Đang tải... (xem toàn văn)
1 Signals & Systems – FEEE, HCMUT Lecture 4 2 4 Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân Ch 2 Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian 3 Có khả năng xác định đáp ứng xung, đáp ứng của h[.]
Ch-2: Phân tích hệ thống LTI miền thời gian Lecture-4 2.4 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Có khả xác định đáp ứng xung, đáp ứng hệ thống LTIC dùng tích chập xét tính ổn định Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân 2.4.2 Đáp ứng xung hệ thống 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân Trên thực tế tồn nhiều hệ thống mơ tả PTVP hệ số Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ vận tốc lực kéo tác dụng lên xe dv(t) +Kv(t)=f(t) f(t) dt dv(t) +300v(t)=f(t) Giả sử: m=1000kg; K=300N/(m/s) 1000 dt Tổng qt phương trình VP mơ tả cho hệ thống có dạng: m m Kv(t) dn y(t) dn-1y(t) dy(t) dmf(t) dm-1f(t) df(t) +a + +a +a y(t)=b +b + +b1 +b0f(t) n-1 m m-1 n n-1 m m-1 dt dt dt dt dt dt n a k k=0 dk y(t) m dkf(t) bk k dt k dt k=0 Q(D)y(t) P(D)f(t) n m [ a k Dk ]y(t) [ bk Dk ]f(t) a n =1; n m k=0 k=0 Q(D) P(D) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp tích phân kinh điển: tổng đáp ứng tự & cưỡng Đáp ứng tự do: đáp ứng tác nhân nội bên hệ thống, thường lượng tích trữ & tín hiệu vào Đáp ứng cưỡng (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào hệ thống dv(t) dv(t) Ví dụ: 1000 +300v(t)=f(t) +0.3v(t)=103f(t) dt dt 2 t Với: f(t)=5000e u(t) Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng vcb(t)=Ke-2t t>0 -2Ke 2t 0.3Ke 2t 5e 2t K= 2.94 v cb (t)= 2.94e2t Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Bước 2: xác định đáp ứng tự vtd(t) giải pt dv td (t) +0.3v td (t)=0 dt Phương trình đặc trưng: +0.3=0 = 0.3 v td (t)=K1e 0.3t Bước 3: xác định đáp ứng tổng v(t)=v td (t)+v cb (t)=K1e 0.3t 2.94e 2t Điều kiện đầu: HT LTI nhân HT phải trạng thái nghỉ n-1 y(0)= dy(0) dy (0) 0 dt dt n-1 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Áp dụng cho ví dụ trước ta v(0)=0 K1 2.94 K1 2.94 v(t)=2.94(e 0.3t e 2t ); t>0 v(t)=2.94(e 0.3t e 2t )u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.2 Đáp ứng xung hệ thống a) Phương pháp tính trực tiếp b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Xét hệ thống LTI nhân mô tả PTVP Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Trình tự xác định h(t): Xét phương trình Q(D)h a (t)= (t) t>0, tức t=0+ trở nên ha(t) nghiệm phương trình Q(D)h a (t)=0 số ha(t) xác định dùng điều kiện đầu t=0+ Do hệ thống trạng thái nghỉ nên dh a (0 ) dh a n 1 (0 ) h a (0 )= 0 dt dt n 1 n d k h a (t) Từ phương trình: Q(D)h a (t)= (t) a k = (t); a n k dt k=0 d k-1h a (t) Kết luận: ; k=1 n-1 phải hàm liên tục 0, suy ra: dt k-1 k 0 d h (t) d k 1h a (0+ ) d k 1h a (0 ) d k1h a (0+ ) a dt 0 0 dt k dt k 1 dt k 1 dt k 1 Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp d k h a (t) hai vế phương trình: a k = (t) dt k k=0 n Lấy tích phân từ Suy ra: 0 0 an 0- tới 0+ d n h a (t) d n-1h a (0+ ) dt 1/ a n dt n dt n-1 Vậy điều kiện đầu để xác định ha(t) là: d n-1h a (0+ ) d k 1h a (0+ ) ; 0, k=1 n dt n-1 dt k 1 Xác định h(t)=P(D)h a (t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ: tính đáp ứng xung HT nhân mô tả PTVP (D+2)y(t)=(3D+5)f(t) Bước 1: Xác định ha(t) Do HT nhân nên ha(t)=0 t0: ha(t) nghiệm PT (D+2)h a (t)=0 Áp dụng ĐK đầu 0+: h a (0+ )=K=1 h a (t)=Ke2t h a (t)=e 2t u(t) Bước 2: Xác định h(t) h(t)=P(D)h a (t)=3 dh a (t) +5h a (t) dt h(t)=(3D+5)e2 t u(t) 3δ(t) e 2t u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t) Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t) Ví dụ: tính đáp ứng xung HT mô tả PTVP: (D +3D+2)y(t)=Df(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống n Đa thức đặc trưng hệ thống: Q(λ)=λ +a n-1λ n-1 + a1λ+a Nghiệm Q()=0 định tính ổn định hệ thống: Img Re{}0 Real LHP RHP Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Kết luận: Hệ thống ổn định tiệm cận tất nghiệm PT đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức Hệ thống ổn biên có nghiệm đơn trục ảo nghiệm cịn lại nằm trái MP phức Hệ thống khơng ổn định có nghiệm nằm phải nghiệm bội trục ảo Signals & Systems – FEEE, HCMUT