ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG THANH NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT, CÁC Q TRÌNH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN HAI VÀ BA MODE MỚI LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Huế, 2022 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG THANH NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT, CÁC Q TRÌNH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN HAI VÀ BA MODE MỚI Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 9440103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nghiên cứu đồ thị nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa khác cơng bố cơng trình hay tài liệu Tác giả luận án Lê Thị Hồng Thanh ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc kính trọng đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức, người thầy tận tình dạy, truyền cảm hứng góp phần lớn định hướng nghiên cứu khoa học Thầy tận tình dẫn câu chữ, cách viết, công bố luận nghiên cứu động viên, cổ vũ tơi vượt qua khó khăn q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin tri ân Thầy giáo cảm tạ gia đình Thầy Tơi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi thời gian học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế tạo điều kiện thuận lợi dẫn tận tình để tơi hồn thành thủ tục hành suốt thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Quảng Nam cho phép, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian học tập, nghiên cứu công tác Xin trân trọng cảm ơn tới quý thầy giáo, cô giáo Khoa Khoa học Tự nhiên Kỹ thuật, trường Đại học Quảng Nam đồng nghiệp trường Đại học Quảng Nam động viên, chia sẻ giúp đỡ để tơi có thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin cảm ơn tới đồng mơn gồm Trần Quang Đạt, Hồ Sỹ Chương, Phan Ngọc Duy Tịnh chia sẻ khó khăn giúp đỡ tơi nhiều thời gian làm nghiên cứu sinh Cuối cùng, xin dành tất niềm yêu thương cảm tạ chân thành đến đại gia đình Xin cảm ơn bố, mẹ gia đình nhỏ iii có chồng hai gái yêu quý chịu nhiều vất vả hi sinh suốt thời gian làm nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Huế, tháng 11 năm 2022 Tác giả Lê Thị Hồng Thanh iv BẢNG CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt GPAPCS Generalized photon-added Trạng thái kết hợp cặp pair coherent state thêm photon tổng quát JC Jaynes-Cummings Jaynes-Cummings PAPCS Photon added pair Trạng thái kết hợp cặp coherent state thêm photon PCS Pair coherent state Trạng thái kết hợp cặp QED Quantum electrodynamics Điện động lực học lượng tử qubit quantum bit bit lượng tử SPAPCS Superposition of photon- Trạng thái kết hợp cặp added pair coherent state chồng chất thêm photon TCS Trio coherent state Trạng thái kết hợp ba PATCS Photon-added trio Trạng thái kết hợp ba coherent state thêm photon v Danh sách hình vẽ 1.1 Sự phụ thuộc hàm phân bố xác suất tìm nguyên tử trạng thái kích thích Pe (t) theo λt với |α|2 = 10 2.1 28 Sự phụ thuộc Pe (t) theo λt trường hợp (a) q = 0, |ξ| = 2, (b) q = 10, |ξ| = Đường đứt nét màu đỏ ứng với (Pe (t) + 2) (m, k) = (0, 0), đường chấm chấm màu tím ứng với (Pe (t) + 1) (m, k) = (2, 2), đường liền nét màu xanh ứng với Pe (t) (m, k) = (5, 5) 2.2 38 Sự phụ thuộc Pn (t) theo λt cho trường PCS (m = k = 0, q = 0) Đường A ứng với Pn (t), n = 5, |ξ| = Đường B ứng với Pn (t) + 0.3, n = 5, |ξ| = Đường C ứng với Pn (t) + 0.8, n = 10, |ξ| = 10 2.3 41 Sự phụ thuộc Pn (t) theo λt với n = 10, |ξ| = 10 Đường đứt nét màu đỏ ứng với Pn (t) (m, k) = (0, 0), đường nét gạch chấm màu tím ứng với Pn (t) + 0.5 (m, k) = (2, 2), đường liền nét màu xanh ứng với Pn (t) + (m, k) = (5, 5) 42 2.4 (2) Sự phụ thuộc hàm gii (t) theo λt với |ξ| = 2, q = (2) Đường đứt nét màu đỏ ứng với gii (t) (m, k) = (0, 0), (2) đường chấm chấm màu tím ứng với gii (t) + 0.1 (m, k) = (2) (2, 2), đường liền nét màu xanh ứng với gii (t) + 0.15 (m, k) = (5, 5) vi 43 2.5 (2) Sự phụ thuộc hàm gii (t) theo λt với |ξ| = 2, q = 2, Hình (2) b (đường đứt nét màu đỏ g11 (t)), (đường chấm chấm màu (2) (2) tím g11 (t) + 0.1), (đường liền nét màu xanh g11 (t) + 0.15) (2) Hình c (đường đứt nét màu đỏ g22 (t)) (đường chấm chấm (2) màu tím g22 (t) + 0.35), (5, 5) (đường liền nét màu xanh (2) g11 (t) + 0.4) Đường đứt nét màu đỏ ứng với (m, k) = (0, 0), đường chấm chấm màu tím ứng với (m, k) = (2, 2), đường liền nét màu xanh ứng với (m, k) = (5, 5) 2.6 43 Sự phụ thuộc LA (t) theo λt với |ξ| = hai trường hợp (a) q = (b) q = Đường đứt nét màu đỏ LA (t) (m, k) = (0, 0) Đường chấm chấm màu tím LA (t)+0.5 (m, k) = (2, 2) Đường liền nét màu xanh LA (t) + 1.0 (m, k) = (5, 5) 2.7 47 Sự phụ thuộc LA (t) theo λt Đường đứt nét màu đỏ LA (t) ứng với (m, k) = (0, 0), q = 0, |ξ| = Đường chấm chấm màu tím LA (t) + 0.5 ứng với (m, k) = (2, 2), q = 0, |ξ| = Đường liền nét màu xanh LA (t) + 1.0 ứng với (m, k) = (5, 5), q = 2, |ξ| = 2.8 47 Sự phụ thuộc Lsub (t) theo λt với q = Hình (a) |ξ| = 1, (m, k) = (0, 0) (đường đứt nét màu đỏ), (2, 2) (đường chấm chấm màu tím), (5, 5) (đường liền nét màu xanh) Hình (b) (m, k) = (1, 1) với |ξ| = (đường nét gạch chấm màu đen) |ξ| = (đường liền nét màu xanh) vii 48 2.9 Sự phụ thuộc Pe (t) theo λt với tham số (a) p = q = 0, r = 5, (b) p = q = 2, r = 20 (h, k, l) tương ứng với đường nét gạch đỏ [Pe (t) + 2] (0, 0, 0), đường nét gạch chấm màu xanh [Pe (t) + 1] (2, 2, 2), đường liền nét màu xanh đậm Pe (t) (5, 5, 5) 53 2.10 Sự phụ thuộc Pn (t) theo λt với tham số n = 5, r = 10, p = q = (h, k, l) tương ứng với đường nét gạch đỏ [Pn (t) + 1.1] (0, 0, 0), đường nét gạch chấm màu xanh [Pn (t) + 0.6] (1, 1, 1), đường liền nét màu xanh đậm Pn (t) (3, 3, 3) 56 (2) 2.11 Sự phụ thuộc gii (t) theo λt trường hợp (a) r = 5, p = q = 0, (b) (c) r = 10, p = q = Bộ (h, k, l) (2) ứng với đường nét gạch đỏ gii (t) (0, 0, 0), đường nét gạch (2) chấm màu xanh gii (t) + 0.02 (1, 1, 1), đường liền nét (2) màu xanh đậm gii (t) + 0.04 (3, 3, 3) 57 (2) 2.12 Sự phụ thuộc g12 (t) theo λt với tham số r = 10, p = (2) q = 2, (h, k, l) ứng với đường nét gạch đỏ g12 (t) + 0.06 (2) (0, 0, 0), đường nét gạch chấm màu xanh g12 (t) + 0.03 (2) (1, 1, 1), đường liền nét màu xanh đậm g12 (t) (3, 3, 3) 3.1 59 Hàm Wigner SPAPCS với tham số q = 1, σ = 1, |β| = 0.3, ϕa = ϕb = ϕ = Hình (a) phụ thuộc W theo thành phần thực ảo α với ξ = (k, l) = (3, 12) Hình (b) phụ thuộc W theo |ξ| với |α| = 0.5 (k, l) (0, 0) (đường chấm chấm màu đen), (1, 4) (đường liền nét màu xanh đậm), (2, 8) (đường gạch chấm xanh lá) (3, 12) (đường đứt nét màu đỏ) viii 65 3.2 Hàm entropy tuyến tính L theo |ξ| với ϕ = π, σ = 1, q = Trong hình (a) (b) đường cong (0, 0) tương ứng với PCS, đường lại ứng với SPAPCS Ở hình (a), đường đứt nét ứng với trường hợp cố định l = k tăng Ở hình (b), đường đứt nét ứng với trường hợp cố định k = l tăng 3.3 66 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính theo λt trường hợp (a) γ = 0.01, (b) γ = 0.1 (c) γ = with |ξ|2 = 1, q = 0, k = l = 0, µe = µg = √1 Đường đứt nét màu xanh LA (t), đường liền nét màu đỏ LF (t) đường chấm chấm màu đen L(t) 3.4 75 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính theo λt với tham số cố định |ξ|2 = 1, µe = µg = √1 , q = 0, σ = 1, trường hợp (a) k = l = 1, γ = 0.1, (b) k = l = 5, γ = 0.1 (c) k = l = 5, γ = 3.5 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính theo λt với tham số cố định k = l = 1, |ξ|2 = 1, q = 0, µe = µg = √1 , σ = 1, (a) γ = 0, (b) γ = 0.1 (c) γ = 3.6 76 79 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính theo λt, LAFb (t) (đường đứt nét màu xanh) LFa (t) (đường liền nét màu màu đỏ) với γ = 1, |ξ|2 = 1, q = 0, µe = µg = √1 , σ = trường hợp (a) k = l = 2, (b) k = l = (c) k = l = 4.1 Sự phụ thuộc F theo λt2 µ với λt1 = 3π , |ξ| = 1, q = m = k = ix 80 91 10 Braunstein S.L., and Kimble H.J (2000) Dense coding for continuous variables Phys Rev A, 61, 042302(1-4) 11 Ralph T.C (1999) Continuous variable quantum cryptography Phys Rev A, 61, 010303(1-4) 12 Braunstein S.L (1998) Quantum information with continuous variables, Springer, Dordrecht 13 Navascués M., and Acín A (2005) Securitybounds for continuous variables quantum key distribution Phys Rev Lett., 94, 020505 (1-4) 14 An N B., and Kim J (2008) Joint remote state preparation J Phys B: At Mol Opt Phys., 41, 095501(1-6) 15 An N.B (2004), Quantum dialogue, Phys Lett A, 328, 6-10 16 Braunstein S.L., and Loock P.V (2000) Quantum information with continuous variables Rev Mod Phys., 77, 513-577 17 Caves C.M., and Schumaker B.L (1985) Formalism for two-photon quantum optics I Quadrature phases and squeezed states Phys Rev A, 31, 3068-3093 18 Agarwal G.S (1988) Nonclassical statistics of fields in pair coherent states J Opt Soc Am B, 5, 1940-1947 19 Duc T.M., Hoai N.T.X., and An N.B (2014) Sum Squeezing, Difference Squeezing, Higher-Order Antibunching and Entanglement of Two-Mode Photon-Added Displaced Squeezed States Int J Theor Phys., 53, 899-910 20 Schnabel R (2017) Squeezed states of light and their applications in laser interferometers Phys Reps., 684, 1-51 99 21 Clark J.B., Lecocq F et al (2016) Observation of strong radiation pressure forces from squeezed light on a mechanical oscillator Nat Phys., 12, 683-687 22 Duc T.M., Dinh D.H., and Dat T.Q (2020) Higher-order nonclassical properties of nonlinear charge pair cat states J Phys B: At Mol Opt