x + 1)           Ta có hàm đặc trưng f(x) = x 3 +   nên f(x) = f(    ) khi x =    . Bài 18:          +                            (x + 2 +                            Với x + 2 +        =                ta có f(t) = t +      và f(x + 2) = f(       ) Bài 19:                           Phương trình (1) làm giống bài 13  x = 2y. Do đó 3x 2 + 5x + 2 =         (x + 1) 3 + 2(x + 1) = (x 3 + 1) +        . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + 2t. Trong đó f(x + 1) = f(       ). Bài 20:                             50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Pt1                               . Đặt a =     , b =   ta có a 2 + 2ab – 3b 2 = 0 nên a = b (Do a, b là các số không âm). Vậy y = x 2 + 2. Thay vào pt2 ta có:                                                      Bài 21:               Phương trình 1               Bài 22:                              Pt1  (x + y) 2 – 2xy +                  (x + y) 2 – 1 – (x + y) +                   Đặt x + y = t, ta có t 2 – 2t +         . Xét f(t) = t 2 – 2t +          ta có:                                    Bài 23:                               Chia 2 vế pt1 cho   và đặt t =   ta có              x 3 + 3x 2 + 3x – 5 =       (x + 1) 3 + (x + 1) = (x + 7) +      . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + t là hàm đồng biến. Do đó f(x + 1) = f(      ) khi x + 1 =      . Tổng quát: f(x) = α    với α > 0 và n lẻ thì ta tách phương trình đó dưới dạng β.[h(x)] n + α[h(x)] = β.g(x) + α    với hàm đặc trưng là f(t) = t n + αt.                                                và P k (x) = a k x k + a k-1 x k-1 + … + a 1 x + a o . Bài 24:                                                 Pt1  x 7 + x 5 y 2 + xy 6 = y 14 + y 12 + y 8 . Chia 2 vế cho y 7 ta có:                                            Thay vào pt 2 ta có: x 3 + 9x 2 + 27x + 27 = 2      do đó (x + 3) 3 + 2(x + 3) = (2x + 6) + 2      . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + t là hàm đồng biến nên f(x + 3) = f(      ) hay x + 3 =      . 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Bài 25:                            t t =     c:                      Bài 26:                                    >      |x| + x  Do đó: Phương trình 1         =         y = . Thày vào pt 2  2x 2 – 11x + 21 =       . Đặt t =      . Ta có (t – 2) 2 (t 4 + 4t 3 + 12t 2 + 18t + 24) = 0. Mặt khác t 4 + 4t 3 + 12t 2 + 18t + 24 = (t 2 + 2t) 2 + (8t 2 + 18t + 24) > 0 với mọi t. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất là t = 2  x = 3 và y = . Bài 27:                                                 Chia 2 vế phương trình số 2 cho x 3 ta được:                                    Thay vào phương trình số 1 ta được:                                    Chuyển (t + 1) sang 1 vế rồi bình phươg  (t 2)(8t 3 + 312t 2 + 468t + 52) = 0 có nghiệm duy nhất t= 2 vì t > 0 Bài 28:                                x 2 +    = 2.               x 3 +    +    = x +   . Đặt   = t, ta có hệ:                    2(x 3 + xt 2 + t 3 ) = (x 2 + t 2 )(x + 2t)  x = 0 hoặc x = t. Bài 29:                     Phương trình (1)  (x + y – 4)(x 2 + y 2 + 4x + 4y) = 0  x + y = 4 vì (x + y) > 0. Bài 30:                               Pt1  8(x + y) = (x + y)(x + 2y)  x = -y hoặc x + 2y = 8. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Với x +2y = 8            2(8-2y) 2 – y 2 + 5. Ta có 2y  6 và y  3 nên y = 3. Thay vào phương trình ta thấy không đúng. Với x = -y                y 2 + 5 – 4          = 0  (y + 1)(y – 2)(1 +       +       ) = 0. Do đó y =  hoặc y = 2. Bài 31:                            Đặt     = a,       = b,       = c. Ta có hệ:                 Bài 32:                                Pt2      =                 +      = 0  (x + 1) 2 (2 + x) 2 + 3(x  1)(5  7x)(2 + x) + (5  7x) 2 = 0  (x 2 8x  1)(x 2  7x + 1) = 0 Bài 33:                               Pt1  2x 3 – 2x =  (y 2 + 1) 3 + 4(y 2 + 1). Đặt y 2 + 1= t. Ta có hệ:                 6(2x 3 + t 3 ) = (2x + 4t)(2x 2 + t 2 )  6x 3 +3t 3 = 2x 3 + 4x 2 t + xt 2 + 2t 3  x = t, t = 2x, t = 2x. Bài 34:                                 Phương trình (1)  x 3 + 3x = (y + 2) 3 + 3.