Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 4 CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A Kiến thức cần nhớ 1 Căn bậc ba a) Định nghĩa Căn bậc ba của một số a, hầy Thưởng tư vấn, học sinh nên vạch ra lộ trình học với ba giai đoạn cụ thể: Giai đoạn 1 Trang bị kiến thức nền tảng: Học và nắm chắc kiến thức nền tảng tổng quan chương trình Toán lớp 9. Giai đoạn này cần được bắt đầu ngay từ kỳ nghỉ hè vì việc xuất phát sớm sẽ giúp các em có thêm nhiều thời gian cho giai đoạn cuối ôn luyện tổng hợp và luyện đề. Nếu học nhanh và đúng lộ trình, đến khoảng hết học kỳ 1 (tháng 12), học sinh có thể hoàn thành chương trình Toán lớp 9 và bắt đầu bước vào giai đoạn tiếp theo. Giai đoạn 2 Tổng ôn theo từng chuyên đề (tháng 1, 2): Việc ôn luyện theo từng chuyên đề sẽ giúp các em cải thiện các vấn đề còn vướng mắc trong quá trình học. Học sinh cũng có thể vừa tổng ôn kiến thức, vừa luyện đề sớm khi đã đảm bảo họckí hiệu là số x sao cho ( Cho ( Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba ( Nếu thì ( Nếu t.
Chuyên đề CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A Kiến thức cần nhớ Căn bậc ba a) Định nghĩa: Căn bậc ba số a, kí hiệu Cho a ∈ ¡ , a = x ⇔ x = ( a) 3 a , số x cho x = a =a Mỗi số thực a có bậc ba Nếu a > a >0 Nếu a = a =0 Nếu a < a 0 Nếu a = k +1 a =0 Nếu a < k +1 a có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a), bậc chẵn âm kí hiệu − 2k a a = x ⇔ x ≥ x 2k = a 2k − k a = x ⇔ x ≤ x 2k = a Mọi số a < khơng có bậc chẵn b) Tính chất bậc n ( n ∈ ¥ ; n ≥ 2.) n Am = nk Amk ( 1) ( A ≥ 0, k , m ∈ ¥ * ) A = mn A ( ) ( A ≥ 0, m ∈ ¥ , m ≥ ) m n n AB = n A n B n A = B ( A) n m n n A B ( 3) ( A ≥ 0, B ≥ ) ( ) ( A ≥ 0, B > ) = n Am ( ) ( A > 0, m ∈ ¥ * ) Ứng dụng: - Công thức (1 ) dùng để hạ bậc thức quy đồng số thức - Công thức (2) dùng để khai thức - Công thức (3) dùng để khai tích, nhân thức số, để đưa thừa số vào dấu - Công thức (4) dùng để khai thương chia thức số, để khử mẫu biểu thức lấy - Công thức (5) dùng để nâng thức lên lũy thừa B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính: a) 54 : b) + 37 − 37 Giải Tìm cách giải Để thực phép tính nhân bậc ta sử dụng tính chất A B = A.B Trình bày lời giải a) 54 : = 54 : = 27 = b) + 37 − 37 = = 64 − 37 = 27 = 3 (8+ )( 37 − 37 ) Ví dụ 2: Rút gọn A = 26 + 15 + 26 − 15 Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng ( ) a ± b c ta viết biểu thức dạng: x ± y , ta ý tới đẳng thức: ( x±y ) = x x ± 3xy + y x ± y Do ta xác định x y thông qua xy + y = a; x + y = b, lưu ý x = c chẳng hạn 3 26 + 15 ta chọn x y theo xy + y = 26; x + y = 15 x = suy ra: y = Trình bày lời giải: Ta có: A = + 12 + 18 + 3 + − 12 + 18 − 3 A= ( + 3) ( + 2− ) = 2+ +2− = Ví dụ 3: Rút gọn B = + 84 84 + 1− 9 Giải Tìm cách giải Bài thú vị khó ví dụ trước, đưa dạng ( ) x ± y Do đó, để tính giá trị biểu thức có dạng B = a + b + a − b nghĩ tới việc lập phương hai vế sử dụng đẳng thức ( x + y ) = x + y + xy ( x + y ) sau phân tích đa thức thành nhân tử tìm B Trình bày lời giải Áp dụng đẳng thức ( a + b ) = a + b3 + 3ab ( a + b ) ta có: B3 = + 84 84 84 84 +1− + 3 + − ÷ ÷.B 3 ÷ ÷ B = + 3B − 84 = 2− B 81 B + B − = ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + > Suy B = Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: Q = ( 3x − x − x= ( ) 2020 , biết: ) 26 + 15 − 3 + 80 + − 80 Giải Tìm cách giải Bản chất toán rút gọn x Quan sát biếu thức x, nhận thấy trước hết cần rút gọn bậc ba tử thức mẫu thức trước Bằng kỹ thuật hai ví dụ trên, biến đổi 26 + 15 cách đưa hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt a = + 80 + − 80 xác định a Sau xác định x Trình bày lời giải Xét a = + 80 + − 80 ( )( ) ⇔ a = + 80 + − 80 + 3 + 80 − 80 a ⇔ a = 18 + 3 81 − 80.a ⇔ a = 18 + 3a ⇔ a − 3a − 18 = ⇔ a − 27 − 3a + = ⇔ ( a − 3) ( a + 3a + ) = 15 Ta có a + 3a + = a + ÷ + > nên a − = ⇔ a = 2 Do x= ( x= ( 3 + 18 + 12 + − 3 )( +2 2− 3 )= ( 3+2 ) ( − 3) 3 ) = 4−3 = 2020 1 Vậy Q = − − 1÷ 27 = ( −1) 2020 =1 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: Q = 10 ( ) 19 + 10 − Giải Tìm cách giải Nhận thấy nhân hai thức không bậc Do cần phải đưa bậc Dễ thấy 10 = 5.2, đưa bặc 10 bậc dựa theo công thức: biến đổi ( ) 10 A2 = A Với cách suy luận đó, 19 + 10 dạng bình phương biểu thức Trình bày lời giải Ta có Q = 10 ( ) 38 + 12 10 − ( ) ( ) Q = 10 + 5 − Q= 1 + 5 − = + − 2 Q= ( 18 − 20 ) = −1 = −1 ( )( ) 4 − 1+ Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức: T = + ÷ − ÷ 1− + 2 1+ 1+ Giải Tìm cách giải Bài tốn có nhiều yếu tố giống nhau, đặt biến nhằm đưa tốn đơn giản Với cách suy luận đặt (căn nhỏ nhất) a = 2; 4 = a = Từ có lời giải sau: Trình bày lời giải Đặt 4 2 = a a = 2; 4 = a = 2 2 Khi T = a − a + + a − ÷ a 1− a + a a 1+ a 1+ 1+ a2 a2 + 1 ⇒T = − a÷ − = − =0 a a ( 1+ a ) a a Vậy T = C Bài tập vận dụng x −1 x + x −1 +1 + : − 4.1 Cho biểu thức P = ÷ ÷ ÷ x − ÷ + x − 10 − x x − x − − a) Rút gọn biếu thức P b) Tính giá trị P x = 3+ 2 3− 2 − 3− 2 3+ 2 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x − = a biểu thức P có dạng: 2=a a a + 3a + 1 P= + : − ÷ ÷ + a − a a − a a a ( − a ) + a + 3a + − ( a + 3) P= : a ( a − 3) ( + a) ( − a) P= 3a − a + a + 3a + − a + : a ( a − 3) ( + a) ( − a) P= 3a + 2a + ( + a ) ( − a ) a(a − 3) 3(a + 3) a (a − 3) (3 + a)(3 − a) 2( a + 2) −3a P= ( a + 2) P= Vậy P = ( −3 x − x −1 + b) Ta có: x = x= ( ) +1 ( ) − 1) +1 ( − −1 Vậy P = ( ( ) −4 ) −1 −1 −3 − −1 + ) = ( ( ) + 1) −1 = +1 − −1 ) ( −1 = 2 −1 +1 = ( +1 − ) −3 −1 = 2.3 4.2 Tính giá trị biểu thức a) B = ( x3 + 12 x − ) 2020 , biết x = ( ) +1 − ( ) −1 3 b) C = x + ax + b, biết x = − b + b + a + − b + b + a 27 27 Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét x = ( ) ( +1 − ) − − 3 ( ) ( + ) − x x = − 12 x ⇒ x3 + 12 x − = Vậy B = 12020 = b b b2 b3 b b b3 b2 a3 b b a3 + − + + + 3 − + + + b) Xét x = − + ÷ − − ÷.x ÷ ÷ 27 27 27 27 b b2 a3 − − x 4 27 x = −b − ax ⇒ x + ax + b = x = −b + Vậy C = 4.3 Hãy tính giá trị biểu thức: P = x + x + với x = −1 − −1 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x = −1 − Xét x = − − ( = −1 ) + − 3 −1 − +1 ( )( ) −1 + x x = −2 − 3x ⇒ x + x + = Vậy P = 4.4 Hãy tính giá trị biểu thức: T = ( x + x − ) x= 17 − 38 + 14 − ( 2020 , biết 5+2 ) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x = x= ( 5+ x= 5 − 30 + 12 − + 9−6 +5 5−2 ( ) ( 5+2 ) 3− ) ( 5−2 +3− ) 5+2 = ( 5+2 ) 5−4 = 3 2020 Suy T = + − ÷ 27 = ( −1) 2020 =1 4.5 Cho x, y thỏa mãn x = y − y + + y + y + Tính giá trị biểu thức: A = x + x y + 3x + xy − y + Hướng dẫn giải – đáp số ( )( ) Xét x = y − y + + y + y + + 3 y − y + y + y + x x3 = y + 3 y − y − 1.x x = y − x ⇒ x + x − y = ( *) Ta có A = x + 3x − xy + x y + 3xy − y + A = x ( x + x − y ) + y ( x + 3x − y ) + Kết hợp với (*) suy A = ( 4.6 Tính giá tri biểu thức P = ( x + x − ) , với x = 2013 ) − 10 + 21 + + (Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số x= Ta có x= ( ) −1 3 + + 3 +1 20 + + + ( )( −1 )= +1 +1+ ( = ) ( ) −1 (2 +1 ) +1 + 3 −1 5−2 = = 5+4 5+2 ⇔ x + = ⇒ x2 + x + = ⇒ x2 + 4x = Vậy P = ( − ) 2013 = −1 4.7 Cho a > 0; a ≠ Rút gọn biểu thức: a −1 S = − 20 + 14 + ( a + 3) a − 3a − : − 1 2 a − (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có a +1 S = − + + 12 + 12 + 2 + a a − 3a + a − : − 1 ( − ) ( − ) + ( a − 1) : S = ( − ) ( + ) + ( a − 1) a −1 S= 3 3 a +1− 2 S = 4−2+2 = a − 3a + 4.8 Tính giá trị biểu thức: P = biết: a − 4a + 5a − a = 55 + 3024 + 55 − 3024 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số ( )( ) Xét a = 55 + 3024 + 55 − 3024 + 3 55 + 3024 55 − 3024 a a = 110 + 3 3025 − 3024.a ⇔ a − 3a − 110 = ⇔ a − 125 − 3a + 15 = ⇔ ( a − ) ( a + 5a + 25 ) − ( a − ) = ⇔ ( a − ) ( a + 5a + 22 ) = 63 Nhận xét: a + 5a + 22 = a + ÷ + > nên a − = ⇒ a = 2 Từ suy P = 53 − 3.5 + 112 = = − 4.5 + 5.5 − 48 4.9 Rút gọn biểu thức: T = ( ) + 48 − 28 − 16 + 48 − − Hướng dẫn giải – đáp số ( 4 Ta có T = + + − 4 − + T = 2+ − 4 2− T = + − 2 − ( ) ( ( ( + 3) T= ( ) 4 ÷ + ( ) ÷ ) − 4+ +3 − 3− + ( 3− ( 3− ) ) ( 3− ) 2+ − )( ) ÷ − 2− 2+ − ) T = 2+ 3− − 3+ = 4.10 Tính giá trị biểu