ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỒNG PHÚC ỨNG DỤNG CỦA PHỨC WITNESS VÀO PHÂN TÍCH DỮ LIỆU ẢNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN PHÚC SƠN Tp. Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Phúc Sơn. Nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy mà luận văn đã hoàn thành một cách khoa học và đúng tiến độ. Xin cảm ơn các thầy cô công tác tại trường Khoa Học Tự Nhiên đã trực tiếp giảng dạy và quan tâm, cảm ơn các bạn bè và gia đình đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn có thể vẫn còn khiếm khuyết, tôi rất mong sự phê bình góp ý từ phía các thầy cô và các bạn. Tp.HCM, ngày 25 tháng 8 năm 2012 Học viên Nguyễn Hồng Phúc Mục lục Lời nói đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bò 7 1.1 Các đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phức simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phức simplicial trừu tượng S . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Xấp xỉ simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phức ˘ Cech, phức Rips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Phức ˘ Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Phức Rips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh 15 2.1 Phức witness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Cách chọn landmark trong phức witness . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Phức witness mạnh và phức witness yếu . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Cách xây dựng các phiên bản của phức witness yếu . . . . 17 2.2 Đồng điều persistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Số Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Trang 5 2.2.2 Dãy lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Đònh nghóa đồng điều persistent . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Thống kê ảnh tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Hình cầu S 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Thống kê ảnh tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 34 Phụ lục 35 Tài liệu tham khảo 38 Chỉ mục 39 Nguyễn Hồng Phúc - Cao học Đại số K20 Chương 1 Kiến thức chuẩn bò 1.1 Các đơn hình Cho a 0 , a 1 , a 2 , , a p , p ∈ R, là những điểm trong R d . Một điểm x =  p j=0 λ j a j là một tổ hợp affine của a j nếu  p j=0 λ j = 1, λ j ∈ R. Tổ hợp affine, x =  p j=0 λ j a j , là một tổ hợp lồi nếu λ j ≥ 0, với 0 ≤ j ≤ p. Bao lồi của a j là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của nó. Một p − simplex (xem hình 1.1), là bao lồi của p + 1 điểm độc lập affine, ký hiệu σ = conv{a 0 , a 1 , a 2 , , a p } Khi đó ta nói a j span σ và dimσ = p. Bất kỳ tập con nào của tập các điểm độc lập affine cũng độc lập affine, do đó cũng đònh nghóa một simplex. Mặt của σ là bao lồi của một tập hợp con khác rỗng của tập hợp gồm các điểm a j , j = 0, 1, , p. Một mặt là mặt thực sự nếu mặt đó là bao lồi của một tập con thật sự. 7 Trang 8 Hình 1.1: 0-simplex, 1-simplex, 2-simplex, 3-simplex lần lượt được gọi là vertex, edge, triangle, tetrahedron. Biên của σ, ký hiệu bdσ, là phần hợp của tất cả các mặt thực sự trong σ. Phần trong của σ, ký hiệu intσ = σ − bdσ. Với mỗi điểm x =  p j=0 λ j a j ∈ σ, ta có x ∈ intσ khi và chỉ khi mọi λ j > 0, j = 0, 1, , p. 1.2 Phức simplicial Khái niệm 1.2.1. Một phức simplicial K (xem hình 1.2), là tập hợp hữu hạn các đơn hình trong K thỏa mãn: -Với σ ∈ K và τ ⊆ σ thì τ ∈ K. -Với σ, σ 0 ∈ K thì σ ∩ σ 0 ⊆ σ, σ 0 . (với σ, σ 0 là những đơn hình trong K.) Số chiều của K là số chiều cao nhất của các đơn hình trong K. Cho L ⊆ K là một phức simplicial, khi đó L được gọi là phức con của K. j-skeleton là tập hợp gồm tất cả các đơn hình trong K có số chiều j hoặc nhỏ hơn j, K j = {σ ∈ K|dimσ ≤ j} Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 9 Hình 1.2: (A) là phức simplicial, (B) không phải là phức simplicial vì đoạn giao nhau của hai mặt không thuộc một trong hai mặt đó, (C) không là phức simplicial vì một mặt của nó bò khuyết cạnh. 0-skeleton là một tập đỉnh, ký hiệu vertK = K (0) ; 1-skeleton là tập hợp gồm tất cả các đơn hình 0-chiều và 1-chiều. 