(y + 2)  y = x – 2. Thay vào phương trình 2  x 3 + x 2 – 4x – 1 =                                                              Bài 35:                                    Phương trình (1)  4(2x – 1)          = 4(y + 1) 3 + (y + 1). Do đó y + 1 =     (y   x =     Thay vào phương trình (2)  y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = 0. Bài 36:                                   = t. Phương trình (1) trở thành x 3 – 3xt 2 + 2t 3 = 0. Do đó x = t =     hoặc x =      50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389  Với x      ta có x  và phương trình (2) trở thành: x 2 + 16x + 8     = 60. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0. Do đó f(x)  f(0) = 8   < 60.  Với x =     ta có x 2 + 4x + 2     = 16. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Bài 37:                       Phương trình (1)  x = y. Do đó ta có       = 4x 2 – 3x – 4.Chia 2 vế cho x, ta có:             Bài 38:                              Hệ tương đương với:                                   Bài 39:                                                                      Bài 40: x[3x + 7 – 2       ] = 4        – 4 Đặt t =       . Ta được phương trình t 2 – 2(x + 2)t + 6x + 3 = 0  (t – 3)(t – 2x – 1) = 0. Bài 41:                     Pt (1)  x 6 + 2x 2 = (y + 3) 3 + 2(y + 3). Do đó y + 3 = x 2 . Thay vào (2) ta có x 2 – x – 3 =                       Bài 42:                               Đặt   = t. Ta có Pt1  (2x 2 + t 2 ) 2 = 3xt 2 (x + t). Do đó 2x = t hay y = 4x 2 (x > 0). Thay vào pt2 ta có:            .                                                Bài 43:                         50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Phương trình 1  (x 2 + 1)(x 2 – y) = 0. Do đó y = x 2 . Thay vào pt2  x             (4 – x) = 2x. Giải điều kiện ta có được  . Ta bình phương 2 vế được: (2x 2 – 4)(x 2 – 8x + 16) = 4x 2  (x – 2) 2 (x 2 – 4x – 8) = 0. Do đó x = 2. Bài 44:             Đặt y =    . Ta có x 3 – 3xy 2 + 2y 3   (x – y) 2 (x + 2y)  Bài 45:                            Pt 2  x 2 + (3y + 3)x + 2y 2 + 2y – 4 = 0. Dùng biệt thức   x + y = 1 hoặc x + 2y + 4 = 0 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện) Thay vào pt1              . Sử dụng trục căn thức 2 lần giống như Bài 34 với x =   và x =   Bài 46:                                Pt1  (x – y)(x + 2) = 0. Tuy nhiên vì điều kiện cho ta x > 0 nên x = y. Thay vào phương trình (2) ta có: 4x 2 + 3x + 3 = 4x                              Bài 47:                             Phương trình 2  (x 2 y + 2x) 2 – 2(x 2 y + 2x) + 1 = 0  x 2 y + 2x = 1. Do đó y =    . Thay vào pt1 ta có:                                                        Bài 48: 4x 2 + 11x +8 = (x + 2)         8x 2 + 22x + 16 – 2(x + 2)        = 0  (x 2 + 4x + 4) – 2(x + 2)        + (2x 2 + 8x + 7) + (5x 2 + 10x + 5) = 0  [x + 2 +       ] 2 + 5(x + 1) 2 = 0 khi và chỉ khi x = –1. Bài 49:                                         Phương trình (1)  x 3 – 3x 2 +3x – 1 = y 3 + 3y 2 + 3y + 1  (x – 1) 3 = (y + 1) 3  y = x – 2, thay vào pt2 ta có:             . Sử dụng trục căn thức 2 lần với các nghiệm x = –1, x = 2 giống Bài 34. Bài 50:                                                       2(x 2 – 2x – 8) + 3(x + 5) = 5            . Đặt                  Ta có 2a 2 + 3b 2 = 5ab. . 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1:            . 2y = 8. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Với x +2y = 8            2(8-2y) 2 – y 2 + 5. Ta có 2y  6 và y  3 nên y = 3. Thay vào phương trình ta.      = t. Phương trình (1) trở thành x 3 – 3xt 2 + 2t 3 = 0. Do đó x = t =     hoặc x =      50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389