Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Tính đơn điệu hàm số cho công thức 1.1 (Đề minh họa 2016) Hỏi hàm số y = 2x4 + đồng Åbiến ã khoảng nào? Å ã 1 D − ; +∞ A (−∞; 0) B (0; +∞) C −∞; − 2 Lời giải Ta có y0 = 8x3 ; y0 = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y0 y +∞ − +∞ + +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (0; +∞) Chọn phương án B  1.2 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = x3 + 3x + Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) nghịch biến khoảng (0; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) đồng biến khoảng (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Lời giải Ta có y0 = 3x2 + > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) nên hàm số đồng biến (−∞; +∞) Chọn phương án D  x−2 1.3 (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số y = Mệnh đề đúng? x+1 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) B Hàm số nghịch biến khoảng (−1; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) Lời giải Ta có y0 = > 0, ∀x ∈ R\{−1} nên hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (x + 1)2 Chọn phương án A  1.4 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số x3 − 2x2 + x + Mệnh đề đúng? Åy = ã A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu Å C Hàm số đồng biến khoảng ã ;1 Å ã D Hàm số nghịch biến khoảng −∞; Lời giải  Ta có y0 = 3x2 − 4x + 1; y0 = ⇔  x x=1 Bảng biến thiên x= 3 −∞ + y0 +∞ − +∞ 31 27 y −∞ Å Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng ã ;1 Chọn phương án A  1.5 (Đề thức 2017) Hàm số y = nghịch biến khoảng đây? x +1 A (−∞; +∞) B (−∞; 0) C (−1; 1) D (0; +∞) Lời giải 4x C1: Ta có y0 = −
2 ; y = ⇔ x = Bảng biến thiên x +1 x −∞ + y0 +∞ − y 0 Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến (0; +∞) Chọn Start −2, End 2, Step 0,5 +1 Dò cột f (x) ta thấy hàm số đồng biến (−2; 0) nghịch biến (0; 2) Từ suy hàm số nghịch biến (0; +∞) Chọn phương án D  1.6 (Đề tham khảo 2017) Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞)? x−2 A y = 2x3 − 5x + B y = C y = 3x3 + 3x − D y = x4 + 3x2 x+1 Lời giải x−2 x−2 Loại phương án y = hàm số y = khơng xác định x = −1 x+1 x+1 Loại phương án y = x4 + 3x2 hàm số trùng phương đồng biến khoảng (−∞; +∞) Chọn phương án y = 3x3 + 3x − ta có y0 = 9x2 + > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) Chọn phương án C  C2: Sử dụng máy tính, chọn MODE Nhập vào hàm x2 Tính đơn điệu hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.7 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (0; 1) D (1; +∞) x −∞ + y0 0 − y −∞ −1 +∞ + − −∞ Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Lời giải Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn phương án C  1.8 (Đề thức 2019) Cho hàm số x −∞ −2 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm f (x) + − − số cho nghịch biến khoảng 0 đây? +∞ A (0; +∞) B (2; +∞) f (x) C (0; 2) D (−2; 0) Lời giải Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; 2) Chọn phương án C 1.9 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = x −∞ −2 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm y0 + + − số y = f (x) nghịch biến khoảng 0 đây? A (−∞; −2) B (−2; 0) y −∞ −1 C (0; +∞) D (0; 2) Lời giải Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến hai khoảng (−2; 0) (2; +∞) Chọn phương án B 1.10 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (−1; 1) C (0; 1) D (−∞; −1) x −∞ f (x) f (x) −1 − +∞ f (x) f (x)  +∞ − −∞  +∞ − 0 −∞ −1 + −1  +∞ + +∞ −2  − + +∞ −∞ −1 Lời giải Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến khoảng (1−; 0) (1; +∞) Chọn phương án C 1.11 (Đề thức 2018) Cho hàm số y = x −∞ −1 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm y0 + − − số cho nghịch biến khoảng 0 đây? +∞ A (−1; 0) B (−∞; 0) y −2 C (0; 1) D (1; +∞) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn phương án C x +∞ −1 Lời giải Từ bảng biến thiên, suy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn phương án A 1.12 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−∞; 0) B (0; 1) C (−1; 0) D (−∞; −1) + 0 + +∞ +∞ + − −∞  §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu 1.13 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (−∞; −1) D (0; 1) y −1 O −1 x −2 Lời giải Từ hình vẽ, dễ thấy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn phương án B  1.14 (Đề thức 2020) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (1; +∞) y −1 O x Lời giải Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn phương án B  Tính đơn điệu hàm số hợp 1.15 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (2 − x) đồng biến khoảng A (−2; 1) B (1; 3) C (2; +∞) D (−∞; −2) y −1 O Lời giải Xét hàm số y = f (2 − x) ta có y0 = − f (2 − x) Hàm số đồng biến (a; b) y0 >ñ 0, ∀x ∈ (a; b) ⇔ fñ(2 − x) < 0, ∀x ∈ (a; b) − x < −1 x>3 Nhìn vào đồ thị ta thấy f (2 − x) < ⇔ 1 nên suy y0 > 0, ∀x ∈ (−1; 0) Chọn phương án C  1.18 (Đề thức 2018) Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) Hai hàm số y = f (x) y = g0 (x) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị củaÅhàm sốãy = g0 (x) Hàm đồng biến số h(x) = f (x + 4) − g 2x − khoảngÅ ã đây? Å ã 25 A 6; B ;3 Å ã Å4 ã 31 31 C ; +∞ D 5; 5 y y = f (x) 10 O 10 11 x y = g0 (x) Lời giải Å ã Ta có h (x) = f (x + 4) − 2g 2x − Xét x = 6,1, ta có h0 (6,1) = f (10,1) − 2g0 (10,7); từ đồ thị ta có f (10,1) < f (10) = 2g0 (10,7) > 2g0 (11) = ⇒ h0 (6,1) < nên loại phương án A D Xét x = 6,25, ta có h0 (6,25) = f (10,25) − 2g0 (11); từ đồ thị ta có f (10,25) < f (10) = 2g0 (1) = ⇒ h0 (6,25) < nên loại phương án C Chọn phương án B  0 11 §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 1.19 (Đề tham khảo 2020) Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f (x) = x + mx2 + 4x + đồng biến R? A B C D Lời giải Ta có y0 = x2 + 2mx + 4; ∆0 = m2 − Hàm số cho đồng biến R ® ® 1>0 a>0 ⇔ −2 m ⇔ ∆0 m2 − Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn phương án B  1.20 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = −x − mx + (4m + 9)x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải Ta có y0 = −3x2 − 2mx + 4m + 9; ∆0 = m2 + 3(4m + 9) = m2 + 12m + 27 Hàm số nghịch biến (−∞; +∞) ∆0 ⇔ m2 + 12m + 27 ⇔ −9 m −3 Suy có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến (−∞; +∞) Chọn phương án A 
