phân loại bài tập phép tính vi phân hàm một biến

102 3.5K 8
phân loại bài tập phép tính vi phân hàm một biến

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ………… KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ……. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện tháng 5 /2013 LỜI CẢM ƠN   Vậy là bốn năm học cũng đã trôi qua, giờ đây em sắp xa giảng đường đại học. Nơi đây, em nhận được sự quan tâm, dạy dỗ nhiệt tình của quý Thầy Cô, sự giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè. Bên cạnh đó, em cũng nổ lực hết mình để đạt kết quả học tập như mong muốn. Trước hết, em xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và những người thân trong gia đình của em,nguồn động lực cả về vật chất và tinh thần giúp em thành công trong học tập và cuộc sống. Em chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để em hoàn thành tốt luận văn này. Em cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập của lớp chúng em, Cô đã quan tâm, dìu dắt chúng em trong suốt khóa học. Đồng thời, em chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức nền tảng quan trọng làm hành trang bước vào cuộc sống. Sau cùng, em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong và ngoài lớp Toán Ứng Dụng K35, đã ở bên em, giúp đỡ, trao dồi kiến thức để hoàn thành tốt chương trình và chia sẻ những vui buồn trong cuộc sống suốt bốn năm qua. Tuy em cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng em không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn. ần Thơ, Tháng 5 Năm 2013 LỜI NÓI ĐẦU Trong cuộc sống, có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi có một phương pháp giải cụ thể. Cũng như chúng ta đã biết, trong học toán, giữa việc hiểu sâu lý thuyết và làm thành thạo các bài tậpmột mối quan hệ mật thiết. Chính trong quá trình học lý thuyết rồi làm bài tập, từ những bài tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến những bài tập ngày càng khó hơn, chúng ta dần dần hiểu được lý thuyết thấu đáo hơn, rèn luyện tư duy khoa học, nắm được phương pháp cơ bản, khả năng vận dụng toán học vào giả quyết vấn đề, kích thích niềm say mê học tập, say mê tìm tòi của người học. Vấn đề đặt ra: Dựa vào một bài toán, chúng ta sẽ phân loại như thế nào? Từ đó, chúng ta có những lựa chọn phương pháp giải phù hợp? Bằng phương pháp phân tích, nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến bài toán. Đề tài “Phân loại bài tập của phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp em giải quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 : Lý thuyết về phép tính vi phân của hàm một biến. Trình bày những kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm một biến. Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm. Trình bày một vài ứng dụng của đạo hàm. Chương 3 : Phân loại bài tập. Trình bày phương pháp giải, bài tập minh họa và bài tập có đáp số. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đạo hàm 1.1. Đạo hàm tại một điểm Định nghĩa 1 Giả sử hàm ( ) y f x= xác định tại 0 x và lân cận của 0 x . Nếu giới hạn ( ) ( ) 0 0 0 ( ) lim lim 0 0 + ∆ − ∆ ′ = = ∆ → ∆ → ∆ ∆ f x x f x f f x x x x x tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số ( ) f x tại điểm 0 x . Ký hiệu ( ) 0 f x ′ hay ( ) 0 y x ′ . Ý nghĩa của đạo hàm − Ý nghĩa hình học ( ) 0 tanf x α ′ = là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong ( ) y f x= tại điểm có hoành độ 0 x và tiếp tuyến có phương trình ( ) ( ) ( ) 0 0 0 y f x f x x x ′ − = − . − Ý nghĩa cơ học Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có hoành độ theo thời gian t là ( ) s t . Khi đó ( ) ( ) 0 0 v t s t ′ = là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm 0 t . − Ý nghĩa chung ( ) 0 f x ′ biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f tại 0 x . 1.2. Đạo hàm một phía Định nghĩa 2 Giả sử hàm số ( ) y f x= xác định tại 0 x và ( ) 00 xxhayxx <∀>∀ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) lim 0 + + + ∆ − ′ = ∆ → ∆ f x x f x f x x x hay ( ) ( ) 0 0 0 ( ) lim 0 − − + ∆ − ′ = ∆ → ∆ f x x f x f x x x thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm số ( ) f x tại điểm 0 x và được ký hiệu tương ứng là ( ) 0 xf + ′ và ( ) 0 xf − ′ . Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x là hàm số ( ) xf có đạo hàm trái và phải tại điểm đó và: ( ) ( ) 0 0f x f − + ′ ′ = . 1.3. Đạo hàm trong khoảng, đoạn O α 0 x M 0 x y Định nghĩa Hàm ( ) xf có đạo hàm trong khoảng ( ) ba, nếu ( ) xf có đạo hàm tại mọi điểm ( ) bax ,∈ . Hàm ( ) xf có đạo hàm trên đoạn [ ] ba, nếu ( ) xf có đạo hàm trong ( ) ,a b , có đạo hàm phải tại a và có đạo hàm trái tại b . 1.4. Đạo hàm vô hạn Định nghĩa 3 Nếu ∞= ∆ ∆ →∆ x f x 0 lim thì ta nói hàm ( ) xf có đạo hàm vô hạn tại 0 x . 1.5. Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục Định lý 2 Nếu hàm số ( ) y f x= xác định tại 0 x và lân cận của 0 x và ( ) f x có đạo hàm tại 0 x thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý Hàm số ( ) f x liên tục tại 0 x thì chưa chắn có đạo hàm tại 0 x . 2. Các quy tắc tính đạo hàm 2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Định lý 3 Nếu các hàm số ( ) xf và ( ) xg có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và:  ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x ′ ′ ′   ± = ±   .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x ′ ′ ′   = +   .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x g x f x g x g x g x ′   ′ ′ − =       . Hệ quả 1 Ta có thể mở rộng Định lý 3 với n hàm số. Giả sử các hàm số 1 2 , , , n f f f có đạo hàm tại điểm x . Khi đó: • ( ) 1 2 1 2 n n f f f f f f ′ ′ ′ ′ + + + = + + + • ( ) cf cf ′ ′ = ( c : hằng số) • 2 c cf f f ′ ′   − =  ÷   (với x sao cho ( ) 0≠xf , c là hằng số). 2.2. Đạo hàm của hàm hợp Định lý 4 Nếu hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x x= , hàm ( ) h g y= xác định trong khoảng chứa điểm ( ) 0 0 y f x= , có đạo hàm tại 0 y y= thì hàm hợp ( ) ( ) h x g f x   =   có đạo hàm tại 0 x và ( ) ( ) ( ) 0 0 0 h x h y y x ′ ′ ′ = hay ( ) ( ) ( ) 000 . xfygfg ′′ = ′ Chứng minh Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 . h y x x h y x h y x x h y x y x x y x x y x x y x x         + ∆ − + ∆ − + ∆ −         = ∆ + ∆ − ∆ Cho qua giới hạn ta được: ( ) ( ) ( ) 0 0 h x h y y x ′ ′ ′ = . 2.3. Đạo hàm của hàm ngược Định lý 5 Cho hàm số ( ) xfy = liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng ( ) ba, . Nếu ( ) xf có đạo hàm tại ( ) 0 ,x a b∈ và ( ) 0≠ ′ xf thì hàm ngược ( ) y g y= có đạo hàm tại ( ) 0 0 y f x= và có ( ) ( ) 0 0 1 g y f x ′ = ′ . 