ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THẾ VŨ ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG MÔ HÌNH HỒI QUI PHI TUYẾN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê trong toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TÔ ANH DŨNG TP HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc của tôi đến Thầy PGS.Tiến sĩ Tô Anh Dũng về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của thầy đối với tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Nghiên cứu sinh Trần Võ Huy và các bạn Trần Minh Quang, Nguyễn Thành Tâm, Nguyễn Anh Triết, Nguyễn Thị Kim Loan đã đọc bản luận văn và cho những ý kiến đóng góp xác đáng và quý báu giúp tôi hiểu sâu hơn. Tôi xin cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để tham dự hội đồng chấm luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài của Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường. Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợ i giúp tôi hoàn thành chương trình học. Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm. Kính mong sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy Cô. Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của gia đình tôi, những người đã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011. TRẦN THẾ VŨ Lời giới thiệu Ước lượng Bayes là vấn đề cập nhật và thời sự hiện nay trong thống kê và đã được tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau. Trong đề tại luận văn này ta sẽ tiếp cận ước lượng tham ẩn định vị trong mô hình hồi qui phi tuyến hữu hạn chiều theo quan điểm giải tích hàm và đây cũng là một bài toán quan trọng về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng. Trong đề tài sẽ trình bày cách xây dựng ước lượng bayes cho tham ẩn định vị, hơn thế nữa ta sẽ khảo sát mô hình với giả thiết hàm ước lượng của tham ẩn định vị có tính ngẫu nhiên và cụ thế hơn là cấu trúc hàm lập ngẫu nhiên. Dựa vào nội dung chính đó, đề tài phân thành bốn phần sau: - Chương 1 : Kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, độ đo. - Chương 2 và 3 : Nghiên cứu các hàm lập ngẫu nhiên và tổng các biến ngẫu nhiên không độc lập. - Chương 4 : Nghiên cứu và phân tích ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến 1chiều, hữu hạn chiều và bước đầu khảo sát các ước lượ ng của tham ẩn định vị với cấu trúc ngẫu nhiên. - Phụ lục A, B : Cung cấp kiến thức cơ bản về thống kê Bayes và không gian Banach. 1 Mục lục Lời giới thiệu 1 Bảng ký hiệu 2 1 Kiến thức nền tảng 3 1.1 Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Cơ bản về lý thuyết độ đo, tích phân và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên và kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . 14 1.4 Độ đo xác suất trên không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Xích markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Hàm lặp ngẫu nhiên 23 2.1 Cơ sở xây dựng hàm lặp ngẫu nhiên và điều kiện tồn tại phân bố xác suất dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Moment hình học co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Các ví dụ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Giới hạn Berry-Esseen 38 3.1 Giới hạn Berry-Esseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Các ví dụ ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui 50 4.1 Tiêu chuẩn compact tương đối trong không gian hàm . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Về sự tồn tại ước lượng Bayes trong cấu trúc thống kê. . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến 1chiều . . . . . . . . . . 57 4.4 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến rchiều . . . . . . . . . . 60 4.5 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến rchiều với ước lượng bị chặn của tham ẩn định vị  là hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phần kết luận 69 A Cơ sở lý thuyết thống kê Bayes 70 B Không gian Banach 79 Tài liệu tham khảo 87 i Bảng ký hiệu R Tập số thực. L 1 (; F; P ); L 1 Không gian các biến ngẫu nhiên khả tích. L p (; F; P ); L p Không gian các biến ngẫu nhiên lũy thừ p khả tích. d p (x; y);  p (x; y) Metric Prokhorov. 1 A Hàm chỉ tiêu tập A. F trường sinh bởi : kk p Chuẩn trên không gian định chuẩn L p (; F; P ); L p : B(X) đại số Borel. B(I; R r ) Không gian gồm các hàm h : I ! R r đo được và bị chặn: L(; ); L(; ) Hàm tổn thất. Pr ob Xác suất xảy ra. 2 Chương 1 Kiến thức nền tảng 1.1 Không gian topo Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ T các tập con của X được gọi là một topo trên X nếu T thỏa mãn 3 tiên đề sau đây : 1. ; 2 T , X 2 T: 2. Nếu (G  ) 2I là một họ các phần tử của T thì S 2I G  2 T: 3. Nếu G 1 ; G 2 2 T thì G 1 T G 2 2 T: Khi đó cặp (X; T ) được gọi là không gian topo xác định trên nền X. Định nghĩa 1 .1. 2 . Một metric d trên tập X là một ánh xạ d : X  X ! R sao cho : 1. Với mọi x; y 2 X ta có d(x; y)  0 và d(x; y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y: 2. Với mọi x; y 2 X ta có d(x; y) = d(y; x): 3. Với mọi x; y; z 2 X ta có d(x; z)  d(x; y) + d(y; z): Ta ký hiệu là (X; d). Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X; T ) là một không gian topo và x 0 2 X. Tập A  X được gọi là lân cận của x 0 nếu tồn tại tập mở U 2 T sao cho x 0 2 U  A. Hiển nhiên nếu U 2 T thì U là lân cận của mọi điểm của nó. Tuy nhiên một lân cận của x 0 chưa chắc là một tập mở. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X; T ) là một không gian topo và ; 6= B  T . Họ B được gọi là một cơ sở của topo T nếu với mọi G 2 T tồn tại một họ B 0  B sao cho G = S A2B 0 A: Định nghĩa 1.1.5. Cho một họ V những lân cận của điểm x 2 X được gọi là một cơ sở lân cận của x 2 X nếu với mọi lân cận U của x đều tồn tại một lân cận H 2 V sao cho x 2 H  U. Định nghĩa 1.1.6. Trong không gia n topo được gọ i là khả li (hay tách được) nếu trong X tồn tại một tập con A hữu hạn hay đếm được và A trù mật khắp nơi (tập hợp trù mật) tức là A = X: Định lý 1.1.1. Cho (X; d) là một không gian metric và T là topo sinh ra bởi metric d tức là T là họ tất cả các tập con của X mở đối với metric d. Nếu (X; T ) là khả li thì nó có một cơ sở đếm được. Định lý 1. 1. 2. Mọi không gian topo có một cơ sở đếm được đều khả li. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC NỀN TẢNG Định lý 1.1.3. Mọi không gian topo có một cơ sở đếm được thì mỗi điểm của nó đều có một cơ sở lận cận đếm được. Định nghĩa 1.1.7. Không gian topo (X; T ) được gọi là T 1 không gian nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia. Định nghĩa 1.1.8. Không gian topo (X; T ) được gọi là không gian chính quy nếu X là T 1 không gian và với mọi x 2 X và mọi tập đóng F  X sao cho x =2 F thì tồn tại các tập mở U sao cho x 2 U và tập mở V sao cho F  V sao cho U \V = ?: Định lý 1.1.4. Giả sử X là một không gian chính quy và có một cơ sở đếm được. Khi đó X là metric hóa được tức là tồn tại một metric d trên X sao cho topo sinh bởi d trùng với topo T . Định nghĩa 1.1.9. Cho (X  ) 2I là một họ những không gian topo. Đặt X là tích Descartes của họ các tập hợp (X  ) X = Q 2I X  = f(x  ) 2I : x  2 X  g = fx : I ! S 2I X  jx() = x  2 X  g: Các x  ;  2 I là các thành phần (tọa độ) của phần tử (x  ) 2I . Với mỗi  0 2 I, ta xét phép chiếu p  0 : X ! X  0 ; cho bởi Q 2I X  3 (x  ) 2I ! x  0 2 X  0 ; topo trên X làm cho tất cả các phép chiếu này liên tục tức là topo đầu tiên trên X xác định bởi họ (p  ) 2I . X cùng với topo này trở thành một không gian topo gọi là không gian tích của các không gian topo X  ta ký hiệu ( Q i2I X i ; Q i2I T i ). Nếu G  0 là một tập mở trong X  0 thì tập hợp p 1  0 (G  0 ) = G  0  Q 6= 0 X  : Một tập hợp thuộc vào cơ sở của topo tích sẽ có dạng V = n T i=1 p 1  i (G  i ); trong đó G  i là một tập mở trong X  i . Ta có thể viết lại như sau V = n T i=1 (G  i  Q 6= 0 X  ) = n Q i=1 G  i  ( Q 6= 1 ;:::; n X  ): Định lý 1.1.5. Cho ((X i ; T )) i2I là một họ các không gian topo. Nếu I đếm được và mỗi không gian (X i ; T i ) thỏa mãn : (1) hoặc là khả li, (2) hoặc là có một cơ sở đếm được, thì tích ( Q i2I X i ; Q i2I T i ) cũng vậy. Luận văn thạc sĩ toán học 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.2 Cơ bản về lý thuyết độ đo, tích phân và xác suất 1.2.1 Lý thuyết độ đo, tích phân Định nghĩa 1.2 .1. 1. Cho không gian  6= ?, F 0 là các tập con trên . F 0 được gọi là đại số nếu thỏa 1.  2 F 0 : 2. 8A 2 F 0 ; A 2 F 0 : 3. A; B 2 F 0 thì A [B 2 F 0 . Định nghĩa 1.2 .1. 2. Cho không gian  6= ?, F 0 là các tập con trên . F 0 được gọi là đại số (trường) nếu thỏa 1.  2 F 0 : 2. 8A 2 F 0 ; A 2 F 0 : 3. 8fA n g n2N  F 0 thì [ 1 i=1 A i 2 F 0 . Định nghĩa 1 .2. 1. 3. Cho không gian  và F là đại số trên : Khi đó (; F) là không gian đo được, A 2 F gọi là A đo được. Định nghĩa 1.2 .1 .4. Cho C là lớp các tập trên . Ta nói đại số sinh bởi C là đại số bé nhất chứa C. Ký hiệu (C): Định nghĩa 1.2.1.5. Cho hai không gian đo được ( 1 ; F 1 ) và ( 2 ; F 2 ) với A 1   1 , A 2   2 . Ta định nghĩa tích Descartes: A 1  A 2 = f(w 1 ; w 2 ) : w 1 2 A 1 ; w 2 2 A 2 g: Khi A 1 =  1 ; A 2 =  2 thì  1   2 = 2 Q i=1  i là tích của hai không gian  1 ;  2 : Nếu A 1 2 F 1 , A 2 2 F 2 thì A 1  A 2 gọi là hình chữ nhật. Khi đó đại số bé nhất làm cho các hình chữ nhật đó đo được (chứa tất cả hình chữ nhất) gọi là đại số tích ký hiệu là F 1  F 2 hoặc _ 2 i=1 F i . Ta gọi ( 1  2 ; F 1 F 2 ) gọi là không gian tích của hai không gian ( 1 ; F 1 ) và ( 2 ; F 2 ): Định nghĩa 1.2.1.6. Cho C là lớp các tập con trên : Hàm ' xác định trên C và nhận giá trị số ' : C ! R 8A 2 C; 9!x 2 R : '(A) = x được gọi là hàm tập nhận giá trị số. - Hàm tập ' được gọi là hữu hạn khi '(A) < 1; 8A 2 C: - Hàm tập ' được gọi là không âm nếu '(A)  0; 8A 2 C: - Hàm tập ' được gọi là cộng tính hữu hạn nếu: 8fA i g i=1;:::;n  C :A i \ A j = ? với i 6= j; j = 1; :::; n và n P i=1 A i 2 C; ta có '( n P i=1 A i ) = n P i=1 '(A i ): - Hàm tập ' được gọi là cộng tính đếm được (cộng tính) nếu: Luận văn thạc sĩ toán học 5 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC NỀN TẢNG 8fA i g i2N  C :A i \ A j = ? với i 6= j 2 N và 1 P i=1 A i 2 C; ta có '( 1 P i=1 A i ) = 1 P i=1 '(A i ): - Hàm tập ' được gọi là hữu hạn nếu : 8C 2 C; thì 9!fC k g k2N  C : [ 1 i=1 C k = C và '(C k ) hữu hạn 8k = 1; :::; 1: Định nghĩa 1.2.1.7. Cho không g ian đo được (; F) và một hàm  xác định trên F và nhận giá trị [0; 1):  được gọi là độ đo nếu  là cộng tính. -  được gọi là hữu hạn nếu () < 1. -  được gọi là cộng tính hữu hạn nếu 8fA i g i=1;:::;n  F:A i \ A j = ? với i 6= j; j = 1; :::; n ; ta có '( n P i=1 A i ) = n P i=1 '(A i ): -  được gọi là hữu hạn nếu : 9!fC k g k2N  F : [ 1 i=1 C k =  và '(C k ) < 1 8k = 1; :::; 1: Cho không gian đo được (; F) và  là một độ đo trên (; F):Khi đó (; F; ) được gọi là không gian có độ đo hay là không gian đo. Khi () = 1 thì (; F; ) được gọi là không gian xác suất. Các tính chất : a) Nếu 9A 2 F sao cho (A) < 1 thì (?) = 0: b) Tính cộng tính hữu hạn của độ đo. c) Nếu A; B 2 F và A  B thì (A)  (B): d) Giả sử  < 1, A; B 2 F và A  B thì (BnA) = (B)  (A). e) Giả sử  < 1, A; B 2 F thì (A [ B) = (B) + (A)  (A \B): f) 8fA n g n  F ta có ([ 1 n=1 A n )  1 P n=1 (A n ): Định lý 1. 2. 1.1 . Cho không gian đo (; F; ) và fA n g n2N đo được. Khi đó ta có 1. (lim n!1 inf A n )  lim n!1 inf (A n ): 2. Nếu ( 1 S n=1 A n ) < 1 thì lim n!1 sup (A n )  (lim n!1 sup A n ): với lim n!1 inf A n = 1 S n=1 1 T k=n A k , lim n!1 sup A n = 1 T n=1 1 S k=n A k . Định lý 1.2.1.2. Cho không gian đo (; F; ),  < 1: Nếu A n ! A khi n ! 1 thì ta có (A n ) ! (A): Định lý 1 .2 .1. 3 (Định lý Borel - C antelli). Cho không gian đo (; F; ); fA n g n2N  F. Nếu 1 P n=1 (A n ) < 1 thì (lim n!1 sup A n ) = 0: Luận văn thạc sĩ toán học 6 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC NỀN TẢNG Định nghĩa 1.2.1.8. Cho không gian (; F; ) và tập A  . Ta nói A là tập không đáng kể (không đáng kể hay không) nếu 9B 2 F sa o cho A  B và (B) = 0: Gọi L là lớp các tập N   là tập không đáng kể tức là L = fN   : N là   không đáng kểg: Nếu L  F thì (; F; ) gọi là không gian có độ đo đủ. Khi đó  được gọi là độ đo đủ. Vậy trong không gian có độ đo đủ, các tập không đáng kể đều đo được. Định lý 1 .2. 1. 