Phys 53, 025402(1-11) 23 Hong L., and Guang-can G (1999) Nonclassical properties of photonadded pair coherent states Acta Phys Sin (Overseas Edn), 8, 577582 24 Hu L Y., and Zhang Z M (2013) Statistical properties of coherent photon-added two-mode squeezed vacuum and its inseparability J Opt Soc Am B, 30, 518-529 25 Opatrný T., Kurizki G., and Welsch D.G (2000) Improvement on teleportation of continuous variables by photon subtraction via conditional measurement Phys Rev A, 61, 032302(1-7) 26 Olivares S., Paris M.G.A., and Bonifacio R (2003) Teleportation improvement by inconclusive photon subtraction Phys Rev A, 67, 032314(1-5) 27 Chunqing H., and Hong L (2000) Statistical properties of photonadded and photon-subtracted pair coherent state Acta Photonica Sinica, 29, 481-486 28 Duc T.M., Chuong H.S., and Dat T.Q (2021) Detecting nonclassicality and non-Gaussianity by the Wigner function and quantum teleportation in photon-added-and-subtracted two modes pair coherent state J Comput Electron., 20, 2124-2134 100 29 Dat T.Q, and Duc T.M (2022) Entanglement, nonlocal features, quantum teleportation of two-mode squeezed vacuum states with superposition of photon-pair addition and subtraction operations Optik, 257, 168744 30 Duc T.M., Dat T.Q., and Chuong H.S (2020) Quantum entanglement and teleportation in superposition of multiple-photon-added two-mode squeezed vacuum state Int J Mod Phys B, 34, 2050223(1-9) 31 Wang S., Hou L.L et al (2015) Continuous-variable quantum teleportation with non-Gaussian entangled states generated via multiplephoton subtraction and addition Phys Rev A, 91, 063832(1-12) 32 Hoai N.T.X., and Duc T.M (2016) Nonclassical properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed states Int J Mod Phys B, 30, 1650032 (1-15) 33 An N.B., and Duc T.M (2002) Trio coherent state J Opt B: Quantum Semiclass Opt., 4, 80-85 34 Duc T.M., and Dat T.Q (2020) Enhancing nonclassical and entanglement properties of trio coherent states by photon-addition Optik, 210, 164479 (1-11) 35 Dat T.Q., and Duc T.M (2020) Nonclassical properties of the superposition of three-mode photon-added trio coherent state Int J Theor Phys., 59, 3206-3216 36 Jaynes E.T., and Cummings F.W (1963) Comparison of Quantum and Semiclassical Radiation Theory with Application to the Beam Maser Proc IEEE., 51, 89-109 101 37 Gerry C.C., and Welch R.F (1992) Dynamics of a two-mode twophoton Jaynes–Cummings model interacting with correlated SU(1, 1) coherent states J Opt Soc Am B 9, 290-297 38 Gou S.C (1989) Quantum behavior of a two-level atom interacting with two modes of light in a cavity Phys Rev A, 40, 5116-5128 39 Gou S.C (1990) Dynamics of the two-mode Jaynes-Cummings model modified by Stark shifts Phys Lett A, 147, 218-222 40 Gou S.C (1990) Time Evolution of a Two-mode Jaynes-Cummings Model in the Presence of Pair-coherent States J Mod Opt., 37, 14691486 41 Singh S (1982) Fie1d statistics in some generalized Jaynes-Cummings models Phys Rev A, 25, 3206-3216 42 Sukumar C.V., and Buck B (1981) Multi-photon generalisation of the JaynesCummings model Phys Lett A, 83, 221 43 Puri R.R., and Agarwal G.S (1988) Coherent two-photon transitions in Rydberg atoms in a cavity with finite Q Phys Rev A, 37, 38793883 44 Puri R.R., and Bullough R.K (1988) Quantum electrodynamics of an atom making two-photon transitions in an ideal cavity J Opt Soc Am B, 5, 2021-2028 45 Gantsog T.S., and Tanas R (1991) Phase properties of pair coherent states Opt Commun., 82, 145-152 46 Gou S.C (1993) Characteristic oscillations of phase properties for pair coherent states in the two-mode Jaynes-Cummings-model dynamics Phys Rev A 48, 3233-3241 102 47 Joshi A., and Puri R.R (1987) Effects of the Binomial Field Distribution on Collapse and Revival Phenomena in the Jaynes-Cummings Model J Mod Opt., 34, 1421-1431 48 Joshi A., and Lawande S.V (1989) The effects of negative binomial field distribution on Rabi oscillations in a two-level atom Opt Commun., 70, 21-24 49 Joshi A., and Puri R.R (1990) Effects of atomic coherence on a rydberg atom undergoing a two-photon transition in a lossless cavity Opt Commun 75, 189-196 50 Joshi A., and Puri R.R (1990) Characteristics of Rabi oscillations in the two-mode squeezed state of the field Phys Rev A 42, 4336-4342 51 Puri R.R., and Agarwal G.S (1988) Coherent two-photon transitions in Rydberg atoms in a cavity with finite Q Phys Rev A, 37, 38793883 52 Duc T.M., and Nha D.H (2004) Dynamical properties of the trio coherent states in the two-mode Jaynes-Cummings-model Proceedings of the Ninth Asia Pacific Physics Conference, Hanoi, Vietnam, October, 25-31 53 An N.B (2005) Dynamics of the field in trio coherent states interacting with an atom via multi-photon transitions J Korean Phys Soc., 47 (1), 54-62 54 Nguyễn Thị Xuân Hoài (2016) Nghiên cứu tính chất phi cổ điển, dị tìm đan rối viễn tải lượng tử số trạng thái phi cổ điển Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 103 55 Stoler D (1970) Equivalence Classes of Minimum Uncertainty Packets I Phys Rev D, 1, 3217-3219 56 Kimble H.J., and Walls D.F (1987) Special issue on squeezed state of the electromagnetic field J Opt Soc Am B, 4, 1453 - 1737 57 Agarwal G S (1986) Generation of pair coherent sates and squeezing via the competion of four-wave mixing and amplified spontaneous emission Phys Rev Lett., 57, 827 - 830 58 Trương Minh Đức (2005) Trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt, trạng thái quạt, trạng thái kết hợp ba tính chất phi cổ điển chúng Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Hà Nội 59 Trần Quang Đạt (2021) Nghiên cứu tính chất ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 60 Sudarshan E.C.G (1963) Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams Phys Rev Lett., 10, 277-279 61 Glauber R.J (1963) Photon correlations Phys Rev Lett., 10, 84-86 62 Barnett S.M., and Radmore P.M (1997) Method in theoretical quantum optics, Oxford University Press 63 Gerry C.C., and Knight P.L (2005) Introductory quantum optics, Cambridge University press 64 Scully M.O., and Zubairy M.S (2001) Quantum Optics, Cambridge University Press, New York 104 65 Kim M.S (2008) Recent developments in photon-level operations on travelling light fields J Phys B: At Mol Opt Phys., 41, 133001 (1-18) 66 Glauber R.J (1963) Coherent and Incoherent States of the Radiation Field Phys Rev B, 131, 2766-2788 67 Agarwal G.S., and Tara K (1991) Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state Phys Rev A, 43, 492-497 68 Zavatta A., Viciani S., and Ballini M (2004) Quantum to classical transition with single-photon-added coherent states of light Science, 306, 660-662 69 Hong L., and Guang-can G (1999) Nonclassical properties of photonadded pair coherent states Acta Phys Sin (Overseas Edn), 8, 577582 70 Yuan H.C., Xu X.X., and Fan H.Y (2009) Statistical Properties of the Generalized Photon-Added Pair Coherent State Int J Theor Phys., 48, 3596-3606 71 An N.B., and Duc T.M (2002) Generation of three-mode nonclassical vibrational states of ions Phys Rev A, 66, 065401 (1-3) 72 Janszky J., Koniorczyk M and Gábris A (2001) One-complex-plane representation approach to continuous variable quantum teleportation Phys Rev A, 64, 034302 (1-4) 73 Rempe G., Walther H., and Klein N (1987) Observation of quantum collapse and revival in a one-atom maser Phys Rev Lett., 58, 353356 105 74 Abdel-Aty M., Furuichi S., and Obada A-S.F (2002) Entanglement degree of a nonlinear multiphoton Jaynes-Cummings model J Opt B: Quantum Semiclas Opt., 4, 37-43 75 Shore B.W., and Knight P.L (1993) Topical Review The Jaynes Cummings model J Mord Opt., 40, 1195-1238 76 Abdalla M.S , Abdel-Aty M., and Obada A-S.F (2003) Entropy and entanglement of time dependent two-mode Jaynes-Cummings model Physica A, 326, 203-219 77 Obada A-S.F., Heissian H.A., and Mohamed A.B.A (2008) Effect of phase-damped cavity on dynamics of tangles of a nondegenerate two-photon JC model Opt Commun 281, 5189-5193 78 Peixoto de Faria J.G., and Nemes M.C (2004) Aspects of the dynamics of a two-level atom dispersively coupled to a damped and driven field mode Phys Rev A, 69, 01-11 79 Puri R.R (2001) Mathematical Methods of Quantum Optics Springer, Berlin 80 Agarwal G.S., and Biswas, A (2005) Quantitative measures of entanglement in pair coherent states J Opt B: Quantum Semiclass Opt., 7, 350-361 81 Gou S.C (1990) Time evolution of a two-mode Jaynes-Cummings model in the presence of pair-coherent states J Mod Opt., 37, 14691486 82 Thanh L.T.H., and Duc T.M (2022) Dynamical properties of the field in generalized photon-added pair coherent state Int J Theor Phys., 61, (1-13) 106 83 Pathak A., and Garcia M (2000) Control of higer order antibunching Appl Phys B, 84, 479-484 84 Lê Thị Hồng Thanh Trương Minh Đức (2022) Các tính chất động lượng tử trạng thái kết hợp ba thêm photon mơ hình Jaynes-Cummings hai mode Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên, 131 (1C) 85 Genoni M.G., Palma M.L et al (2013) Detecting quantum nonGaussianity via the Wigner function Phys Rev A, 87, 062104 86 Walschaers M., Fabre C., Parigi V., and Treps N (2017) Entanglement and Wigner function negativity of multimode non-Gaussian states Phys Rev Lett., 119, 183601 87 Peixoto J.G., and Nemes M.C (1999) Dissipative dynamics of the Jaynes-Cummings model in the dispersive approximation: Analytical results Phys Rev A, 59, 3918-3925 88 Tavassoly M.K., Daneshmand R., and Rustaee N (2018) Entanglement dynamics of linear and nonlinear interaction of two two-level atoms with a quantized phase-damped field in the dispersive regime Int J Theor Phys., 57, 1645-1658 89 Le Thi Hong Thanh, Ho Sy Chuong and Truong Minh Duc (2022) Enhancement of dynamical entanglement in a dispersive two-mode Jaynes-Cummings model via superposition of photon-added pair coherent state Opt Quant Electron (Submitted) 90 Bennett C.H., Brassard G., Crépeau C., Jozsa R., Peres A., and Wootters W K (1993) Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Enstein-Podolsky-Rosen channels Phys Rev Lett., 70(13), 1895-1899 107 91 Cardoso W.B., Avelar A.T., Baseia B., and de Almeida N.G (2005) Teleportation of entangled states without Bell-state measurement Phys Rev A, 72 (4), 045802 92 dSouza A.D., Cardoso W.B et al (2009) A note on approximate teleportation of an unknown atomic scale in the two-photon JaynesCummings model Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 388, 1331-1336 93 Bouwmeester D., Pan J.W., Mattle K., Eibl M., Weinfurter H., and Zeilinger A (1997) Experimental quantum teleportation Nature, 390, 575-581 94 Metwally N., Abdelaty M., and Obada A.-S.F (2005) Entangled states and information induced by the atom-field interaction Opt Commun., 250, 148-156 95 dSouza A.D, Cardoso W.B, Avelar A.T., and Baseia B (2011) Teleportation of entangled states without Bell-state measurement via a two-photon Opt Commun., 284, 1086-1089 96 Zheng S.-B (1999) Teleportation of atomic states via resonant atomfield interaction Opt Commun., 167, 111-113 97 Liu J.M., and Weng B (2006) Approximate teleportation of an unknown atomic state in the two-photon Jaynes-Cummings model Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 367, 215-219 98 Horodecki M., Horodecki P., and Horodecki R (1999) General teleportation channel, singlet fraction, and quasidistillation Phys Rev A, 396, 1888-1898 108 99 Le Thi Hong Thanh, Phan Ngoc Duy Tinh and Truong Minh Duc (2022) Quantum teleportation of entangled states via generalized photon-added pair coherent state DaLat University Journal of Science (Accepted) 109 PHỤ LỤC P1 Chứng minh biểu thức (3.3) Nqkl hệ số chuẩn hóa, xác định từ điều kiện chuẩn hóa (P.1) ⟨ξ, q; k, l|ξ, q; k, l⟩ = Ta có ⟨ξ, q; k, l|ξ, q; k, l⟩ = |Nqkl | ∞ n,m=0 ξ ∗n [n!(n + q)!]1/2 (n + q + k)! (n + q)! n + q + k, n σ (n + l)! ξ ∗n √ + n + q, n + l 1/2 [n!(n + q)!] n! × ξm [m!(m + q)!]1/2 (m + q + k)! (m + q)! m + q + k, m σ (m + l)! ξm √ + m + q, m + l [m!(m + q)!]1/2 m! = |Nqkl | + + ∞ |ξ n |2 (n + q + k)! |ξ n |2 σ (n + l)! + n![(n + q)!]2 (n!)2 (n + q)! n=0 ∞ ∗n m ξ ξ σ n,m=0 ∞ n,m=0 , (n + q + k)!(m + l)! (n + q)!m! ξ ∗n ξ m σ n!(m + q)! (m + q + k)!(n + l)! (m + q)!n! m!(n + q)! δn+k,m δn,m+l δm+k,n δm,n+l (P.2) Do q, k, l số nguyên dương nên số delta Kronecker biểu thức xảy hai trường hợp k = l = k, l ̸= Khi k = l = 0, ta có ∞ (1 + σ)2 =1 ⟨ξ, q; 0, 0|ξ, q; 0, 0⟩ = |Nq00 | |ξ| n!(n + q)! n=0 ⇒ Nq00 = ∞ n=0 P.1 2n |ξ|2n (1 + σ)2 n!(n + q)! −1/2 (P.3) Khi k, l ̸= 0, ta có ⟨ξ, q; k, l|ξ, q; k, l⟩ = |Nqkl | ∞ n=0 |ξ|2n σ (n + l)! (n + q + k)! + n![(n + q)!]2 (n!)2 (n + q)! =1 ∞ ⇒ Nqkl = n=0 (n + q + k)! σ (n + l)! |ξ|2n + n!(n + q)! (n + q)! n! −1/2 (P.4) Trường hợp tổng quát, ta viết lại hệ số chuẩn hóa sau Nqkl = ∞ n=0 (n + q + k)! σ (n + l)! |ξ|2n + + 2σδk,l,0 n!(n + q)! (n + q)! n! (P.5) P2 Chứng minh biểu thức (3.9) Thay ρˆab từ (3.8) vào (3.7), thu 4e2(|αa | +|αb | W = π4 ∞ ) ∗ Cs,n Cr,m (−1)as +bs (m + ar )!(m + br )!(n + as )!(n + bs )! n,m=0 r,s=1 d2 γa d2 γb e2(γa αa +γb αb −γa αa −γb αb ) e−|γa | ∗ × ∗ ∗ ∗ −|γb |2 ∗ n+as ∗ n+bs m+ar m+br γa γb γb γa (P.6) biểu thức (P.6) có dạng sau 4e2(|αa | +|αb | W = π2 × × π ) ∞ ∗ (−1)as +bs Cs,n Cr,m n,m=0 r,s=1 (m + ar )!(m + br )!(n + as )!(n + bs )! d2 γa e2(γa αa −γa αa ) e−|γa | γ ∗a n+as γa m+ar ∗ ∗ π d2 γb e2(γb αb −γb αb ) e−|γb | γ ∗b n+bs γb m+br ∗ 4e2(|αa | +|αb | = π2 ∗ ) ∞ ∗ (−1)as +bs Ja Jb Cs,n Cr,m n,m=0 r,s=1 (m + ar )!(m + br )!(n + as )!(n + bs )! , (P.7) P.2 chúng tơi đặt Ja = Jb = π π d2 γa e2(γa αa −γa αa ) e−|γa | γ ∗a n+as γa m+ar , ∗ d ∗ (P.8) ∗ ∗ γb e2(γb αb −γb αb ) e−|γb | γ ∗b n+bs γb m+br Chúng tơi khảo sát tích phân xác định J= π d2 β e−|β| +αβ ∗ (β ∗ )q (P.9) e−α β β l ∗ Bằng cách sử dụng tích phân phức π d2 βe−|β| +αβ ∗ (β ∗ )n [f (β)] = (∂/∂α)n [f (α)] , (P.10) tích phân biểu thức (P.9) cho sau (P.11) J = (∂/∂α)q e−α α αl ∗ Từ định nghĩa đa thức Laguerre Lin (z) z −i ez = (d/dz)n (e−z z n+i ), n! (P.12) đặt |α|2 = y, ta có α = y/α∗ (∂/∂α)q = (α∗ )q (∂/∂y)q Vì tích phân biểu thức (P.9) có dạng J = q!(−|α|2 )−q Lq−(−l)−q (|α|2 )(−1)q αl (α∗ )q e−|α| (P.13) Sử dụng mối tương quan hàm Laguerre hàm siêu bội F0 (−n, b; ; −1/z) (z), = n!(−z)−n L−b−n n (P.14) ta có J = (−1)q αl (α∗ )q e−|α| F0 (−q, −l; ; −1/|α|2 ) Từ biểu thức (P.14) tích phân biểu thức (P.7) ta có Ja Jb = (−1)as +bs e−|2αa | −|2αb |2 (2αa 2αb )m (2αa∗ 2αb∗ )n × (2αa )ar (2αa∗ )as (2αb )br (2αb∗ )bs P.3 (P.15) ×2 F0 −n − as , −m − ar ; ; −1/|2αa |2 ×2 F0 −n − bs , −m − br ; ; −1/|2αb |2 = (−1)as +bs e−|2αa | −|2αb |2 (2 |αa |)m+n+ar +as (2 |αb |)m+n+br +bs × ei(m−n)(ϕa +ϕb ) ei(ar −as )ϕa ei(br −bs )ϕb ×2 F0 −n − as , −m − ar ; ; −1/|2αa |2 ×2 F0 −n − bs , −m − br ; ; −1/|2αb |2 (P.16) Thay (P.16) vào (P.7), hàm Wigner xác định sau 4e−2|αa | −2|αb | W = π2 ∞ ∗ Cs,n Cr,m (2 |αa |)m+n+ar +as (2 |αb |)m+n+br +bs n,m=0 r,s=1 (m + ar )!(m + br )!(n + as )!(n + bs )! × ei(m−n)(ϕa +ϕb ) ei(ar −as )ϕa ei(br −bs )ϕb ×2 F0 −n − as , −m − ar ; ; −1/|2αa |2 ×2 F0 −n − bs , −m − br ; ; −1/|2αb |2 (P.17) Chú ý ξ = |ξ|eiφ , αx = |αx |eiϕx với x = {a, b} thành phần ảo hàm Wigner (P.17) bị triệt tiêu, hàm Wigner (P.17) trở thành 4e−2|αa | −2|αb | W = π2 ∞ n,m=0 r,s=1 |Cs,n | |Cr,m | (4 |αa αb |)m+n |2αa |ar +as |2αb |br +bs (m + ar )!(m + br )!(n + as )!(n + bs )! ×2 F0 −n − as , −m − ar ; ; −1/|2αa |2 F0 −n − bs , −m − br ; ; −1/|2αb |2 × cos [(m − n + ar − as ) φa + (m − n + br − bs ) φb − (m − n) ϕ] P.4 (P.18)