thức: M = 1+ 10 +1 : − + − − Hướng dẫn giải – đáp số Ta có M = M= 10 M =2 ( ( + 2) ) ( − + ) 10 ( 3+ ( 3 3+3 3 3 1+ − +1 − 1 + ) + 1 + 2 − 3+ − + 1 ) −1 −1 M = 3+ 4.11 Trục thức mẫu: a) 16 + 12 + b) 15 + + + 16 Hướng dẫn giải – đáp số a) b) ( 4−33 )( 4−33 16 + 12 + ) = 4−33 = 4−33 4−3 ( ) 15 − 15 = 2(1 + + 4 + ) 4 − + + 4 + ( )( ) = 15 ( −2 ( − 2) ) = 15 ( − ) 4.12 Làm phép tính: a) + − 2 c) 3 − 44 + 16 b) + − Hướng dẫn giải – đáp số ( ) + − 2 = + b) + − = c) 3 − 44 + 16 = 3 − + ( ) −1 a) = + −1 = −1 = + − = + − = − = −1 ( ) = 3 − 3 + = 4.3 − 16.2 = −20 = − 20 4.13 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a −1 1 Q = 20 + 14 − + ( a + ) a − 3a − : + 1 2 a +1 ( Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 13 20 + 14 − = 2 + 12 + 12 + − + 2 1 = +2 2− = + 2 − = ( − 2) = 2 ( ) ( Ta có: Ta có: ( a + 3) ( a −1 ) )( ) a − 3a − = a a − 3a + a − = ) a +1 +1 = Suy Q = + Q= ( ( ( ) a −1 = a −1 a −1 a +1 +1 = 2 a +1 a − ÷: ) a +1 a +1 : =1 2 4.14 Chứng minh ax3 = by = cz 1 + + = thì: x y z ax + by + cz = a + b + c Hướng dẫn giải – đáp số ) k k k ;b = ;c = , x y z Đặt ax = by = cz = k , suy a = Xét = ax + by + cz = k k k x + 3y + 3z x3 y z 1 1 k k k + + = k + + ÷ = k ( 1) x y z x y z Xét = 3 a+3b+3c = k k k +3 +3 3 x y z k k k 1 1 + + = k + + ÷= k ( 2) x y z x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 4.15 Chứng minh nếu: x + x y + y + x y = a thì: x2 + y2 = a2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ x + x y + y + x y = a , bình phương vế, ta có: x2 + x4 y + y + x2 y + (x + x4 y2 )(y ) + x2 y4 = a2 ⇔ x + x y + y + x y + x y + x y + x8 y + x y = a ⇔ x2 + x4 y + y + x2 y + ⇔ x2 + x4 y + y + x2 y + ( 3 x4 y2 + x2 y4 = a2 ⇔ x2 + x4 y + y + x2 y + ( x8 y + x y + x y = a x4 y2 + x2 y ) ) = a2 ⇔ x2 + 3 x4 y + 3 x2 y + y = a2 ⇔ ( x2 + y2 ) = a2 ⇔ x2 + y2 = a2 Điều phải chứng minh 4.16 Tính giá trị biểu thức: 2 1+ + 20202 − 2020 + 2020 2020 2020 A= + ÷ − ÷ − 2020 2020 + 2020 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 4 A= 1 + ÷ 2020 2020 − 1 + 2020 2020 ÷ + − − 2020 2020 ÷ + 2020 ( ) + 2020 A = − 2020 + ÷ 2020 ÷ 2020 − + 2020 1+ − 2020 + + 2020 A = ÷ ÷ − 2020 ( ) 2020 + : 2020 + 2020 1 A= = − =0 ÷ − 2020 2020 2020 2020 4.17 Cho x = + 3 + Tính giá trị biểu thức: P = ( x − x − x − 3) 1945 + 2020 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x ( ) ( −1 = )( −1 ) + 3 +1 = −1 = x 3 = x + ⇒ 3x = x + x + 12 x + ⇔ x − 3x − x = Suy P = 11915 + 2020 = 2021 4.18 Rút gọn biểu thức: A= + − 31 − 21 − ÷: ( +7 − −7 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: = + − 31 − 21 − = 3+2− (3 ) −1 3−2 + − 3 + − = −1 Ta có: +7 − −7 = = +1− +1 = Do A = −1 ( +1 − ( ) ) − )