4. Cho không gian (; F; ) và Llà lớp các tập không đáng kể (không). a) Nếu F = fA [ N : A 2 F; n 2 Lg thì F = (F [L): b) Nếu  : F ! [0; 1) được xác định như sau : 8(A [N) 2 F; (A [N) = (A): 8A 2 F; (A) = (A): Khi đó  là độ đo nới rộng duy nhất của  lên F (j F = ): c) (; F; ) là không gian có độ đo đủ. Định lý 1.2.1.5. Cho (; F), ;  độ đo hữu hạn trên (; F), F 0 là đại s ố trên ; (F 0 ) = F. Nếu  =  trên F 0 thì  =  trên F. Định lý 1.2.1.6 (Định lý Carathéodory). Cho đại số F 0 trên ;  0 là hàm tập.  0 : F 0 ! [0; 1] thỏa: 1.  0 là hữu hạn trên F 0 . 2.  0 là cộng tính trên F 0 . Khi đó ta có thể nới rộng  0 thành độ đo  duy nhất trên (F 0 ): Định nghĩa 1.2.1.9. Cho (R; B(R)). Khi đó hàm tập  : B(R) ! [0; 1] gọi là độ đo Lebesgue-Stieltjes nếu : (I k ) < 1; 8I k khoảng giới nội trong R. Định nghĩa 1 .2. 1. 10 . F được gọi là hàm phân phối nếu F : R ! R thỏa : 1. F là hàm không giảm trên R. 2. F là hàm liên tục trái 8x 2 R: 3. F (1) = lim x!1 F (x) = 0, F(+1) = lim x!+1 F (x) = 1: Định lý 1. 2. 1. 7. a. Cho độ đo Lebesgue-Stieltjes . Khi đó hàm F : R ! R được xác định bởi : F (b)  F (a) = [a; b); 8a; b 2 R; a  b là hàm phân phối. b. Ngược lại, cho hàm phân phối F. Khi đó  được định nghĩa như sau : (1) [a; b) = F (b)  F (a): (2) (1; a] = F (a)  F (1); (a; +1) = F(+1)  F(a): (3) Đặt F 0 là lớp các tập có dạng tổng hữu hạn các khoảng nửa hở bên phải. 8A 2 F 0 ; A = n P k=1 I k , trong đó I k là một khoảng nửa hở b ên phải (A) = n P k=1 (I k ) thì  là độ đo Lebesgue-Stieltjes trên (F 0 ) = B(R): Luận văn thạc sĩ toán học 7 [...]... gian metric tách được Định lý 1.4.5 Một độ đo Borel hữu hạn trên X cơ sở chặt nếu 8" > 0 tồn tại một tập compact K X sao cho (XnK) < " tức là (K) (X) " Nếu là độ đo Borel hữu hạn chặt trên X khi đó (A) = supf (K) : K A; K compactg với mọi tập Borel A trên X Định lý 1.4.6 Nếu (X; d) là môt không gian metric đầy đủ tách được, khi đó mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là chặt Định nghĩa 1.4.5 Tập hợp các độ... chính quy đối với lớp K là lớp nhỏ nhất chứa K đóng đối với hợp hữu hạn và giao đếm được Định lý 1.2.2.2 Giả sử ( ; F; P ) là không gian xác suất, F0 là đại số các tập con của : K0 là lớp compact và K0 F0 Ngoài ra, giả thiết rằng F = (F0 ) và K là lớp nhỏ nhất chứa K0 đóng với hợp hữu hạn và giao đếm được Giả sử P là hàm tập không âm hữu hạn cộng tính trên F0 và P ( ) = 1: Khi đó, nếu P (B) = sup P... kỳ độ đo Borel hữu hạn trên X Định nghĩa 1.4.3 Cho ; hội tụ yếu tới nếu 1; 2 ; ::: R là độ đo Borel hữu hạn trên X Ta nói rằng ( i )i fd i R ! fd khi i ! 1 với mọi f 2 Cb (X): Ta ký hiệu i ) Định nghĩa 1.4.4 Cho (X; d) là không gian metric Ta đặt P = P (X) là tất cả độ đo xác suất Borel trên X Cho ; 2 P (X), ta định nghĩa dp ( ; ) = inff > 0 : (A) (A ) + và (A) (A ) + ; 8A 2 B(X)g trong đó A = fx... i 2 I trong đó Ai = Ei hầu tất cả (trừ một số hữu hạn các i): Định nghĩa 1.2.2.5 Lớp K các tập con của được gọi là compact nếu đối với dãy n0 1 T T Kn = ? thì tồn tại n0 sao cho Kn = ? bất kỳ (Kn ) K mà n=1 Nhận xét : Nếu nghĩa n=1 là không gian topo thì lớp các tập compact của nó thỏa mãn định Định lý 1.2.2.1 Giả sử K là lớp compact bất kỳ của Khi đó lớp nhỏ nhất chứa K đóng đối với hợp hữu hạn và... Z P = (dx)P (x; dy) (y) = P [ ] = [P ]; X X R trong đó với bất kỳ độ đo ; [ ] = X (dx) (x): b) Hạt