ET 2060 - Tín hiệu và hệ t h ố n g Những khái niệm cơ bản TS. Đặng Quang H i ế u h tt p :// ss . edab k . o r g Trường Đại học Bách Khoa Hà N ộ i Viện Điện t ử - Viễn t h ô n g 2012 - 2013 Tín hiệu liên t ụ c / rời rạc t h e o t h ờ i gian x (t) −−−−−−→ x [ nT s ] chuẩn hóa x [n] T s − −−−−−−−→ x ( t ) x [ n ] b b b b b t b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b n T Hình : Tín hiệu liên t ụ c x (t) và t í n hiệu rời rạc x [n] lấy mẫu b b b b s Biểu diễn t í n hiệu t r ê n miền t h ờ i gian ◮ Đồ t hị ◮ Công t hứ c x (t) = 10 s i n ( 100 π t + pi / 3 ) , x [n] = 0 . 5 e j 20πn ◮ L i ệ t k ê x [n] = {1, 0.5, −2, 0, 3, −1} ↑ Năng lượng và công s u ấ t của t í n hiệu ( 1 ) Tín hiệu liên t ục x ( t ) : 2 ◮ Công s uấ t t ứ c t hờ i p x (t) = | x ( t ) | ◮ Tổng năng l ư ợ ng ¸ T E x = li m T → ∞ − T ◮ Công s uấ t t r ung bình | x ( t ) | dt = ¸ ∞ | x ( t ) | dt − ∞ P x = li m 1 ¸ T | x ( t ) | dt T →∞ 2T − T 2 2 2 Năng lượng và công s u ấ t của t í n hiệu ( 2 ) Tín hiệu rời rạc x [n]: ◮ Tổng năng l ư ợ ng ◮ Công s uấ t t r ung bì nh E x = ∞ . n =− ∞ | x [ n ] | P x = li m N . | x [ n ] | N → ∞ 2N + 1 n = N ◮ Khi E x < ∞ → x (t), x [n] - t í n hiệu năng l ư ợ ng . ◮ Khi 0 < P x < ∞ → x (t), x [n] - t í n hiệu công s uấ t . Các phép t o á n t h ự c hiện t r ê n biến t h ờ i gian ( 1 ) ◮ Dịch ( s hi f t ) x (t) → x (t − T ) ◮ Lấy đối xứng x (t) → x ( − t ) ◮ Co dãn ( s c a l e ) x (t) → x ( k t ) x ( t ) x (t − T ) t t x ( − t ) x ( k t ) t t 2 2 1 − Các phép t o á n t h ự c hiện t r ê n biến t h ờ i gian ( 2 ) ◮ Vẽ dạng của x (kt + T )? Phân bi ệ t v ớ i x (k(t + T )) ? ◮ Trường hợp t í n hiệu rời rạc? Ví dụ: Cho t í n hiệu x (t) và x [n] như hình vẽ dư ớ i đây. (a) Hãy vẽ dạng của x (2t + 1) và x ( 2 ( t + 1 )) . (b) Hãy vẽ dạng của x [2n + 1] và x [2(n + 1 ) ] . x ( t ) x [ n ] 1 1 b b b b b b b b b 2 3 4 t -1 1 2 3 4 5 6 7 n Các phép t o á n t h ự c hiện t r ê n biên độ t í n h i ệ u ◮ Phép cộng: y (t) = x 1 (t) + x 2 ( t ) ◮ Phép nhân v ớ i hằng số: y (t) = a x ( t ) ◮ Nhân hai t í n hiệu v ớ i nhau: y (t) = x 1 ( t ) x 2 ( t ) ◮ Tín hiệu li ê n t ục ◮ Tín hiệu rời r ạ c x (t) = x (t + T ), ∀ t x [n] = x [n + N], ∀ n v ớ i N là số nguyên dư ơ ng . ◮ Giá trị T , N nhỏ nhấ t gọi là chu kỳ cơ bả n ( f unda m e nt a l p e r i o d) . Ví dụ: Xác định xem các t í n hiệu dư ớ i đây có phải là t uầ n hoàn không? Nếu t uầ n hoàn t hì hãy t í nh chu kỳ cơ bản. (a) c o s 2 ( 2 π t + π / 4 ) (b) s i n ( 2 n ) Tín hiệu chẵn / lẻ. Tín hiệu xác định / ngẫu nh i ê n ◮ Chẵn: x (t) = x (−t); x [n] = x [−n] ◮ Lẻ: x (t) = − x (−t); x [n] = − x [−n] ◮ Tín hiệu xác định ( de t e r m i ni s t i c s i g na l ) : Giá trị xác đị nh, bi ể u diễn bởi m ộ t hàm của biến t hờ i gian ◮ Tín hiệu ngẫu nhiên (random s i g na l ) : Giá trị ngẫu nhiên → biến ngẫu nhiên, hàm m ậ t độ xác x uấ t (pdf) và quá t r ì nh ngẫu nhi ê n Bài tập: Một t í n hiệu x (t) bấ t kỳ đều có t hể được phân t í c h t hà nh 2 t hà nh phần chẵn, lẻ: x (t) = x e (t) + x o (t). Hãy t ì m x e ( t ) và x o (t) t he o x ( t ) . Tín hiệu t u ầ n h o à n x (t) = C e a t , x [n] = Ce an , C , a ∈ R 4 x (t) = 3 e − 2 t 3 2 1 0 80 x (t) = e t 60 40 20 0 4 0 1 2 3 4 x [n] = 3 e − n / 10 80 0 1 2 3 4 x [n] = e n / 10 b b b b b b b 1 b b b 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 60 40 20 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 Ví dụ: X é t mạch điện có tụ C và điện t r ở R mắc nối t i ế p. Vẽ đi ệ n áp v (t) t r ê n tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V 0 . Tín hiệu hình s i n x (t) = s i n ( ω 0 t + φ ) Tuần hoàn v ớ i chu kỳ T = 2π 0 → Tín hiệu rời rạc? x ( t ) t Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối t i ế p. V ẽ điện áp v (t) t r ê n tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V 0 . Tín hiệu hàm mũ t h ự c 3 b 2 ω 1 - 1 1 2 3 4 5 Với C và a là số phức: C = | C | e j θ và a = r + j ω 0 , t a có: x (t) = | C | e r t e j ( ω 0 t + θ ) = | C | e r t c o s ( ω 0 t + θ) + j | C | e r t s i n ( ω 0 t + θ) t Ví dụ t r o ng mạch đi ệ n? Tín hiệu hàm mũ phức ( r ờ i rạc) Với C và a là số phức: C = | C | e j θ và a = r + j ω 0 , t a có: x [n] = | C | e r n e j ( ω 0 n + θ ) = | C | e r n c o s ( ω 0 n + θ) + j | C | e r n s i n ( ω 0 n + θ) Nhận x é t về e j ( ω 0 n + θ ) : ◮ Không phải lúc nào cũng t uầ n hoàn ( t ùy t he o giá trị c ủa ω 0 ) , chu kỳ? ◮ Chỉ cần x é t ω 0 t r o ng đoạn [0, 2π], khi nào t ầ n số t hấ p / cao? 1 R e { x ( t ) } đường bao | C | e r t - 1 1 2 3 4 5 Tín hiệu hàm mũ phức ( li ê n t ụ c ) I m { x [ n ] } 0 = 0.8π 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 10 20 30 40 50 n b b - 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b I m { x [ n ] } 0 = 1.8π 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 10 20 30 40 50 n b b - 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Hàm nhảy đơn vị u(t) = . 1, t ≥ 0 0, t còn lại u[n] = . 1, n ≥ 0 0, n còn lại u ( t ) 1 t u [ n ] 1 b b b b b b b b b b b n Ví dụ t r o ng mạch đi ệ n? e j ( ω 0 n ) Minh họa x [n] = ω ω Hàm xung đơn vị ( r ờ i rạc) . 1, n = 0 δ[n] = 0, n còn lại δ [ n ] 1 b b b b b b b b b n Quan hệ v ớ i hàm nhảy đơn vị? δ[n] = u[n] − u[n − 1 ] ∞ u [ n ] = Với t í n hiệu x [n] bấ t kỳ? . δ[n − k ] k = 0 ∞ x [n] = . k =− ∞ x [k]δ[n − k ] Hàm d e l t a Dirac ( li ê n t ụ c ) x ( t ) δ ( t ) = 0, ∀ t ƒ = 0 ¸ ∞ δ ( t ) dt = 1 − ∞ δ ( t ) 1 t t Một số t í nh c hấ t : δ ( t ) = d u(t), u(t) = dt ¸ t δ (τ ) d τ − ∞ x (t 0 ) = ¸ ∞ x ( t ) δ ( t − t 0 ) dt − ∞ 1 δ ( a t ) = δ ( t ) a Hàm dốc đơn vị (ramp) r (t) = . t, t ≥ 0 0, t còn lại r [n] = . n, n ≥ 0 0, n còn lại u ( t ) u [ n ] b b b b b b b b b t n Hệ t h ố n g x [n] − T y [n] x (t) y ( t ) hệ t h ố n g liên t ụ c x [n] y [ n ] hệ t h ố n g rời r ạ c → [...]...Ghép nối các hệ thống đầu vào hệ thống 1 hệ thống 2 đầu ra hệ thống 1 đầu vào + đầu ra hệ thống 2 đầu vào + đầu ra hệ thống 1 hệ thống 2 Tính ổn định của hệ thống Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu mọi đầu vào bị chặn |x (t)| < ∞, ∀ty đều khiến cho đầu ra tương ứng bị chặn |y (t)| < ∞, ∀t Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống y [n] = r n x [n] với |r | > 1 Thuộc tính nhớ Hệ thống gọi là không... Xét tính nhân quả của các hệ thống (a) y [n] = x ¸ t − x [n − 1] + 2x [n + 2] [n] (b) i (t ) = 1 v (τ )d τ L −∞ Tính bất biến theo thời gian Một hệ thống T bất biến theo thời gian khi và chỉ khi T x [n] − y [n] thì → −→ x [n − n0 ] T y [n − n0 ] ∀n với mọi đầu vào x [n] và với mọi khoảng dịch thời gian n0 Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không? y [n] = nx [n] Tính tuyến tính Hệ thống. .. có nhớ (memoryless) nếu đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm hiện tại ◮ Hệ thống gọi là có nhớ nếu đầu ra phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm quá khứ hoặc tương lai ◮ Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ của các hệ thống (a) y [n] = x [n] − x [n − 1] + 2x [n + 2] (b) i (t ) = 1 vR (t) Tính nhân quả Hệ thống gọi là nhân quả (causal) nếu như đầu ra tại thời điểm n bất kỳ chỉ phụ thuộc đầu vào thời điểm hiện... tính Hệ thống T gọi là tuyến tính khi và chỉ khi T {a1 x1 [n] + a2 x2 [n]} = a1 T {x1 [n]} + a2 T {x2 [n]} với mọi đầu vào x1 [n], x2 [n] và với mọi hằng số a1 , a2 Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính không? (a) y (t ) = tx (t) (b) y (t ) = x 2 (t) Tính khả nghịch Một hệ thống gọi là khả nghịch (invertible) nếu như có thể khôi phục được đầu vào từ đầu ra của nó (các đầu vào phân biệt sẽ có các đầu... ra của nó (các đầu vào phân biệt sẽ có các đầu ra phân biệt) x (t) y (t) T x (t) T −1 Ví dụ: Các hệ thống sau có khả nghịch không, nếu có, tìm hệ thống nghịch đảo n (a) y [n] = x [k] k= −∞ 2 (b) y (t ) = x (t) Bài tập về nhà ◮ ◮ Làm các bài tập cuối chương 1 Viết chương trình Matlab để vẽ các dạng tín hiệu cơ bản