1.2.1 Phức simplicial trừu tượng S Phức simplicial trừu tượng được xem như là phần mô tả hình học của phức simplicial. Đònh nghóa 1.2.2. Cho K là một phức simplicial, phức simplicial trừu tượng S của K là tập hợp hữu hạn các đơn hình trong K thỏa mãn: nếu σ ∈ K và τ ⊆ σ thì τ ∈ K. Chú ý 1.2.3. Ta có: i) Tập φ thuộc mọi phức simplicial trừu tượng. ii) Tập đỉnh Z của phức simplicial trừu tượng S, vertZ = {a 0 , a 1 , , a p }, p ∈ R. iii) Nếu p-simplex σ = [a 0 a 1 a p ] ∈ S, thì tất cả các mặt của σ đều thuộc S. Ở đây các đỉnh a 0 , a 1 , , a p trong Z là phân biệt. Nguyễn Hồng Phúc - Cao học Đại số K20 Trang 10 1.2.2 Xấp xỉ simplicial Từ không gian tôpô X, lấy một tập điểm bất kỳ. Từ tập điểm ấy, ta xây dựng phức simplicial K xấp xỉ cấu trúc tôpô của X. Ví dụ 1.2.1. Quét tia laser qua một vật rắn X có hình vòng tròn, ta sẽ thu được một tập gồm vô số điểm trên mặt phẳng: Hình 1.3: Tập điểm trên mặt phẳng Chọn ra một mẫu bất kỳ từ tập điểm trên hình 1.3 ta được hình 1.4. Ta sẽ đi xây dựng phức simplicial K xấp xỉ vòng tròn X đã cho. Hình 1.4: Landmark của hình 1.3 Nhận xét 1.2.4. Xét hai landmark được trích từ tập điểm của một đường tròn (hình 1.5). Hai trường hợp (A) và (B) đều được xem là xấp xỉ của đường tròn. Mặc dù ở trường hợp (B), sự xấp xỉ có vẻ rất thô nhưng nó vẫn đảm bảo các tính chất của tôpô. Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 11 Hình 1.5: Landmark 1.3 Phức ˘ Cech, phức Rips 1.3.1 Phức ˘ Cech Tập đỉnh là tập dữ liệu Z ⊂ R d . Đường kính: R > 0, R ∈ R. Đònh nghóa: ˘ Cech(Z, R) gồm tất cả các p-simplex σ = [a 0 a 1 a p ], p = 0, 1, , sao cho các hình cầu đóng B(a j , R/2), j = 0, 1, , p, giao nhau khác φ. ˘ Cech(Z, R) = {σ ⊆ Z|  a j ∈σ B(a j , R/2) = φ, j = 0, 1, 2, , p} [1] Chú ý 1.3.1. Cho F là một tập hợp hữu hạn trong không gian ơclid. Nerve của F là tập hợp các tập con khác rỗng của F mà giao của họ tập con này là một tập không tầm thường. NrvF = {X ⊆ F|  X = φ} Đònh lý 1.3.2. (Nerve) Cho F là một tập lồi, đóng trong không gian ơclid. Khi đó NrvF và hợp của các tập con trong F có kiểu đồng điều giống nhau. Từ đònh ngóa Nerve, ta có phức ˘ Cech là Nerve của tập {B(a, R/2), a ∈ Z}. Vì các quả cầu B(a, R/2) là lồi nên ta có ˘ Cech tương đương đồng luân với phần hợp của các quả cầu này. Nguyễn Hồng Phúc - Cao học Đại số K20 Trang 12 1.3.2 Phức Rips Tập đỉnh là tập dữ liệu Z ⊂ R d . Đường kính: R > 0, R ∈ R. Đònh nghóa: Rips(Z, R) là tập hợp tất cả các p-simplex σ = [a 0 a 1 a p ], p = 0, 1, , sao cho các cạnh [a j a k ], 0 ≤ j < k ≤ p, có |a j − a k | ≤ R. Rips(Z, R) là phức simplicial lớn nhất có cùng số 1-skeleton với ˘ Cech(Z, R). Những simplex có số chiều lớn hơn hoặc bằng 1 thuộc Rips(Z, R) khi và chỉ khi mọi cạnh của nó cũng thuộc Rips(Z, R). Nếu khoảng cách |a j −a k | được đo trong không gian l ∞ thì phức Rips là Nerve của tập hợp các siêu lập phương có cạnh là 2R . Khi đó Rips(Z, R) tương đương đồng luân với phần hợp của những siêu lập phương này. Ví dụ 1.3.1. Hình 1.6: ˘ Cech, Rips Cho một tập hợp gồm nhiều điểm như hình 1.6(A). Ta vẽ các đường tròn có cùng bán kính, với tâm là những điểm đã cho, thì được hình 1.6(B). Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh [...]... chất hình học của dữ liệu ảnh rất tốt, nhưng có nhược điểm là cần rất nhiều cell trong quá trình tính toán Một công cụ rất hiệu quả, khắc phục được những nhược điểm của phức ˘ Cech và Rips mà ta sẽ đề cập đến đó là phức witness Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Chương 2 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trong chương này , mục 2.1 sẽ trình bày về phức witness, đây... } của n điểm landmark được chọn 2) Phương pháp chọn ngẫu nhiên: được minh họa ở hình 2.1 Hình 2.1: Landmark Nhận xét 2.1.1 Ta có: i) Cách chọn maxmin có ưu điểm là chọn được landmark phân bố đều trên toàn bộ tập dữ liệu ii) Nhược điểm của cách