2 1.21 (Đề tham khảo 2017) Hỏi có số nguyên m để hàm số y = m − x + (m − 1)x − x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải TH1: m = ta có y = −x + nên nghịch biến (−∞; +∞) (thỏa mãn ycbt) TH2: m = −1 ta có y = −2x2 − x + có đồ thị parabol nên khơng thể nghịch biến (−∞; +∞) (không thỏa mãn ycbt) TH3: m , ±1 ta có y0 = 3(m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x − Do hàm số nghịch biến (−∞; +∞) m2 − < Vì m ∈ Z nên m = Với m = ta có y0 = −3x2 − 2x − có ∆0 = − = −2 < nên hàm số nghịch biến (−∞; +∞) (thỏa mãn ycbt) Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn phương án B Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax + b cx + d 1.22 (Đề thức 2020) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y =  x+4 đồng x+m biến khoảng (−∞; −7) A (4; +∞) B [4; 7) C (4; 7) D (4; 7] Lời giải Tập xác định D = R \ {−m} m−4 Ta có y0 = (x + m)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −7) ® ® ® m−4>0 m>4 m>4 y > 0, ∀x ∈ (−∞; −7) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < m − m < (−∞; −7) − m > −7 m67 Vậy m ∈ (4; 7] Chọn phương án D  12 Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 1.23 (Đề thức 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = biến khoảng (−∞; −10)? A B Lời giải C Vô số x+2 đồng x + 5m D 5m − (x + 5m)2 Hàm số đồng biến (−∞; −10) Tập xác định D = R \ {−5m}; y0 = ® y0 > 0, ∀x ∈ (−∞; −10) ⇔ − 5m < (−∞; −10) ®  m > 5m − > ⇔ < m ⇔  − 5m > −10 m62 Vì m ∈ Z nên m ∈ {1; 2} Vậy, có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn phương án D  mx − (m tham số thực) Có giá trị x−m nguyên m để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C D Lời giải Tập xác định D = R \ {m} −m2 + Ta có f (x) = (x − m)2 Hàm số cho đồng biến (0; +∞) 1.24 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) = ® f (x) > 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ − m2 + > ⇔ m < (0; +∞) ® −2 0, ∀x ∈ 0; π     tan x , m, ∀x ∈ 0; π ⇔ 2 − m > ® m < (0; 1) ⇔ m , ta có f (x) = ln(2x − 1) + C, f (1) = ⇔ C = 2 Với x < , ta có f (x) = ln(1 − 2x) + C, f (0) = ⇔ C =    ln(2x − 1) + x > Do f (x) =   ln(1 − 2x) + x < Từ suy f (−1) + f (3) = ln + + ln + = + ln 15 Chọn phương án D  Phương pháp nguyên hàm phần 5.19 (Đề tham khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) A 2x2 ln x + 3x2 B 2x2 ln x + 3x2 + C C 2x2 ln x + x2 + C D 2x2 ln x + x2 Lời giải Loại phương án 2x2 ln x + 3x2 2x2 ln x + x khơng có C ® Z  du = dx u = + ln x x Gọi I = 4x (1 + ln x) dx Đặt ⇒  dv = 4x dx v = 2x2 Z Ta có I = 2x2 (1 + ln x) − 2x dx = 2x2 + 2x2 ln x − x2 + C = 2x2 ln x + x2 + C Chọn phương án C  5.20 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) = √ g(x) = (x + 1) f (x) 106 x x2 + Họ tất nguyên hàm hàm số Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng x+2 x2 + 2x − 2x2 + x + x−2 + C B + C C √ + C D √ + C √ √ x2 + 2 x2 + x2 + x2 + Lời ® giải ® u= x+1 du = dx Đặt ⇒ , ta có dv = f (x)dx v = f (x) Z Z Z x2 + x x2 + x x − dx = √ − I1 g(x) dx = (x + 1) f (x) − f (x) dx = √ √ x2 + x2 + x2 + √ Đặt u = x2 + ⇔ u2 = x2 + ⇒ udu = xdx, ta có Z √ I1 = · u du = u + C = x2 + + C u Z √ x−2 x +x − x2 + + C = √ + C Vậy g(x) dx = √ x +2 x2 + Chọn phương án D  2x 5.21 (Đề thức 2017) Cho F(x) = x nguyên hàm hàm số f (x)e Tìm nguyên hàm 2x hàm Z số f (x)e Z 2x A f (x)e dx = −x + 2x + C B f (x)e2x dx = −2x2 + 2x + C Z Z 2x C f (x)e dx = 2x − 2x + C D f (x)e2x dx = −x2 + x + C A Lời giải follow ig cn.1203 chưa z Theo®giả thiết F(x) = x® nguyên hàm f (x)e2x nên F (x) = f (x)e2x hay 2x = f (x)e2x 2x u=e du = 2e2x dx , ta có Đặt ⇒ v = f (x) dv = f (x)dx Z Z Z 2x 2x 2x f (x)e dx = f (x)e − f (x) · 2e dx = 2x − f (x)e2x dx = 2x − 2x2 + C Chọn phương án B  5.22 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) liên tục R Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f (x)e x , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)e x A − sin 2x + cos 2x + C B −2 sin 2x − cos 2x + C C −2 sin 2x + cos 2x + C D sin 2x − cos 2x + C Lời giải Vì cos 2x nguyên hàm hàm số f (x)e x nên f (x)e x = (cos 2x)0 = −2 sin 2x x Ta cần dx ® tính xI = f (x)e ® du = e x dx u=e Đặt , ta có ⇒ v = f (x) dv = f (x)dx Z x I = f (x)e − f (x)e x dx = −2 sin 2x − cos 2x + C Chọn phương án B  Ứng dụng nguyên hàm 5.23 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f (x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r (m, n, p, q, r ∈ R) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f (x) = r có số phần tử A B C D y −1 O 107 x §2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Từ hình vẽ ta thấy f (x) có nghiệm x = −1, x = , x =
Do f (x) = m(x + 1)(4x − 5)(x − 3) = m 4x − 13x − 2x + 15 ã Å 13 Từ suy f (x) = m x4 − x3 − x2 + 15x + r x=0 ã  13 13 Khi f (x) = r ⇔ m x4 − x3 − x2 + 15x = ⇔ x x3 − − x + 15 = ⇔  x=−  3 x = Vậy tập nghiệm phương trình f (x) = r có phần tử Chọn phương án A  Å ã Å  §2 Tích Phân Định nghĩa, tính chất 5.24 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [1; 2], f (1) = f (2) = Z2 Tính I = f (x) dx A I = Lời giải B I = −1 Theo định nghĩa tích phân ta có I = Z2 f (x) dx = f (x) = f (2) − f (1) = − = 1 Chọn phương án A Z1 5.25 (Đề tham khảo 2020) Nếu  f (x) dx = 0 Z1 f (x) dx A B Lời giải Z1 Z1 Ta có f (x) dx = f (x) dx = · = Chọn phương án A C  5.26 (Đề thức 2020) Biết f (x) dx = Giá trị f (x) dx C D  Z2 5.27 (Đề tham khảo 2020) Nếu A Lời giải Z3 B A Lời giải Z3 Z3 Ta có f (x) dx = f (x) dx = · = D 16 Z3 Chọn phương án C D I = C I = f (x) dx = −2 Z3 B −1 f (x) dx = C 108 Z3 f (x) dx D −3 Nguyễn Minh Hiếu Z3 Ta có f (x) dx = Chuyên đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng Z2 Chọn phương án B f (x) dx + Z3 f (x) dx = −2 + = −1  Z3 f (x) dx = 5.28 (Đề thức 2020) Biết Z3 g(x) dx = Khi 2 D  f (x) dx = −2 5.29 (Đề thức 2019) Biết Z1 D  f (x) dx = 5.30 (Đề tham khảo 2019) Cho Z1 g(x) dx = 5, Z1   f (x) − 2g(x) dx A B −3 C −8 Lời giải Z1 Z1 Z1   Ta có f (x) − 2g(x) dx = f (x) dx − g(x) dx = − · = −8 D 12 Z1  5.31 (Đề thức 2020) Biết  f (x) − g(x) dx 0 Z1  0 Chọn phương án C Z1 g(x) dx = 3, A B −5 C −1 Lời giải Z1 Z1 Z1   Ta có f (x) − g(x) dx = f (x) dx − g(x) dx = −2 − = −5  f (x) − g(x) dx 2 Z1 Chọn phương án B  A −3 B C Lời giải Z3 Z3 Z3   f (x) − g(x) dx = f (x) dx − g(x) dx = − = Ta có Chọn phương án C Z3  f (x) + 2x dx = Khi Z1  f (x) dx A B C D Lời giải Z1 Z1 Z1 Z1 Z1   f (x) dx + = ⇔ f (x) dx = Ta có f (x) + 2x dx = ⇔ f (x) dx + 2x dx = ⇔ 0 Chọn phương án A 0  5.32 (Đề thức 2020) Cho hàm số F(x) = x2 nguyên hàm hàm số f (x) R Giá Z2   trị + f (x) dx bẳng 13 A B C 3 Lời giải Z2 Z2 Z2 2