Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp kiến thức, bài tập Đại số tổ hợp, một số kinh nghiệm giải các dạng toán
Đại số 11 – Chương II Chương TỔ HỢP – XÁC SUẤT HAI QUI TẮC CƠ BẢN QUI TẮC CỘNG : Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực , phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Tổng qt : Một cơng việc tiến hành theo k phương án A1 , A2 , A3 , Ak Phương án A1 thực theo n1 cách, phương án A2 thực theo n2 cách,…, phương án Ak thực theo nk cách Các phương án cách khơng trùng Khi cơng việc thực theo : n1 n2 n3 nk cách Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thủy Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải Để từ thành phố A đến thành phố B ta có phương án : đường đường thủy Đường : đường có cách chọn Đường thủy : đường có cách chọn Và phương án độc lập với Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: + = cách chọn Ví dụ : Một nhà hàng có loại rượu, loại bia, loại nước Một thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải Thực khách có phương án chọn : Hoặc chọn rượu : cách chọn Hoặc chọn bia : cách chọn Hoặc chọn nước : cách chọn Theo qui tắc cộng thực khách có tất : + + = 12 cách chọn loại thức uống QUI TẮC NHÂN: Một cơng việc bao gồm cơng đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thự Tổng quát : Một cơng việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 , A3 , Ak Nếu cơng đoạn A1 có n1 cách thực ứng với cách cơng đoạn A1 có n2 cách thực công đoạn A2 , ứng với cách cơng đoạn A2 có n3 cách thực cơng đoạn A3 ,…, ứng với cách công đoạn Ak 1 có n k cách thực cơng đoạn Ak Khi cơng việc thực theo : n1.n2 n3 nk cách NHĐ Đại số 11 – Chương II Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có cách : máy bay, tơ, tàu hỏa Từ Huế đến Sài Gịn có cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có cách Hà Nội – Huế - Sài Gịn ? Giải Ta xem việc Hà Nội – Huế - Sài Gòn công việc tiến hành theo giai đoạn liên tiếp : Giai đoạn : từ Hà Nội đến Huế : có cách (một : máy bay, tàu hỏa, ô tô) Giai đoạn : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với cách giai đoạn ta có cách để hồn thành giai đoạn Vậy theo ngun lí nhân có tất : 3.4 12 cách Hà Nội – Huế - Sài Gịn Ví dụ : Có số tự nhiên có chữ số khác tạo thành từ chữ số 5, 6, 7, 8, ? Giải Số cần lập có dạng : a1a2 a3 ,( a1 0) , để lập số ta thực giai đoạn sau : Chọn a1 : chọn số 5, 6, 7, 8, : có cách chọn Chọn a2 : a1 a ta chọn a2 từ số cịn lại ,với cách chọn a1 có cách chọn a2 Chọn a3 : với cách chọn a2 có cách chọn a3 a1 a2 a3 Vậy theo nguyên tắc nhân có tất : 5.4.3 60 số thỏa yêu cầu tốn NGUN LÍ BÙ TRỪ : Kí hiệu A số phần tử tập hợp A Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A B : A B A B A B Nguyên lí lí giải sau : tập A B có phần chung có phần tử đếm đến lần A B nên cần trừ lần A B Ví dụ : Tập A a ,b ,c ,1,2,6 có phần tử A , Tập B a ,c ,d ,7,0,6,9 có phần tử B , A B có chung phần tử A B a ,c ,6, A B Ta có : A B a ,b ,c ,d ,0,1,2,6,7,9 có 10 phần tử, A B A B A B 10 Ví dụ : Có xâu nhị phân ( xâu có thứ tự thành lập từ 0, ) có độ dài 10 bắt đầu 00 kết thúc 11 ? Giải Đặt A tập hợp chứa xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 00 B tập hợp chứa xâu nhị phân có độ dài 10 kết thúc 11 kết cần tính : A B A B A B với A 28 256 B 28 256 A B 26 64 A B A B A B 256 256 64 448 xâu nhị phân thỏa yêu cầu toán NHĐ Đại số 11 – Chương II Bài Một bó hoa gồm có: hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bơng hoa? Baøi Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài Một trường phổ thơng có 12 học sinh chuyên tin 18 học sinh chuyên toán Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán học sinh chuyên tin Hỏi có cách lập đồn trên? Bài Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Cần chọn người đàn ông người đàn bà phát biểu ý kiến Tính số cách chọn cho : a) Hai người vợ chồng b) Hai người khơng vợ chồng Bài Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? ĐS: a/ 35 b/ 29 b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? Bài Một gái có áo, quần dài, nón, kẹp tóc, đơi giày, áo khốc; loại khác Một trang phục gồm : áo, quần, kẹp, giày, áo khoác; thời gian để thay trang phục phút 30 giây Hỏi có tất trang phục thời gian ngắn để thử chúng? Baøi Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: b/ {x , y} A c/ x A, y A vaø x y a/ x A, y A ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ cặp Baøi Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác ĐS: a) 66 b) 6! Bài Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi) ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 10 Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? ĐS: 15 Baøi 11 Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số: a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau?e/ Gồm chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 Baøi 12 Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn? e/ Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48 NHĐ f/ 24 Đại số 11 – Chương II Baøi 13 a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a/ 35 b/ 24 Bài 14 Hỏi tỉnh Tiền Giang có tất bảng số xe 50 phân khối ? Bài 15 Một lớp có 40 học sinh đăng kí choi hai mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có 30 em kí bóng đá, 25 em kí cầu lơng Hỏi có em kí cà hai mơn? Bài 16 Trong lớp có 30 học sinh, có 18 em giải Tốn, 14 em giỏi Văn 10 em khơng gỏi mơn Hỏi có em giỏi Tốn lẫn Văn? HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I HOÁN VỊ : Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Nhận xét : Hai hốn vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn hai hoán vị abc acb phần tử a, b, c khác Số hốn vị : Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử : Pn n n -1 2.1 n ! - Qui ước : 0! Ví dụ : Có cách xếp bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi ? Giải Cần xếp bạn vào chỗ cách hoán vị phần tử, có tất P3 1.2.3 3! cách Các hốn vị : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Ví dụ : Có số có chữ số đơi khác lập từ số 2, 6, 7, ? Giải Mỗi số thành lập hoán vị phần tử Vậy ta có tất : P4 4! 24 (số) Hốn vị vịng : Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A theo vịng kép kín gọi hốn vị vịng n phần tử - Số hốn vị vịng n phần tử : Pn1 n -1! Ví dụ : Có cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn ? Giải Vị trí tương đối đại biểu hồn tồn khơng đổi ta hốn vị vịng họ theo chiều định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB ) nghĩa hốn vị vịng khơng có phần tử cuối phần tử thứ Vậy số cách xếp : n! n -1! Pn-1 n NHĐ Đại số 11 – Chương II Ví dụ : Có đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ? Giải Ta hốn vị vịng đỉnh theo hai chiều theo 2n cách khác mà đa giác không thay đổi nên số đa giác : Pn-1 n -1! 2 II CHỈNH HỢP : Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp : Kí hiệu A k số chỉnh hợp chập k n phần tử 1 k n n k An n. n -1 n - k 1 n! n - k ! - Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì n Pn An : Ví dụ : Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, … ? Giải Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập cách lấy chữ số khác từ chín chữ số cho xếp theo thứ tự định Mỗi số coi chỉnh hợp chập 5 Vậy có tất A9 120 số III TỔ HỢP : Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử n 1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho - Chú ý : Số k định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện k n Tuy tập hợp khơng có phần từ tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập n phần tử tập rỗng k Số tổ hợp : Kí hiệu Cn số tổ hợp chập k n phần tử k n , ta có : Cnk n! k ! n - k ! k Tính chất số Cn : Cnk Cnn k , k n k Cnk11 Cn1 Cnk , 1 k n Ví dụ : Cho tập A 1, 2,3, 4,5 Có tổ hợp chập phần tử A ? Giải Có tất C5 5! 10 tổ hợp chập phần tử A 3! 3! Các tổ hợp : 1, 2,3 ;1, 2, 4 ;1, 2,5 ;2,3, 4 ;2,3,5 ;3, 4,5 ;1,3, 4 ,1,3,5 ;2,3, 4 ,1, 4,5 Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm nam nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người a) Có cách lập ? b) Có cách lập đồn đại biểu có nam, nữ ? NHĐ Đại số 11 – Chương II Giải a) Mỗi đoàn đại biểu lập tổ hợp chập 10 Vì số đồn đại biểu có : C10 10! 252 5!(10 - 5)! b) Chọn người từ người nam : có C6 cách chọn Chọn người từ người nữ : có C4 cách chọn Theo nguyên tắc nhân có tất C6 C4 120 cách lập đoàn IV CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP : Trong tốn đếm ta ưu tiên đếm trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số đứng đầu toán đếm số, điều kiện ràng buộc khác toán… ) Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp : Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp - Các phần tử xuất - Các phần tử xuất lần lần - Lấy hết n phần tử để - Lấy k phần tử xếp n phần tử để xếp - Các phần tử xếp có thứ - Các phần tử xếp có thứ - Các phần tử xuất lần - Lấy k phần tử n phần tử để xếp - Các phần tử xếp không tự có thứ tự tự Ta thường bị lẫn lộn tổ hợp chỉnh hợp, điểm khác xếp có thứ tự hay khơng Để phân biệt ta làm sau : ta đưa đáp án tốn sau ta đảo vị trí phần tử đáp án , : Tạo nên đáp án có thứ tự chỉnh hợp Không tạo nên đáp án khơng có thứ tự tổ hợp Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có cách chọn tổ người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán : lớp trưởng, lớp phó, thủ quĩ Phân tích Giả sử ba bạn chọn theo thứ tự A, B, C Đối với câu a : ta đổi lại tổ chọn B, C, A ta thấy tổ không thay đổi so với tổ ban đầu tổ hợp Đối với câu b : theo cách chọn A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, ta đổi lại tổ chọn B, C, A ta ban cán B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ đổi khác so với tổ ban đầu chỉnh hợp k k Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp chỉnh hợp : An k !Cn ta cịn giải tốn đếm cách " chọn " Lấy lại ví dụ : Một lớp có 37 người, chọn tổ người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán : lớp trưởng, lớp phó, thủ quĩ Giải a) Đầu tiên ta chọn người tùy ý 37 người có : C3 cách 37 Sau ta người chọn để thành lập tổ : có cách Vậy ta có tất : C3 = 7770 (cách) 37 NHĐ Đại số 11 – Chương II 37 b) Đầu tiên ta chọn người tùy ý 37 người có : C cách Sau ta người chọn vào chỗ để thành lập tổ : có 3! cách Vậy ta có tất : 3! C3 = 46620 (cách) 37 Khi giải tốn đếm người ta giải theo hai cách sau : Tính trực tiếp : tính thẳng u cầu tốn nêu Tính gián tiếp : đơi tính trực tiếp u cầu tốn trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả xảy người ta thường nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp Cách tính gián tiếp dựa ngun lí “ Đếm khơng cần đếm ( dễ dàng ) để biết cần đếm (phức tạp) ” Các từ cần lưu ý : “có 1”, "có tối đa 1", ”A B khơng đứng cạnh nhau”, “khơng đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"… Ví dụ : Có cách xếp người thành hàng ngang cho A khơng đứng cạnh B Phân tích Gọi vị trí hàng theo thứ tự 1, 2, 3, 4, Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trường hợp A xuất nhiều trường hợp khác B lúc việc tính tốn trở nên khó khăn Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B đứng cạnh nhau” xem A, B chỗ, ta lấy cách xếp người tùy ý trừ trường hợp “A, B đứng cạnh nhau” thu kết toán Việc đếm gián tiếp trường hợp dễ dàng nhiều Giải Xem A B chỗ (xem phương pháp buộc), ta có 4! = 24 cách xếp Nhưng A đứng bên trái bên phải B nên ta có 24.2 = 48 cách xếp A đứng cạnh B Tồn có 5! = 120 cách xếp Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B : 120 – 48 = 72 cách Phương pháp tạo vách ngăn : Khi toán yêu cầu xếp hai nhều phần tử không đứng cạnh tạo “vách ngăn” trước xếp Ví dụ : Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang, thầy không đứng cạnh Hỏi có cách xếp? Giải Trước hết ta xếp học sinh thành hàng ngang : có 6! cách Khi học sinh đóng vai trị vách ngăn tạo nên vị trí để xếp thầy Xếp thầy vào vị trí: có A72 cách Vậy có tất : 6! A72 = 30240 cách 5.Phương pháp buộc phần tử : Khi cần xếp hay nhiều phần tử đứng cạnh ta buộc chúng lại thành nhóm coi phần tử Ví dụ : Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang, thầy đứng cạnh Hỏi có cách xếp? Giải Trước hết ta “buộc” thầy lại coi phần tử A Xếp thứ tự nhóm A có : 2! cách Khi ta xếp thứ tự học sinh phần tử A thành hàng, có : 7! Cách Vậy theo qui tắc nhân có tất : 2!.7! cách NHĐ Đại số 11 – Chương II IV MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN : Sai lầm : nhầm lẫn tổ hợp chỉnh hợp * Bài tốn : "Một tổ có 12 học sinh nữ 10 học sinh nam Cần chọn học sinh gồm nam nữ để ghép thành đơi diễn văn nghệ Hỏi có cách ghép ? " Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có A10 720 cách - Chọn nữ 12 nam : có A12 1320 cách Vậy số cách chọn đôi nam nữ : 720.1320 950400 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C10 120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C12 220 cách Vậy số cách chọn đôi nam nữ : 120.220 26400 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C10 120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C12 220 cách Do số cách chọn học sinh nam, nữ : 120.220 26400 cách Vì đơi gồm bạn ( nam, nữ ) nên chọn bạn nam ( bạn nam ) bạn nữ ( bạn nữ ) có : 3.3 = cách 3 Vậy có tất : 9.C10 C12 9.120.220 237600 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C10 120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C12 220 cách Do số cách chọn học sinh nam, nữ : 120.220 26400 cách Trong học sinh chọn có 3! cách ghép đơi với ( số hốn vị học sinh nam học sinh nữ ) 3 Vậy có tất : 3!.C10 C12 6.120.220 158400 cách Phân tích Lời giải : lời giải sai tốn khơng yêu cầu thứ tự chọn học sinh Lời giải : lời giải sai chọn học sinh thỏa u cầu tốn hồn tồn tốn chưa dừng lại mà cần đưa kết số cách ghép đôi Lời giải : lời giải sai nhầm lẫn bước cuối chọn đôi nam nữ ( đề yêu cầu chọn đôi ) Lời giải : lời giải Sai lầm : Sai lầm việc chọn phần tử cịn lại : * Bài tốn : " Một nhóm học sinh gồm bạn A, B, C, D, E Cần chọn bạn hỏi có cách chọn " Lời giải : - Đầu tiên chọn bạn : có cách chọn - Chọn tiếp bạn bạn lại : có cách chọn - Cuối chọn bạn bạn cịn lại : có cách chọn Vậy theo qui tắc nhân ta có tất : 5.4.3 = 60 cách chọn Lời giải : - Đầu tiên chọn bạn : có cách chọn NHĐ Đại số 11 – Chương II - Chọn bạn bạn lại : có C cách chọn Vậy ta có tất : 5.C4 5.6 30 cách chọn Lời giải : Chọn bạn bạn số chỉnh hợp chập phần tử Số cách chọn : C53 10 cách Phân tích Lời giải : lời giải sai, ta đặt thứ tự cho việc chọn bạn đề không yêu cầu dẫn đến kết đếm bị trùng nhau, ví dụ : Đầu tiên chọn bạn bạn ta có cách chọn - Giả sử lần đầu ta chọn A, lần ta chọn B, lần ta chọn C kết bạn chọn A, B, C - Giả sử lần đầu ta chọn B, lần ta chọn A, lần ta chọn C kết bạn chọn B, A, C Do yêu cầu toán cần chọn bạn không phân biệt bạn trước bạn sau nên kết A, B, C B, A, C nhau, cách chọn bị trùng Lời giải : lời giải sai, chọn bạn bạn lại ta dùng chỉnh hợp xác ta ấn định thứ tự cho vị trí thứ nên kết sai Lời giải : lời giải * Bài tốn : "Một nhóm gồm 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Chọn học sinh cho có học sinh nữ chọn ?" Lời giải : Tính trực tiếp : - Trường hợp : nữ, nam có : C15C30 cách chọn 3 - Trường hợp : nữ, nam có : C15C30 cách chọn - Trường hợp : nữ, nam có : C15C30 cách chọn - Trường hợp : nữ, nam có : C15C30 cách chọn - Trường hợp : nữ có : C15 cách chọn 3 Vậy có tất : C15C30 + C15C30 + C15C30 + C15C30 + C15 = 5413695 cách chọn Lời giải : Tính gián tiếp : - Chọn học sinh : có C45 cách chọn - Chọn nữ, nam : có C15 C30 cách chọn - Chọn nam : có C30 cách chọn 6 Vậy ta có tất : C45 - ( C15 C30 + C30 ) = 5413695 cách chọn Lời giải : - Bước : chọn nữ ( có nữ ) có C15 cách chọn - Bước : chọn bạn lại 43 bạn có C43 cách chọn Khi bạn chọn ln thỏa mãn điều kiện có bạn nữ Vậy có tất : C15 C43 = 12958050 cách chọn Phân tích Lời giải +2 : lời giải Lời giải : lời giải sai Thoạt tiên ta có cảm giác lời giải hay, xác, ngắn gọn lời giải mắc phải sai lầm Chọn bạn nữ bạn nam ta dùng tổ hợp xác kết lại sai Nguyên nhân sai lầm : cách đếm bị trùng : NHĐ Đại số 11 – Chương II Công việc chia thành hai công đoạn : Công đoạn : chọn nữ nữ không biệt thứ tự đúng, ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1; ứng với cách chọn Cơng đoạn có C43 thực Công đoạn thực cách chọn bị trùng (do kết cuối không phân biệt thứ tự ) Chẳng hạn : - Giả sử bạn nữ chọn A, B; sau chọn tiếp bạn C,D, E, F giả sử bạn vừa chọn có bạn F nữ Vậy bạn : A, B, C, D ,E ,F - Giả sử trường hợp khác bạn nữ chọn A, F; sau chọn tiếp bạn C,D, E, B Vậy bạn : A, F, C, D ,E , B Nhóm trùng với nhóm trường hợp A-B C-D-E-F A-B-C-D-E-F A-F C-D-E-B A-F-C-D-E-B Sai lầm : Xét thiếu trường hợp toán giải phương pháp gián tiếp * Bài toán : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra ? ” Giải 10 Loại : chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C20 cách Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu ( có khơng q loại dễ, trung bình khó) 10 - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách 10 - Trường hợp : chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C13 cách 10 - Trường hợp : chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 10 10 10 10 Vậy có tất C20 C16 C13 C11 176541 đề kiểm tra Lời giải thay đổi đề chút ta phạm phải sai lầm liệt kê thiếu trường hợp dùng cách giải gián tiếp : * Bài toán : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra ? ” Lời giải : Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp : chọn câu dễ câu có C97 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình có cách - Trường hợp : chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp : chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 7 7 Vậy có C20 C9 C16 C13 C11 63997 đề kiểm tra NHĐ 10 Đại số 11 – Chương II Lời giải : Loại : chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách Loại : chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp : chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp : chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình khó 11 câu có cách 7 7 Vậy có C20 C16 C13 C11 64034 đề kiểm tra Lời giải : Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu 7 - Trường hợp : câu chọn có loại : C9 C7 ( loại dễ trung bình ) - Trường hợp : câu chọn có đủ hai loại : 7 * Dễ trung bình : C16 C9 C7 ( 16 câu dễ trung bình chọn câu câu thuộc loại thuộc loại ) 7 * Dễ khó : C13 C9 7 * Trung bình khó : C11 C7 7 7 Vậy có C20 C16 C13 C9 C11 64071 đề kiểm tra Phân tích Lời giải : lời giải sai, quên loại trừ trường hợp trùng nhau, ví dụ Loại : Trường hợp chứa Trường hợp Trường hợp nên kết cuối khơng xác Lời giải : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê trường hợp bị trùng nhau, ví dụ Loại : Trường hợp Trường hợp số lần đếm bị trùng ( câu toàn dễ xuất trường hợp) Lời giải : lời giải Bài Có hoán vị tập hợp a ,b ,c ,d ,e ,f mà phần tử cuối a? Baøi Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? c) Bắt đầu 23? ĐS: a) 4! b) Không bắt đầu chữ số 1? d) Không bắt đầu 345? b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Baøi Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a/ Bắt đầu chữ số 9? c/ Bắt đầu 19? ĐS: a/ 24 b/ Không bắt đầu chữ số 1? d/ Không bắt đầu 135? b/ 96 c/ d/ 118 Baøi Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Baøi Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 NHĐ 11 Đại số 11 – Chương II Baøi Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12 Baøi Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau? b/ Tập tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29! Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 Baøi Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau? Baøi ĐS: a/ 86400 b/ 2903040 Baøi 10 Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a/ 34560 b/ 120960 Baøi 11 Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Baøi 12 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài 13 Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Bài 14 Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – ĐS: A4 = 12 vectơ không Hỏi có vectơ? Bài 15 Có số điện thoại có chữ số? Trong có số điện thoại có chữ số ĐS: khác nhau? b) A10 = 15120 a) A10 = 106 Baøi 16 Một lớp học có bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp có học sinh, biết xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi ĐS: vừa đủ số học sinh) An = 132 n = 12 Baøi 17 Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu: a/ Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ mơn) b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số ĐS: a/ 55440 b/ 120 Baøi 18 Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp ĐS: Hỏi có cách chọn? 3 Có A10 A6 cách Bài 19 Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? NHĐ 12 Đại số 11 – Chương II c/ Người có tượng khác nhau? ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160 Baøi 20 Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? ĐS: a) 9.A9 b) Có 95 số Bài 21 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) A6 3 b) A5 3.5 A5 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde Nếu a = có A6 số Nếu a a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e có cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại có A5 cách chọn Có A6 4.5 A5 = 1560 số Baøi 22 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345 d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số không bắt đầu số 1? ĐS: a/ 312 b/ 24 c/ d/ 120 ; 480 Baøi 23 a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số (HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320 Baøi 24 Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 25 Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150 Bài 26 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Bài 27 Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ ĐS: a) C40 2 b) C25 C15 c) C25 C15 2 d) C25 C15 C25 C15 C25 C15 C25 4 e) C40 C25 C15 Baøi 28 Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi NHĐ 13 Đại số 11 – Chương II khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó: a/ Có bơng hồng đỏ? b/ Có hồng vàng bơng hồng đỏ? ĐS: a/ 112 b/ 150 Bài 29 Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? Đề gồm câu lý thuyết tập: C4 C6 36 Đề gồm câu lý thuyết tập: ĐS: C4 C6 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Baøi 30 Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974 b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Baøi 31 Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai ĐS: 37 học sinh Baøi 32 Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đơi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? n(n 1) Cn ĐS: Số giao điểm: n(n 1)(n 2) Cn Số tam giác: Bài 33 Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Baøi 34 Một tập hợp có 100 phần tử Hỏi có tập có nhiều phần tử? Đs: 2100 -5051 Bài 35 Một tổ mơn trường có 10 giáo viên nam 15 giáo viên nữ Có cách thành lập hội đồng gồm ủy viên tổ mơn, số ủy viên nam số ủy viên nữ? Đs: 96460 NHĐ 14 Đại số 11 – Chương II MỘT SỐ CÔNG THỨC QUAN TRỌNG Giai thừa : n! = 1.2.3…n n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n p)! Tổ hợp, chỉnh hợp : k An n(n 1)(n 2) (n k 1) k Cn n! (n k )! n! k !(n k )! k ,n k Đối với An điều kiện là: 1 k n k ,n k Đối với C n điều kiện là: 0 k n Tính chất: n Cn Cn k n Cn Cn k k k 1 k Cn Cn 1 Cn1 n k k 1 k Cn Cn k Baøi Rút gọn biểu thức sau: !4! 8! 9! 10! 3! 5! 2!7 ! ! 2! ! D 5! 4! ! A B= 7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7! C= 5! (m 1)! m(m 1) (m 1)!3! ; C = 20 Baøi Rút gọn biểu thức sau: ĐS: B= A= A5 A10 P2 7P5 C= 12 11 A49 A49 10 A49 ĐS: A = 46; B = P1 A2 P2 A3 P3 A4 P4 A5 P P2 P3 P4 10 A17 A17 A17 B = 2750; P P P P D = A5 A A3 A2 A1 5 5 C = 1440; D = 42 NHĐ 15 Đại số 11 – Chương II 23 13 Bài Tính: A = C25 C15 3C10 ĐS: A = – 165, B= 4 C7 C7 C8 6 C10 C10 C11 A3 P2 B=4 Baøi Rút gọn biểu thức sau: n n n S = Cn C2 n C3n ĐS: S= (3n)! (n !)3 P= 10 C15 2C15 C15 10 C17 P= x ! ( x 1)! ( x 1)! Bài Giải phương trình: P Px 1 b) x a) P2.x2 – P3.x = Px 1 ĐS: Bài Giải phương trình: ĐS: a) x = –1; x = x = 2; x = b) x = 2; x = Bài Giải phương trình sau: a) An 20n b) An An = 2(n + 15) ĐS: b) n = a) n = 2 c) An A2 n 42 c) n = Baøi Tìm n N cho: a) Pn 2 n4 An1 P3 ĐS: 210 a) n = b) 2( An An ) = Pn+1 b) n = 2 c) 2Pn An Pn An 12 c) n = 2; Bài Giải phương trình: a/ A10 Ax Ax x c/ 2 Ax 50 A2 x 2 b/ Px Ax 72 6( Ax 2Px ) d/ y 1 Ax 1 Px y 72 Px 1 d/ x = 8, y 7, y N ĐS: a/ x = 11 b/ x = 3; c/ x = Bài 10 Giải bất phương trình: An4 15 a) (n 2)! (n 1)! ĐS: a) n = 3; 4; An2 143 b) 0 Pn2 Pn1 b) n 36 Bài 11 Giải bất phương trình: a) n 3 Cn1 An 1 14P3 b) Cn1 Cn1 A 0 n 2 ĐS: a) đk: n 3, n2 + n – 42 > n b) đk: n 5, n2 – 9n – 22 < n = 6; 7; 8; 9; 10 Baøi 12 Giải phương trình bất phương trình: x 2 a/ C x 1 2C x 1 7( x 1) c/ Ax x 5 C x 2 336 x b/ Ax Cx 2 14 x d/ 2x C28 2x C24 4 NHĐ 225 52 16 Đại số 11 – Chương II e/ Cn1 Cn 1 A n 2 f/ n 3 Cn1 An 1 14 P3 A2 x Ax Cx 10 x ĐS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x = e/ n 10, n N f/ x 6, n N g/ x = h/ x = 3, x = Bài 13 Giải hệ phương trình: Ax yx C y C y 1 y y y y a) P Cy 126 b) C x 1 : C x 1 : Cx 1 : : c) x y x y 1 x 1 4Cx 5Cx P 720 x 1 x x x 17 ĐS: a) b) c) y y y Baøi 14 Giải phương trình hệ bất phương trình: x x 2 A y 5C y 90 Cy :Cy 2 x x a/ y b/ y 5 Ax 2Cx 80 C x : A x y y 24 ĐS: a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = Baøi 15 Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) Pn (n 1)Pn 1 (n 2)Pn2 P2 P 1 2 g/ 2C x 1 Ax 30 d) h/ n2 1 n! (n 1)! (n 2)! k k k 1 b/ An An1 k An 1 n2 n 1 n c/ An k An k k Ank Baøi 16 Chứng minh hệ thức sau: k p p a) Cn Cn kk Cn C k (k p n) p n r r b) Cn Cn 1 r 1 Baøi 17 Chứng minh hệ thức sau: m m m m a) Cn 1 Cn 1 2Cn Cn1 k k k k k b) Cn 3Cn 1 3Cn 2 Cn 3 Cn 3 (3 k n) k k k ĐS: Sử dụng tính chất: Cn 1 Cn Cn1 Baøi 18 Chứng minh hệ thức sau: k k k k k a) Cn 4Cn 1 6Cn 2 4Cn 3 Cn 4 Cn k (4 k n) p b) Cn1 n p1 C p n k k 2 c) k (k 1)Cn n(n 1)Cn2 ( < k < n) NHĐ 17 Đại số 11 – Chương II NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: (a b)n n k Cn ank bk k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a nk bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k n Cn Cn k n 5) Cn Cn , k k k Cn 1 Cn Cn1 Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: n (1+x)n = Cn x n C1 x n1 Cn n n Cn Cn Cn n n (x–1)n = Cn x n C1 x n1 (1)n Cn n n Cn C1 (1)n Cn n Baøi Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau : x 10 a) 1 2 b) 3 2x Baøi Viết số hạng theo lũy thừa giảm dần x đa thức sau : 10 20 x c) 1 12 a) 1 x b) 1 3x 3 Bài Tìm 10 a) Số hạng thứ khai triển a x b) Số hạng thứ khai triển 1 x 15 2 x c) Số hạng thứ 12 khai triển 2 Các số hạng xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần x Baøi Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: 10 12 a) x x4 ĐS: a) 45 Baøi b) x x4 b) 495 c) –10 12 13 a/ Tìm hệ số x y c) x x2 1 d) x x d) 15 khai triển (2 x 3y)25 b/ Tìm số hạng khai triển ( x xy )15 13 ĐS: a) 313.212.C25 b) T8 6435 x 31.y7 , T9 6435 x 29 y8 NHĐ 18 Đại số 11 – Chương II 15 Bài 1 a/ Tìm số hạng thứ khai triển x x 12 3 2 a a b/ Tìm số hạng chứa a khai triển 64 c/ Tìm số hạng khai triển x 10 x 12 1 d/ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: x x 16 1 e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển x x ĐS: a/ T6 C15 b/ 924a 30 15 c/ T16 C30 x 30 y15 d/ 495 e/ 1820 n Baøi a/ Trong khai triển a a cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba thứ hai a4 44 Tìm n n 1 b/ Cho biết khai triển x , tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba x 46 Tìm hạng tử khơn g chứa x n 2 c/ Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển x 97 Tìm hạng 3 tử khai triển chứa x ĐS: a/ n = 11 b/ n = ; 84 c/ n = 8; 1120x4 Bài Tính tổng sau : a) S C6 C6 C6 C6 2011 b) S C2011 C2011 C2011 C2011 2011 c) S C2011 C2011 C2011 C2011 d) S C5 2C5 22 C5 25 C5 Bài Tính tổng sau: n a/ S1 Cn Cn Cn Cn b/ S2 Cn Cn Cn c/ S3 C1 Cn Cn n k n d/ S4 Cn 2Cn 22 Cn k Cn n Cn 2n e) S C2 n C2 n C2 n C2 n ĐS: a/ 2n b/ 2n-1 c/ 2n-1 d/ 3n e)4n n Baøi 10 Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x + 1) 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển ĐS: a = 210 Baøi 11 Chứng minh hệ thức sau: 2n 2n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n 1 Baøi 12 Chứng minh đẳng thức sau: n a) Cn 6Cn 62 Cn 6n Cn 7n 17 b) 317 C17 41.316.C17 417 C17 717 NHĐ 19 Đại số 11 – Chương II ĐS: a) Khai triển (1+x)n = Cn Cn x Cn x n Cn x n ; thay x =6 17 b) Khai triển (3x+4) ; thay x = XÁC SUẤT Biến cố : Không gian mẫu : tập kết xảy phép thử Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A Biến cố không: Biến cố chắn: Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A B = Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất : n( A) n( ) P(A) 1; P() = 1; P() = Qui tắc cộng: Nếu A B = P(A B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) Xác suất biến cố: P(A) = P( A ) = – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) Baøi Gieo đồng tiền hai lần gọi A biến cố có lần xuất mặt sấp Tính n(), n(A) Bài Thảy ba xúc xắc đồng chất, kích thước Gọi A biến số ba mặt không giống (không số nút) Tính n(), n(A) Bài Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn ĐS: a) n() = 36 n(A) = P(A) = b) c) 36 4 Bài Một lớp học có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn a) Tính xác suất để chọn em học mơn b) Tính xác suất để chọn em học môn Tốn khơng mơn Văn C7 25 Bài Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17 P(AB) NHĐ b) C8 25 20 Đại số 11 – Chương II a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm 1 ĐS: a) b) 6 Bài Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh ĐS: Baøi Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh ĐS: Baøi Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ , người thứ hai Tính xác suất để thú bị bắn trúng ĐS: Baøi Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm 1 11 25 ĐS: a) b) c) d) 6 36 36 Baøi 10 Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa 1 11 ĐS: a) b) c) 16 16 Bài 11 Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) Khơng bóng tốt Bài 12 Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi Bài 13 Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen Bài 14 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em phái Bài 15 Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình Bài 16 Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: NHĐ 21 Đại số 11 – Chương II a) Số số lẻ b) Số chia hết cho c) Số chia hết cho Bài 17 Thảy súc sắc hai lần Tính xác suất biến cố : a) A: Tổng số nút hai lần b) B : Tổng số nút hai lần số chia hết cho c) Tổng số nút hai lần giống Đs: a) 36 b) c) Baøi 18 Thảy súc sắc hai lần Tính xác suất biến cố : a) A: lần đầu nút lẻ, lần sau lớn b) B: hai lần có tính chẵn lẻ khác 1 b) Baøi 19 Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để lấy : a) Ít hai bóng tốt b) Ít bóng tốt 21 b) Đs: a) 11 22 Baøi 20 Trong lớp học gồm 20 em có em gỏi Tốn, em giỏi Văn, em giỏi hai môn Giáo viên chủ nhiệm chọn em Tính xác suất để hai em học sinh giỏi Đs: 10 Bài 21 Một tổ có em nam em nữ Giáo viên chủ nhiệm chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để hai em khác phái? 24 Đs: 25 Baøi 22 Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi người đá phạt đền với xác suất làm bàn người thứ 0.8 Tính xác suất làm bàn người thứ hai biết xác suất hai làm bàn 0.56 xác suất để thủng lưới lần 0.94? Đs: 0.7 Đs: a) NHĐ 22 ... n = 8; 1 120 x4 Bài Tính tổng sau : a) S C6 C6 C6 C6 20 11 b) S C2 011 C2 011 C2 011 C2 011 20 11 c) S C2 011 C2 011 C2 011 C2 011 d) S C5 2C5 22 C5 25 C5 ... B Nhóm trùng với nhóm trường hợp A-B C-D-E-F A-B-C-D-E-F A-F C-D-E-B A-F-C-D-E-B Sai lầm : Xét thiếu trường hợp toán giải phương pháp gián tiếp * Bài toán : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu... có tất : 9.C10 C 12 9. 120 .22 0 23 7600 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C10 120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C 12 22 0 cách Do số cách chọn học sinh nam, nữ : 120 .22 0 26 400 cách Trong