Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC KỸ THUẬT MÁY TÍNH MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC (CO2011) Đề bài tập lớn “Mô hình SIR trong dự báo COVID 19” GVHD Nguyễn Tiến Thịnh[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC - KỸ THUẬT MÁY TÍNH MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC (CO2011) Đề tập lớn “Mơ hình SIR dự báo COVID-19” GVHD: SV thực hiện: Nguyễn Tiến Thịnh Nguyễn An Khương Nguyễn Văn A – 22102134 Trần Văn B – 88471475 Lê Thị C – 36811334 Phạm Ngọc D – 97501334 Kiều Thị E – 12341334 Tp Hồ Chí Minh, Tháng 07/2020 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Mục lục Giới thiệu đề tài 1.1 Bối cảnh 1.2 Mơ hình SIR 1.2.1 Phát biểu mơ hình 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Euler giải hệ SIR 1.2.3 Ước lượng hệ số β γ 1.3 Kết hợp Mơ hình Học Máy 1.3.1 Giới thiệu 1.3.2 Khó khăn xây dựng mơ hình 1.3.3 Mơ hình dự báo COVID-19 có Học Máy 1.4 Dữ liệu COVID-19 Hướng dẫn yêu 2.1 Hướng dẫn 2.2 Yêu cầu 2.3 Nộp 2 2 7 8 cầu 8 Đề Cách đánh giá xử lý gian lận 4.1 Đánh giá 4.2 Xử lý gian lận 9 Tài liệu Đề tập lớn môn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 10 Trang 1/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Giới thiệu đề tài 1.1 Bối cảnh Dịch bệnh COVID-19 lần ghi nhận Thành phố Vũ Hán (Trung Quốc) khoảng cuối năm 2019 Tính đến tháng trôi qua, dịch bệnh liên tục ghi nhận khắp giới với số ca lây nhiễm đáng báo động cộng đồng dân cư Chỉ tính riêng Mỹ, tính đến ngày 18 tháng 06 năm 2020, số ca mắc COVID-19 hai triệu ca với trăm nghìn ca tử vong xác nhận Chiếm 25.9% 26.24% số ca mắc ca tử vong thơng báo tồn cầu Với tình hình phức tạp đó, quốc gia giới đồng loại thực nhiều biện pháp mạnh mẽ nhằm kiểm sốt tình hình lây lan nhanh chóng dịch bệnh Hiện nay, biện pháp cho hiệu biện pháp cách ly với thời gian cách ly 14 ngày Tuy nhiên, để nâng cao hiệu phịng chống dịch, nhiều mơ hình dự báo đưa để tiên đốn có biện pháp kịp thời trước đợt bùng phát dịch bệnh nghiêm trọng xảy 1.2 1.2.1 Mơ hình SIR Phát biểu mơ hình Mơ hình SIR (Suspectible - Infectious - Recovered) mơ hình cách ly sử dụng nhiều khứ để mô tả dịch bệnh Mô hình lần đầu phát biểu vào kỷ 20 (xem [KM27]) Mơ hình thể ba trạng thái (Có nguy mắc bệnh Mắc bệnh - Hồi phục) cho nhóm người cách ly với giả thiết miễn dịch với bệnh phục hồi Mô hình SIR hệ động lực gồm ba phương trình vi phân sau dS dt dI dt dR dt = − = β IS, N β IS − γI, N = γI, (1) (2) (3) thời điểm t ≥ t0 ≥ với t0 thời điểm đầu ghi nhận, • S(t): Số người có nguy mắc bệnh; • I(t): Số người nhiễm bệnh; • R(t): Số người phục hồi sau bệnh; • β(t): Tỷ lệ tiếp xúc người nhóm S(t) với người nhóm I(t); • γ(t): Tỷ lệ hồi phục mắc bệnh; • N (t): Tổng số người cộng đồng bị cách ly tính N (t) := S(t) + I(t) + R(t) (4) Hệ phương trình vi phân hiểu sau Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 2/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính • Phương trình (1) thể suy giảm số người có nguy mắc bệnh thời điểm t ≥ t0 Sự suy giảm tính theo xác suất lây bệnh có tiếp xúc nhóm S(t) nhóm I(t); • Phương trình (2) thể độ biến thiên số người mắc bệnh thời điểm t ≥ t0 Sự biến thiên tính cách lấy số người nhóm S(t) bị lây nhiễm sau tiếp xúc với người bệnh nhóm I(t) trừ số người nhóm I(t) phục hồi với tỷ lệ γI(t); • Phương trình (3) thể số người hồi phục từ nhóm I(t) theo tỷ lệ hồi phục γ Ví dụ 1.1 Giả sử có loại cúm lây lan cộng đồng dân cư Giả sử rằng: • Cộng đồng bị cách ly, không khơng vào; • Loại cúm có thời gian từ phát bệnh hồi phục tuần không đổi theo thời gian; • Một người mắc bệnh hồi phục khơng cịn mắc bệnh lại lần thứ hai; • Sau thời gian điều tra, tỷ lệ mắc bệnh có tiếp xúc với người bệnh mức 0.2% sau tuần tiếp xúc giả sử tỷ lệ không đổi theo thời gian Khi đó, với tuần, ta sử dụng mơ hình dS dt dI dt dR dt 1.2.2 = −0.002IS, (5) = 0.002IS − 0.5I, (6) = 0.5I (7) Phương pháp xấp xỉ Euler giải hệ SIR Phương pháp Euler phương pháp bậc thường sử dụng việc giải phương trình vi phân thường Phương pháp đặt tên theo Leonhard Euler, người giới thiệu phương pháp sách Institutionum Calculi Integralis tên xuất khoảng thời gian 1768 đến 1770 Giả sử ta có phương trình vi phân bậc y = f (t, y(t)) (8) Khi đó, ý tưởng phương pháp Euler xấp xỉ nghiệm y dãy {yn } cho yn+1 := yn + f (tn , yn )∆t, (9) với ∆t bước xấp xỉ đủ nhỏ f (t, y(t)) độ dốc đường cong y tính thời điểm t Ở dạng tổng quát, hệ phương trình vi phân bậc viết dạng y10 = f1 (t, y1 , , yN ), (10) yN = fN (t, y1 , , yN ), (11) Đề tập lớn môn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 3/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 1: Các điểm trịn màu đỏ giá trị xấp xỉ đường cong y có độ dốc f (t, y) nghĩa y = f (t, y) Sai khác yn yn−1 f (tn−1 , yn−1 )(tn − tn−1 ) yi hàm số thực phụ thuộc vào biến t ≥ fi hàm số thực phi tuyến phụ thuộc vào biến t ≥ yi ’s với i ∈ {1, , N } Phương pháp Euler áp dụng cho yi Giả sử thời điểm ban đầu, số người có khả bị nhiễm bệnh 800 người, số người mắc bệnh người số ca phục hồi chưa có Sử dụng phương pháp Euler, ta giải hệ SIR (5), (6) (7) để tìm số người có khả bị lây nhiễm, số người mắc bệnh số ca phục hồi sau hai tháng (8 tuần) tính từ thời điểm đầu ghi nhận số liệu Kết thu cho bảng sau Tuần Có nguy 800.000000 788.800000 765.609280 718.844763 629.657869 478.282662 275.990740 105.963549 37.290163 Ca nhiễm 7.000000 14.700000 30.540720 62.034877 120.204332 211.477373 308.030609 324.042496 230.694633 Ca hồi phục 0.000000 3.500000 10.850000 26.120360 57.137799 117.239965 222.978651 376.993955 539.015203 Xem [ESG93; EG96] cho thuật toán Euler mở rộng Runge–Kutta 1.2.3 Ước lượng hệ số β γ Trong bối cảnh nay, phương án cách ly nhóm người tiếp xúc trực tiếp gián tiếp quốc gia giới xem cách hữu hiệu để giảm thiểu số ca mắc bệnh Như mơ hình cách ly dạng SIR sử dụng trường hợp Tuy nhiên ta xét hệ số β γ biến đổi theo thời gian có điều chỉnh lệnh cách ly theo thời gian Từ đó, hội tiếp xúc gần với người nhiễm virus tăng giảm dẫn đến xác suất lây nhiễm β thay đổi Khi tình trạng bệnh viện trở nên tải, tập trung y bác sĩ cho bệnh nhân có thay đổi dẫn đến tỷ lệ phục hồi khác theo thời gian Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 4/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 2: Số ca mắc bệnh tăng khoảng tuần giảm dần tuần Việc ước lượng hệ số β γ phụ thuộc vào liệu COVID-19 công bố Cụ thể số ca mắc bệnh phục hồi tích lũy theo thời gian Ở đây, ta sử dụng phương pháp suy luận Bayes Gọi • X: biến ngẫu nhiên quan sát số ca mắc bệnh số ca