GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian A. Lý thuyết cần nhớ Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi một vuông góc với nhau với các……………………tương ứng là i, j,k r uurur ( ) 1ijk = == r rur . B. ; () 123 1 2 3 aa; a; a aaiajak==⇔++ rurur ur ur u Và M (x;y;z) ⇔ OM x.i y . j z.k=++ u uuurrrr C. Tọa độ véctơ Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 1 Cho u (x; y; z), v (x'; y'; z')== ruru 1. xx' uv yy ' zz' = ⎧ ⎪ =⇔ = ⎨ ⎪ = ⎩ urur 2. ( ) uv xx'; yy ';z z '±= ± ± ± urur 3. u(x; y ;z) α ααα = ur ( ) i1;0;0 r ( ) j0;1;0 r ( ) k0;0;1 r O y z 4. u.v x.x' y.y' z.z'=++ ur ur x 5. .uv uv0⊥⇔ = urururur 222 uxyz=++ ur 6. () y z' y 'z; zx' z'x;x y 'x' y yz zx xy u,v ; ; y' z' z' x' x' y' ⎛⎞ ⎡⎤ =− − − ⎜⎟ ⎣⎦ ⎜⎟ ⎝⎠ = urur 7. 8. cùng phương ⇔ [u u,v ur ur ,v]= 0 urur r 9. () cos u,v u.v u.v = uurur rr urur . D. Tọa độ điểm : cho A (x A ; y A ; z A ), B (x B ; y B ; z B ) 1. BABABA AB (x x ; y y ; z z )=− − − ruuu 2. 22 BA BA BA AB (x x ) (y y ) (z z )=−+−+− 2 3.G là trọng tâm của tam giác ABC ta có: GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2 AB G xxx x 3 ++ = C ; AB G yyy y 3 C + + = ; ABC G zzz z 3 ++ = Đặc biệt : M là trung điểm AB: AB AB AB MMM xx yy zz x; ; z. 222 y +++ === 5. A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ không cùng AB, AC uuur uuur phương ⇔ AB, AC 0 ⎡⎤ ≠ ⎣⎦ uuur uuuurr khi đó diện tích tam giác ABC là S = 1 , 2 A BAC ⎡⎤ ⎣⎦ u uuruuur Bài tập 1 : trong hệ trục tọa độ Oxyz cho các vectơ : rr r r r r u ui2j,v3i5j5k,w2i3jk=− = + − = + − r urrrr a/ Tìm tọa độ các vectơ đó b/ tính cosin của góc ( ) u, v r r , , () () u, i rr k, v rr c/ Tính các tích vô hướng u.v, u.w, v.w, u. j rr ruurruurr rrruur r d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : , 2u 4v 3we =−+ u5v2w α =+ − u rr r uur , 31 muv 22 =− + − uurrrr w uu , n3uv2i5 j =− + − + rrrrr , r3u5i3k = +− r rrr Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ )2;7;1();1;2;0();3;5;2( =−=−= cba . Tìm toạ độ các vectơ sau đây: cbad 3 3 1 4 +−= và cbae 24 −−= Bài tập 2 : Tìm toạ độ của vectơ x và y biết rằng a) 02 =+ xa và )1;2;1( −=a b) ixa 42 =+ và )1;2;0( −=a bya 32 =+− c) bxa −=+ 2 , với )1;4;5( −=a ; )3;5;2( −=b Soạn : Cho và a(5;4;7)=− r x r x a/ Tìm vectơ thỏa y 0+= rrr b/ Tìm vectơ y r thỏa 2y a uur r 3b−= r Bài tập 3 : Phân tích vectơ ( ) ( ) ( a/ ) ( ) u 4,0, 7 theoa 2,1,0 ,b 1,3, 2 ,c 2,4,3=− =− =−= rr ( rr ) ( ) ( ) ( ) d 4,5, 1 theoa 2,4,1,b 3,0,3,c 1, 1, 1=− − = =− = − − rrrr b/ c/ ( ) ( ) ( ) ( ) m 3,2, 8 theoa 1,0, 2 ,b 2,1,3,c 4,3,5= − = − =− =− uurrrr d/ ( ) ( ) ( ) ( ) q 4, 12, 4 theo a 3, 7, 0 , b 2, 3,1 , c 3, 2, 4=− = − = − = rrrr GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3 k r Bài tập 4 : Viết dưới dạng ijxyz++ rr ; () a1,0,2=− r 11 b0,0, 3 ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ r ; ( ) c1,3,2 = − r ; 1 π d2, , 6 2 ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ r Bài tập 5 : Trong không gian Oxyz cho A(2; − 3 ; 1), B(1; − 1; 4) và C( − 2; 1; 6) a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC uuu uuu uuu uuu b/ Tính các vectơ sau : AB, AC, BC, 2AB 3AC 4BC+− r r r r uuur uuur uuur c/ Tính: () 2AB AC .BC− uuur uuur d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : MA 2MB = − u uuur uuur e/ Tìm tọa độ điểm K sao cho : KA 2KB 2CB−= u uur uuur uuur f/ Tìm tọa độ điểm P sao cho : PA 2PB 4PC 0 + −= rruuuruuuruuu g/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Bài tập 6: Cho ba điểm: ; )1;2;3(−A )2;1;3( − B ; )2;4;0( − C . CMR tam giác ABC cân Bài tập 7 : a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A(1; 0 ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; 5), D(1; − − 1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A( 1; 2 ; 3), C(1; 4; 5) , B’( 3; 3; − − − 2), D’(5; 3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại A B C D A' B' C' D' c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(4;1;-2), B’(4;5;10). C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. Bài tập 8 : Tìm góc giữa hai vectơ sau: )3;1;0(=b )4;5;2(=a a) )1;3;4(=a ; )3;2;1(−=b b) ; )3;0;6(=b c) )1;1;1( −=a ; Bài tập 9: a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: ; )0;1;3(A )1;4;2( − B b/ Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai điểm: ; )1;0 ;1;2(B ;1(A )1;1;2( )2 c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách đều hai điểm: − A )1;2;3( ; − −C (ĐS : (4;0;0) ) Bài tập 10: a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: ; ; )1;1;1(A B )0;1;1(− )1;1;3( − C . b/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: )1;1;2( − A )4;3;1(B )1;2;3( ; ; − − C GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (ĐS : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0; 3 14 ; 3 26 ) Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2). 1/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác. 2/ Tính cosin của 3 góc 3/ Tìm trên Ox điểm cách đều A và B. ABCΔ 4/ Tìm trên Oz điểm cách đều C và B. 5/ Tìm trên mặt phẳng xOy điểm cách đều A, B, C. Bài tập 11: cho với () AC 3, 2, 5=− uuur ( ) C1,0,3 . Tìm A Bài tập 12: Cho điểm M( 3;4;7). Tìm tọa độ hình chiếu của M trên. − a/ Các trục tọa độ b/ Các mặt phẳng tọa độ Bài tập 13: Cho tam giác ABC với )1;2;0( − A ; ; . )2;2;3(B )2;1;4( −C a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC. c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A. E. Hai vectơ cùng phương Cho ( ) ( ) 123 123 aa,a,a,b=b,b,b= r r Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 4 cùng phương ⇔ sao cho a,b rr kR∃∈ ak.b= r r 3 12 123 a aa b bb ⇔== Ghi chú : ………………………………………………………………………. ( ) ( ) ( ) a3,1,2,b 9,3,6,c6,2,1=− =− − =− rr r Ví dụ 1 : a/ CMR là hai vectơ ngược hướng a,b rr b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương a r c r Giải : a/ Vì 312 93 6 − ===− −− 1 3 nên 1 a 3 =− b r r suy ra a r và b r ngược hướng b/ Vì 61 22 ≠ và là hai vectơ không cùng phương a r c r Ví dụ 2 : Cho ; ; )4;1;3(−A )6;3;2(B )1;4;3( − C . a/ CMR A,B,C lập tam giác b/ Tìm tọa độ điểm sao cho )6;;( −yxM AM, BC u uuuruuur cùng hướng Giải : uuu a/ () ( AB 5; 2;2 , AC 6; 5; 3==− r uuur ) − GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Vì 52 6 ≠ −5 nên và là hai vectơ không cùng phương AB uuur AC uuur Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy A,B,C là ba đỉnh của một tam giác b/ () ( ) AM 3; 1; 10 , BC 1; 7; 5xy=+ −− =−− uuuuruuur AM, BC uuuuruuur cùng hướng nghĩa là chúng cùng phương 3110 0 175 xy + −− ⇔ ==> −− 3 2 1 1 1 13 2 7 x x y y + ⎧ = ⎪ =− ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ − =− ⎩ ⎪ = ⎪ − ⎩ Vậy ( ) M1;13;6 − −− Bài tập 14: a/ Cho ; ; . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC )1;1;1(A )5;0;14( −B )1;3;2(C b/ Cho ; ; . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC )5;2;5(A )2;1;2( −B )6;1;3(C (ĐS : và ) )6;1;3(H )7;0;1('A c/ Cho ; ; )3;1;2( −A )2;0;3( −B )6;1;5( − − C . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC Đt : 0914449230 5 Email : ngvuminh249@yahoo.com (ĐS : và ) )2;1;1(H r )1;3;0('A Bài tập 15: Cho . a 3i 2j,b (2;3; 1),c ( 2;4;2)=− = − =− rrrr rr a/ Tìm sao cho , x r a.x 2= b .x 1 = − rr , cx ⊥ r r b/ Tìm tọa độ của: và (a.3b)c rrr 1 (2c)( a)b 5 r ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ rr ⎣ ⎦ F. Tích có hướng và sự đồng phẳng ( ) ( ) ( ) 123 123 123 a a,a ,a , b b,b,b , c c,c,c=== rrr Cho + cùng phương a, b rr a, b 0 ⎡⎤ r = ⎣⎦ rr a, b .c 0 ⎡⎤ = ⎣⎦ r rr + đồng phẳng a, b, c rrr Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔ AB, AC, AD u uur uuur uuuur không đồng phẳng ⇔ AB, AC .AD 0 ⎡⎤ ≠ ⎣⎦ uuur uuur uuur GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 6 Và A.BCD 1 V, 6 , A BAC AD ⎡⎤ = ⎣⎦ uuur uuur uuur hoặc BCD 1 VS. 3 = h (h là chân đường cao hạ từ đỉnh A) Bài tập 16: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ a, b, c r r r biết: a/ ; a (1; 1;1)=− r b (0;1;2)= r ; c (4; 2;3)= r b/ ; a(1;2;1)= r b (1; 2; 3)=− r ; c(2;6;1)= r c/ ; a2i3k=− r rr b (1;3;5)=− r ; c4i2 j k=− + + r r rr Soạn : d/ )4;3;4(=a ; )2;1;2( −=b ; )1;2;1(=c . e/ )5;2;4(=a ; )3;1;3(=b ; )1;0;2(=c . f/ )2;1;3( −−=a ; )1;1;1(=b ; )1;2;2(−=c . Bài tập 17: a/ Tìm m để 3 vectơ ; a(1;2;3= r ) b (2;1;m)= r ; c(2;m;1= ) r đồng phẳng b/ CMR 3 vectơ ; a (1;1; m )= r b (1;1; m 1) = + r ; c (1; 1; m)=− r không đồng phẳng với mọi m Bài tập 18: Xét tính đồng đẳng của 4 điểm sau: a/ A(1;2;1), B( –1;2;3), C(2;0; –2), D(0;1; –4) b/ A(1;1;1), B( –1;2;4), C(3;0; –2), D(–2;1;0) Bài tập 19: ; a (1; 1; 3)=− r b (2;2; 5)=− r a/ Tính a, b ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ rr b/ Cho . Tìm m để c (1; 1;2), x (m;m 2;m 2)=− = + − rr a, b 2 3 ⎡⎤ = ⎣⎦ r r (ĐS : 0, -12/7) Bài tập 20: Cho bốn điểm: ; )1;1;1( −A )2;1;3( − B ; )4;2;1( − C ; )9;6;5( −D a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC). b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD. c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A. Bài tập 21: Cho bốn điểm: ; )1;3;2(A )2;1;4( − B ; ; )7;3;6(C )8;4;5( −−D a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng). b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. c) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D. GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phần 2: Phương trình mặt cầu. A. Kiến thức cần nhớ Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 7 1. Phương trình mặt cầu tâm , bán kính R: I(a; b; c) Dạng chính tắc: 2222 )()()( Rczbyax =−+−+− Dạng khai triển: 222 222xyz axbyczd0 + +− − − += I R (điều kiện để có mặt cầu : ………………………… ) Bán kính: dcbaR −++= 222 B. Bài tập: Ví dụ 3 : Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình 222 x y z6x8 y 4z 2 0++−+−+= Giải : so sánh với phương trình 222 x y z2ax2b y 2cz d 0++− − − += Ta có suy ra mặt cầu có tâm I (3; – 4;2) 2a 6 a 3 2b 8 b 4 2c 4 c 2 d2 d2 −=− = ⎧⎧ ⎪⎪ −= =− ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ −=− = ⎪⎪ ⎪⎪ == ⎩⎩ và bán kính 222 Rabcd916423=++−=++−=3 Bài tập 22: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) b) 0128 222 =++−++ yxzyx 04284 222 =−−++++ zyxzyx c) d) 0442 222 =+−−++ zyxzyx 021536333 222 =−+−+++ zyxzyx e) f) 043 222 =+−++ yxzyx 076 222 =−−++ zzyx g) h) 086246 222 =−−+−++ zyxzyx 0246412 222 =+−+−++ zyxzyx k) l) 07212126 222 =++−−++ zyxzyx 04248 222 =−++−++ zyxzyx Bài tập 23: cho phương trình : a/ () ( ) 222 2 x y z 2mx 4m 1y 2m 2z 7m 8 0 (1)++− + + − − + += 0m4 .Xác định tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất (ĐS : < < m2 và = ) b/ () ( ) 222 2 xyz2m1x4m1y2mz7m70(1++− + + − + + −= ) .Xác định tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu có bán kính bằng 3 (ĐS : m32=− ± 3 ) ) c/ .Xác định tham số m để 222 2 xyz4mx4y2mzm4m0(1++− ++ + + = GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất (ĐS : và mR∀∈ m1/2 = ) Ví dụ 4 : Viết phương trình mặt cầu nếu biết: Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 8 a/ Tâm I(2; 2; –1), bán kính 22=R b/ Tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5) c/ Qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(–3; 1; 6), D(3; –8; 0) Giải : ☺a/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -1), bán kính 22=R (S) : ()( ) ( ) 2 )( 22 2 z−+ 2 x2 y 1 22−+ += ☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5) nên có bán kính 22 2 RIA 0== 1 4 17++= với ( ) IA 0;1;4= u ur (S) : () ( 2 y z1+− 222 ) 22 x2 17−+ = ☺ c/ mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0) R A I gọi pt (S) : x y z2ax2b y 2cz d 0− − +=++− Ta có ( ) () () () () () 222 222 2 22 2 22 2214a4b2cd0 A2;2;1 3226a4b24cd0 B 3;2;2 3 1 6 6a 2b 12c d 0 C3;1;6 D3; 8;0 3806a16bd0 ++−−−+= ∈ ⎧ ⎪ ++−−− += ∈ ⎪ −+++−− += −∈ −∈ +− + − + + = ⎩ (S) (S) (S) (S) ⎧ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ cd 0 24c d 0 12c d 0 d 0 += += += += 94a4b2 (1) 17 6a 4b (2) 46 6a 2b (3) 73 6a 16b (4) −−− ⎧ ⎪ −−− ⎪ ⇔ ⎨ +−− ⎪ ⎪ −+ ⎩ Lần lượt trừ các vế tương ứng của phương trình (1) cho các phương trình (2), (3), (4) ta có hệ : 2a 2c 8 10a 2b 10c 37 2a 20b 2c 64 += ⎧ ⎪ + −=− ⎨ ⎪ −−= ⎩ a1/2 b 7/2 /2c7 = ⎧ ⎪ =− ⎨ ⎪ = ⎩ thay vào (4) ta được d14 = − Giải hệ này ta được : Vậy phương trình (S) : 222 xyzx7y7z140++−+−−= GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu nếu biết: a) Tâm I(5; –3; 7). bán kính R = 2. b) Tâm I(3; –2; 1) và qua điểm A(2; 1; –3). c) Tâm I(4; –4; –2) và đi qua gốc toạ độ. d) Hai đầu đường kính là A(4; –3; –3) và B(2; 1; 5). e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7). Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính 3=R . b) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4) c) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3). Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu (S): a/ (ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6), B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1). (ĐS: 222 xyz2x3y8z130 + ++ +−−= ) b/ (ĐH Văn Lang – 98) đi qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0). c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2). d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 1); D (-2 ; 1 ; -1) (ĐS : x 2 + y 2 + z 2 + 3 5 x + 3 5 y + 3 5 z - 3 8 = 0) f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1). Bài tập 26: Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) ; . b) )1,3,1( −−A )5,1,3(−B )5,2,6( − A ; )7;0;4( − B . c) ; . d) )4,2,1( −A )2,4,3( −−B )7,3,4( − A ; . )3;1;2(B Phần 3: Phương trình mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với 0C B A 222 >++ Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 9 );;( CBAn = là vecto pháp tuyến của mp. b) Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 000 ;; zyxM và có vectơ pháp tuyến );;( CBAn = có dạng: n r 0)()()( 000 = − + − + − zzCyyBxxA GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: 1=++ c z b y a x Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 10 Ghi chú : ……………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… z B b C c y O A a x d) các trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = 0 + nếu D = 0 : (P) : Ax + By + Cz = 0 thì (P) đi qua gốc O + Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Ozy) : x = 0 Ví dụ 5 : lập phương trình mp (P) trong các trường hợp sau : a/ qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là ( ) n 2;3;2 = −− r b/ cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) c/ qua 3 điểm A(1; –2; 4), B(3; 2; –1), C(–2; 1; -3) không thẳng hàng d/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7) e/ qua ba điểm A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) : 2x 3y z 2013 0 − −+ = Giải : ☺ a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là () n 2;3;2=−− r Phương trình (P) : ()() ( ) 2 x 2 3 y 1 2 z 5 0 2x 3y 2z 9 0−− −− −=⇔ −−+= ☺b/ (P) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn : xy z 1x2yz2 21 2 0 + +=⇔+−−= − ☺c/ qua 3 điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là A B C () () AB 2; 4; 5 AC 3;3; 7 ⎧ =− ⎪ ⎨ =− − ⎪ ⎩ uuur uuur [...]... TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x −1 y z + 2 = = và (P) : x − 2y + z = 0 Gọi C là 2 1 −1 giao điểm Δ với (P), M thuộc Δ Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6 Bài tập 78 (Khối A – 2010): (Δ): *Ví dụ 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1) và C(–1; 2; 3) uuu r uuur AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2) Suy ra phương. .. phương trình đường thẳng (Δ) qua A, cắt và vuông góc ⎪ z = −1 + 4 t ⎩ x+4 y+2 z−4 = = với (d) (ĐS : (Δ): ) 3 2 −1 n/ (ĐH Khối D – 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x +1 y z − 3 = = A(1; 2; 3) và đường thẳng d : Viết phương trình đường thẳng Δ đi −2 2 1 qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox (ĐS : x −1 y − 2 z − 3 = = ) 2 2 3 o/ (ĐH Khối A, A1 – 2012) Trong không gian. .. ) và có vectơ chỉ phương u ' = (a' ; b' ; c' ) TH1 u và u ' cùng phương a) ( d ) ≡ ( d ' ) ⇔ A ∈ (d ) ⇒ A ∈ (d ' ) b) ( d ) //( d ' ) ⇔ A ∈ ( d ) ⇒ A ∉ ( d ' ) TH2 u và u ' không cùng phương a) (d ) ∩ (d ' ) ⇔ hệ phương trình có nghiệm duy nhất b) (d) chéo (d’) ⇔ hệ phương trình vô nghiệm Đt : 0914449230 26 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN r u r TH3 Hai... Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O x y −1 z = = và g/ (Cao Đẳng 2010) Cho đường thẳng d: 1 1 −2 mp (P): 2x – y + 2z –2 = 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P) h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường... GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x−2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = và d’: Viết phương trình đường thẳng Δ −1 2 1 2 −1 1 qua điểm A vuông góc với d và cắt d’ l/ (ĐH Khối A – 2005) Cho đường thẳng d: x −1 y + 3 z − 3 = = và −1 2 1 mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm giao điểm A của d và (P) Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’ m/ (ĐH Khối B – 2004) Trong hệ trục tọa độ Oxyz... + 1 = 0 −1 2 1 a/ Viết phương trình mp(Q) chứa Δ và vuông góc với (P) b/ Tìm tọa độ M nằm trên đường thẳng Δ và N trên Oy sao cho đường thẳng MN song song với (P) và MN = 26 Bài tập 75 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho A(0;2;0), B(3;0;1), C(1;3;0) a/ Tính diện tích tam giác ABC b/ Tìm M trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện M.ABC bằng 1 ⎧x = 3 + t ⎪ Bài tập 76 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng... ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phần 4: Phương trình đường thẳng A Phương trình đường thẳng ( P) ⎧ Ax + By + Cz + D = 0 ⎨ 1 Phương trình tổng quát của đường thẳng d : A' x + B' y + C ' z + D' = 0 (Q) ⎩ r uuu uuur r là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương : u = ⎡ n (P) , n (Q) ⎤ ⎣ ⎦ d P Q ⎧ x = x0 + at ⎪ ⎨ y = y 0 + bt 2 Phương trình tham số: ⎪ z = z + ct 0 ⎩ r... hai vectơ chỉ phương r ur u.u' r ur cosα = cos u, u' = r ur u u' ( ) Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến Đt : 0914449230 28 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN r ur n.n' r ur cosα = cos n,n' = r ur n n' ( ) Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến... = 0 B HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN ĐƯỜNG THẲNG d Phương pháp: • Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d M • Tìm giao điểm H của d và (P) d • Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d H P Đt : 0914449230 31 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 14 : Tìm tọa độ hình chiếu M(2; – 4; 1) lên đường thẳng x +1 y −... - 2y + z - 4 = 0 Bài tập 73 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;1;0) và đường thẳng ⎧x = 2 + t ⎪ (d) ⎨ y = 1 + 2t và mp(α) : 2x + 2y − z + 1 = 0 ⎪z = t ⎩ a/ Viết ptđt Δ qua A và song song với d b/ Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mp(α) c/ Viết pt mp(P) qua A và vuông góc với d d/ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng d Bài tập 74 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x − 3 y . GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian A. Lý thuyết cần nhớ Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi một vuông. Bài tập 7 : a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A(1; 0 ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; 5), D(1; − − 1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại b/ Trong không gian Oxyz cho hình. tích tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC. c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A. E. Hai vectơ cùng phương Cho ( ) ( ) 123 123 aa,a,a,b=b,b,b= r r