Đang tải... (xem toàn văn)
đại học vinh, năm 2 sư phạm toán, đề thi khó, có thể tìm tfai liệu tại thư viện nguyễn thúc hào , nên mượn đầu kì để đảm bảo có sách dùng. chứng minh rằng phép dời hình f trên không gian mà mọi điểm của một mặt phẳng là điểm kép thì f là phép đồng nhất
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC TRẦN VĂN ÂN, ĐINH HUY HOÀNG BÀI GIẢNG ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VINH - 2017 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1 iv Bổ sung lý thuyết tập hợp lực lượng tập hợp Tập hợp, phép toán tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp 1.2 Các phép toán tập hợp Lực lượng tập hợp 2.1 Khái niệm lực lượng 2.2 Bản số 2.3 Tập hợp đếm 2.4 Tập hợp không đếm được, lực lượng continum 10 Bài tập 12 Chương 2 Độ đo 13 Đại số tập hợp 13 1.1 Các khái niệm 13 1.2 Một số tính chất 14 Độ đo đại số tập hợp 15 2.1 Định nghĩa, ví dụ 15 2.2 Một số tính chất 16 Độ đo sinh thể tích hình hộp 21 3.1 Phân hoạch theo kẻ ô 21 i ii Bài giảng Độ đo - Tích phân 3.2 Độ đo sinh thể tích hình hộp 22 Độ đo 26 4.1 Định nghĩa, ví dụ 26 4.2 Các tính chất 26 Tập hợp đo 28 5.1 Tập hợp đo theo Caratheodory 28 5.2 Tập hợp đo theo Lebesgue 32 Độ đo Lebesgue Rn 35 6.1 Tập hợp đo Lebesgue Rn 35 6.2 Đặc trưng tập hợp đo Lebesgue Rn 37 Bài tập 39 Chương 3 Tích phân 41 Tích phân hàm đơn giản 41 1.1 Các khái niệm 41 1.2 Một số tính chất 43 Tích phân Riemann 45 2.1 Các khái niệm 45 2.2 Mối liên hệ tổng Darbour tích phân hàm đơn giản 46 Hàm đo 49 3.1 Định nghĩa ví dụ 49 3.2 Các tính chất 49 Tích phân hàm đo khơng âm 52 4.1 Định nghĩa tính chất 52 4.2 Chuyển qua giới hạn dấu tích phân 54 Tích phân hàm đo tùy ý 55 5.1 Định nghĩa tính chất 55 5.2 Các tính chất tích phân hàm đo tùy ý 56 Mục lục 10 iii Tích phân tập đo 57 6.1 Định nghĩa tính chất 57 6.2 Tích phân khơng xác định 59 Hội tụ theo độ đo 61 7.1 Định nghĩa ví dụ 61 7.2 Mối quan hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi 62 Qua giới hạn dấu tích phân 64 8.1 Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue 64 8.2 Bổ đề Fatou 65 Không gian L(E) 66 9.1 Không gian L(E) 66 9.2 Tính chất 67 Mối quan hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue 68 10.1 So sánh tích phân Riemann tích phân Lebesgue 68 10.2 Thuật toán Lebesgue 70 Bài tập 71 Tài liệu tham khảo 75 MỞ ĐẦU Học phần Độ đo - Tích phân giảng dạy cho sinh viên ngành Toán học Trường Đại học Vinh nhiều năm nay, giáo trình phù hợp với chưa có Để đáp ứng nhu cầu dạy học biên soạn Giáo trình theo tinh thần đề cương chi tiết nhà trường phê duyệt Chương nhằm nhắc lại số kiến thức lý thuyết tập hợp mà sinh viên học trước bổ sung thêm số khái niệm cần dùng cho chương sau Chương dành cho việc trình bày khái niệm độ đo giải toán mở rộng độ đo Nhờ mà xây dựng khái niệm độ đo Lebesgue Trong chương 3, dựa vào khái niệm độ đo Lebesgue chúng tơi trình bày việc xây dựng tích phân Lebesgue việc xuất phát từ tích phân hàm đơn giản phương pháp chuyển qua giới hạn Sau chương có phần tập tương ứng với vấn đề lý thuyết đạng học Hầu hết tập lựa chọn tương đối dễ để người học tự giải Việc giải chúng cần áp dụng lý thuyết cách trực tiếp Tuy nhiên, cúng có số tập tương đối khó, dành cho sinh viên khá, giỏi làm quen với việc làm nài tập lớn tập dượt nghiên cứu khoa học Giáo trình viết sở giảng mà giảng dạy cho sinh viên nhiều năm gần Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TS Tạ Quang Hải PGS.TS Tạ Khắc Cư đọc kỹ thảo, sửa chữa nhiều lỗi tả cho nhiều ý kiến q báu để giáo trình hồn chỉnh Mặc dầu dành nhiều thời gian sức lực cho giáo trình này, song thiếu sót khơng thể tránh khỏi mong nhận nhiều góp ý bạn đọc đồng nghiệp CÁC TÁC GIẢ CHƯƠNG BỔ SUNG VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LỰC LƯỢNG TẬP HỢP Chương dành để trình bày kiến thức cần thiết như: Tập hợp, phép toán tâp hợp, lực lượng tập hợp, số, tập hợp đếm được, tập hợp không đến được, lực lượng continum cần dùng cho trình bày chương sau Tập hợp, phép toán tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Ta hiểu khái niệm thơng qua ví dụ sau: Tập hợp sinh viên lớp; Tập hợp N số tự nhiên; Tập hợp Z số nguyên; Tập hợp Q số hữu tỷ; Tập hợp R số thực; Tập hợp C số phức; Tập hợp gồm bàn học lớp; Tập hợp nghiệm phương trình x2 = Như vậy, tập hợp tạo nên cách hợp đối tượng riêng lẻ thành đối tượng (gọi tập hợp) Ta thường ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, M, N, , X, Y, Z Giáo trình Độ đo - Tích phân Các đối tượng riêng lẻ tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Tập hợp phần tử gọi tập hợp rỗng ký hiệu ∅ Nếu a phần tử tập hợp A ta viết a ∈ A nói a thuộc tập hợp A Ta dùng ký hiệu a ∈ / A để nói a khơng phải phần tử tập hợp A hay a không thuộc tập hợp A Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập hợp tập hợp B ký ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Nếu tập hợp A tập tập hợp B tập hợp B tập tập hợp A, ta nói hai tập hợp A, B viết A = B Để cho tập hợp ta mơ tả tập hợp cách cho biết đặc trưng phần tử thuộc tập hợp liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ Tập hợp A gồm phần tử A = {1, 2, a, c}; Tập hợp B = {n ∈ Z : n chia hết cho 3} 1.2 Các phép toán tập hợp Cho họ tập hợp {Ai }i∈I , với I tập số [ 1.2.1 Hợp Hợp họ tập hợp Ai , i ∈ I, kí hiệu Ai , tập hợp gồm tất i∈I phần tử thuộc tập hợp Ai , i ∈ I, nghĩa [ Ai = {x : tồn i ∈ I để x ∈ Ai } i∈I Nếu I = {1, 2, , n} với n ∈ N ta dùng kí hiệu n [ Ai hay A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An i=1 Nếu I = N ta dùng kí hiệu [ Ai hay i∈N ∞ [ Ai i=1 1.2.2 Giao Giao họ tập hợp Ai , i ∈ I, kí hiệu \ Ai , tập hợp gồm i∈I tất phần tử thuộc tập hợp Ai , i ∈ I, nghĩa \ Ai = {x : x ∈ Ai với i ∈ I} i∈I Nếu I = {1, 2, , n} ta dùng kí hiệu n \ i=1 Ai hay A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An Chương Bổ sung lý thuyết tập hợp lực lượng tập hợp Nếu I = N ta dùng kí hiệu \ Ai hay i∈N ∞ \ Ai i=1 Các tập hợp {Ai }i∈I gọi đôi rời Ai ∩Aj = ∅ với i, j ∈ I mà i 6= j 1.2.3 Hiệu Cho tập hợp A B Hiệu tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu A \ B, tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B, nghĩa A \ B = {x : x ∈ A x ∈ / B} Hiệu đối xứng hai tập hợp A B tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) kí hiệu A4B Nếu A tập tập hợp X cho trước X \ A gọi phần bù tập hợp A (trong X) kí hiệu CX A hay Ac 1.2.4 Định lí Giả sử A, B tập tập X cho trước Khi A ⊂ B A ∪ B = B A ⊂ B A ∩ B = A A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = A ∪ (B \ A) Chứng minh Dành cho người đọc tập 1.2.5 Định lí Giả sử A, Ai , i ∈ I tập tập X cho trước Khi S X \ ( Ai ) = i∈I T X \ ( S Ai ) = T i∈I S (X \ Ai ) i∈I Ai ) = i∈I A ∪ ( (X \ Ai ) i∈I i∈I A ∩ ( T S (A ∩ Ai ) i∈I Ai ) = T (A ∪ Ai ) i∈I Chứng minh Dành cho người đọc tập 1.2.6 Tích họ tập hợp Cho họ tập hợp {Ai }i∈I Nếu với i ∈ I ta chọn phần tử f (i) ∈ Ai , lúc ta nói xác định [ hàm f từ I vào Ai cho với i ∈ I, f (i) ∈ Ai i∈I Giáo trình Độ đo - Tích phân Tập hợp tất hàm f gọi tích họ tập hợp {Ai }i∈I Y ký hiệu Ai , nghĩa i∈I Y Ai = {f : I → i∈I [ Ai : f (i) ∈ Ai , i ∈ I} i∈I Nếu I = {1, 2, , n}, hàm f : I → n [ Ai cho bảng i=1 1, , ,n ! a1 , a , , a n , ∈ Ai , i = 1, n Khi cố định hàng trên, (a1 , , an ) xác định ánh xạ f : I → [ Ai Vì ta đồng f với (a1 , a2 , , an ) xem tích họ A1 , A2 , , An i∈I tích Đề A1 × A2 × × An Y [ Nếu Ai = A, i ∈ I, tích Ai tập hợp tất hàm f : I → Ai = A i∈I i∈I Y Lúc ta ký hiệu Ai = AI i∈I Lực lượng tập hợp 2.1 Khái niệm lực lượng 2.1.1 Định nghĩa Với tập hợp A ta kí hiệu |A| lực lượng A Nếu A B tập hợp cho tồn song ánh f : A → B từ A lên B ta nói hai tập hợp A B có lực lượng viết |A| = |B| Dễ thấy quan hệ A có lực lượng với B quan hệ tương đương ta kí hiệu A ∼ B 2.1.2 Định nghĩa Tập hợp A gọi tập hữu hạn tồn số n ∈ N tương ứng 1-1 A tập hợp {1, , n} Khi ta nói tập hợp A có n phần tử hay |A| = n Ta quy ước tập rỗng tập hữu hạn lực lượng tập rỗng Nếu A tập hữu hạn gọi tập vơ hạn Từ Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 ta suy A B tập hữu hạn A ∼ B hai tập có số phần tử Chương Bổ sung lý thuyết tập hợp lực lượng tập hợp 2.1.3 Định nghĩa Cho tập hợp A B Nếu tồn đơn ánh f : A → B từ A vào B ta viết |A| ≤ |B| Nếu tập hợp A lực lượng với tập hợp B, nghĩa không tồn song ánh từ A lên B tồn song ánh từ A lên tập thực B1 B ta nói lực lượng A nhỏ lực lượng B lực lượng B lớn lực lượng A kí hiệu |A| < |B| hay |B| > |A| 2.1.4 Nhận xét Dễ thấy A ⊂ B |A| ≤ |B| Hơn nữa, quan hệ |A| ≤ |B| quan hệ thứ tự phận Vấn đề đặt với hai tập hợp A B cho trước ta so sánh lực lượng chúng hay không? Các kết sau trả lời cho câu hỏi mà chứng minh chúng tìm thấy sách tham khảo lí thuyết tập hợp 2.1.5 Định lí Nếu A B hai tập hợp tùy ý xảy ba quan hệ sau |A| = |B|, |A| < |B|, |A| > |B| 2.1.6 Định lí Khơng thể xảy đồng thời |A| < |B| |A| > |B| 2.1.7 Hệ Với hai tập hợp A B xảy ba quan hệ sau |A| = |B|, |A| < |B|, |A| > |B| 2.2 Bản số 2.2.1 Định nghĩa Lớp tất tập hợp có lực lượng với tập hợp cho trước gọi số Nếu A thuộc lớp α ta nói A có lực lượng α (hoặc A có số α) ký hiệu |A| = α Ta so sánh hai số cách so sánh lực lượng hai tập hợp thuộc hai lớp Do hai số α β tùy ý xẩy ba quan hệ sau: α = β, α < β, α > β Bản số chứa tập hợp hữu hạn gọi số hữu hạn Bản số chứa tập hợp vô hạn gọi số siêu hạn [ 2.2.2 Định nghĩa Nếu A = Ai Ai ∩ Aj = φ với i 6= j Ai 6= φ với i∈I i ∈ I, ta nói họ {Ai }i∈I phân hoạch A Cho hai tập hợp A B khác rỗng Nếu tập hợp C có phân hoạch A0 , B cho tồn tương ứng − A A0 , B B , C gọi tổng A B, ký hiệu C = A + B 62 7.2 Bài giảng Độ đo - Tích phân Mối quan hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi 7.2.1 Định lí Nếu dãy {fn } hội tụ theo độ đo hàm số f , tồn dãy {fnk } cho fnk → f h.k.n.X Chứng minh Lấy hai dãy số dương {εn } {δn } cho εn → ∞ X δn < n=1 ∞ µ Vì fn → f , nên với số tự nhiên n tồn số tự nhiên kn cho µ{x ∈ X : |fkn (x) − f (x)| ≥ εn } < δn Ta giả thiết số kn chọn cho k < k < < kn < Đặt E= ∞ [ ∞ \ {x ∈ X : |fkn (x) − f (x)| ≥ εn } p=1 n=p Khi đó, với số p ∈ N ta có µ(E) ≤ ∞ X µ{x ∈ X : |fkn (x) − f (x)| ≥ εn } < n=p ∞ X δn → n=p n → ∞ Vì vậy, µ(E) = Bây ta chứng tỏ CE fkn → f h.k.n.X Trước hết CE = ∞ \ ∞ [ {x ∈ X : |fkn (x) − f (x)| < εn }, p=1 n=p nên với hầu khắp điểm xo ∈ CE tồn số tự nhiên pxo cho xo ∈ ∞ \ {x ∈ X : |fkn (x) − f (x)| < εn }, n=pxo nghĩa với n ≥ pxo ta có |fkn (xo ) − f (xo )| < εn → n → ∞ Do fkn (xo ) → f (xo ) Vì thế, fkn (x) → f (x) h.k.n.X Chiều ngược lại Định lý 7.2.1 nói chung khơng Chương Tích phân 63 7.2.2 Ví dụ Lấy X = R1 , µ độ đo Lebesgue R1 x ∈ [n, n + 1] hn (x) = x∈ / [n, n + 1] Khi hn (x) → h.k.n.X Tuy nhiên, µ{x ∈ X : |hn (x) − 0| ≥ } = 1, với n = 1, 2, Do đó, hn dãy không hội tụ theo độ đo hàm f ≡ Tuy nhiên, ta có 7.2.3 Định lí Cho dãy hàm đo {fn } Nếu fn → f h.k.n.E với E ∈ A µ(E) < ∞, fn → f theo độ đo E Chứng minh Vì fn → f h.k.n.E, nên f hàm đo E, nghĩa hàm χE f đo (xem Bài tập 3.12 chương 3) Ta chứng tỏ rằng: với ε > ta có ∞ \ ∞ [ E= {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ε} h.k.n.E k=1 n=k Hiển nhiên, ta có ∞ ∞ \ [ {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ε} ⊂ E (3.9) k=1 n=k Để chứng minh chiều ngược lại ta lưu ý hầu khắp nơi E hàm fn (x) f (x) hữu hạn lim fn (x) = f (x) Do với hầu khắp xo ∈ E tồn số tự n→ ∞ nhiên pxo cho với n ≥ pxo ta có |fn (x) − f (x)| < ε Vì ∞ \ xo ∈ {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ε}, n=pxo nghĩa xo ∈ ∞ \ ∞ [ {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ε} k=1 n=k Từ (3.9) ta suy CE E = ∞ [ ∞ \ k=1 n=k {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} = φ h.k.n.E 64 Bài giảng Độ đo - Tích phân Kí hiệu Ek = ∞ [ {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} n=k Khi ta có {En } dãy giảm có giao rỗng hầu khắp nơi Vì µ(E1 ) ≤ µ(E) < ∞, nên theo tính chất liên tục độ đo µ ta có µ(Ek ) → k → ∞ Do µ{x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} ≤ µ(Ek ) → µ Điều chứng tỏ fn → f E Qua giới hạn dấu tích phân 8.1 Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue 8.1.1 Định lí Cho dãy hàm đo {fn } cho fn → f h.k.n hay theo độ đo Nếu tồn hàm khả tích g cho với n ∈ N ta có |fn | ≤ g h.k.n., f khả tích If = lim Ifn n→ ∞ Chứng minh Ta chứng minh theo bước sau 1) Từ giả thiết |fn | ≤ g h.k.n với n ∈ N g khả tích, nhờ Định lý 5.2.5 ta suy fn khả tích Nếu fn → f h.k.n, ta có |f | ≤ g h.k.n Từ đó, ta suy f khả tích µ Cịn fn → f , tồn dãy fnk → f h.k.n., theo chứng minh f khả tích 2) Với ε > bé tùy ý cho trước, g liên tục tuyệt đối điểm vô cùng, tồn tập hợp đo E cho µ(E) < ∞ I|g|CE < ε Lại g liên tục tuyệt đối điểm không, nên tồn số δ > cho với E ∈ A mà µ(E) < δ ta có I|gE | < ε (3.10) µ Theo Định lý 7.2.3, E ta có fn → f Bởi thế, đặt En = {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε } µ(E) + µ(En ) → n → ∞ Do với δ > nói tồn số no ∈ N để cho với n > no ta có µ(En ) < δ (3.11) Chương Tích phân 65 Từ (3.10) (3.11) ta suy tồn số no cho với n > no ta có I|gEn | < ε Khi đó, với n > no vế phải bất đẳng thức |Ifn − If | ≤ I|fn − f |E\En + I|fn − f |CE + I|fn − f |En ước lượng sau ε ε µ(E \ En ) ≤ µ(E) < ε µ(E) + µ(E) + ≤ I|fn |CE + I|f |CE ≤ 2I|g|CE < 2ε * I|fn − f |E\En ≤ * I|fn − f |CE * I|fn − f |En ≤ I|fn |En + I|f |En ≤ 2I|g|En < 2ε Do với n > no ta có |Ifn − If | < ε + 2ε + 2ε = 5ε Vì ε > bé tùy ý cho trước ta có Ifn → If 8.1.2 Ví dụ Giả sử E ∈ A µ(E) < ∞ Chứng minh dãy {fn } hàm đo EZ cho fnZ → f h.k.n E |fn (x)| ≤ M với x ∈ E với n ≥ 1, lim fn dµ = f dµ n→∞ E E Thật Vì E ∈ A, µ(E) < ∞ |fn (x)| ≤ M với x ∈ E với n ≥ 1, nên hàm M χE khả tích E Vì dãy {fn } thỏa mãn điều Z kiện Z định lý hội tụ bị chặn Lebesgue tập đo E Do ta có lim n→∞ 8.2 fn dµ = E f dµ E Bổ đề Fatou 8.2.1 Định lí Nếu fn ≥ h.k.n.X, I(limfn ) ≤ limIfn Chứng minh Với n ∈ N ta đặt gn = inf{fn , fn+1 , } Khi ta có ≤ gn % limfn Theo định lý Beppô - Lêvi ta có lim Ign = I(limfn ) (3.12) Mặt khác, với n ∈ N ta có gn ≤ fn Do ta có Ign ≤ Ifn Vì vậy, ta có lim Ign = limIgn ≤ limIfn Từ (3.12) (3.13) ta suy I(limfn ) ≤ limIfn (3.13) 66 Bài giảng Độ đo - Tích phân 8.2.2 Nhận xét Ý nghĩa định lý chỗ: fn → f h.k.n ta kết luận If = lim Ifn , định lý cho phép ta ước lượng If trường hợp cụ thể ta kết luận tính khả tích f 8.2.3 Ví dụ Nếu fn khả tích không âm, fn → f h.k.n E Ifn E ≤ C với n ≥ 1, với C số, f khả tích ≤ IfE ≤ C Thật Nhờ Định lý 8.2.1 ta có IfE = I lim fn E ≤ lim Ifn E ≤ C n→∞ n→∞ Không gian L(E) 9.1 Không gian L(E) 9.1.1 Đặt vấn đề Cho tập hợp E ∈ A Từ Hệ 5.2.3, ta suy tập hợp tất hàm khả tích E lập thành khơng gian tuyến tính Kí hiệu không gian L(E) Trên không gian L(E) ta đưa vào quan hệ sau đây: Với f, g ∈ L(E), f ∼ g ⇔ f = g h.k.n.E Dễ dàng chứng minh quan hệ quan hệ tương đương 9.1.2 Định nghĩa Không gian thương L(E) theo quan hệ tương đương kí hiệu L(E) Với ϕ ∈ L(E) ta đặt [ϕ] = {f ∈ L(E) : f ∼ ϕ} Khi [ϕ] phần tử L(E) Ta đồng [ϕ] với ϕ Bây ta đưa vào L(E) mêtric sau: Với cặp ϕ, ψ ∈ L(E) ta đặt d(ϕ, ψ) = kϕ − ψk = I(|ϕ − ψ|) Dễ dàng thử thấy d mêtric L(E) Không gian L(E) với mêtric xác định gọi không gian Lebesgue hàm khả tích E Chương 9.2 Tích phân 67 Tính chất 9.2.1 Định lí Khơng gian L(E) không gian đầy đủ Chứng minh Giả sử {ϕn } dãy Cauchy không gian L(E), ta chứng tỏ dãy hội tụ L(E) Trước hết ta chứng minh tồn dãy {ϕnk } ⊂ {ϕn } cho ϕnk → ϕ ∈ L(E) Thật vậy, từ giả thiết {ϕn } dãy Cauchy, ta chọn dãy số n1 < n2 < < nk < cho với n > nk ta có , k = 1, 2, 2k kϕn − ϕnk k ≤ Khi kϕnk +1 − ϕnk k < , 2k nghĩa I(|ϕnk +1 − ϕnk |) < 2k Theo Hệ 4.2.2 định lý Beppô - Lêvi ta có ∞ ∞ X X I(|ϕnk +1 − ϕnk |) < ∞ |ϕnk +1 − ϕnk |) = I( k=1 k=1 Điều chứng tỏ ∞ X |ϕnk +1 − ϕnk | hữu hạn h.k.n., k=1 nghĩa chuỗi ∞ X (ϕnk +1 −ϕnk ) hội tụ tuyệt đối h.k.n Vậy chuỗi hội tụ hầu khắp k=1 nơi tổng s Kí hiệu tổng riêng chuỗi SN = N X (ϕnk +1 − ϕnk ) = k=1 ϕnN +1 − ϕn1 Ta có lim SN = lim (ϕnN +1 − ϕn1 ) = lim ϕnN +1 − ϕn1 = s N→ ∞ N→ ∞ N→ ∞ Đặt ϕ = s + ϕn1 , ta nhận lim ϕnN +1 = ϕ N→ ∞ 68 Bài giảng Độ đo - Tích phân Theo cách xác định cố định p ∈ N, lúc với nk > np ta có I(|ϕnk − ϕnp |) = d(ϕnk , ϕnp ) < 2p Điều chứng tỏ dãy {ϕnk } không gian mêtric L(E) bị chặn Khi tồn số C > cho I(|ϕnk |) = d(ϕnk , 0) < C, với k ∈ N Bởi vậy, theo bổ đề Fatou ta có I(lim|ϕnk |) = I|ϕ| ≤ limI|ϕnk | ≤ C, nghĩa ϕ khả tích ϕ ∈ L(E) Mặt khác, theo bổ đề Fatou ta có kϕ − ϕnk k = I|ϕ − ϕnk | = I( lim |ϕnp − ϕnk |) ≤ p→∞ ≤ lim I|ϕnp − ϕnk | ≤ p→ ∞ 2k Vì kϕ − ϕnk k → nghĩa k → ∞, ϕnk → ϕ L(E) Bây ta chứng minh ϕn → ϕ Thật vậy, từ bất đẳng thức kϕ − ϕn k ≤ kϕ − ϕnk k + kϕnk − ϕn k, lim ϕnk = ϕ {ϕn } dãy Cauchy ta suy ϕn → ϕ L(E) k→ ∞ 9.2.2 Nhận xét Tập hợp tất hàm đơn giản trù mật khắp nơi L(E) Tập hợp tất hàm liên tục E trù mật khắp nơi L(E) 10 Mối quan hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue 10.1 So sánh tích phân Riemann tích phân Lebesgue Tích phân mà ta xây dựng tiết §1 từ §4 đến §8 gọi tích phân loại Lebesgue Trường hợp X = Rn µ độ đo Lebesgue ta gọi tích phân xây dựng tích phân Lebesgue Chương Tích phân 69 Tích phân xác định mà ta học giáo trình giải tích cổ điển gọi tích phân Riemann ĐểZcho tiện, f hàm khả tích Riemann ta kí hiệu tích phân (R) f (x)dx, cịn f khả tích Lebesgue ta kí hiệu tích Z phân (L) f (x)dx Trước hết nhắc lại kết sau lý thuyết tích phân Riemann 10.1.1 Định lí Giả sử ∆ hình hộp đóng Rn , f : ∆ → R hàm bị chặn B tập hợp điểm gián đọan Khi đó, hàm f khả tích ∆ B tập có độ đo 10.1.2 Định lí Giả sử ∆ gian đóng bị chặn Rn Nếu hàm bị chặn f : ∆ → R1 khả tích Riemann khả tích Lebesgue Z Z f (x)dx = (L) f (x)dx (R) ∆ ∆ Chứng minh Vì f khả tích Riman, nên nhờ Định lý 2.2.3, tồn dãy hàm đơn giản {hn } ∆ cho hn % f, h.k.n.∆ Z (R) f (x)dx = lim Ihn n→ ∞ ∆ Mặt khác, áp dụng định Z lý Beppô - Lêvi cho dãy hàm ≤ hn − h1 % f∆ − h1 , h.k.n.∆ ta suy (L) f (x) = lim I hn Vì thế, ta có n→ ∞ ∆ Z Z f (x)dx f (x)dx = (L) (R) ∆ ∆ 10.1.3 Nhận xét Có hàm xác định, bị chặn gian đóng bị chặn khả tích Lebesgue khơng khả tích Riman Ví dụ Kí hiệu Q tập hợp số hữu tỷ [0, 1] Xét hàm D (x) = x∈Q x ∈ [0, 1] \ Q Z Vì tập hợp Q đo được, nên D(x) hàm đơn giản (L) D(x)dx = 1.µ(Q) + 0.µ(CQ) = 70 Bài giảng Độ đo - Tích phân Trong với phân hoạch chia đoạn [0, 1] thành gian nhỏ Ei , i = 1, 2, rời ta có Sσ = k X mi µ(Ei ) = i=1 Sσ = k X k X 0.µ(Ei ) = 0; i=1 Mi µ(Ei ) = i=1 k X 1.µ(Ei ) = i=1 Do supσ S σ 6= inf σ S σ Vì thế, hàm D(x) khơng khả tích Riemann Tóm lại Trong Rn tích phân Lebesgue thực rộng tích phân Riemann Tuy nhiên, Rn số kết khác tích phân Riemann cịn trường hợp tích phân Lebesgue 10.1.4 Định lí (Định lý Fubini) Giả sử X × Y ⊂ R2 f : X × Y → R1 đo được, khả tích, (1) Với hầu khắp giá trị y ∈ Y hàm biến x, ϕy (x) = f (x, y), khả tích X có tích phân IX f (x, y) (2) Với hầu khắp giá trị x ∈ X hàm theo biến y, ψx (y) = f (x, y), khả tích Y có tích phân IY f (x, y) (3) Lúc ta có đẳng thức If = IY {IX f (x, y)} 10.1.5 Định lí Cho Z x hàm f (x) khả tích Lebesgue đoạn [0, 1] Với a < x < f (t)dt Khi ta có b, đặt F (x) = (L) a F (x) = f (x) 10.2 h.k.n.[a, b] Thuật toán Lebesgue Z 10.2.1 Thuật tốn Giả sử ta cần tính tích phân (L) f (x)dx Khi đó, ta tiến ∆ hành theo bước sau: (1) Chọn hàm g : ∆ → R cho (a) f = g h.k.n.∆ (b) hàm g khả tích Riemann ∆ Chương Tích phân 71 Z g(x)dx = I (2) Tính (R) ∆ Z (3) Sử dụng Định lý 10.1.2 ta kết luận: hàm f khả tích Lebesgue ∆ (L) f (x)dx = I ∆ 10.2.2 Ví dụ Cho hàm số ( x sin(x2 + 1) f (x) = x.e3x x∈Z x∈ / Z, với Z tập số nguyên Z Chứng minh hàm f khả tích Lơbe đoạn [0, 1] Tính tích phân (L) f [0,1] Giải Lấy hàm g(x) = x.e3x với x ∈ [0, 1] Ta có f (x) = x.e3x h.k.n [0, 1] hàm g(x) khả tích Riemann đoạn [0, 1] Sử dụng thuật toán Lebesgue ta suy hàm f khả tích Lebesgue đoạn [0, 1] ta có Z Z Z i e3x h i 1 h 3x 3x (L) f (x)dx = (L) x.e dx = (R) x.e dx = x − = 2e + 3 0 Bài tập Bài 3.1 Giả sử X = [0, 1] µ thu hẹp độ đo Lebesgue [0, 1] Ký hiệu Q K thứ tự tập số hữu tỷ [0, 1] tập hợp Cantor đoạn [0, 1] Đặt ( D(x) = Z Tính (L) [0,1] x ∈ Q, x 6∈ Q; Z Ddµ (L) Kdµ ( K(x) = x ∈ K, x 6∈ K [0,1] Bài 3.2 Chứng minh h ∈ S, g ∈ S h = g h.k.n X, Ih = Ig Bài 3.3 Cho h ∈ S dãy {hn } ⊂ S cho hn % h h.k.n.X Chứng minh Ihn % Ih Bài 3.4 Cho h ∈ S dãy {hn } ⊂ S cho hn & h h.k.n.X Chứng minh Ihn & Ih 72 Bài giảng Độ đo - Tích phân Bài 3.5 Giả sử h ∈ S h ≥ h.k.n.X Chứng minh Ih = 0, h = h.k.n X Bài 3.6 Cho gian ∆ ⊂ Rn hàm bị chặn f : ∆ → R Chứng minh điều kiện cần đủ để f khả tích Riemann ∆ tồn dãy hàm bậc thang {hn } tăng {hn } giảm, không ∆ cho hn ≤ f ≤ hn với x ∈ ∆ I(hn − hn ) → Bài 3.7 Cho hàm bị chặn f : ∆ → R Chứng minh điều kiện cần đủ để f khả tích Riemann ∆ tập hợp tất điểm gián đoạn f có độ đo Lebesgue không Bài 3.8 Trên đoạn [0, 1] cho hàm f (x) = x thuộc tập hợp Cantor f (x) = xtb , xtb hoành độ điểm khoảng kề tập hợp Cantor x thuộc khoảng kề Chứng minh f (x) khả tích Riemann Bài 3.9 Chứng minh hàm f : Rn → R liên tục, f đo Lebesgue Bài 3.10 Chứng minh hàm f (x) = D(x) sin x đo Lebesgue, D(x) hàm Dirichlet Bài 3.11 Chứng minh f = g h.k.n.X hàm f đo được, hàm g đo Bài 3.12 Hàm f : X → R gọi đo E ∈ A hàm χE (x).f (x) đo Chứng minh (a) f đo E tập hợp {x ∈ E : f (x) < a} ∈ A, với a ∈ R; (b) Nếu f đo E F , đo E ∪ F, E ∩ F ; (c) Nếu f đo E E ∈ A, E ⊂ E, f đo E ; E= ∞ [ (d) Nếu f đo tập hợp dãy {En }, f đo En n=1 Bài 3.13 Nếu f g đo được, tập hợp {x : f (x) > g(x)}, đo {x : f (x) = g(x)} Chương Tích phân 73 Bài 3.14 Nếu f đo được, với a ∈ R tập hợp {x : f (x) = a} đo Bài 3.15 Cho hàm f : X → R E ∈ A, µ(E) = Chứng minh hàm χE (x).f (x) đo Đặc biệt, hàm khác khơng tập hợp có độ đo khơng đo Bài 3.16 Chứng minh f g đo được, ≤ f = g h.k.n.X, If = Ig Đặc biệt, g = 0, suy f = h.k.n.X, If = Bài 3.17 Cho f g hàm đo không âm cho f − g ≥ h.k n.X Khi có I(f − g) = If − Ig? Bài 3.18 Cho dãy hàm đo {fn } cho ≤ fn & f h.k.n Chứng minh rằng, If1 < ∞ Ifn → If Bài 3.19 Cho dãy hàm đo {fn } cho ≤ fn & f h.k.n Chứng minh rằng, Ifn & f = h.k.n Bài 3.20 Nếu hàm đo gn ≥ h.k.n ∞ X n=1 Ign < ∞, f = ∞ X gn < ∞ n=1 h.k.n f khả tích Bài 3.21 Cho hàm f có dạng f = rời cho X = If = n X ∞ [ n X χEi (x), Ei đo được, đơi i=1 Ei , cịn ≥ (có thể vơ cùng) Chứng minh i=1 µ(Ei ) i=1 Bài 3.22 Trong R, với số tự nhiên n, ta đặt ∆n = [n, n + k] với k số dương (k < ∞) Khi hn (x) = χ∆n (x) hàm đơn giản, hn → x ∈ R, Ihn 6−→ Bài 3.23 Tìm ví dụ chứng tỏ f đo được, khơng có tích phân Bài 3.24 Cho f g đo f ≤ g h.k.n Nếu g khả tích, có If ngược lại f khả tích có Ig Bài 3.25 Cho f, g, h hàm đo cho f ≤ g ≤ h h.k.n Nếu f g khả tích h khả tích Bài 3.26 Cho dãy hàm đo {fn } cho fn % f f1 khả tích Khi đó, Ifn → If