nhân xác suất chuyển trên không gian trạng thái rời rạc Cho X = fx0; x1 ; :::g là rời rạc (có thể là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được) và cho B(X) là họ các tập con của X: Trạng thái của hạt nhân chuyển Markov được định nghĩa bởi fP (x; y); (x; y) 2 X Xg ; trong đó x 2 X và y 2 X; P (x; y) là ký hiệu ngắn... Markov với ma trận xác suất chuyển Q và phân bố xác suất ban đầu cho trước nếu và chỉ nếu với bất kỳ n 0, phân bố của vector (n) ngẫu nhiên (X0 ; X1 ; :::; Xn ) trên n trùng với P : f) Phân bố bất biến và tính dừng Một độ đo hữu hạn trên B(X) với tính chất Z (dx)P (x; A); A 2 B(X); (A) = X được gọi là bất biến Nếu độ đo bất biến là hữu hạn thì sẽ được chuẩn hóa thành độ đo xác suất dừng Cho quá trình =... Y Kf j e (n+i)" j=1 với mọi n n0 và mọi i = 0; 1; ::: Ta có các hằng số dương hữu hạn c0 ; c1 ; r0 ; r1 với r0 < 1 và r1 < 1 sao cho với mọi n0 , với mọi n n0 và với mọi m = 0; 1; ::: [Yn+m (x); Yn (x)] n r1 n bỏ đi tập có xác suất c0 r0 0 Vì fYn (x)g là dãy Cauchy và vì thế sẽ hội tụ tới một giới hạn trong S ta gọi giới hạn đó là Y1 : Tiếp theo ta sẽ trình bày sự liên hệ giữa bài toán ta đặt ra với... dương hữu hạn Ax và 0 < r < 1 sao cho p [Pn (x; :); ] Ax r n với mọi n = 1; 2; ::: và với mọi điểm bắt đầu x 2 S (iii) Hằng số r không phụ thuộc vào n hoặc x; hằng số Ax không phụ thuộc vào n và Ax < a + b p (x; x0 ), trong đó 0 < a; b < 1: Mệnh đề 2.2 Giả sử điều kiện định lý 2:2 đều thỏa Khi đó quá trình lùi fYn (x)g là Yn (x) = (f1 f2 ::: fn )(x) hội tụ hầu chắc chắn tới giới hạn ngẫu nhiên Giới hạn. .. 2 HÀM LẶP NGẪU NHIÊN trong đó x 2 S, tập Borel B S Trong phần 2.2, ta sẽ thiết lập sự hội tụ của Xn tới dưới ý nghĩa moment hình học co Ta sẽ định nghĩa moment hình học co như dưới đây 0 Định nghĩa 2.3 Cho X0 s độc lập với X0 s và dãy ( k )k 1 và định nghĩa quá 0 trình lặp tiến Xn (x) = f n f n 1 ::: f 1 (x) Vì thế ta coi Xn (X0 ) như là bản sao của Xn (X0 ): Ta nói Xn là moment hình học co nếu tồn... phối và Pr obf i = 1g > 0 Ta giả sử rằng có hằng số dương ; sao cho Pr obf i > #g < e # với mọi # > 0 Cho có cùng phân phối với i Khi đó (i) 1 Ef g < 1 (ii) Nếu c là số thực hữu hạn sao cho c > Ef g, có một hằng số dương, hữu hạn A và r sao cho r < 1 và Pr obf 1 + ::: + n > ncg < Arn với mọi n = 1; 2; :::Hằng số A và r phụ thuộc vào c và quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên , không phụ thuộc vào . 54 4.3 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến 1 chiều . . . . . . . . . . 57 4.4 Ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến r chiều . . . . . . . . . . 60 4.5 Ước lượng Bayes trong mô. nhiên không độc lập. - Chương 4 : Nghiên cứu và phân tích ước lượng Bayes trong mô hình hồi qui phi tuyến 1 chiều, hữu hạn chiều và bước đầu khảo sát các ước lượ ng của tham ẩn định vị với cấu trúc ngẫu. HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THẾ VŨ ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG MÔ HÌNH HỒI QUI PHI TUYẾN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê trong toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN