Đang tải... (xem toàn văn)
GIẢI TÍCH 2 FULL VIDEO MIỄN PHÍ Full playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 + Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien + Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi + Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTPDuongTPMat + Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan + Hỏi đáp Giải tích: https:eurekauni.tiny.usGiaiTichQA FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao Donate cho Eureka Uni + Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh + Momo: 0986.960.312
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng Tin học ĐH BKHN Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập III Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312 Eureka! Uni - YouTube 3.4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II Eureka Uni (facebook.com) 3.4.1 Tóm tắt cơng thức Mặt định hướng (mặt phía) Mặt khơng định hướng Kí hiệu 𝐼𝐼 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 Cách tính 𝑆𝑆 1) Đưa tích phân bội S: 𝐹𝐹 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐼𝐼 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + �𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + �𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 Tính = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 𝑆𝑆: 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝐼𝐼3 = �𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Hướng chọn tạo với tia Oz góc nhọn/tù: 𝐼𝐼3 = ± � 𝑅𝑅�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)�d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐷𝐷 Tương tự với 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 2) Cơng thức Ostrogradsky – đưa tích phân bội 𝑃𝑃, 𝑄𝑄, 𝑅𝑅 hàm khả vi, liên tục miền 𝑉𝑉 ⊂ ℝ3 giới hạn mặt cong kín 𝑆𝑆 �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 = � �𝑃𝑃𝑥𝑥′ + 𝑄𝑄𝑦𝑦′ + 𝑅𝑅𝑧𝑧′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑉𝑉 Tích phân bội lấy theo hướng pháp tuyến ngồi Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.4.2 Bài tập vận dụng Eureka Uni (facebook.com) 3.4.2.1 Tính theo tích phân bội Ví dụ 1.1 Tính ∬𝑆𝑆 𝑧𝑧(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 nửa mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 3, 𝑧𝑧 ≥ 0, hướng 𝑆𝑆 phía ngồi mặt cầu Ví dụ 1.2 Tính ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi mặt 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ Ví dụ 1.3 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt nửa mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1, 𝑧𝑧 ≤ Ví dụ 1.4 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt ngồi phần hình cầu xác định 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ Ví dụ 1.5 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt ngồi phần hình cầu xác định 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ Ví dụ 1.6 Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥, 𝑆𝑆 phía ngồi mặt Paraboloid 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 1.1 Tính ∬𝑆𝑆 𝑧𝑧(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 nửa mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 3, 𝑧𝑧 ≥ 0, hướng 𝑆𝑆 phía mặt cầu Giải 𝑧𝑧 ≥ ⇒ 𝑧𝑧 = �3 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = D hình trịn tâm O bán kính √3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ Hướng chọn tạo với tia Oz góc nhọn, vậy: 𝐼𝐼 = �𝑧𝑧(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )�3 − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Chuyển sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , √3 𝐼𝐼 = � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 2𝜋𝜋 d𝑟𝑟 � 𝑟𝑟 2� 3− √3 = 2𝜋𝜋 � 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ √3, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝜑𝜑 √3 =� 𝑟𝑟 �3 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 𝑟𝑟 2� 3− 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 2𝜋𝜋 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 � d𝜑𝜑 0 Đặt 𝑡𝑡 = √3 − 𝑟𝑟 ⇒ 𝑟𝑟 = − 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = −𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �√3 ⇒ 𝑡𝑡 � √3 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube √3 ⇒ 𝐼𝐼 = 2𝜋𝜋 � (3 − 𝑡𝑡 𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋 � (3𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 )d𝑡𝑡 √3 2) Eureka Uni (facebook.com) 12√3 1 = 2𝜋𝜋 �𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 � �√3 = 2𝜋𝜋 �3√3 − 9√3� = 𝜋𝜋 5 Ví dụ 1.2 Tính ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi mặt 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + Giải 𝑧𝑧 = 1, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 𝐼𝐼 = �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 = �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + �𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝐼𝐼1 = �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 𝑆𝑆 𝑦𝑦 ≥ ⇒ 𝑦𝑦 = 2�1 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑦𝑦 = miền 𝐷𝐷𝑦𝑦 có phương trình: 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, Hướng chọn tạo với Oy góc nhọn nên: 𝑧𝑧 ≥ 𝐼𝐼1 = � 2�1 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝐷𝐷𝑦𝑦 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Đổi biến 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝑧𝑧 = 3𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 𝑥𝑥𝑟𝑟′ 𝐽𝐽 = � ′ 𝑧𝑧𝑟𝑟 𝐼𝐼1 = � d𝜑𝜑 � 2�1 − 0 𝑟𝑟 3𝑟𝑟d𝑟𝑟 Eureka Uni (facebook.com) ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝑥𝑥𝜑𝜑′ � = 3𝑟𝑟 𝑧𝑧𝜑𝜑′ 𝜋𝜋 = −2𝜋𝜋 × � (1 − 𝑟𝑟 )2 d(1 − 𝑟𝑟 ) = −6𝜋𝜋 × (1 − 𝑟𝑟 )2 � = 4𝜋𝜋 𝑑𝑑(1 − 𝑟𝑟 ) = (1 − 𝑟𝑟 )′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐼𝐼2 = �𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝑧𝑧 ≥ ⇒ 𝑧𝑧 = 3�1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = miền 𝐷𝐷𝑧𝑧 có phương trình: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ Hướng chọn tạo với Oz góc nhọn nên: Đổi biến 𝐼𝐼2 = � �1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 � d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝐷𝐷𝑧𝑧 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝑦𝑦 = 2𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , Eureka Uni (facebook.com) ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝐼𝐼2 = � d𝜑𝜑 � 9(1 − 𝑟𝑟 2𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 2𝜋𝜋 × 18 � (𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 )d𝑟𝑟 2) 𝜋𝜋 , 𝐽𝐽 = 2𝑟𝑟 1 = 36𝜋𝜋 � 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 � � = 9𝜋𝜋 Vậy 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 4𝜋𝜋 + 9𝜋𝜋 = 13𝜋𝜋 Ví dụ 1.3 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt nửa mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1, 𝑧𝑧 ≤ Giải 𝑧𝑧 ≤ ⇒ 𝑧𝑧 = −�1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ Hướng chọn tạo với 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc nhọn nên 𝐼𝐼 = �𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 �−�1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 = − � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 �1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 Đổi sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 2𝜋𝜋 Eureka Uni (facebook.com) 𝐼𝐼 = − � d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟 sin2 𝜑𝜑 cos2 𝜑𝜑 �1 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 = − � sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟 �1 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 2 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝐼𝐼1 = � sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 = � sin 2𝜑𝜑 d𝜑𝜑 = � (1 − cos 4𝜑𝜑)d𝜑𝜑 0 1 2𝜋𝜋 𝜋𝜋 = �𝜑𝜑 − sin 4𝜑𝜑� � = 2 sin2 𝑎𝑎 = (1 − cos 2𝑎𝑎) sin 2𝑎𝑎 = sin 𝑎𝑎 cos 𝑎𝑎 , 𝐼𝐼2 = � 𝑟𝑟 �1 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 Đặt �1 − 𝑟𝑟 = 𝑡𝑡 ⇒ 𝑟𝑟 = − 𝑡𝑡 , 𝐼𝐼2 = � (1 − 𝑡𝑡 )2 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = −𝑡𝑡d𝑡𝑡, 1 𝑟𝑟 � ⇒ 𝑡𝑡 � 𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡) = � (𝑡𝑡 − 2𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 )d𝑡𝑡 1 = � 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 � � = 105 ⇒ 𝐼𝐼 = −𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 = − 𝜋𝜋 2𝜋𝜋 × =− 105 105 Ví dụ 1.4 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt ngồi phần hình cầu xác định 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Mặt phẳng 𝑧𝑧 = cắt 𝑆𝑆 thành nửa: 𝑆𝑆1 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0) 𝑆𝑆2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≤ 0) 𝐼𝐼 = �𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 𝐼𝐼1 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆1 𝑧𝑧 = �2 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Hình chiếu 𝑆𝑆1 lên mặt 𝑧𝑧 = 𝐷𝐷: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ Phương chọn tạo với 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc nhọn Đổi sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝐼𝐼1 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥�2 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐷𝐷 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , √2 𝐼𝐼1 = � d𝜑𝜑 � 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ √2, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 �2 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 𝜋𝜋 √2 = � cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 � Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝜋𝜋 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 𝑟𝑟 �2 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 10 Eureka! Uni - YouTube 𝐼𝐼11 𝜋𝜋 Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 𝜋𝜋 1 = � cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 = � sin 2𝜑𝜑 d𝜑𝜑 = − cos 2𝜑𝜑 � = 0 √2 𝐼𝐼12 = � 𝑟𝑟 �2 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 Đặt 𝑡𝑡 = √2 − 𝑟𝑟 → 𝑟𝑟 = − 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �√2 ⇒ 𝑡𝑡 � √2 0 √2 𝐼𝐼12 = � (2 − 𝑡𝑡 𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡) = � (2𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 )d𝑡𝑡 = � 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 � �√2 0 √2 2) 4 8√2 = √2 − √2 = 15 ⇒ 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼11 𝐼𝐼12 = 8√2 4√2 × = 15 15 𝐼𝐼2 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑧𝑧 = −�2 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑆𝑆2 Hình chiếu 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑧𝑧 = 𝐷𝐷 Hướng chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc tù 𝐼𝐼2 = − � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �−�2 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥�2 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = 𝐼𝐼1 𝐷𝐷 Vậy = 4√2 15 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝐷𝐷 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 11 Eureka! Uni - YouTube 8√2 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 15 Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 1.5 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 mặt ngồi phần hình cầu xác định 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 𝐼𝐼1 = �𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑆𝑆 𝑥𝑥 = �1 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 Hình chiếu 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷1 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ Hướng dương chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc nhọn Đặt 𝐼𝐼1 = � �1 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝐷𝐷1 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 𝐼𝐼1 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � �1 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 1 𝜋𝜋 )2 ( ( = �− � − 𝑟𝑟 𝑑𝑑 − 𝑟𝑟 )� 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 = − × (1 − 𝑟𝑟 )2 � = 𝐼𝐼2 = �d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝑆𝑆 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 12 Eureka! Uni - YouTube 𝑦𝑦 = √1 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 Eureka Uni (facebook.com) Hình chiếu 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑦𝑦 = 𝐷𝐷2 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ Hướng dương chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc nhọn 𝜋𝜋 𝐼𝐼2 = � d𝑧𝑧d𝑥𝑥 = (𝜋𝜋 × (1)2 ) = 4 𝐷𝐷2 𝑧𝑧 = �1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝐼𝐼3 = �𝑥𝑥𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 Hình chiếu 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑧𝑧 = 𝐷𝐷3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ Hướng dương chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 góc nhọn Đặt 𝐼𝐼3 = � 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐷𝐷3 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 𝜋𝜋 𝜋𝜋 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 𝐼𝐼3 = � d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 (1 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = � cos 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 � (𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 )d𝑟𝑟 0 2) ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋 1 = �sin 𝜑𝜑 �2 � � 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 � � = 15 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 13 Eureka! Uni - YouTube Vậy 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 = Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 𝜋𝜋 + + = 𝜋𝜋 + 15 12 15 Ví dụ 1.6 Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 , 𝑆𝑆 phía ngồi mặt Paraboloid 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2) Mặt phẳng 𝑦𝑦 = chia 𝑆𝑆 thành nửa: 𝑆𝑆1 : 𝑦𝑦 = �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2, ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑆𝑆2 : 𝑦𝑦 = −�𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2, ≤ 𝑧𝑧 ≤ Hình chiếu 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑦𝑦 = miền 𝐷𝐷 giới hạn bởi: 𝑥𝑥 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2, ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2 𝐼𝐼 = �𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 = � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 𝑆𝑆 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝐼𝐼1 = � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝑆𝑆1 Hướng chọn hợp với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 thành góc nhọn √2 𝐼𝐼1 = � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷 √2 𝑥𝑥 3 √2 2 2 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � (𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 ) � � = � (2 − 𝑥𝑥 )2 d𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 14 Eureka! Uni - YouTube Đặt 𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ , 𝑥𝑥 = √2 sin 𝑡𝑡 , 𝜋𝜋 Eureka Uni (facebook.com) d𝑥𝑥 = √2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡, 𝜋𝜋 2 𝐼𝐼1 = � �√2 cos 𝑡𝑡� √2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 3 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑥𝑥 �√2 ⇒ 𝑡𝑡 � 0 𝜋𝜋 21 2 = � (1 + cos 2𝑡𝑡)2 d𝑡𝑡 = � (1 + cos 2𝑡𝑡 + cos2 2𝑡𝑡)d𝑡𝑡 𝜋𝜋 2 = � � + cos 2𝑡𝑡 + cos 4𝑡𝑡� d𝑡𝑡 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 = � 𝑡𝑡 + sin 2𝑡𝑡 + sin 4𝑡𝑡� � = 𝐼𝐼2 = � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝑆𝑆2 𝑦𝑦 = −√𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 Hướng chọn hợp với tia 𝑂𝑂𝑂𝑂 thành góc tù ⇒ 𝐼𝐼2 = − � �−�𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 � d𝑧𝑧d𝑥𝑥 𝐷𝐷 = � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 = 𝐼𝐼1 = 𝐷𝐷 Vậy 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 2𝐼𝐼1 = 𝜋𝜋 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝜋𝜋 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.4.2.2 Công thức Ostrogradsky 15 Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 2.1 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = Ví dụ 2.2 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi biên hình lập phương: ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2, ≤ 𝑧𝑧 ≤ Ví dụ 2.3 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi biên hình chóp 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ Ví dụ 2.4 Tính ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧, 𝑆𝑆 phía ngồi miền 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑃𝑃, 𝑄𝑄, 𝑅𝑅 hàm khả vi, liên tục miền 𝑉𝑉 ⊂ ℝ3 giới hạn mặt cong kín 𝑆𝑆 �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 = � �𝑃𝑃𝑥𝑥′ + 𝑄𝑄𝑦𝑦′ + 𝑅𝑅𝑧𝑧′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑉𝑉 Tích phân bội lấy theo hướng pháp tuyến ngồi Ví dụ 2.1 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = Gọi 𝑉𝑉 vật thể giới hạn mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 , 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦 , 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền 𝑉𝑉 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Áp dụng công thức Ostrogradsky 16 Eureka Uni (facebook.com) 𝐼𝐼 = �𝑃𝑃d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � �𝑃𝑃𝑥𝑥′ + 𝑄𝑄𝑦𝑦′ + 𝑅𝑅𝑧𝑧′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑆𝑆 𝑉𝑉 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑉𝑉 Chuyển sang tọa độ cầu: 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 Δ → 𝑉𝑉: � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 2𝜋𝜋 𝜋𝜋 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋, � 𝐽𝐽 = −𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 𝐼𝐼 = � 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 d𝑟𝑟d𝜃𝜃d𝜑𝜑 = � d𝜑𝜑 � sin 𝜃𝜃 d𝜃𝜃 � 𝑟𝑟 d𝑟𝑟 Δ � 0 12 𝜋𝜋 = 3(2𝜋𝜋) �− cos 𝜃𝜃 � � � 𝑟𝑟 � � = 𝜋𝜋 5 Ví dụ 2.2 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi biên hình lập phương: ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2, ≤ 𝑧𝑧 ≤ Gọi 𝑉𝑉 vật thể giới hạn hình lập phương có biên 𝑆𝑆 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 , 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦 , 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền 𝑉𝑉 Áp dụng cơng thức Ostrogradsky Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 17 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝐼𝐼 = �𝑥𝑥 d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑆𝑆 2 𝑉𝑉 = � d𝑥𝑥 � d𝑦𝑦 � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑧𝑧 2 2 = � d𝑥𝑥 � ��𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 � � � d𝑦𝑦 0 2 = � d𝑥𝑥 � ( + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � ��𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 � � � d𝑥𝑥 0 2 = � (4 + 2𝑥𝑥 )d𝑥𝑥 = 4(4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) � = 48 0 Ví dụ 2.3 Tính ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 phía ngồi biên hình chóp 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ Đặt 𝑉𝑉 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧): 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1} 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧𝑧𝑧 liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền 𝑉𝑉 Áp dụng công thức Ostrogradsky Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 18 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝐼𝐼 = �𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑆𝑆 1−𝑥𝑥 = � d𝑥𝑥 � 1−𝑥𝑥 = � d𝑥𝑥 � 0 1−𝑥𝑥−𝑦𝑦 d𝑦𝑦 � 𝑉𝑉 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑧𝑧 1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ��𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧� 𝑧𝑧 � � d𝑦𝑦 1−𝑥𝑥 1 = � d𝑥𝑥 � [1 − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 ]d𝑦𝑦 0 1 1 − 𝑥𝑥 � d𝑥𝑥 = � ��𝑦𝑦 − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 � � 1 1 = � �1 − 𝑥𝑥 − + 𝑥𝑥 � d𝑥𝑥 = 3 Ví dụ 2.4 Tính ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧, 𝑆𝑆 phía ngồi miền 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Gọi 𝑉𝑉 vật thể giới hạn mặt 𝑆𝑆 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦 𝑧𝑧, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 đạo hàm cấp chúng liên tục 𝑉𝑉 Áp dụng công thức Ostrogradsky 𝐼𝐼 = �𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 𝑆𝑆 Tọa độ trụ = � (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑉𝑉 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 𝜋𝜋 19 Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 �0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ , ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑟𝑟 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟� 𝑟𝑟 𝜋𝜋 𝑟𝑟 ⇒ 𝐼𝐼 = � d𝑟𝑟 � d𝜑𝜑 � (𝑧𝑧 + 𝑟𝑟 )𝑟𝑟d𝑧𝑧 = � d𝑟𝑟 � d𝜑𝜑 � (𝑧𝑧 + 𝑟𝑟 )𝑟𝑟d𝑧𝑧 0 0 𝜋𝜋 𝜋𝜋 1 = � d𝑟𝑟 � 𝑟𝑟𝑧𝑧 + 𝑟𝑟 𝑧𝑧� �𝑟𝑟 = � � 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 � d𝑟𝑟 2 2 𝜋𝜋 1 7𝜋𝜋 = � 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 � � = 48 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook