Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Mục lục Trang Mục lục 01 Giới thiệu Giới thiệu đề tài 02 Giới thiệu nhóm 03 Nội dung đề tài Chương 1. Đại cương về tổ hợp 04 Chương 2. Bài toán nguyên lý Dirichlet 05 2.1 Nguyên lý Dirichlet 05 2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu 06 2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 07 Chương 3. Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 09 3.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 09 3.2 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực số học 11 3.3 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực hình học 16 3.4 Ứng dụng nguyên lí trong các bài toán khác 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 1 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Giới thiệu Giới thiệu về đề tài Nguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp các phần tử vào các lớp. Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học người Đức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất. Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong nhiều trường hợp sử dụng nguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thể mà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toán chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi. Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn, có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán. Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chú trọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp, số học và hình học”. Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp. Chương 2. Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toán trong các chương sau. Chương 3. Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bài tập. 2 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Giới thiệu về nhóm STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Vũ Hứa Hạnh Nguyên Chương 1 Chương 3 2 Nguyễn Thị Kim Thoa Chương 2 Chương 3 3 Đinh Thị Thuỷ Chương 2 Chương 3 4 Lê Quang Huy Giới thiệu Chương 3 3 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Nội dung đề tài Chương 1. Đại cương về tổ hợp. Tổ hợp là một lĩnh vực của toán học rời rạc, là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ 17. Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, khoa học máy tính, hóa học…Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn đề khác nhau của toán học nên khó có thể định nghĩa một cách tổng quan. Nội dung của lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu, phân bố các phần tử vào các tập hợp. Các phần tử này thường hữu hạn và việc phân bố phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó. Trong nhiều trường hợp, việc xác định sự tồn tại một cấu hình thỏa mãn tính chất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặc lý thuyết cũng như thực tế. Vì vậy một bài toán tổ hợp là một bài toán: “Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước”. Bài toán tồn tại nghiên cứu từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác, các bài toan dưới đây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó. 4 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương II Bài toán nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý chuồng và thỏ) Nguyên lý Dirichlet khẳng định một sự kiên “hiển nhiên” rằng n+1 con thỏ không thể xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ ở riêng một chuồng . Một cách tổng quát, nguyên lý này khẳng đinh rằng: Nếu có m đối tượng xếp vào n hộp và m n> thì tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đối tượng. Chứng minh: Nguyên lý này rất dễ kiểm tra: Nếu không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng, thì số đối tượng không lớn hợn n, mâu thuẫn với giả thuyết số đối tượng m lớn hơn số hộp n. Tuy rằng với nguyên lý này người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi. Ngày nay chúng ta đã có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này trong các ứng dụng không tầm thường như các định lý kiểu Ramsey, phương pháp xác suất… Mặc dù nguyên lý Dirichlet được phát biểu rất đơn giản nhưng cái khó của nó là phải xác định được xem thỏ là gì, chuồng là gì. Ví dụ minh họa: Một lớp có 30 học sinh. Chứng tỏ trong lớp tìm thấy ít nhất 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. Lời giải: Bảng chữ cái tiếng Việt có 29 chữ cái (lồng). Lớp có 30 học sinh (thỏ). Số học sinh nhiều hơn số chữ cái nên có ít nhất 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. 2.1.2 Nguyên lý Dirichlet 2 Nếu nhốt n con thỏ vào 2m ≥ cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất 1n m m + −       con thỏ, ở đây kí hiệu [ ] α để chỉ phần nguyên của số α . 5 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chứng minh: Giả sử mọi chuồng thỏ đều không có đến 1 1 1 1 1 n m n n m m m + − − −       = + = +             con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng 1n m −       con. Suy ra tổng số con thỏ không vượt quá 1 . 1 n m n m −   ≥ −     con.(Vô lý vì có n con thỏ). Vậy giả sử sai. Nên nguyên lý được chứng minh. Ví dụ minh họa: Một trạm y tế có 150 bệnh nhân thì trong đó có ít nhất [ ] 150 29 1 6 29 + −   =     Vậy có 6 người có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. 2.1.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Giả sử tập hữu hạn S có các tập con 1 , , k A A . a.Nếu mỗi phần tử của S chứa trong ít nhất r tập con i A , thì 1 + + k A A ≥ .r S b. Nếu mỗi phần tử của S chứa đúng trong r tập con i A , thì 1 + + k A A = .r S Chứng minh: a. Gọi P là tập tát cả các cặp ( , )s i ∈S.{1,…,k} thỏa s ∈ i A . Để đếm được P, ta có: | | |{ | }| .| | i s S s S P i s A r r S ∈ ∈ = ∈ ≥ = ∑ ∑ Mặt khác 1 1 | | |{s | }| | | | | k i k i P s A A A = = ∈ = + + ∑ Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b. Chứng minh tương tự. Ví dụ minh họa: Xếp ngẫu nhiên các số 1, 2, , 12 trên vòng tròn. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 số kề nhau có tổng lớn hơn hoặc bằng 20. Lời giải: Đánh số các vị trí từ 0 đến 11 và kí hiệu i a là số ở vị trí i. Đặt i a quả bóng vào vị trí i và kí hiệu i A là tập hợp các quả bóng ở vị trí , 1, 2i i i+ + , ở đây 6 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 1, 2i i+ + được lấy theo modun 12, kí hiệu S là tập hợp tất cả các quả bóng, 0 1 11 S A A A= ∪ ∪ ∪ . Khi đó mỗi quả bóng chứa đúng trong ba tập i A . Theo nguyên lý Dirichlet mở rông, ta có: 0 1 11 | | | | | | 3.| |A A A S+ + + = . Ta có: 13 3.| | 3.(1 2 12) 3.12. 3.78 234 2 S = + + + = = = ⇒ Tồn tại tập i A có ít nhất 20 quả bóng. 2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu. 2.2.1 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử. Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ và 1 2 , , , n S S S là các tập con của S sao cho 1 2 + + + n S S S ≥ .k S . Khi đó, tồn tại một phần tử x ∈ S sao cho x là phần tử chung của k+1 tập i S (i = 1,2,…, n). 2.2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử. a. Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng. Kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I ⊂ ¡ Định lý 1: Cho A là một khoảng giới nội, 1 2 , , , n A A A là các khoảng sao cho i A A⊂ (i = 1,2,…n) và 1 2 ( ) < ( ) + ( )+ + ( ) n d A d A d A d A . Khi đó, có ít nhất hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung. Chứng minh: Giả sử không có cặp nào trong những khoảng đã cho có điểm trong chung. Khi đó, 1 2 1 2 ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) > ( ) n n d A A A d A d A d A d A∪ ∪ ∪ Mặc khác, từ i A A⊂ (i = 1,2,…n), suy ra 1 2 ( ) n d A A A∪ ∪ ∪ ≤ (A)d Mâu thuẫn. Vậy ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng trên có điểm trong chung. b. Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi đường cong phẳng khép kín. Kí hiệu S(A) là diện tích bề mặt A. Định lý 2: Nếu A là một bề mặt được giới hạn bởi đường cong phẳng khép kín, còn 1 2 , , , n A A A là các bề mặt sao cho i A A⊂ (i = 1,2,…n) và 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n S A S A S A S A< + + + thì ít nhất có 2 bề mặt trong số các bề mặt trên có điểm trong chung. 7 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chứng minh: Chứng minh tương tự định lý 1 2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet Các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường là bài toán chứng minh sự tồn tại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việc đó. Bài toán cơ thể xuất hiện sau khi biến đổi qua một số bược trung gian hay sau khi thành lập các dãy số mới. Kết hợp với các phương pháp chứng minh phản chứng để giải toán. Phải biến đổi để xuất hiện khái niệm “thỏ và lồng” trong bài toán và khái niệm nhốt thỏ vào lồng. Trong một bài toán có thể phải sử dụng nguyên lý Dirichlet 2 hay 3 lần mới giải được. Phải sử dụng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt cho dễ hiểu. 8 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương 3 Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong giải toán 3.1 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp Bài toán 1.1 Để kỷ niệm 20 năm ngày giải phóng Miền Nam,tại một thành phố người ta tổ chức buổi lễ gặp mặt những người 20 tuổi.Ngày 30 tháng 4 năm đó có 400 thanh niên đến dự lễ. Chứng minh rằng có ít nhất hai người trong số người tới dự cùng chung một ngày sinh. Lời giải: Năm 1995 có 365 ngày.Chúng ta coi mỗi ngày như là một chuồng thỏ và đánh số từ 1 đến 365(Chuồng thỏ cuối cùng là ngày 31 tháng 12 năm 1995), số thanh niên tới dự là thỏ.Chúng ta đặt những thanh niên có cùng ngày sinh vào cùng một chuồng có số đúng bằng ngày sinh.Vì số thỏ lớn hơn số chuồng nên theo nguyên lý đirichlê có ít nhất hai con thỏ được đặt vào cùng một chuồng.Điều đó có nghĩa là họ sinh cùng một ngày. Bài toán 1.2 Ba mươi học sinh làm bài viết chính tả.Một trong số học sinh đó bị 14 lỗi,còn các học sinh khác mắc số lỗi ít hơn.Chứng minh rằng có ít nhất ba người mắc số lỗi bằng nhau. Lời giải: Chúng ta xét 15 chuồng thỏ được đánh số từ 0 đến 14.Chúng ta đặt mỗi con thỏ (học sinh) vào một chuồng mang số đúng bằng số lỗi mà học sinh đó mắc.Nếu không có ba học sinh nào có số lỗi bằng nhau thì trong mỗi chuồng mang số từ 0,…,13 sẽ có nhiều nhất hai học sinh.Khi đó số lượng của những học sinh này nhiều nhất là 28 cộng với học sinh mắc 14 lỗi trong chuồng số 14 chúng ta sẽ nhận được nhiều nhất là 29 học sinh viết chính tả,điều này dẫn đến sự mâu thuẫn với giả thiết có 30 học sinh của bài toán. Bài toán 1.3 Chứng minh rằng trong mỗi nhóm bạn 5 người có ít nhất hai người có cùng số lượng người quen giữa những người trong nhóm đó. Lời giải: 9 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chúng ta xét năm chuồng được đánh số từ 0 đến 4, mỗi người trong nhóm được đặt vào một chuồng mang số trùng với số người trong nhóm mà người đó quen.Ta xét hai trường hợp sau: a. Nếu có một người không quen ai trong số những người còn lại thì chuồng số 4 trống (vì ngược lại thì cả ngăn 0 và 4 đều không trống,dẫn đến vô lí).Như vậy,mỗi người trong số 5 người được đặt vào các chuồng mang số 0,1,2,3 với số lượng 4 chuồng.Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen. b. Nếu mọi người ai cũng có người quen,mỗi người sẽ được đặt vào các chuồng mang số 1,2,3,4 với số lượng 4 chuồng. Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen. Bài toán 1.4 Trong một khu tập thể sống 123 người. Tổng số tuổi của họ là 3813. chứng minh rằng có thể chọn 100 người sống ở khu tập thể này mà tổng số tuổi của họ không nhỏ hơn 3100. Lời giải: Chúng ta hãy chọn 100 người nhiều tuổi nhất và giả sử tổng số tuổi của họ nhỏ hơn 3100.Khi đó người trẻ nhất trong số người được chọn là 3100:100=31 tuổi.Mặt khác người này không trẻ hơn 23 người còn lại theo cách chọn.Khi đó tổng số tuổi của 23 người này không lớn hơn 23.31=713.Suy ra tổng số tuổi của tất cả mọi người sống trong khu tập thể nhỏ hơn 3100+713=3813 dẫn đến vô lí. Bài toán 1.5 Năm cặp vợ chồng tổ chức một buổi gặp mặt. Khi gặp nhau họ bắt tay nhau, nhưng không ai tự bắt tay người trong gia đình và người mà vợ hoặc chồng mình đã bắt tay rồi. Cũng không ai bắt tay cùng một người nhiều hơn một lần. Sau cuộc gặp chúc mừng ban đầu,một người đàn ông tên Hùng hỏi tất cả những người có mặt,kể cả vợ mình, là họ đã bắt tay được bao nhiêu lần. Họ nhận thấy rằng 9 người được hỏi đều trả lời những con số khác nhau.Như vậy vợ của Hùng đã bắt tay bao nhiêu lần? Lời giải: Mỗi một người khách bắt tay không quá 8 lần.Vì câu trả lời của 9 người là 9 số khác nhau nên các số đó phải là 0,1,2,3,4,5,6,7 và 8. Người bắt tay 8 lần phải là vợ hoặc chồng của người không bắt tay lần nào(Vì nếu ngược lại thì người đó chỉ bắt tay nhiều nhất là 7 lần mà thôi). Tương tự như vậy người bắt tay 7 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 1 lần, người bắt tay 6 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 2 lần, người bắt tay 5 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 3 lần.Chỉ còn lại một người bắt tay 4 lần, đó chính là vợ của Hùng. 10 [...]... kiến của bạn đọc để bài tiểu luận hoàn thiện hơn 29 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Tài liệu tham khảo [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết tổ hợp, 2010 [2] Phan Huy Khải, Các bài toán hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2007 [3] Phan Huy Khải, Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo dục, 2009 [4] Phan Huy Khải, Số học và dãy số, NXB Giáo dục, 2009 [5] Nguyễn Vũ Thanh, Số học, ... cùng màu Vậy bài toán đúng với n + 1 24 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 3.4 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán khác Bài toán 4.1 Đối với mỗi giá trị n ∈ ¥ , hãy tìm số k lớn nhất k ∈ ¥ thoả mãn tính chất sau: Trong tập hợp gồm n phần tử có thể chọn ra k tập hợp con khác nhau, sao cho hai tập con bất kì đều có giao khác ∅ ? Lời giải: Cố định phần tử ai của tập X ={a1... Theo đề 10 số gồm hai chữ số suy ra các số nhỏ hơn hoặc bằng 99 Vậy tổng của các số trong mỗi tập hợp con không vượt quá 99.10 = 990 Như vậy số lượng những tổng khác nhau nhiều nhất là 990 Theo nguyên lí Dirichlet trong số 1024 tập con của tập hợp gồm 10 số sẽ có ít nhất hai tập mà tổng các phần tử trong chúng phải bằng nhau Bài toán 4.6 Tổng độ dài một số véc tơ trong mặt phẳng là 4 Chứng minh rằng... trong 2 số ai và a j có một số là bội của số kia Bài toán 2.2 Biết rằng 3 số a, a + k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứngminh rằng khi đó k chia hết cho 6 Lời giải: Do a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng đều là các số lẻ và không chia hết cho 3 Do a và a + k cùng lẻ nên k = (a + k) − a sẽ chia hết cho 2 (1) 11 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Do a, a +... bài toán. Khi đó không có số nào trong các số : S1 =a1 , S 2 =a1 +a2 , , S n =a1 +a2 + +an chia 14 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng hết cho n Vì số các số dư khác không trong phép chia cho n là n−1, nên theo nguyên lí Dirichlet ta tìm được hai số Si và Sj(1 ≤ i ≤  j ≤  n) có cùng số dư Suy ra hiệu Si -S j =ai -1 + +a j chia hết cho n Điều này mâu thuẫn với giả sử nói trên Vậy bài toán. .. 0 . giải toán 09 3.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 09 3.2 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực số học 11 3.3 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực hình học 16 3.4 Ứng dụng nguyên lí trong. Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chứng minh: Chứng minh tương tự định lý 1 2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet Các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường là bài toán. các bài toan dưới đây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó. 4 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương II Bài toán nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.1.1 Nguyên lý Dirichlet