hồi phục thời điểm t ≥ t0 ; • π(β, γ|X): phân bố xác suất hậu nghiệm β γ có liệu quan sát; • π(X|β, γ): phân bố xác suất số ca mắc bệnh số ca phục hồi β γ cho trước; • π(β, γ): phân bố xác suất tiên nghiệm chưa có liệu ghi nhận số ca mắc bệnh số ca phục hồi Định lý Bayes phát biểu sau π(β, γ|X) ∝ π(X|β, γ)π(β, γ) (12) Nghĩa phân bố xác suất hậu nghiệm β γ tính cách lấy phân bố xác suất số ca mắc bệnh số ca phục hồi β γ cho trước nhân với phân bố xác suất tiên nghiệm β γ Ví dụ 1.2 Giả sử biến quan sát độc lập lần đo đạc có phân bố xác suất X ∼ Γ(β, γ) Ta giả sử phân bố xác suất tiên nghiệm hệ số β γ Gamma sau β ∼ Γ(λβ , νβ ) (13) γ ∼ Γ(λγ , νγ ) (14) Khi đó, π(β, γ|X) tính tích ba phân bố xác suất sau π(X|β, γ) = n Y f (X(ti )|β, γ) = i=1 π(β) = n Y γβ X(ti )β−1 exp{−γX(ti )}, Γ(β) i=1 νβ λβ λβ −1 β exp{−νβ β} Γ(λβ ) Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 (15) (16) Trang 5/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính π(γ) = νγ λγ λγ −1 γ exp{−νγ γ}, Γ(λγ ) (17) n số lần ghi nhận giá trị biến quan sát X Γ hàm Gamma Z ∞ Γ(y) = z y−1 exp(−z)dz (18) Ước lượng có vai trò quan trọng thể hệ số R0 := β γ (19) Khi hệ số R0 < thi khơng có đợt bùng phát dịch bệnh xảy tỷ lệ tiếp xúc người mắc bệnh β nhỏ tốc độ phục hồi Khi hệ số R0 > đợt bùng phát dịch bệnh xảy tương lai tỷ lệ tiếp xúc với người mắc bệnh cao tốc độ phục hồi sau bệnh Đặc biệt giá trị trung bình hệ số Z E(R0 ) = π(β, γ|X)R0 (β, γ)d(β, γ) (20) Trong X liệu số ca mắc bệnh phục hồi quan sát Giá trị trung bình ước lượng phân bố xác suất π(β, γ|X) tính nhờ vào cơng thức Bayes (12) Tuy nhiên, tích phân (20) khơng thể tính tốn cách trực tiếp Thay vào sử dụng công thức xấp xỉ Z Z m X βi , γi i=1 (21) (βi , γi ) lấy dựa phân bố xác suất tiên nghiệm π(β, γ) m kích cỡ mẫu Nghĩa là, lấy mẫu kích cỡ m đủ lớn gồm giá trị biến ngẫu nhiên (β, γ) dựa phân phối xác suất tiên nghiệm π(β, γ) tính tổng giá trị π(X|β, γ) βγ mẫu Thuật toán Metropolis–Hastings sử dụng để tạo mẫu (β, γ) dựa phân bố xác suất π(β, γ) Thuật toán Metropolis–Hastings biết đến phương pháp xích Markov Monte Carlo (xem [Has70]) có bước sau E(R0 ) = π(β, γ|X)R0 (β, γ)d(β, γ) ∝ π(X|β, γ)π(β, γ)R0 (β, γ)d(β, γ) ≈ π(X|βi , γi ) Khởi tạo β0 γ0 từ phân bố xác suất tiên nghiệm π(β, γ) Gán β := β0 γ := γ0 Khởi tạo β ∗ γ ∗ ngẫu nhiên từ phân phối xác suất p(β, γ) Nếu p(β, γ) đối xứng, nghĩa p(β ∗ , γ ∗ |β, γ) = p(β, γ|β ∗ , γ ∗ ), gán cho r xác suất giữ lại β ∗ γ ∗ công thức π(β ∗ , γ ∗ ) r := 1, (22) π(β, γ) đến Bước Đề tập lớn môn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 6/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Nếu không đối xứng, gán π(β ∗ , γ ∗ )p(β, γ|β ∗ , γ ∗ ) r := 1, π(β, γ)p(β ∗ , γ ∗ |β, γ) (23) đến Bước 6 Khởi tạo giá trị q ngẫu nhiên từ phân phối liên tục U (0, 1) Nếu q < r, tạo βi+1 := β ∗ γi+1 := γ ∗ với i số phần tử mẫu đến Bước Ngược lại, tạo βi+1 := βi γi+1 := γi đến bước 9 Lặp lại từ Bước với β := βi γ := γi đủ kích cỡ mẫu Chi tiết phương pháp Monte Carlo thuật toán Metropolis–Hastings xem [Bro+11] 1.3 1.3.1 Kết hợp Mơ hình Học Máy Giới thiệu Bên cạnh phương pháp ước lượng suy luận Bayes, mơ hình Học Máy đưa vào dự đốn tình hình dịch bệnh COVID-19 tháng vừa qua Điểm bật mơ hình Học Máy khả tính tốn mạnh mẽ máy tính để tìm đặc tính xu hướng phát triển chứa đựng liệu Một mơ hình Học Máy đại mơ tả tương tự hình dạng mạng lưới tế bào Nơron thần kinh nối liên tiếp với để rút trích đặc trưng liệu qua lớp mạng lưới Học Máy vốn có bắt nguồn từ Thống kê lần Marvin Minsky Dean Edmonds xây dựng nên vào năm 1951 với trợ giúp máy tính trình huấn luyện Hình 3: Sơ đồ mạng lưới mơ hình Học Máy 1.3.2 Khó khăn xây dựng mơ hình Học Máy vốn có trọng tâm toán tối ưu cực tiểu hóa hàm chi phí, dùng để đo đạc sai số giá trị thực tế giá trị dự đốn mơ hình Việc thiết kế xây dựng hàm chi phí phù hợp với liệu đầu vào việc tìm điểm tối ưu vấn đề gặp phải Tùy vào loại liệu mà mơ hình xây dựng khác Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 7/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 4: Mơ hình Học Máy kết hợp SIRD công bố Luca Luca Magri Nguyen Anh Khoa Doan [MD20] 1.3.3 Mô hình dự báo COVID-19 có Học Máy Một mơ hình Học Máy có kết hợp mơ hình cách ly cổ điển thiết kế sau Thứ nhất, khởi tạo SIR hay SIRD với hệ số đầu vào ban đầu β (hệ số lây nhiễm), γ (hệ số phục hồi) µ (hệ số tử vong SIRD) để tính số ca mắc bệnh dự đoán I(t), số ca phục hồi dự đoán R(t) số ca tử vong dự đoán D(t) thời điểm t ≥ t0 Sau sử dụng mạng lưới Nơron dùng số liệu xác nhận từ quốc gia số ca mắc bệnh, số ca tử vong số ca phục hồi thật quốc gia để ước tính lại số hồi phục γ, số lây nhiễm β số tử vong µ thời điểm cơng bố dịch bệnh COVID-19 Mơ hình hàm chi phí cụ thể xem [MD20] Phương pháp cực tiểu hóa hàm chi phí tham khảo [SL04] sách Học Máy Học sâu 1.4 Dữ liệu COVID-19 Trong khuôn khổ tập lớn này, ta sử dụng liệu công bố tập hợp https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19 Dữ liệu dạng chuỗi thời gian lấy từ đường dẫn “COVID-19/csse_covid_19_data/csse_covid_19_time_series/” Hướng dẫn yêu cầu 2.1 Hướng dẫn Đọc kĩ thông tin mơ hình TLTK [GFH13, Example on page 50 and Example on page 564] [JKG20] (xem dịch tiếng Việt https://tinyurl.com/y8bdl3hn) SV chia nhóm lớp L01-04 với khơng thiết lớp Mỗi nhóm từ 3-5 người 2.2 Yêu cầu • Hạn nộp bài: 24/7/2020 Đối với câu hỏi, yêu cầu sinh viên trình bày bố cục rõ ràng, mạch lạc • Viết báo cáo theo bố cục file mẫu LaTeX • Mỗi nhóm nộp cần phải nộp theo file log (nhật ký) ghi rõ: tiến độ công việc, phân công nhiệm vụ, trao đổi thành viên, Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 8/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 2.3 Nộp • SV nộp qua hệ thống BK-eLearning: nén tất file cần thiết (file tex, file py, ) thành file tên “BTL-CO2011-MT192-Cac-MSSV.zip” nộp mục Assignment trang BK-eLearning • Lưu ý: nhóm cần thành viên nhóm trưởng nộp Đề Sinh viên thực yêu cầu sau Bài tốn (Bắt buộc) Trình bày lại chi tiết cách xây dựng mơ hình SIR (cả trường hợp rời rạc lẫn liên tục) mở rộng vấn đề liên quan Bài toán (Bắt buộc) Viết chương trình sử dụng thuật tốn Euler tìm nghiệm hệ SIR mở rộng với tham số đầu vào gồm biến thời gian t, hệ số tiếp xúc β, hệ số phục hồi γ điều kiện đầu số ca mắc bệnh I(t0 ) số ca phục hồi R(t0 ) mơ hình tính thời điểm ghi nhận ca nhiễm bệnh Giá trị trả mảng chứa số người nhiễm bệnh I(t) số người hồi phục R(t) tính thời điểm t ≥ t0 Cho số ví dụ điều kiện đầu hệ số mơ hình dùng chương trình viết để tìm nghiệm xấp xỉ Biểu diễn nghiệm xấp xỉ cách vẽ đồ thị Trường hợp hệ SIR mở rộng SIRD cần trả I(t), R(t) D(t) số ca tử vong thời điểm t ≥ t0 Trình bày chi tiết kết báo cáo Bài toán (Bắt buộc) Viết chương trình theo ngơn ngữ tự chọn để lấy mẫu sử dụng thuật toán Metropolis–Hastings với tham số đầu vào phân bố xác suất tiên nghiệm π(β, γ) cho trước Giá trị trả mẫu gồm cặp β γ có phân bố xác suất π(β, γ) Vẽ biểu đồ thể trình chọn mẫu.Trình bày chi tiết kết báo cáo Bài toán (Bắt buộc) Mỗi nhóm tự chọn lấy khu vực gồm số quốc gia, dùng chương trình Bài tập để ước lượng giá trị trung bình hệ số R0 (20) khu vực Phân tích rõ sách hạn chế lại cách ly ảnh hưởng đến hệ số R0 khu vực Nêu rõ dẫn chứng Xem tham khả [JKG20] Chương trình mẫu viết ngơn ngữ R tham khảo [LM05] Trình bày chi tiết kết báo cáo Bài toán (Nâng cao bắt buộc hệ kỹ sư tài năng, tùy chọn hệ CQ) Sử dụng hàm chi phí mơ hình ước lượng báo [MD20], huấn luyện lại mô hình theo liệu từ khu vực quốc gia chọn Phân tích kết trực quan hóa kết cách vẽ đồ thị Trình bày chi tiết kết báo cáo 4.1 Cách đánh giá xử lý gian lận Đánh giá Mỗi làm đánh sau 4.2 Xử lý gian lận Bài tập lớn phải sinh viên (nhóm) TỰ LÀM Sinh viên (nhóm) bị coi gian lận nếu: Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 9/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Nội dung Các chương trình viết gọn gàng thực thi Phân tích mạch lạc, có tính hệ thống, trọng tâm câu hỏi Biểu đồ đồ thị đúng, rõ ràng trực quan Trình bày kiến thức chuẩn bị rõ ràng, phù hợp Trình bày văn đẹp, chuẩn Tỉ lệ điểm (%) 30% 30% 20% 15% 5% • Có giống bất thường thu hoạch (nhất phần kiến thức chuẩn bị) Trong trường hợp này, TẤT CẢ nộp có giống bị coi gian lận Do sinh viên (nhóm) phải bảo vệ làm • Sinh viên (nhóm) khơng hiểu làm viết Sinh viên (nhóm) tham khảo từ nguồn tài liệu nào, nhiên phải đảm bảo hiểu rõ ý nghĩa tất viết Bài bị phát gian lận sinh viên bị xử ý theo quy định nhà trường Tài liệu [Bro+11] Steve Brooks et al Handbook of Markov Chain Monte Carlo CRC press, 2011 [EG96] Hairer Ernst and Wanner Gerhard Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems Springer, 1996 [ESG93] Hairer Ernst, P Nørsett Syvert, and Wanner Gerhard Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Prolemns Springer, 1993 [GFH13] Frank Giordano, William P Fox, and Steven Horton A first course in mathematical modeling Nelson Education, 2013 [Has70] W K Hastings “Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications” In: Biometrika 57 (1) (1970), pp 97–109 [JKG20] T Wu Joseph, Leung Kathy, and Leung Gabriel “Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study” In: 395 (2020) [KM27] William Ogilvy Kermack and A G McKendrick “A contribution to the mathematical theory of epidemics” In: Proc R Soc Lond A 115 (1927), pp 700–721 [LM05] S T Ho Lam and A Suchard Marc Simple MCMC under SIR 2005 url: https: //cran.r-project.org/web/packages/MultiBD/vignettes/SIR-MCMC.pdf [MD20] Luca Magri and Nguyen Anh Khoa Doan “First-principles Machine Learning for COVID-19 Modeling” In: arXiv preprint arXiv:2004.09478 (2020) [SL04] Boyd Stephan and Vandenberghe Lieven Convex Optimization Cambridge University Press, 2004 Đề tập lớn mơn Mơ hình hóa Tốn học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020 Trang 10/10