BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Stt Họ và Tên Công việc Chữ ký Nhận xét của GV 1 Trần Bá Định Chương I 2 Trương Thị Kim Ngọc Chương II 3 Huỳnh Thị Phấn Chương III 4 Phạm Thị Quý Chương III Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự sắp xếp các đối tượng.Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Chủ đề này được nghiên cứu từ thế kỷ 17 khi những câu hỏi về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu của các trò chơi may rủi. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Một bài toán khác trong lý thuyết tổ hợp là việc tạo ra các cách sắp xếp theo một kiểu nào đó. Vấn đề này rất quan trọng trong các mô phỏng máy tính. Chúng ta cũng sẽ đưa ra những thuật toán tạo các cách sắp xếp theo nhiều kiểu khác nhau. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 2 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán học, tin học… Trong lý thuyết tổ hợp, cấu hình tổ hợp nâng cao là phương pháp giúp giải các bài toán đếm nhanh và hiệu quả hơn rất nhiều. Nó có nhiều ứng dụng hay trong thực tế và trong tính toán. CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP I. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta đã biết tới những hình vuông bí ấn. Thời cổ Hi-Lạp, thế kỷ 4 trước Công Nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra nhiều số có tính chất đặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên. 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 1 3 + 2 3 + 3 3 Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định. Một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử: 1. Bài toán tháp Hà Nội Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Bài toán phát biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn. Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn. Hãy đếm số lần di chuyển đĩa. Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu. Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 3 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ta có số lần di chuyển là: 2 n – 1. Khi n = 64, ta có số lần di chuyển là : 18 446 744 073 709 551 615 2. Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán này cũng do Lucas đưa ra vào năm 1891. Bài toán phát biểu như sau : Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần nhau. Có bao nhiêu cách xếp như vậy ? Từ yêu cầu của bài toán dẫn đến việc nghiên cứu một khái niệm quan trọng là số phân bố và mãi đến năm 1934 mới có lời giải. Số cách xếp là : 2.n ! .U n trong đó U n là số phân bố. Ta có bảng giá trị sau nó nói lên sự bùng nổ tổ hợp ghê gớm của số phân bố n = 4 5 6 7 8 9 10 11 U n = 2 13 80 579 4 738 43 387 439 792 4 890 741 3. Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ Cho bàn cờ vua với kích thước 8  8 = 64 ô. Tìm đường đi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần, và quay về ô xuất phát. Người ta chứng minh tổng quát được rằng : 7 Trên bàn cờ vua có số cạnh chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 bao giờ cũng tồn tại đường đi. Đường đi của Euler (1759) có tính chất : hiệu các ô đối xứng qua tâm bàn cờ bằng 32. 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 1 26 15 20 7 32 13 22 16 19 8 25 14 21 6 31 27 2 17 10 29 4 23 12 18 9 28 3 24 11 30 5 Đường đi của Beverle (1848) có tính chất : tổng các ô trên cột và hàng bằng 260 1 30 47 52 5 28 43 54 48 51 2 29 44 53 6 27 31 46 49 4 25 8 55 42 50 3 32 45 56 41 26 7 33 62 15 20 9 24 39 58 Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 4 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11 4. Hình vuông la tinh Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, 3, … , n - 1, n thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng: 1 + 2 + … + n = ( 1) 2 n n + Hình vuông la tinh chuẩn cấp n là hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu và cột đầu là 1, 2,…, n. Bảng sau đây là hình vuông la tinh chuẩn cấp 7 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 7 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6 Công thức tính số hình vuông la tinh đến nay vẫn còn bỏ ngơ. Tuy nhiên ta có thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn. Dưới đây là một số giá trị: n = 1 2 3 4 5 6 7 l n = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080 (l n là số hình vuông la tinh chuẩn cấp n) II. SƠ LƯỢC VỀ TOÁN HỌC TỔ HỢP Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan tới nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Nói một cách tổng quát thì lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Mỗi cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp. 1. Cấu hình tổ hợp Cho các tập hợp A 1 , …, A n . Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phân tử của A 1 , …, A n được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R 1 , …, R m là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A 1 , …, A n Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 5 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến thỏa mãn các điều kiện R 1 , …, R m gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A 1 , …, A n . 2. Bài toán tổ hợp 2.1. Bài toán tồn tại Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó. Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ. Cho n là số nguyên dương A là tập hợp n x n điểm: A = { [i, j] | i, j = 1, , n } S là tập hợp 2n điểm trong A R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng Với 2 15n ≤ ≤ cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bài toán vẫn chưa có lời giải với n>15. 2.2. Bài toán đếm Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét”. Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lí đếm và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán Ví dụ. Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y +z = 10. 2.3. Bài toán liệt kê Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? Ví dụ. Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử. 2.4. Bài toán tối ưu tổ hợp Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 6 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ). Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất). 3. Một số nguyên lí cơ bản 3.1. Nguyên lý nhân Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1 có thể được thực hiện n 1 cách, bước 2 có thể được thực hiện n 2 cách, …, bước k có thể được thực hiện n k cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là n 1 . n 2 …. n k 3.2. Nguyên lý cộng Giả sử {X 1 , X 2 ,…,X n } là một phân hoạch của tập S. Khi đó 1 2 n S X X X= + + + 4.Cấu hình tổ hợp cơ bản 4.1. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại. Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề - các X k , với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là: AR(n,k) = n k Ví dụ 1. Tính số các dãy nhị phân có độ dài n: Mỗi dãy nhị phân có độ dài n là một bộ có thứ tự gồm n thành phần được chọn trong tập {0, 1}. Do đó số dãy nhị phân có độ dài n là: 2 n Ví dụ 2. Biển số ô tô có 6 chữ cái và 2 chứ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ O và I). Hỏi số ô tô được đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu? Giải. Gọi X là tập hợp các chữ cái nằm trong bảng đăng ký., suy ra X có 24 phần tử (Vì không dùng chữ O và I). Vì vậy ta có AR(24, 2) = 24 2 cách chọn 2 chữ số đầu tiên. Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng tỏng bản đăng ký, suy ra Y có 10 phần tử. Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 7 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Vì vậy có AR(10, 6)= 10 6 cách chọn 6 chữ số. Do đó theo quy tắc nhân có tất cả 24 2 . 10 6 biển số ô tô. 4.2. Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được lặp lại. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế tiếp như sau: Chọn thành phần đầu: có n khả năng Chọn thành phần thứ 2: có n - 1 khả năng Chon thành phần thứ k: có n – k + 1 khả năng Như vậy theo nguyên lý nhân , số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là: A(n, k) = n.(n - 1). .(n – k + 1) = ( ) ! ! n n k− Ví dụ 1. Có 10 vận động viên thi chạy. Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán các vận động viên về nhất, nhì, ba. Biết rằng các vận động viên đều có cùng khả năng. Giải. Số cách dự đoán là số cách chọn có thứ tự 3 trong 10 vận động viên A(10, 3) =10.9.8=720 cách dự đoán. Ví dụ 2. Có bao nhiêu số có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3,4, 5 thoả mãn không chữ số nào được lặp lại? Giải. Cách lấy 4 chữ số từ 6 chữ số trên sao cho các số khác nhau là 1 chỉnh hợp không lặp chập 4 của 6 phần tử. Vậy số các chữ số thoả mãn là: A(6,4) = 6.5.4.3=360 4.3. Hoán vị Định nghĩa. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ tự các phần tử đó. Hoán vị có thể coi như trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập k của n trong đó k = n. Ta có số hoán vị là: Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 8 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến P(n) = n! Ví dụ. Có bốn người rủ nhau đi chụp ảnh là A, B C, D. Hãy tính xem có bao nhiêu kiểu ảnh chụp mà tất cả bốn người đứng thành một hàng ? Giải. Số kiểu ảnh là một hoán vị của 4 người. Vậy số kiểu ảnh là 4! = 24. 4.4. Tổ hợp Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho. Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n, k). Ta có A(n, k) = C(n, k).k! Suy ra C(n, k) = n! k!(n k)! − Ví dụ 1. a. Có n đội thi đấu vòng tròn. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? b. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 32 mà trong đó có đúng 6 số 1? Giải a. Vì thi đấu vòng tròn nên cứ 2 đội gặp nhau 1 trận. Do đó số trận đấu là tổ hợp chập 2 của n. Vậy số trận đấu là C(n, 2) = ( ) ! 2! 2 ! n n − b. Số xâu nhị phân là C(32, 6) = ( ) 32! 6! 32 6 !− = 32! 6!26! Ví dụ 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số mà chữ số đứng sau phải lớn hơn chữ số đứng trước? Giải. Chữ số đầu tiên phải khác 0 nên chỉ xét 9 chữ số từ 1 đến 9. vậy số các số tự nhiên cần tìm là: C(9,5)=126. Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 9 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG II. CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO 1. Hoán vị lặp Định nghĩa. Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định số lần lặp lại cho trước. Định lý. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau trong đó số phần tử thứ nhất lặp n 1 lần, số phần tử thứ 2 lặp n 2 lần, , số phần tử thứ k lặp n k lần là: P( n; n 1 , n 2 , n k ) = 1 2 ! ! ! ! k n n n n với n = n 1 + n 2+ ….+ n k Hệ quả. Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n 1 phần tử kiểu 1, n 2 phần tử kiểu 2, , n k phần tử kiểu k. Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S là P( n; n 1 , n 2 , , n k ) = 1 2 ! ! ! ! k n n n n Chứng minh. Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy có C(n, n 1 ) cách giữ n 1 chỗ cho n 1 phần tử loại 1, còn lại n – n 1 chỗ trống. Sau đó có C(n- n 1 , n 2 ) cách đặt n 2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại n – n 1 – n 2 chỗ trống. Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, 4,…, k – 1 vào chỗ trống hoán vị. Cuối cùng có C(n – n 1 - … - n k-1 , n k ) cách đặt n k phần tử loại k vào hoán vị. Theo quy tắc nhân ta có các hoán vị là: C(n, n 1 ) . C(n- n 1 , n 2 ) . … .C(n – n 1 - … - n k-1 , n k ) = !! !. ! 21 k nnn n . Ví dụ. Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS? Giải. Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không phải là số hoán vị của 7 chữ cái được. Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E. Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có C(7,3) Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 10 [...]... LUẬN Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp Các bài toán đếm, liệt kê với sự trợ giúp của máy tính đã được giải quyết cùng với cấu hình tổ hợp nâng cao Đề tài Cấu hình tổ hợp nâng cao và ứng dụng đã hệ thống lại các cấu hình tổ hợp cơ bản Sau đó mở rộng các cấu hình tổ hợp nang cao Các cấu hình này được ứng dụng rộng rãi... | xx Hóa | Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 x Trang 11 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch ứng chỉ phân cách giữa giữa các loại sách Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2 vị trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử Suy ra số cách chọn sách là: C(8, 2) = 28 Ví dụ... Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến a) Ta biểu diễn m cái hộp từ m + 1 vạch thẳng ứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao (*) Chẳng hạn như |**|*|***|*|…….|***| Như vậy ở ngoài cùng luôn là các vạch thẳng ứng, còn lại m - 1 vạch thẳng ứng và n viên bi được sắp xếp theo thứ tự tuỳ ý Như vậy số cách sắp xếp khác nhau bằng số cách chọn n phần tử trong tập hợp. .. n−1 thanh ứng và k ngôi sao Ta dùng n − 1 thanh ứng để phân cách các ngăn Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập xuất hiện trong tổ hợp Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử được biểu thị bởi: **| * | |*** mô tả tổ hợp chứa đúng 2 phần tử thứ nhất, 1 phần tử thứ hai, không có phần tử thứ 3 và 3 phần tử thứ tư của tập hợp Mỗi dãy n − 1 thanh và k ngôi sao ứng với một... cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG III ỨNG DỤNG I CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN Bài toán 1 Bài toán đếm cách xếp chỗ 1 Một tổ sinh viên có 7 nam và 5 nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để không có hai sinh viên nữ ứng gần nhau? Giải Mỗi cách xếp hàng tương ứng với một hoán vị của 7 (SV nam A1, A2, ,A7) và một chỉnh hợp chập 5 (SV nữ) của 8 (khoảng trống ký hiệu bằng dấu... của tập B vào khoảng giữa các phần tử của tập A và 2 đầu Có tổng cộng m + 1 vị trí nên số cách xếp là: A(m+1, n) n > m+1: Không có cách sắp xếp n < m+1 hoặc n = m+1 Theo quy tắc nhân ta có m! A(m+1,n) Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 15 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 2 Có bao nhiêu cách xếp k bit 0 và m bit 1 trên hàng ngang sao cho không có 2... sau: Đoạn từ (0,0) đến (x, y) P’ trùng với P Đoạn từ (x,y) đến (n−1, n +1) đối xứng với P qua đường thẳng nối hai điểm (0,1) và (n−1, n) Giữa P và P’ là quan hệ 1−1 Như vậy ta có Bn = C (2n, n − 1) Suy ra Gn = C (2n, n) − C (2n, n − 1) Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 17 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Số Gn gọi là số Catalan (mang tên nhà toán... nhóm, mỗi nhóm có n vật là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập k.n của k.n với số phần tử tương ứng n4n, , n , 3 của các tập con là 1 2 4 k sè n Vậy số cách xếp đặt là: C ( k n; n, n, , n) = (k n)! n !n ! n ! II CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO 1 Hoán vị lặp Bài toán 4 Số cách phân chia n đồ vật khác nhau vào trong k hộp khác nhau sao cho có ni vật được đặt vào trong hộp thứ i, với i = 1, 2, , k bằng n! n1!.n... điều phải chứng minh Ví dụ (i) Số cách chia 12 sinh viên vào 3 lớp học buổi sáng, buổi chiều và buổi tối, mỗi lớp 4 sinh viên là 12! C(12; 4, 4, 4) = ( 4!) 3 (phân hoạch thứ tự) (ii) Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 sinh viên là 12! C (12;4,4,4) = ( 4!) 3 3! 3! (phân hoạch không thứ tự) Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 14 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD:... chia 10 viên kẹo cho 3 em bé sao cho em nào cũng có kẹo có thể coi như cách đặt 2 dấu | vào 9 vị trí xen giữa các viên kẹo Do đó, số cách chia kẹo là số tổ hợp chập 2 của 9 phần tử Vậy số cách chia là: C(9, 2) = 36 Bài toán 9 Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 21 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Tìm số bộ nghiệm nguyên dương, nguyên không âm của . Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG I. CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN Bài toán 1. Bài toán đếm cách xếp chỗ 1. Một tổ sinh viên có 7 nam và. Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 9 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG II. CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO 1. Hoán vị lặp Định nghĩa. Hoán vị lặp là. toán tối ưu tổ hợp Nhóm Học viên: Nhóm 7_ PP Toán Sơ Cấp K24 Trang 6 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được