chọn maxmin là thường bò ảnh hưởng nặng nếu dữ liệu có nhiễu Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 17 2.1.2 Phức witness mạnh và phức witness. .. là sử dụng phân chùm, tham khảo trong [2] Nhưng theo kinh nghiệm của những người từng sử dụng thì cách này không thực sự hiệu quả, vì phương pháp phân chùm tạo thêm các đặc tính vốn không có trong dữ liệu gốc Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 21 2.2 2.2.1 Đồng điều persistent Số Betti Trong phần này ta sẽ tìm hiểu về số betti của đồng điều cổ điển Số betti được dùng để phân biệt... là các phức con của K và φ = K0 ⊆ K1 ⊆ ⊆ Kn = K (∗) Ta gọi dãy các phức (∗) là dãy lọc Ví dụ 2.2.2 Cho φ = K0 , K1 , , K7 = K là các phức con của K Ta có dãy lọc φ = K0 ⊆ K1 ⊆ ⊆ K7 = K như hình 2.6 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 23 Hình 2.6: Dãy lọc của phức simplicial K 2.2.3 Đònh nghóa đồng điều persistent Cho K là một phức simplicial, Kj là các phức con của K, với mỗi... phương pháp ngẫu nhiên và phương pháp maxmin Lần lượt tính các giá trò: phức Rips, phức witness đối với metric ơclid (ứng với mỗi v = 0, 1, 2) và phức witness đối với metric đồ thò (ứng với mỗi v = 0, 1, 2) Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 27 12 ĐIỂM LANDMARK ĐƯC CHỌN MỘT CÁCH NGẪU NHIÊN Rips Witness: metric ơclid Witness: metric đồ thò v=0 v=1 v=2 v=0 v=1 v=2 % success 54 51 99... i), là Hình 2.3: Phức witness W∞ (D) nhỏ nhất, rồi đến các khoảng cách D(a2 , i), D(a0 , i) Khi đó, nối ba điểm a0 , a1 , a2 thành mặt tam giác a0 a1 a2 Ta nói σ1 = [a0 a1 a2 ] ∈ W∞ (D) với witness i Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 19 Tương tự, ta cũng có σ2 = [a2 a3 a4 ] ∈ W∞ (D) với witness j, σ3 = [a5 a6 ] ∈ W∞ (D) với witness k Sự hình thành của hai phức W1 (D) và W∞... với một lớp khác cũ hơn khi được ánh xạ từ Kk−1 vào Kk , cụ thể như sau: j,k−1 fp (γ) ∈ Hp / j−1,k−1 , nhưng j,k j−1,k fp (γ) ∈ Hp Điều này được mô tả trong hình 2.7 Hình 2.7: Sự tồn tại của lớp γ trong Hp (Kj ) Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 25 Ví dụ 2.2.3 Cho K = K14 là một phức simplicial và K0 , K1 , , K14 là các phức con của K (Hình 2.8) Hình 2.8: Tính số betti Ta có... liệu hình ảnh, một vấn đề trọng tâm là nhận dạng các cạnh Điều này xuất phát từ cách thò giác con người nhận biết hình ảnh, bộ não tập trung xử lý các cạnh, nơi có độ tương phản cao Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 29 Ở đây, bộ dữ liệu được lấy từ bài viết của David Mumford [4] Với một số tính chất tôpô đã biết, ta sẽ xác nhận lại bằng kỹ thuật vừa trình bày ở trên Lấy ra 4.2×106... mật độ ρ100 (x) = |x − x100 | Nếu k = 300 thì ta có hàm mật độ ρ300 (x) = |x − x300 | Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 31 Hình 2.11: Hai tọa độ đầu của dữ liệu điểm Mumford với các giá trò cut khác nhau Chú ý 2.3.2 Hình 2.12 biểu diễn các đồ thò về cạnh persistent đối với số betti β1 Sử dụng metric ơclid cho 50 đỉnh được chọn theo cách maxmin Ở đây chỉ xét với v = 1 Mỗi đồ... phức witness, đây là công cụ chính được sử dụng để phân tích dữ liệu ảnh nêu trong mục 2.3 Chúng ta đã biết rằng đồng điều cổ điển chỉ có tác dụng tính toán trên lý thuyết, làm việc trên tập dữ liệu không nhiễu Đối với tập dữ liệu xuất hiện nhiễu thì kết quả mà đồng điều cổ điển mang lại không chính xác nên không có tác dụng trên thực tiễn vì hầu hết các dữ liệu thu từ thực tế luôn bò nhiễu Mục 2.2 . đến đó là phức witness. Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Chương 2 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trong chương này , mục 2.1 sẽ trình bày về phức witness, . tập dữ liệu. ii) Nhược điểm của cách chọn maxmin là thường bò ảnh hưởng nặng nếu dữ liệu có nhiễu. Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh Trang 17 2.1.2 Phức witness mạnh và phức witness. . . . 12 2 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh 15 2.1 Phức witness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Cách chọn landmark trong phức witness .