Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 3 Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Chương TÍNH TẤM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trong chương giới thiệu 04 kiểu phần tử: phần tử tam giác 03 nút, 09 chuyển vị nút; phần tử chữ nhật 04 nút, 12 chuyển vị nút; phần tử đồng tham số tứ giác 04 nút, 12 chuyển vị nút phần tử chữ nhật 04 nút, 16 chuyển vị nút đàn hồi biến dạng cục 02 hệ số 3.1 PHẦN TỬ TẤM KIỂU TAM GIÁC 03 NÚT, 09 CHUYỂN VỊ NÚT Xét phần tử mỏng khơng tương thích kiểu tam giác 03 nút theo giả thiết Kirchhoff, hình 3-1 Hình 3-1 Phần tử khơng tương thích kiểu tam giác 03 nút Tại nút có 03 thành phần chuyển vị, ví dụ nút i ( i = ÷ ): chuyển vị ∂w ÷, ∂y i pháp tuyến wi chuyển vị xoay quanh trục x y θ xi = ∂w θ yi = − ÷ nên véc tơ chuyển vị nút { q} e véc tơ lực nút qui đổi ∂x i { R} e phần tử hệ tọa độ địa phương có dạng: { q} e ∂w ∂w = w1 ÷ − ÷ ∂y 1 ∂x 1 { q} e = { q1 q2 { R} e = { R1 R2 q3 R3 ∂w ÷ ∂y w2 q4 R4 q5 R5 q6 R6 ∂w − ÷ ∂x q7 q8 R7 q9 } R8 w3 T R9 } ∂w ÷ ∂y 3 T ∂w − ÷ ∂x 3 (3.1) T (3.2) 3.1.1 Ma trận độ cứng [ K ] e Theo lý thuyết Kirchhoff tính tấm, đại lượng cần tìm hàm chuyển vị { U } e = w ( x, y ) Do phần tử kiểu tam giác 03 nút có 09 bậc tự (chuyển vị 48 nút) nên để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm chuyển vị chọn theo tam giác Pascal: w ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α xy + α y + α x + α ( x y + xy ) + α y (3.3) dạng ma trận: { U } e = w ( x, y ) = P ( x, y ) { α} (3.4) đó: P ( x, y ) = 1 x { α} = { α1 α2 x2 y α3 α4 xy α5 y2 α6 x3 α7 (x α8 y + xy ) α9 } y3 T (3.5) (3.6) Để xác định ma trận hàm dạng [ B ] e cần biểu diễn { α} qua { q} e Ký hiệu xi , yi tọa độ nút i = ÷ Các tham số α j với j = ÷ xác định từ điều kiện chuyển vị nút phần tử, dạng ma trận: { q} e = [ A] { α} ma trận [ A] ma trận số, có dạng: 1 x1 y1 0 −1 1 x2 y2 [ A] = 0 −1 1 x y 3 0 −1 x12 −2 x1 x2 −2 x2 x3 −2 x3 x1 y1 x1 − y1 x2 y2 x2 − y2 x3 y3 x3 − y3 y12 y1 y2 y2 y3 y3 x13 −3 x12 x2 −3 x2 x3 −3 x3 (3.7) x12 y1 + x1 y12 y13 x12 + x1 y1 y12 −(2 x1 y1 + y12 ) 2 x2 y2 + x2 y2 y2 2 x2 + x2 y3 y2 −(2 x2 y2 + y2 ) 2 x3 y3 + x3 y3 y3 2 x3 + x3 y3 y3 −(2 x3 y3 + y3 ) (3.8) Hàm chuyển vị w ( x, y ) biểu diễn qua chuyển vị nút có dạng tổng quát theo phương pháp phần tử hữu hạn: { U } e = w ( x, y ) = [ B ] e { q} e (3.9) Từ (3.9), ý đến (3.7) (3.4): { U } e = w ( x, y ) = [ B ] e { q} e = [ B ] e [ A] { α} = P ( x, y ) { α} rút ma trận hàm dạng [ B ] e [ B ] e = P ( x , y ) [ A] 49 −1 (3.10) Từ (3.7) (3.4), hàm chuyển vị có dạng khác: { U } e =w ( x, y ) = P ( x, y ) [ A] { q} e −1 (3.11) Ma trận [ D ] e xác định từ công thức tổng quát: { ε} e = [ D ] e { q} e Theo lý thuyết Kirchhoff, từ (1.4) ÷ (1.6), véc tơ biến dạng: { ε} = { ε x εy γ xy } T T ∂2w ∂2w = − z − z ∂y ∂x ∂2 w −2 z ∂x∂y (3.12) Từ (3.11): { ε} e ∂ P ( x, y ) ∂x ∂ P ( x, y ) −1 −1 = − z [ A] { q} e = − z D e [ A] { q} e = [ D ] e { q} e ∂y ∂ P ( x, y ) 2 ∂x∂y (3.13) rút ra, ma trận biến dạng - chuyển vị [ D ] e : [ D ] e = − z D e [ A ] −1 (3.14) đó: ∂ P ( x, y ) ∂x 2y 0 ∂ P ( x, y ) 0 0 x = 0 0 0 De = 2x y ∂y 0 0 0 x + y ∂ P ( x, y ) 2 ∂x∂y (3.15) Ma trận độ cứng [ K ] e phần tử hệ tọa độ địa phương xác định theo công thức tổng quát: [ K ] e = ∫ [ D ] e [ E0 ] e [ D ] e dV , với [ Eo ] e T V ma trận đàn hồi trạng thái ứng suất phẳng: [ E0 ]e = E ( − µ2 ) 1 µ µ 0 ( 1− µ) (3.16) Thay (3.14) vào công thức xác định [ K ] e : 50 h /2 [ K]e = ∫ − h /2 ( z dz ∫ [ A] S ) −1 T D e [ Eo ] e D e [ A] dxdy T −1 Vì [ A] ma trận số nên đưa ngồi dấu tích phân [ K]e = ( h3 −1 [ A] 12 ) T −1 T ∫ D e [ Eo ] e D e dxdy ÷[ A] S dạng rút gọn: [ K ] e = ( [ A] ) −1 T [ TG ] [ A] −1 (3.17) đó: [ TG ] = ∫ D e [ Et ] D e dxdy T (3.18) S Với ma trận [ Et ] ma trận hệ số đàn hồi chịu uốn xác định theo (3.19), D p độ cứng trụ xác định theo (1.15) [ Cm ] theo (1.19) [ Et ] = [ Cm ] 1 µ = D p µ 1− µ 0 (3.19) 3.1.2 Ma trận khối lượng [ M ] e Ma trận khối lượng [ M ] e phần tử hệ tọa độ địa phương xác định công thức tổng quát: h /2 [ M ] e = ∫ ρ [ B ] e [ B ] e dV = ∫ T V − h /2 dz ∫ [ B ] e ρ [ B ] e dxdy = hρ∫ [ B ] e [ B ] e dxdy T S T S (3.20) đó: ρ - khối lượng vật liệu phần tử đơn vị thể tích; [ B ] e - ma trận hàm dạng xác định theo (3.10) 3.1.3 Véc tơ lực nút qui đổi { R} e Trong trường hợp phần tử chịu tác dụng tải trọng phân bố có cường độ p ( x, y ) , qui ước dương chiều với trục OZ hệ tọa độ địa phương, véc tơ lực nút qui đổi { R} e hệ tọa độ địa phương xác định công thức tổng quát: 51 { R} e = ∫ [ B ] e p ( x, y ) dxdy T (3.21) S đó: { R} e = { Pz1 M x1 M y1 Pz M x2 M y2 Pz M x3 M y3} T (3.22) Với Pzi M xi , M yi lực tập trung mô men tập trung quay quanh trục x, trục y nút i , i = ÷ 3.1.4 Ma trận chuyển toạ độ [ T ] e Đối với phần tử tam giác, thường hệ tọa độ địa phương không trùng với hệ tọa độ chung nên phải chuyển ma trận độ cứng [ K ] e , ma trận khối lượng [ M ] e , véc tơ lực nút qui đổi { R} e phần tử hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ chung qua ma trận chuyển tọa độ [ T ] e có dạng (3.23), đó, [ L ] ma trận sin phương hệ toạ độ chung hệ toạ độ địa phương [T]e [ L ] = [ 0] [ 0] [ 0] [ ] [ L ] [ 0] [ 0] [ L ] (3.23) Do trục Oz O’z’ phương, chiều theo thứ tự xếp chuyển vị nút, ma trận cô sin phương [ L ] có dạng (3.24) Góc α trục OX (hệ tọa độ địa phương) trục O’X’ (hệ tọa độ chung), qui ước dương quay ngược chiều kim đồng hồ, hình 3-1 nz , z ' [ L ] = nx , z ' ny , z ' lz , x ' lx, x ' ly,x ' mz , y ' cos( z , z ') cos ( z , x ') cos ( z , y ') 1 0 = 0 cosα sinα mx , y ' = cos ( x, z ') cos ( x, x ') cos ( x, y ') m y , y ' cos ( y, z ') cos ( y, x ') cos ( y, y ') 0 − sinα cosα (3.24) 3.1.5 Xác định nội lực Mô men điểm phần tử xét hệ tọa độ địa phương xác định theo cơng thức (1.12) ÷ (1.14) Từ (3.11): ∂ w ∂ P ( x, y ) −1 −1 = [ A] { q} e = [ Px ] [ A] { q} e ∂x ∂x (3.25) ∂ w ∂ P ( x, y ) −1 −1 = [ A] { q} e = Py [ A] { q} e ∂y ∂y (3.26) ∂ w ∂ P ( x, y ) A −1 q = P A −1 q = [ ] { } e xy [ ] { } e ∂x∂y ∂x∂y (3.27) 52 đó: [ Px ] = [ Py = [ 0 0 x y 0] (3.28) 0 0 2x y] (3.29) Pxy = [ 0 0 0 x + y ] (3.30) Thay vào công thức xác định nội lực theo (1.12) ÷ (1.14): ∂2w ∂2w −1 M x = − D p + µ = D p [ Px ] + µ Py [ A] { q} e ∂y ∂x (3.31) ∂2w ∂2w −1 M y = − D p + µ = D p Py + µ [ Px ] [ A] { q} e ∂x ∂y (3.32) ∂2w −1 M xy = − D p ( − µ ) = − D p ( − µ ) Pxy [ A] { q} e ∂x∂y (3.33) ( ) ( ) 3.2 PHẦN TỬ TẤM KIỂU CHỮ NHẬT 04 NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT Xét phần tử mỏng khơng tương thích kiểu chữ nhật 04 nút, 12 chuyển vị nút theo lý thuyết Kirchhoff, hình 3-2 Hình 3-2 Phần tử khơng tương thích kiểu chữ nhật 04 nút Tại nút có thành phần chuyển vị, ví dụ nút i ( i = ÷ ) gồm: chuyển vị pháp tuyến wi chuyển vị xoay quanh trục x y θ xi θ yi Góc xoay điểm phần tử quanh trục x trục y , xác định theo công thức: θx = ∂w ∂y θy = − ∂w ∂x (3.34) Véc tơ chuyển vị nút véc tơ lực nút phần tử hệ tọa độ địa phương: { q} e = { q1 q2 q3 q4 q5 q6 { q} e = { w1 θ x1 θ y1 w2 θx2 θy2 { R} e = { R1 R2 R4 R5 53 R3 R6 q7 w3 R7 q8 q9 θx3 R8 R9 q11 q12 } q10 θy3 R10 w4 R11 θx T θy4} R12 } T (3.35a) T (3.35b) (3.36) 3.2.1 Ma trận độ cứng [ K ] e Hàm chuyển vị phần tử xấp xỉ dạng đa thức theo tam giác Pascal: { U } e = w ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α5 xy + α y + α x3 + α x y + α xy + +α10 y + α11 x3 y + α12 xy (3.37) dạng ma trận: { U } e = w ( x, y ) = P ( x, y ) { α} = [ B ] e { q} e (3.38a) đó: [ B ] e - ma trận hàm dạng P ( x, y ) = 1 x y x { α} = { α1 α2 α3 α4 y2 xy α5 α6 x3 α7 x2 y α8 xy α9 α10 y3 xy x3 y α11 α12 } (3.39) T (3.40) Tương tự phần tử tam giác, quan hệ chuyển vị nút { q} e { q} e = [ A] { α} { α} có dạng: (3.41) Ma trận [ A] ma trận số, với giá trị xi , yi nút i ( i = ÷ ), có kích thước 12x12, có dạng (3.42) w1 1 θ x1 0 θ y1 w2 1 θ x 0 θ y = w3 1 θ x 0 θ y 0 w4 1 θ x 0 θ y4 x12 x1 y1 x1 y12 y1 x13 x12 y1 x12 x1 y12 x1 y1 y13 y12 x13 y1 x13 −2 x1 x2 − y1 x2 y2 y2 −3 x12 x2 −2 x1 y1 x2 y2 − y12 x2 y2 y2 −3 x12 y1 x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 −2 x2 x3 − y2 x3 y3 y3 −3 x2 x3 −2 x2 y2 x3 y3 − y2 x3 y3 y3 −3 x2 y2 x3 y3 x3 y3 x3 x3 y3 y32 x3 −1 x4 y4 −2 x3 x4 − y3 x4 y4 y4 −3 x3 x4 −2 x3 y3 x4 y4 − y3 x4 y4 y4 −3 x3 y3 x4 y4 −1 −2 x4 x4 − y4 y4 0 −3 x4 x4 −2 x4 y4 x4 y4 − y4 y4 x4 −3 x4 y4 x1 y1 −1 x2 y2 −1 x3 y3 1 x1 y13 α1 x1 y12 α − y13 α x2 y2 α x2 y2 α5 − y2 α x3 y3 α x3 y3 α8 − y3 α x4 y4 α10 2 x4 y4 α11 − y4 α12 (3.42) Thay (3.41) vào (3.38a) [ B ] e [ A] { α} = P ( x, y ) { α} rút ra, [ B ] e = P ( x , y ) [ A] −1 (3.43) 54 Chú ý đến (3.38a), hàm chuyển vị có dạng khác: { U } e = w ( x, y ) = [ B ] e { q} e = P ( x, y ) [ A] { q} e −1 (3.38b) Quan hệ biến dạng - chuyển vị nút, theo PP PTHH có dạng tổng quát: { ε} e = [ D ] e { q} e (3.44) Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị (1.4) ÷ (1.6) (3.38a), (3.41): { ε} e ∂ P ( x, y ) ∂x ∂ P ( x, y ) α = D A α = −z { } [ ]e [ ]{ } ∂y ∂ P ( x, y ) ∂x∂y rút ra, ∂ P ( x, y ) ∂x ∂ P ( x, y ) −1 [ D ] e = − z [ A] = − z D e ∂y ∂ P ( x, y ) ∂x∂y (3.45) ∂ P ( x, y ) ∂x ∂ P ( x, y ) A −1 De = [ ] ∂y ∂ P ( x, y ) ∂x∂y (3.46) Ma trận độ cứng phần tử xác định theo công thức tổng quát: [ K ] e = ∫ [ D ] e [ E0 ] e [ D ] e dV T V đó, ma trận [ Eo ] e ma trận đặc trưng đàn hồi vật liệu trạng thái ứng suất phẳng xác định theo (3.16) Thay (3.45) vào công thức xác định [ K ] e , nhận được: h/2 [ K]e = ∫ −h / 55 z dz ∫ D e [ Eo ] e D e dxdy = ∫ D e [ Et ] D e dxdy T S T S (3.47) [ Et ] xác định theo (3.19) Ma trận độ cứng [ K ] e phần tử có kích thước 12x12, ma trận đối xứng 3.2.2 Ma trận khối lượng [ M ] e Ma trận khối lượng [ M ] e phần tử hệ tọa độ địa phương xác định theo công thức tổng quát: [ M ] e = ∫ [ B ] e ρ [ B ] e dV T V Khai triển tích phân: [ M ]e = h /2 ∫ − h /2 dz ∫ [ B ] e ρ [ B ] e dxdy = hρ∫ [ B ] e [ B ] e dxdy T T S (3.48) S đó, [ B ] e xác định theo (3.43) Ma trận khối lượng [ M ] e có kích thước 12x12, ma trận đối xứng 3.2.3 Véc tơ lực nút qui đổi { R} e Véc tơ lực nút qui đổi { R} e phần tử hệ tọa độ địa phương xác định công thức tổng quát theo PP PTHH Với tải trọng phân bố p ( x, y ) : { R} e = ∫ [ B ] e p ( x, y ) dxdy T (3.49a) S { R} e = { Pz1 M x1 M y1 Pz M x2 M y2 Pz M x3 M y3 Pz M x4 M y4} T (3.49b) đó: Pzi - lực nút tập trung nút i với i = ÷ ; M xi , M yi - mô men tập trung quay quanh trục x, trục y nút i Trong trường hợp phần tử có chiều dài cạnh dọc trục x trục y a b , chịu tải trọng phân bố có cường độ p , có chiều dương hướng theo chiều trục OZ hệ tọa độ địa phương, véc tơ lực nút qui đổi { R} e có dạng: { R} e pab b = 1 a b − − 6 a b − 6 a b 6 T a − 6 (3.50) 3.2.4 Xác định nội lực Mô men điểm phần tử xét hệ tọa độ địa phương 56 xác định theo công thức (1.12) ÷ (1.14) Tiến hành tương tự phần tử tam giác, từ (3.38b): ∂ w ∂ P ( x, y ) −1 −1 = [ A] { q} e = [ Px ] [ A] { q} e ∂x ∂x (3.51) ∂ w ∂ P ( x, y ) −1 −1 = [ A] { q} e = Py [ A] { q} e ∂y ∂y (3.52) ∂ w ∂ P ( x, y ) A −1 q = P A −1 q = [ ] { } e xy [ ] { } e ∂x∂y ∂x∂y (3.53) Thay vào (1.12) ÷ (1.14) ∂2w ∂2w −1 M x = − D p + µ = D p [ Px ] + µ Py [ A] { q} e ∂y ∂x (3.54) ∂2w ∂2w −1 M y = − D p + µ = D p Py + µ [ Px ] [ A] { q} e ∂x ∂y (3.55) ( ( M xy = − D p ( − µ ) ) ) ∂2w −1 = − D p ( − µ ) Pxy [ A] { q} e ∂x∂y (3.56) 3.3 PHẦN TỬ ĐỒNG THAM SỐ KIỂU TỨ GIÁC NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT Các phần tử đơn giản kiểu tam giác, chữ nhật không đáp ứng yêu cầu tốn trường hợp rời rạc hóa kết cấu, phần tử khơng có dạng tam giác, chữ nhật Điều dẫn đến phát triển phần tử đồng tham số Những phần tử dùng rộng rãi toán 02 chiều, 03 chiều, toán tính tấm, vỏ, kết cấu có biên cong Phần tử đồng tham số khảo sát hệ tọa độ tự nhiên 3.3.1 Ma trận hàm dạng [ B ] e Phần tử đồng tham số tứ giác nút phần tử mà chuyển vị hình học điểm phần tử biểu diễn qua hàm nội suy N i với i = 1÷ Vị trí điểm phần tử xác định qua hàm nội suy N i tọa độ xi , yi hệ tọa độ chung nút i = ÷ , hình 3-3 x = ∑ N i xi i =1 y = ∑ N i yi i =1 (3.57) Tại điểm phần tử có 03 thành phần chuyển vị là: chuyển vị pháp w chuyển vị θ x xoay quanh trục X chuyển vị θ y xoay quanh trục Y 57 xác định qua hàm nội suy N i chuyển vị thẳng wi , chuyển vị xoay θ xi , θ yi nút i = ÷ : 4 w = ∑ N i wi θ x = ∑ N i θ xi i =1 θ y = ∑ N i θ yi i =1 (3.58) i =1 Hình 3-3 Phần tử tứ giác nút đồng tham số Hàm nội suy N i , i = ÷ có dạng: ( + r.ri ) ( + s.si ) (3.59) đó, ri , si tọa độ tự nhiên nút i Tại nút i = ÷ có tọa độ tự nhiên: Ni = nút 1: (-1,-1); nút 2: (1,-1); nút 3: (1,1) nút 4: (-1,1) Từ (3.59) với giá trị ri , si nút i = ÷ , hàm nội suy N i có dạng: N1 = (1− r ) (1− s) N2 = ( 1+ r ) ( 1− s) N3 = ( 1+ r ) ( 1+ s) N4 = ( 1− r ) ( 1+ s) (3.60) Hàm chuyển vị có dạng tổng quát: { U } e = [ B ] e { q} e (3.61) đó: {U} e = { w θx θy} T (3.62) { q} e - véc tơ chuyển vị nút phần tử { q} e = { w1 θ x1 θ y1 w2 θx2 θy2 w3 θx3 θy3 w4 θx θy4} T (3.63) [ B ] e - ma trận hàm dạng xác định từ (3.58), ý đến (3.61), có dạng: N1 [ B] e = 0 N1 0 N1 N2 0 N2 0 N2 N3 0 N3 0 N3 N4 0 N4 0 0 N4 (3.64) 58 3.3.2 Ma trận biến dạng-chuyển vị [ D ] e Ma trận biến dạng - chuyển vị [ D ] e xác định từ công thức tổng quát theo PP PTHH: { ε} e = [ D ] e { q} e Với phần tử tấm, theo (1.36): { ε} e = { k x ky k xy φx } φy T Từ (1.37), ý đến (3.58), thành phần { ε} e xác định theo công thức: φ y = ∑ wi i =1 k x = ∑ θ yi i =1 ∂N i + ∑ θ yi N i ∂x i =1 φ x = ∑ wi ∂N i ∂x ∂N i ∂y i =1 k y = ∑ −θ xi i =1 ∂N i − ∑ θ xi N i ∂y i =1 k xy = ∑ θ yi i =1 ∂N i ∂N −∑ θ xi i ∂y i =1 ∂x (3.65a) (3.65b) Do xét hệ tọa độ tự nhiên nên cần thiết lập quan hệ đạo hàm đại lượng biến ( r , s ) hệ tọa độ tự nhiên đạo hàm đại lượng biến ( x, y ) hệ tọa độ Descartes Theo qui tắc tính đạo hàm hàm hợp: ∂ ∂ ∂x ∂ ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂ ∂ ∂x ∂ ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s dạng ma trận, [ J ] x ma trận Jacobian: ∂ ∂x ∂r ∂r = ∂ ∂x ∂s ∂s ∂ ∂y ∂ ∂x ∂x ∂r =[ J] ∂y ∂ ∂ ∂y ∂s ∂y (3.66) Từ (3.66), quan hệ đạo hàm riêng theo biến ( x, y ) đạo hàm riêng theo biến ( r , s ) : ∂ ∂ ∂x −1 ∂r ∂ =[ J] ∂ ∂s ∂y (3.67) Từ (3.57) (3.66), ma trận Jacobian [ J ] có dạng: ∂x [ J ] = ∂r ∂x ∂s 59 ∂y ∂N1 ∂r ∂r = ∂y ∂N1 ∂s ∂s ∂N ∂r ∂N ∂s ∂N ∂r ∂N ∂s ∂N x1 ∂r x2 ∂N x3 ∂s x4 y1 y2 y3 y4 (3.68) Chú ý đến (3.60), (1− s) − [ J] = ( 1− r ) − ( 1− s) ( 1+ s) ( 1+ r ) − 4 ( 1+ r ) − ( + s ) x1 ( 1− r ) y1 y2 y3 y4 x x3 x (3.69) Ma trận nghịch đảo [ J ] : −1 [ J] −1 J* = 11 * J 21 * J12 * J 22 (3.70) Từ (3.65), véc tơ { ε} e xác định qua wi , chuyển vị xoay θ xi , θ yi nút i = ÷ : { ε} e = { k x ky k xy φy φ x } = [ D ] e { q} e T (3.71) đó: [ D ] e = [ D1 ] x3 [ D2 ] x3 [ D3 ] x3 [ D4 ] x3 x12 (3.72) Ma trận [ Di ] , với i = ÷ , xác định theo công thức: [ Di ] = ∂N i ∂x ∂N i ∂y ∂N i ∂x ∂N i với i = ÷ ∂y Ni ∂N i ∂y ∂N − i ∂x − − Ni (3.73) tương ứng với chuyển vị nút i : { qi } = { wi θ xi θ yi } T (3.74) Từ (3.72) (3.73), ma trận [ D ] e có dạng (3.75) Véc tơ nội lực { σ} p = { M x M y M xy Qx { σ} p = [ C ] p { ε} e = [ C ] p [ D ] e { q} e = [ CB ] e { q} e Qy } xác định theo (1.33): T (3.76) Sử dụng [ C ] p theo (1.35) [ Di ] theo (3.73): 60 [ CB ] x12 = [ C ] p [ D ] e = [ CB1 ] x3 [ CB2 ] x3 [ CB3 ] x3 [ CB4 ] x3 (3.77) với i = 1, 2,3, − ∂ N1 ∂y ∂N [ D ] e = − ∂x1 ∂N1 ∂x ∂N1 − N ∂y ∂N1 | ∂x 0 | − ∂N ∂y ∂ N1 | ∂y − N1 ∂N ∂x ∂N | ∂y ∂N | ∂x | ∂N2 ∂x ∂N | ∂y 0 N2 − N2 | 0 ∂N3 ∂x ∂N3 | ∂y | ∂N3 ∂x ∂N − ∂x − ∂N3 | ∂x 0 | − ∂N ∂y ∂N3 | ∂y − ∂N ∂x 0 − N3 ∂N ∂x ∂N | ∂y N3 | 0 − N4 ∂ N4 ∂x ∂N4 ∂y N4 (3.75) Nếu tách [ CBi ] x tương ứng với biến dạng uốn cắt: [ CBi ] = [ CBi ] u + [ CBi ] S 0 0 Eh [ CBi ] = 12 ( + µ ) 0 0 0 (3.78) ÷ ÷ + 6α ∂N i h ∂N i ∂x ÷ ∂y ∂N i ∂y −µh ∂N i h N i ữ y − µ ∂x 2 −h N i àh N i ữ − µ ∂y − µ ∂x − h ∂N i ∂x ÷ 0 0 0 − Ni (3.79) Ni Khi tính nội lực, giá trị mơ men tính với ma trận [ CBi ] u với 2x2 điểm Gauss, giá trị lực cắt tính với ma trận [ CBi ] S với 1x1 điểm Gauss 3.3.3 Ma trận độ cứng [ K ] e Ma trận độ cứng [ K ] e phần tử hệ tọa độ địa phương xác định công thức: [ K ] e = ∫∫ [ D ] e [ Et ] [ D ] e dxdy T (3.80) S tính hệ tọa độ tự nhiên: +1 +1 +1 +1 [ K ] e = ∫ ∫ [ D ] e [ Et ] [ D ] e det [ J ] drds = ∫ ∫ k det [ J ] drds −1 −1 61 T −1 −1 (3.81) [ Et ] xác định theo (3.19) [ D ] e xác định theo (3.75) Ma trận k biểu diễn dạng tổng biến dạng uốn biến dạng cắt: k = [ D] e [ C ] p [ D ] e = k + k u s T (3.82) đó: k11 + k11 u S k21 + k21 u S k = k + k 31 u 31 S k + k 41 u 41 S k12 + k12 u S k13 + k13 u S k22 + k22 u S k23 + k23 u S k32 + k32 u S k33 + k33 u S k42 + k42 u S k43 + k43 u S k14 + k14 u S k24 + k24 u S k34 + k34 u S k44 + k44 u S 12 x12 (3.83) Ma trận kkj x = kij u + kij S xác định công thức : 0 0 2 2 Eh h ∂N i ∂N j h ∂ N i ∂ N j µh ∂ N i ∂ N j h ∂ N i ∂ N j 0 kkj = ÷+ ÷ − ÷− ÷ + 12 ( + µ ) − µ ∂y ∂ y ∂ x ∂x − µ ∂ y ∂x ∂x ∂ y 2 h ∂ N i ∂ N j h ∂N i ∂ N j − µ h ∂ N i ∂ N j − h ∂N i ∂ N j ÷ ÷ ÷+ ÷ − ν ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x − ν ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂N i ∂N j ∂N i ∂N j ∂N i Nj ÷+ ÷ − ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂N j Ehα + − Ni Ni N j 2( 1+ µ) ∂y ∂N j Ni ∂x ∂N i Nj ∂x Ni N j (3.84) Khi tính ma trận độ cứng [ K ] e theo (3.84), với kij u tích phân số theo cầu phương Gauss với 2x2 điểm Gauss, cịn kij S tích phân với 1x1 điểm Gauss, (xem mục tích phân số, chương 11) 3.3.4 Véc tơ lực nút qui đổi { R} e Véc tơ lực nút qui đổi phần tử: 62 { R} e = { Fz1 M x1 M y1 Fz M x2 M y2 Fz M x3 M y3 Fz M x4 M y4} T (3.85) { R} e = { { R1} { R2 } { R3 } { R4 } } Véc tơ lực nút qui đổi { Ri } phần tử nút i ( i = ÷ ) tải trọng phân T bố p xác định theo công thức, [12]: Fzi +1 +1 p { Ri } = M xi = ∫ ∫ Ni det [ J ] drds M −1 −1 yi (3.86) 3.3.5 Ma trận khối lượng [ M ] e Ký hiệu: F ( r , s ) = ρh [ B ] e [ B ] e = m [ B ] e [ B ] e T T (3.87) đó: ρ - khối lượng riêng vật liệu; m - khối lượng phân bố phần tử; [ B ] e - ma trận hàm dạng xác định theo (3.64) Ma trận khối lượng [ M ] e phần tử tính tích phân số theo phép cầu phương Gauss với 2x2 điểm Gauss: +1 +1 2 [ M ] e = ∫ ∫ F ( r , s ) det [ J ]drds = ∑∑ αi α j F ( ri , s j ) det [ J ] −1 −1 i =1 j =1 (3.88) 3.4 PHẦN TỬ TẤM KIỂU CHỮ NHẬT 04 NÚT, 16 CHUYỂN VỊ NÚT TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỤC BỘ 02 HỆ SỐ Kết cấu đàn hồi thường tính với mơ hình biến dạng đàn hồi cục Winkler Trong mục này, giới thiệu tính biến dạng đàn hồi cục 02 hệ số với phần tử tương thích chữ nhật nút có 16 bậc tự 3.4.1 Phương trình cân phần tử biến dạng đàn hồi cục hệ số Dưới trình bày cách thiết lập phương trình cân phần tử từ nguyên lý giá trị dừng toàn phần Thế toàn phần Π chịu uốn tổng biến dạng U nội lực ngoại lực, hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang trạng thái biến dạng Thế tồn phần hệ có dạng: 63 Π = U − ∫∫ q.w.dxdy (1.42) Năng lượng biến dạng bao gồm: * Năng lượng biến dạng gây nội lực U nl : U nl = 1 T T T ∫∫ { ε} { σ} dV = ∫∫ { kc } { M } dxdy = ∫∫ { kc } [ Cm ] { kc } dxdy 2V S S Từ quan hệ tổng quát biến dạng chuyển vị nút: (3.89) { ε} e = [ D ] e { q} e , biểu thức (3.89) có dạng: U nl = 1 T T T ∫∫ { kc } [ Cm ] { kc } dxdy = ∫∫ { q} e [ D ] e [ Cm ] [ D ] e { q} e dxdy S S (3.90a) hay U nl = T T { q} e ∫∫ [ D ] e [ Cm ] [ D ] e dxdy ÷{ q} e S (3.90b) * Năng lượng biến dạng gây lực quán tính U qt : 1 T T T & & U qt = ρh ∫∫ { U } e { Pqt } dxdy = ρh ∫∫ { q} e [ B ] e [ B ] e { q} e dxdy S S U qt = hay (3.91a) T T & { q} e ρh ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy ÷{ q&e } S (3.91b) * Năng lượng biến dạng gây phản lực nền: U nen = ∫∫ { U } e { Pnen } dxdy S T Từ quan hệ tổng quát hàm chuyển vị: { U } e = [ B ] e { q} e phản lực 02 hệ số Pnen = k1w − k2∇ w U nen = 1 T T T T k1 ∫∫ { q} e [ B ] e [ B ] e { q} e dxdy − k ∫∫ { q} e [ B ] e ∇ [ B ] e S S ( ) { q} e dxdy (3.92.a) 1 T T T { q} e k1 ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy − k2 ∫∫ [ B ] e ∇ [ B ] e dxdy ÷{ q} e (3.92.b) 2 S S Thế ngoại lực U ngl : hay U nen = ( ) T T T T T U ngl = − ∫∫ { U } e q ( x, y ) dxdy = − ∫∫ { q} e [ B ] e q ( x, y ) dxdy = − { q} e ∫∫ [ B ] e q ( x, y ) dxdy ÷ S S S (3.93) Thế toàn phần tổng năng: Π = U nl + U qt + U nen + U ngl 64 Theo nguyên lý giá trị dừng tồn phần, để hệ cân biến phân cấp toàn phần δΠ = & { δq} e ρh ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy ÷{ q&e + { δq} e ∫∫ [ D ] e [ Cm ] [ D ] e dxdy ÷{ q} e + } T T T S T S T T T + { δq} e k1 ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy − k2 ∫∫ [ B ] e ∇ [ B ] e dxdy ÷{ q} e − S S ( ) T T − { δq} e ∫∫ [ B ] e q ( x, y ) dxdy ÷ = S (3.94) Biến phân { δq} e bất kỳ, nên suy ra: T T & & ρh ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy ÷{ q} e + ∫∫ [ D ] e [ Cm ] [ D ] e dxdy ÷{ q} e + S S T T T + k1 ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy − k2 ∫∫ [ B ] e ∇ [ B ] e dxdy ÷{ q} e − ∫∫ [ B ] e q ( x, y ) dxdy ÷ = S S S ( ) (3.95) Ký hiệu: [ M ] e - ma trận khối lượng phần tử [ M ] e = ρh ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy T (3.96) S [ K ] e - ma trận độ cứng phần tử [ K ] e = ∫∫ [ D ] e [ Cm ] [ D ] e dxdy T (3.97) S [ K nen ] e - ma trận độ cứng đàn hồi hệ số [ K nen ] e = k1 ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy − T S T k ∫∫ [ B ] e ∇ [ B ] e dxdy ÷ S ( ) (3.98) { R} e - véc tơ lực nút qui đổi phần tử { R} e = ∫∫ [ B ] e q ( x, y ) dxdy T S (3.99) Phương trình cân động phần tử có dạng tổng quát: & } [ M ] e { q&e + [ K ] e { q} e + [ K nen ] e { q} e = { R} e Nếu đặt: [ KN ] e = [ K ] e + [ K nen ] e (3.100) phương trình cân động đàn hồi 02 hệ số có dạng: 65 & } [ M ] e { q&e + [ KN ] e { q} e = { R} e (3.101) Dưới dẫn công thức theo PP PTHH cho phần tử chữ nhật 16 bậc tự (chuyển vị nút) với hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức theo tam giác Pascal 3.4.2 Hàm chuyển vị hàm dạng Xét phần tử tương thích chữ nhật nút biến dạng đàn hồi cục hai hệ số với 16 chuyển vị nút, hình 3-4 Tại nút thứ i , (i = ÷ 4) có thành phần chuyển vị nút, [12]: ∂w wi , ÷, ∂y i ∂w − ÷, ∂x i ∂2w ÷ ∂x∂y i Hình 3-4 Phần tử chữ nhật 04 nút 16 bậc tự Véc tơ chuyển vị nút phần tử: { q} e T ∂w ∂w ∂ w ∂w = w1 ÷ − ÷ − ÷ ÷ ∂x ∂y 1 ∂x 1 ∂x∂y 1 ∂2w ÷ ∂x∂y (3.102a) hay { q} e = { q1 q2 q3 q4 q14 q15 q16 } T (3.102b) Tương tự, véc tơ lực nút qui đổi phần tử: { R} e = { R1 R2 R3 R4 R14 R15 R16 } T (3.103) Hàm chuyển vị { U } e phần tử chữ nhật 04 nút, 16 bậc tự xấp xỉ dạng đa thức đầy đủ theo tam giác Pascal, có dạng: { U } e = w ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α5 xy + α y + α x3 + α x y + α xy + +α10 y + α11 x3 y + α12 xy + α13 x y + α14 x y + α15 x y + α16 x3 y (3.104) dạng ma trận: { U } e = w ( x, y ) = P ( x, y ) { α} (3.105) đó: 66 P ( x, y ) = 1 x x2 y y2 xy x3 x2 y xy y3 x3 y xy x2 y x3 y x2 y3 x3 y (3.106) { α} = { α1 α2 α α15 α16 } T (3.107) Các tham số α j với j = ÷ 16 xác định từ điều kiện chuyển vị nút phần tử, dạng ma trận: { q} e = [ A] { α} Từ (3.108), rút ra: (3.108) { α} = [ A] { q} e −1 (3.109) thay (3.109) vào (3.105): { U } e = w ( x, y ) = [ B ] e { q} e = P ( x, y ) { α} = P ( x, y ) [ A] { q} e −1 (3.110) rút ma trận hàm dạng: [ B ] e = P ( x , y ) [ A] −1 (3.111) 3.4.3 Ma trận biến dạng - chuyển vị Ma trận biến dạng - chuyển vị xác định từ công thức tổng quát PP PTHH: { ε} e = [ D ] e { q} e Theo (1.4) ÷ (1.6) từ (3.105), (3.109): ∂ P ( x, y ) ∂2w − ∂x ∂x εx kx ∂ P ( x, y ) ∂ w A −1 q [ ] { }e εy = z ky = z − = −z ∂y γ k ∂y xy xy ∂2w ∂ P ( x, y ) −2 ∂x∂y ∂x∂y (3.112) So sánh với công thức xác định { ε} e = [ D ] e { q} e , rút ra: ∂ P ( x, y ) ∂x ∂ P ( x, y ) −1 −1 [ D ] e = − z [ A] = − z [ PD ] [ A] ∂y ∂ P ( x, y ) ∂x∂y (3.113) 3.4.4 Ma trận độ cứng phần tử Ma trận độ cứng phần tử xác định công thức: [ K ] e = ∫∫ [ D ] e [ Et ] [ D ] e dxdy T S 67 (3.114) đó: [ D ] e xác định theo (3.113); [ Et ] = [ Cm ] xác định theo công thức (3.19) Ma trận độ cứng đàn hồi hệ số xác định theo (3.98) [ K nen ] e = k1 ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy − T S T k ∫∫ [ B ] e ∇ [ B ] e dxdy ÷ S ( ) (3.115) đó, [ B ] e ma trận hàm dạng xác định theo (3.111) Ma trận ( ∇ [ B ] e ) ma trận nhận cách lấy đạo hàm theo toán tử −1 Laplat (1.25) cho ma trận hàm dạng [ B ] e Chú ý đến (3.111), với [ A] ma trận số, nhận được: ( ∇ [ B] ) = ( ∇ e ) P ( x, y ) [ A] −1 (3.116) 3.4.5 Ma trận khối lượng phần tử Ma trận khối lượng phần tử xác định công thức (3.96): [ M ] e = ρh ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy = m ∫∫ [ B ] e [ B ] e dxdy T T S S (3.117) đó: ρ - khối lượng đơn vị thể tích tấm; h - chiều dày tấm; m - khối lượng phân bố phần tử; [ B] e - ma trận hàm dạng xác định theo (3.111) 3.4.6 Véc tơ lực nút qui đổi tải phân bố tác dụng phần tử Véc tơ lực nút qui đổi xác định công thức (3.99) : { R} e = ∫∫ [ B ] e q ( x, y ) dxdy T (3.118) S 3.4.7 Xác định nội lực phần tử Mơ men điểm có tọa độ ( x, y ) phần tử xác định theo công thức (1.16): { M } = [ Cm ] { k c } { M} = { Mx đó: { kc } = { k x (1.16) ky My M xy } T (1.17) k xy } xác định theo công thức (3.119): T 68 { kc } ∂2w − x k x ∂2 −1 ∂ w = k y = − = − [ PD ] [ A] { q} e k ∂y xy ∂2w −2 ∂x∂y (3.119) ma trận [ PD ] xác định theo (3.113) Lực cắt Qx , Qy biến dạng uốn xác định công thức (1.23), (1.24): ∂ ∂ −1 ∇ W = − Dp ∇ P ( x, y ) [ A] { q} e ∂x ∂x ∂ ∂ −1 Qy = − D p ∇ 2W = − D p ∇ P ( x, y ) [ A] { q} e ∂y ∂y ( ) (3.120) ( Qx = − D p ) (3.121) 3.4.8 Tính tích phân số phép cầu phương Gauss Để tính tích phân tích phân số theo phép cầu phương Gauss cần đổi biến x , y hệ tọa độ Descartes biến r , s hệ tọa độ tự nhiên Xét phần tử chữ nhật có kích thước 2a , 2b , tọa độ tâm (gốc hệ tọa độ tự nhiên) ( xc , yc ) Dùng phép đổi biến: r= x − xc a s= y − yc b dxdy = a.bdrds (3.122) Ví dụ xét tích phân xác định ma trận độ cứng phần tử tấm: [ K ] e = ∫∫ [ D ] e [ Et ] [ D ] e dxdy T S Ký hiệu: F ( r , s ) = [ D ] e [ Et ] [ D ] e T +1 +1 (3.123) 2 [ K ] e = ab ∫ ∫ F ( r , s ) drds = ab∑∑ αi α j F ( ri , s j ) −1 −1 i =1 j =1 Chúc bạn thành công 69 (3.124) ... x3 y3 y3 ? ?3 x2 y2 x3 y3 x3 y3 x3 x3 y3 y32 x3 −1 x4 y4 −2 x3 x4 − y3 x4 y4 y4 ? ?3 x3 x4 −2 x3 y3 x4 y4 − y3 x4 y4 y4 ? ?3 x3 y3 x4 y4 −1 −2 x4 x4 − y4 y4 0 ? ?3 x4 x4 −2 x4 y4 x4 y4 − y4 y4 x4 ? ?3. .. y2 + y2 ) 2 x3 y3 + x3 y3 y3 2 x3 + x3 y3 y3 −(2 x3 y3 + y3 ) (3. 8) Hàm chuyển vị w ( x, y ) biểu diễn qua chuyển vị nút có dạng tổng quát theo phương pháp phần tử hữu hạn: { U } e... x2 y2 x2 − y2 x3 y3 x3 − y3 y12 y1 y2 y2 y3 y3 x 13 ? ?3 x12 x2 ? ?3 x2 x3 ? ?3 x3 (3. 7) x12 y1 + x1 y12 y 13 x12 + x1 y1 y12 −(2 x1 y1 + y12 ) 2 x2 y2 + x2 y2 y2 2 x2 + x2 y3 y2 −(2 x2