2.4. Đạo hàm của hàm ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 v x y u x u x   = >   Đối với hàm dạng này ta không thể áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa hoặc hàm số mũ để tính. Phương pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 v x y u x u x   = >   (2.2) Lấy lôgarith cơ số e của hai vế (2.2) ta được: ( ) ( ) ln lny v x u x   =   (2.3) Lấy đạo hàm hai vế thao biến x của (2.3) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln v x u x y v x u x y u x ′ ′ ′ = + Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln v x y u x u x v x u x v x u x − ′ ′ ′     = +     . 2.5. Đạo hàm của hàm ẩn 2.5.1. Hàm ẩn và hàm hiện Định nghĩa 4 Một hàm với đối số x được gọi là hàm hiện nếu ta cho nó trực tiếp bằng một biểu thức giải tích chứa x . Nói cách khác hàm hiện được cho rằng một phương trình giữa hàm y và đối số x , phương trình này được giải ra đối với y . Hàm ẩn y với đối số x là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa x và y và không giải ra đối với y 2.5.2. Đạo hàm của hàm ẩn Giả sử ( ) xfy = là hàm ẩn xác định bởi phương trình ( ) , 0F x y = . Khi đó ta có ( ) xyxF ∀= ,0, . (2.4) Xem vế trái của (2.4) như là hàm hợp, ta lây đạo hàm hai vế theo x . Khi đó sẽ xuất hiện đạo hàm ( ) xy ′ trong phương trình mới. Giải ra đối với y ′ ta tìm được biểu thức của đạo hàm. 2.6. Đạo hàm cấp cao 2.6.1. Định nghĩa 5 Giả sử hàm ( ) xf có đạo hàm trong khoảng ( ) ba, . Khi đó ( ) xf ′ cũng là hàm của x và được gọi là đạo hàm cấp một của hàm ( ) xf . Nếu ( ) xf ′ có đạo hàm thì ( )( ) ′ ′ xf gọi là đạo hàm cấp hai của ( ) xf và ký hiệu là ( ) xf ′′ . Ta cũng dùng một số ký hiệu đạo hàm cấp 2 như sau: n n dx fd dx yd fy == ′′ = ′′ 2 2 Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp 3, 4,…. Tổng quát: đạo hàm cấp n của ( ) xf là đạo hàm cấp ( ) 1−n của nó. Ký hiệu: ( ) ( ) n n n n n n d y d f y f dx dx = = = Ta quy ước: ( ) ( ) ( ) 0 f x f x= . 2.6.2. Các phép toán Định lý 6 Giả sử các hàm ( ) xf và ( ) xg có đạo hàm cấp n tại x . Khi đó:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x g x f x g x   ± = ±   .  ( ) ( ) ( ) ( ) n n cf x cf x   =   .  Công thức Leibnitz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n k n k k n k f x g x C f x g x − =   =   ∑ trong đó ( ) ! ! ! n k n C k n k = − . 3. Vi phân 3.1. Khái niệm vi phân Định nghĩa 6 Cho hàm ( ) y f x= xác định tại 0 x và lân cận của nó. Cho x một số gia x∆ tùy ý. Nếu tại 0 x số gia hàm số ( ) ( ) 0 0 y f x x f x∆ = + ∆ − viết được dưới dạng: ( ) y A x x α ∆ = ∆ + ∆ trong đó xA∆ là đại lượng tỉ lệ với x∆ và ( ) x α ∆ là vô cùng bé bậc cao hơn x∆ (nghĩa là ( ) 0→∆x α khi 0→∆x ) thì ta nói hàm số ( ) xf khả vi tại 0 x và lượng xA∆ gọi là vi phân của hàm số tại điểm 0 x . Ký hiệu: dy A x= ∆ ( ) xf gọi là khả vi trên ( ) ba, nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3.2. Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm Định lý 7 Điều kiện cần và đủ để hàm số ( ) y f x= khả vi tại 0 x là ( ) f x có đạo hàm hữu hạn tại điểm đó. Chứng minh • ( ) xf khả vi tại ( ) xxAyx ∆+∆=∆⇒ α 0 Do đó ( ) x x A x y ∆ ∆ += ∆ ∆ α và ( ) ( )       →∆→ ∆ ∆ ′ == ∆ ∆ →∆ 00lim 0 0 xkhi x x xfA x y x α Nghĩa là hàm số có đạo hàm tại 0 x . • Giả sử hàm số có đạo hàm ( ) 0 xf ′ , nghĩa là ( ) 0 0 lim xf x y x ′ = ∆ ∆ →∆ ( ) α + ′ = ∆ ∆ ⇔ 0 xf x y trong đó 0 → α khi 0 →∆ x Suy ra ( ) ( ) xxxfy ∆+∆ ′ =∆ α 0 trong đó ( ) xxf ∆ ′ 0 tỷ lệ với x∆ và x ∆ α là một vô cùng bé bậc cao hơn x∆ . Theo định nghĩa 6 thì ( ) xf khả vi tại điểm 0 x . Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm hữu hạn đối với hàm một biến. Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem dx là biến độc lập mới, gọi là vi phân của x , và biến phụ thuộc mới dy , gọi là vi phân của y , như là hàm của x và dx , ta có: ( ) dy dy dx f x dx ′ = = 3.3. Ý nghĩa hình học của vi phân Giả sử ( ) y f x= khả vi tại 0 x . Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm ( ) 0 0 0 ,M x y . Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến 0 M T với đường cong tại 0 M và chiều dương trục Ox . Ta có ( ) 0 0 tan .dy f x x M M MT α ′ = ∆ = = Vậy vi phân của hàm số ( ) xfy = ứng với 0 x và y∆ cho trước bằng số gia tung độ của tiếp tuyến với đường cong. 3.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng O α 0 x M 0 x y M T xx ∆+ 0 x∆ Giả sử ( ) xf khả vi tại 0 x và ( ) 0 0 ≠ ′ xf thì: ( ) 0 y f x x ′ ∆ ≈ ∆ hay ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ Đó là hai công thức tính gần đúng số gia hàm số và giá trị hàm số tại một điểm cho trước. Kết quả càng chính xác nếu x ∆ càng nhỏ. 3.5. Các quy tắc tính vi phân Giả sử ( ) ( ) xgxf , khả vi tại 0 x ta có:  [ ] d f g df dg± = ±  ( ) .d f g fdg gdf= +  ( ) ( ) 2 0 f gdf fdg d g x g g   − = ≠  ÷   3.6. Vi phân cấp cao Định nghĩa 7 Nếu hàm số ( ) xf khả vi đến cấp n trên ( ) ba, . Khi đó vi phân ( ) df f x dx ′ = gọi là vi phân cấp một của hàm ( ) xf ; nó là hàm của x với dx không đổi. Nếu df khả vi thì vi phân ( ) dfd gọi là vi phân cấp hai của hàm ( ) xf , ký hiệu là fd 2 . Ta có ( ) 2 d f d df= . Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp 1 − n của hàm ( ) xf gọi là vi phân cấp n của ( ) xf . Ký hiệu ( ) 1n n d f d d f − = . 4. Các định lý giá trị trung bình 4.1. Cực trị địa phương Định nghĩa 8 Hàm số ( ) y f x= xác định trong ( ) ,a b và ( ) ,c a b∈ . Hàm số ( ) xf đạt cực đại địa phương (hay cực tiểu địa phương) tại điểm c nếu tồn tại một lân cận của điểm c sao cho với mọi x thuộc vào lân cận đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f c hay f x f c x c< > ≠ Điểm c gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số. Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. Bổ đề Fermat Nếu hàm số ( ) f x xác định trong khoảng ( ) ba, và đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tại c thuộc ( ) ,a b và nếu tồn tại ( ) f c ′ thì ( ) 0f c ′ = . Chứng minh Giả sử hàm f đạt cực đại địa phương tại điểm c thuộc ( ) bac ,∈ cxax <<∀⇒ : thì ( ) ( ) ( ) ( ) 0> − − ⇒< cx cfxf cfxf Suy ra khi cx → ta có ( ) 0≥ ′ cf (1) bxcx <<∀ : thì ( ) ( ) ( ) ( ) 0< − − ⇒< cx cfxf cfxf Suy ra khi cx → ta có ( ) 0≤ ′ cf (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) 0= ′ cf . Chú ý Bổ đề trên cho phép ta hạn chế việc xét cực trị địa phương của hàm số chỉ tại những điểm hoặc là có đạo hàm cấp một triệt tiêu hoặc là không tồn tại đạo hàm. Những điểm như vậy gọi là những điểm tới hạn của hàm số. Điểm mà tại đó đạo hàm cấp một triệt tiêu còn gọi là điểm dừng. 4.2. Các định lý giá trị trung bình 4.2.1. Định lý Rolle Định lý 9 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ ] ,a b và khả vi trong khoảng ( ) ,a b . Nếu ( ) ( ) bfaf = thì tồn tại ít nhất một điểm ( ) ,c a b∈ sao cho ( ) 0f c ′ = . Chứng minh f liên tục trên [ ] ba, nên f nhận giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất tại m trên đoạn đó.  Nếu M m= thì khi đó hàm f không đổi trên [ ] ba, [ ] ,x a b∀ ∈ ta có ( ) m f x M≤ ≤ , mà ( ) m M f x m M= ⇒ = = . Dó đó ( ) 0f x ′ = tại ( ) ,x a b∀ ∈ nên điểm c có thể lấy bất kỳ điểm thuộc ( ) ,a b .  mM > . f đạt giá trị m và M trên [ ] ba, mà ( ) ( ) f a f b= nên ít nhất một trong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm c nào đó thuộc ( ) ,a b . Khi đó theo bổ đề Fermat thì ( ) 0f c ′ = Ý nghĩa hình học Giả sử đường cong ( ) y f x= thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle thì giữa hai điểm có cùng tung độ của đường cong bao giờ cũng tồn tại điểm mà tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó song song với trục Ox . 4.2.3. Định lý Lagrange Định lý 10 Giả sử hàm số f liên tục trên [ ] ba, và khả vi trên ( ) ba, . Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ( ) bac ,∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) cf ab afbf ′ = − − Chứng minh [...]... không đổi, nghĩa là bằng hằng số trong khoảng đó Chương 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP Dạng 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1 Phương pháp giải − Xác định miền xác định − Áp dụng định nghĩa của đạo hàm: − Đạo hàm tại một điểm: f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f lim = lim = f ′ ( x0 ) ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x hay lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) x − x0 − Đạo hàm một phía: lim ∆x→0+ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f +′ ( x0... định lý về tính chất của hàm số liên tục trên đoạn  Một hàm số có thể có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại nhiều điểm trên iền xác định của nó  Một hàm có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên miền xác định  Một hàm số bị chặn cũng có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất 1.3 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng mở Định lý 16: Giả sử f là hàm liên tục... ∆x→0 3 Bài tập tự giải 1 Tìm đạo hàm các hàm số sau : 1.1 f ( x ) = 1 x2 2 −x 1.2 f ( x ) = ( x + 2 x + 2 ) e 1.3 f ( x ) = x x 1.4 f ( x ) = 5( tan x − x ) 1.5 f ( x ) = 2 x 2 1.6 f ( x ) = 5sin x + 3cos x 2 Tính f ′ ( 1) nếu f ( x ) = x + ( x − 1) arcsin x x +1 3 Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 1000 ) Tính f ′ ( 0 )  x 2 e − x , nÕu x ≤ 1  4 Cho hàm số y ( x ) =  1 Tính y′... x Chương 2: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1.Cực trị của hàm số: 1.1 Cực trị địa phương: Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trong lân cận của điểm x0 , có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ x0 ) Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số Nếu f ′( x ) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực trị địa phương tại x0 và x0 được gọi là cực trị của hàm số Nếu f (... thì hàm số f có một giá trị lớn nhất trên ( a, b ) ii) Nếu f ( v ) < L và f ( v ) < M với v nào đó thuộc ( a, b ) thì hàm số f có một giá trị nhỏ nhất trên ( a, b ) Chú ý Trong định lý này a có thể là − ∞ , b có thể là + ∞ Khi đó xlim+ f ( x ) thay →a thế bằng xlim f ( x ) và xlim+ f ( x ) có thể thay bằng xlim f ( x ) →−∞ →+∞ →b 2 Xấp xỉ tuyến tính Định nghĩa 11 Ta gọi xấp xỉ tuyến tính của hàm. .. nÕu x > 1  e 2 nÕu x = 0 0  5 f ( x ) =  x Tính f ' ( 0 ) 1 + e1/ x nÕu x ≠ 0  6 Cho f ( x ) = sin 2 x Tính f −′ ( 0 ) , f +′ ( 0 ) x3 x 2 7 Cho hàm số y ( x ) = + − 2 x Hãy xác định x để cho 3 2 7.1 y′ ( x ) = 0 7.2 y′ ( x ) = −2 7.3 y′ ( x ) = 10 8 Xét hàm số f ( x ) = 1 − 1 − x 2 , D j = [ −1,1] Tính f ′ ( 0 ) 9 Tính f ′ ( x ) của các hàm số sau : 9.1 f ( x ) = 1 − e − x 2 9.2 f ( x... = −8, f ′ ( 2 ) = 0, f ′ ( 3) = 0 5 Cho hàm số f ( x ) = ( x − a ) ϕ ( x ) , trong đó ϕ ( x ) liên tục tại a Tính f ′ ( a ) Giải: Theo định nghĩa của đạo hàm ta có : lim ∆x→0 f ( a + ∆x ) − f ( a ) ( a + ∆x − a ) ϕ ( a + ∆x ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x ∆x = lim ϕ ( a + ∆x ) = lim ϕ ( a + ∆x ) ∆x→0 ∆x ∆x→0 ϕ ( x ) liên tục nên f ( a ) = ϕ ( a ) 6 Tính đạo hàm của hàm số :  1− x nÕu x ∈ ( −∞,1)   y ( x... ) = f ′′ ( x0 ) = = f ( ) ( x0 ) = 0, f ( ) ( x0 ) ≠ 0 Khi đó: + Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại x0 + Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x0 Hơn nữa nếu f ( n) ( x0 ) > 0 thì hàm số có cực tiểu và nếu f ( n) ( x0 ) < 0 thì hàm số có cực đại tại x0 1.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa 10 Hàm số f ( x ) có cực đại tuyệt đối (hay giá trị lớn nhất) tại điểm x0 thuộc miền... ∆x Công thức trên được gọi là công thức số gia giới nội Công thức này được dùng để tính gần đúng số gia hàm số hay giá trị của hàm số tại điểm đó 4.2.2 Định lý Cauchy Định lý 11 Giả sử các hàm số f và g liên tục trên [ a, b ] và khả vi trong khoảng ( a, b ) giả sử g ′( x ) ≠ 0 tại mọi x ∈ ( a, b ) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho: f ( b) − f ( b) f ′( c) = g ( b ) − g ( a ) g′ ( c )... 2  Tìm đạo hàm tại điểm x = −1 và x = 1 ta có : f +′ ( −1) = f +′ ( 1) = 1 , f −′ ( −1) = +∞ 2 1 1 , f −′ ( 1) = 2 2  1 1 + x 2 nÕu x ∈ ( −1,1]  Vậy f ′ ( x ) =  1 nÕu x > 1 2  2 ( x − a ) ( x − b ) ( 2 x − a − b ) nÕu a ≤ x ≤ b  9.4 f ′ ( x ) =  nÕu x ∉ [ a, b ] 0  10 f ′ ( 0 ) = 0 Dạng 2 : TÍNH GẦN ĐÚNG 1 Phương pháp giải − Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) − Chọn x 0 Tính ∆x , f ( . của hàm một biến. Trình bày những kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm một biến. Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm. Trình bày một vài ứng dụng của đạo hàm. Chương 3 : Phân loại bài tập. . đến bài toán. Đề tài Phân loại bài tập của phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp em giải quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 : Lý thuyết về phép tính vi phân. HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ……. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Giáo vi n hướng dẫn Sinh vi n thực hiện tháng 5 /2013 LỜI CẢM ƠN   Vậy là bốn

Ngày đăng: 12/05/2014, 11:54

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan