Chương II - 19 - Chương 2 PHÂN TÍCH THỜI GIAN CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Như đã nói trong chương trước, từ đây trở đi, khi ta nói đến tín hiệu là nói đến tín hiệu liên tục, xác định, đơn hàm; nói đến hệ thống là nói đến hệ liên tục, có thông số tập trung, tuyến tính và bất biến. Nội dung chính chương này gồm hai phần: 1. Biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian, gồm: - Định nghĩa và đặc điểm của một số tín hiệu cơ bản. - Các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng và công suất. - Phương pháp biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời gian cho trước- cách biểu diễn ở đây là dùng chuỗi Fourier tổng quát 2. Phân tích thời gian cho hệ thống, gồm: - Mô hình toán học biểu diễn quan hệ vào-ra của hệ thống- đó chính là phương trình vi phân hay đại số tùy theo hệ có nhớ hay không nhớ. - Xem xét một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là tích phân xếp chồng. Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung. Khi hệ tuyến tính, bất biến và không lưu giữ năng lượng ban đầu thì tích phân xếp chồng có dạng của tích phân chập. Do vậy, ta sẽ xét các tính chất của tích phân chập và cách tính tích phân chập. 2.1 CÁC TÍN HIỆU CƠ BẢN Các tín hiệu giới thiệu ở đây sẽ rất hiệu quả cho việc mô hình hóa tín hiệu liên tục. Đó là các tín hiệu sin, hàm mũ phức, hàm mũ thực, xung đơn vị, bước nhảy đơn vị, chữ nhật và dốc đơn vị. 2.1.1 Tín hiệu sin và tín hiệu hàm mũ phức Mô hình tín hiệu đầu tiên ta xét là tín hiệu sin (sinusoidal signal): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ+ π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ+ π = s 00 T t2 sinA T t2 cosA)t(x với: 2 s π +θ=θ và T 0 là chu kỳ của tín hiệu sin. Tín hiệu sin rất hiệu quả trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống. Ví dụ như, dạng sóng của tín hiệu nguồn cấp cho hệ thống là dạng sin. Tín hiệu sin cũng rất hiệu quả trong việc tìm hiểu khái niệm tần số tín hiệu, đáp ứng tần số của hệ thống, băng thông của tín hiệu và hệ thống. Ta sẽ xét các khái niệm này sau. 1. Các thông số của tín hiệu sin Tín hiệu sin có 3 thông số. Thứ nhất là biên độ tín hiệu A- đơn vị tuỳ theo loại tín hiệu (ví dụ đơn vị là volt nếu tín hiệu là điện áp), thứ hai là tần số tín hiệu f 0 = 1/T 0 , đơn vị là Hertz Chương II - 20 - (Hz)- đó là số chu kỳ tín hiệu trong một giây, cuối cùng là góc pha θ có biên độ là radian (rad). Góc pha là sai khác về pha của một tín hiệu cos bất kỳ so với pha của tín hiệu cos tham chiếu: )tf2cos(A T t2 cosA)t(x 0 0 r π= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ π = . Độ dịch thời của x(t) so với tín hiệu tham chiếu tỷ lệ với góc pha của x(t). Ta có thể thấy rõ điều này: [] )tt(f2cosA f2 tf2cosA)t(x d0 0 0 −π= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ π θ −−π= Vậy x(t) bị trễ đi so với tín hiệu tham chiếu một khoảng thời gian là: 0 d f2 t π θ −= Qua đây ta thấy nếu góc pha âm thì tín hiệu x(t) bị trễ đi và nếu góc pha dương thì tín hiệu x(t) bị sớm hơn so với tín hiệu tham chiếu. 2. Biểu diễn phasor cho tín hiệu sin Ta thấy tập các tín hiệu sin có cùng tần số thì được đặc trưng bởi tần số đó cùng với biên độ và pha của mỗi tín hiệu. Biên độ và pha được đặc trưng bởi một đại lượng phức gọi là phasor. Đặt: tf2jtf2j j p 00 Xee)Ae()t(x ππ θ ≡= . x p (t) là một tín hiệu hàm mũ phức (complex-exponential signal), X là một số phức. Ta có thể biểu diễn x p (t) bằng một vector có biên độ là A, pha là θ , quay với vận tốc góc là 00 f2π=ω (rad/s). Ta gọi vector này là phasor quay x p (t). Như vậy để x p (t) quay hết một vòng phải mất 00 T/2 =ωπ (s), nghĩa là nó tuần hoàn với chu kỳ T 0 . Ta gọi số phức X là phasor của tín hiệu x(t). Cách biểu diễn x(t) bằng X gọi là biểu diễn phasor của tín Im θ + π tf2 0 x p (t) x(t) A Re Chương II - 21 - hiệu (phasor representation). Các phasor quay biểu diễn cho các tín hiệu sin có cùng tần số đều quay với cùng vận tốc góc. Do đó, ta có thể thực hiện các phép toán cộng/trừ đối với các tín hiệu sin cùng tần số dựa vào cách biểu diễn phasor. Ví dụ: Một nguồn điện cung cấp cho quạt và đèn mắc song song. Dòng qua quạt là: )6/t60.2cos(5.6)t(i m π − π = Dòng qua đèn là: )40/t60.2cos(2)t(i l π + π = Tìm dòng tổng cấp cho mạch trên. 2.1.2 Tín hiệu hàm mũ phức Việc truyền tín hiệu từ các thành phần tích trữ năng lượng đến các thành phần sử dụng năng lượng thường tạo ra tín hiệu có dạng giảm theo thời gian theo quy luật hàm mũ. Ví dụ quá trình xả của tụ qua một điện trở sẽ tạo ra một dòng xả giảm theo hàm mũ. Như vậy, tín hiệu hàm mũ là một mô hình hiệu quả đối với tín hiệu liên tục. Chương II - 22 - Tín hiệu hàm mũ được mô tả bởi: ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = α− 1 1 t tt,0 tt,Ae )t(x với 0> α Trường hợp hệ thống có nhiều thành phần tích trữ năng lượng thì một số năng lượng có thể dao động giữa các thành phần này trong khi năng lượng được truyền đến thành phần tiêu hao năng lượng. Ví dụ quá tình xả của tụ qua mạch nối tiếp RL với R nhỏ. Lúc này tín hiệu là tín hiệu sin có đường bao là hàm mũ giảm: ⎩ ⎨ ⎧ < ≥θ+π = α− 1 10 t tt,0 tt),tf2cos(Ae )t(x với 0> α Nếu 0<α thì hàm mũ và hàm sin sẽ tăng dần lên theo thời gian. Loại tín hiệu này xuất hiện trong những hệ thống không ổn định. 2.1.3 Tín hiệu xung đơn vị 1. Khái niệm hàm xung Ta sử dụng ký hiệu )t(Aδ để biểu thị cho một xung có trọng số là A. Trọng số của xung ý muốn nói đến diện tích vùng dưới của xung- tức là vùng tạo bởi xung và trục hoành. Tín hiệu )t(δ là xung có trọng số là 1 và được gọi là xung đơn vị (unit impulse). Ta tạo ra tín hiệu xung trọng số là A bằng cách xét xung chữ nhật đối xứng qua gốc, có độ rộng là τ , chiều cao là τ/A để đảm bảo diện tích vùng dưới xung là A. Khi cho τ tiến đến 0 thì chiều cao của xung tiến đến vô cùng nhưng vẫn đảm bảo diện tích vùng dưới xung là 1. Ta thấy tín hiệu chữ nhật này chính là tín hiệu xung có trọng số là A, tức chính là )t(Aδ . Như vậy, có thể định nghĩa tín hiệu xung có trọng số là A như sau: Adt)t(A& 0t,0 0t, )t(A =δ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ =∞ =δ ∫ ∞ ∞− Thực tế thì dạng xung không nhất thiết phải là chữ nhật mà có thể là dạng khác như dạng tam giác, dạng sinx/x… t 5.0 = τ 2A 2 = τ A/2 1=τ A Chương II - 23 - Ta có thể dùng tín hiệu xung này để làm mô hình mô tả một tín hiệu rất hẹp với dạng bất kỳ và đủ mạnh để có diện tích vùng dưới xung bằng với trọng số. Một ví dụ về loại tín hiệu kiểu như vậy là dòng chạy qua tụ khi nó vừa được kết nối với pin nếu điện trở của pin và dây nối cực nhỏ. Một ví dụ khác, có một tín hiệu có thể được mô hình hóa dùng dạng xung là xung dữ liệu trong đường truyền dữ liệu tốc độ cao. Nói một cách chính xác thì tín hiệu xung này không phải là tín hiệu vật lý nên nó thường được dùng theo nghĩa trừu tượng. Nghĩa trừu tượng ở đây là đáp ứng của hệ thống đối với một xung đơn vị sẽ cung cấp các thông tin chủ yếu về các đặc tính của hệ thống. Ta sẽ xét vấn đề này ở m ục 6.4. 2. Mô hình toán học của xung đơn vị Hàm xung đơn vị )t(δ không phải là một hàm toán học theo nghĩa thông thường. Hàm này thường được định nghĩa bằng một tích phân: ∫ ∞ ∞− =δ+ )t(xdt)t()tt(x 00 với t 0 là một thời điểm nào đó và x(t + t 0 ) là hàm liên tục tại t = 0. Sự liên tục này để đảm bảo x(t 0 ) tồn tại. Ta có thể đổi biến: 0 tt − τ = để biểu diễn tích phân trên dưới dạng khác: ∫ ∞ ∞− =τ−τδτ )t(xd)t()(x 00 3. Các tính chất của xung đơn vị Tính chất 1: )t(A)t(A δ = − δ Tính chất 2: ∫ ∞ ∞− =δ Adt)t(A Tính chất 3: 0t,0)t(A ≠ = δ Tính chất 4: )tt()BA()tt(B)tt(A 000 − δ + = − δ + −δ Tính chất 5: [] )tt()t(Ay)tt(A)t(y 000 − δ = − δ Ví dụ: Cho các tín hiệu sau: )5.1t(5.1)t(x),1t(4)t(x),2t(5.0)t(x),5.0t(3)t(x 4321 −δ − = + δ = − δ −=−δ= Chương II - 24 - Và ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ <≤+− <≤ = t,0 4t2,12t3 2t0,t3 )t(z Tìm và vẽ các tín hiệu sau: )t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y ),t(z)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y 362514 13412311 === + = + =+= Chương II - 25 - 2.1.4 Tín hiệu bước nhảy đơn vị Tích phân của tín hiệu xung là: ⎩ ⎨ ⎧ < > =ττδ ∫ ∞− 0t0 0tA d)(A t Giá trị của tích phân tại t = 0 không xác định. Ta có thể chọn đó là một giá trị hữu hạn nào đó hoặc là để cho nó không xác định. Hàm trên đây được gọi là hàm bước nhảy và được ký hiệu là Au(t). Hàm bước nhảy đơn vị (unit step) được định nghĩa như sau: ⎩ ⎨ ⎧ < > = 0t0 0t1 )t(u Hàm bước nhảy đơn vị chính là hàm bước nhảy khi A = 1 và đây chính là tích phân của hàm xung đơn vị. Do vậy, ta có thể lấy đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị để được hàm xung đơn vị. Tín hiệu bước nhảy có thể dùng làm mô hình cho một số tín hiệu. Ta xem ví dụ sau: vào thời điểm t = t 0 , ta đóng nguồn cho một mạch điện với điện áp nguồn cung cấp là A = const, điện áp cấp cho mạch không nhảy lên bằng A ngay lập tức mà mất một khoảng thời gian chuyển tiếp để nhảy từ 0 lên A. Tuy nhiên khoảng thời gian đó rất nhỏ nên ta có thể mô hình hóa tín hiệu điện áp cấp cho mạch là: A.u(t-t 0 ). Tuy nhiên, khi ta cần xem xét chi tiết hơn sự biến đổi của tín hiệu điện áp trong khoảng thời gian điện áp chuyển từ 0 lên A thì không được dùng mô hình này. 2.1.5 Tín hiệu chữ nhật Tín hiệu chữ nhật (rectangular) có dạng xung chữ nhật, chiều rộng là τ , ký hiệu là ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ ∏ t và được định nghĩa như sau: ⎩ ⎨ ⎧ τ> τ< = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ ∏ 2/|t|,0 2/|t|,1 t Tín hiệu này rất thông dụng vì nó xấp xỉ dạng của tín hiệu xung trong các hệ thống số như máy tính, radar… Tín hiệu chữ nhật có thể dịch chuyển theo thời gian và nhân với một tín hiệu khác để giữ lại khoảng thời gian từ khi bắt đầu đến khi kết thúc của tín hi ệu đó. Chương II - 26 - Giữa tín hiêu chữ nhật và tín hiệu bước nhảy có quan hệ với nhau: 2/t(u)2/t(u t τ−−τ+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ ∏ 2.1.6 Tín hiệu dốc đơn vị Như ta đã biết, tích phân của tín hiệu xung sẽ tạo ra tín hiệu bước nhảy. Khi lấy tích phân của tín hiệu xung hai lần, kết quả là: )t(Ar)t(Atu 0t0 0tAt d)(uAdd)(A ttt ≡= ⎩ ⎨ ⎧ < > =αα=αττδ ∫∫∫ ∞−∞−∞− Ta gọi r(t) là tín hiệu dốc đơn vị (unit ramp), vì nó có dạng một cái dốc với hệ số góc là 1. Lưu ý r(t) là tích phân của tín hiệu bước nhảy đơn vị và Ar(t) là hàm dốc với hệ số góc là A. Nói chung, ta có thể viết: 0a& 0bat0 0bat)bat(A )bat(u)bat(A)bat(Ar ≠ ⎩ ⎨ ⎧ <− >−− =−−=− Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm dốc sau: )5t3(r)t(z),2t(r)t(y),1t(r3)t(x − = + − = + = Chương II - 27 - Ta có thể cộng các hàm dốc và bước nhảy với nhau để tạo ra những hàm phức tạp biểu diễn một tín hiệu đơn hàm bất kỳ được xấp xỉ hóa bằng một đường gấp khúc. Ví dụ: Vẽ đồ thị hai tín hiệu sau đây: )4t(u2)3t(r)2t(u2)t(r2)2t(r)3t(u3)t(y )1t(r)1t(r)2t(u)t(x −−−−−−++−+= −−+++−= Ví dụ: Vẽ đồ thị tín hiệu sau và biểu diễn dưới dạng tổng các hàm bước nhảy và hàm dốc: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < <<− << <<− −<− = t30 3t2t3 2t11 1t22 2tt5.0 )t(x )3t(r)2t(r)1t(u)2t(r5.0)2t(ut5.0)t(x − + − − − − + + + +−= Chương II - 28 - Ta cũng có thể biểu diễn tín hiệu bằng cách kết hợp hàm bước nhảy, dốc và chữ nhật nếu ta dùng phép nhân và cộng. Ví dụ: Biểu diễn tín hiệu trên theo cách khác. 2.2 NĂNG LƯỢNG & CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU Năng lượng tín hiệu (signal energy) và công suất tín hiệu (signal power) là hai đại lượng có thể tính được nhằm chỉ ra các đặc điểm của tín hiệu. Đó không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu, nhưng nó rất hiệu quả trong việc đánh giá, so sánh các tín hiệu. Ví dụ, năng lượng tín hiệu và công suất tín hiệu của các thành phần khác nhau trong một tín hiệu chỉ ra ý nghĩa liên quan của các thành phần đó. Ta xét năng lượng tiêu tán trong một điện trở : ∫∫ − ∞→ − ∞→ == T T 2 T T T 2 T R dt R )t(v limRdt)t(ilimE Đơn vị của năng lượng là Joule (J) khi đơn vị của điện trở là ohm )(Ω , của dòng điện là ampere (A) và của điện áp là volt (V). Năng lượng tiêu tán phụ thuộc vào cả tín hiệu và điện trở. Ta định nghĩa năng lượng tín hiệu liên quan đến i(t) và v(t) là: ∫ ∫ − ∞→ − ∞→ = = T T 2 T v T T 2 T i dt)t(vlimE dt)t(ilimE Đây không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu vì chúng chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà không phụ thuộc vào điện trở. Ta sẽ thấy rõ điều này hơn qua ví dụ sau: Một xung điện 12(V), rộng 4(s), tâm ở t = 5s được đặt vào hai đầu của còi báo động đeo dây an toàn. Ta mô hình hóa chiếc còi đó là một điện trở 20 )(Ω . Mô hình của tín hiệu điện áp đặt lên hai đầu còi là: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∏= 4 5t 12)t(v Mô hình tín hiệu dòng qua còi là: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∏== 4 5t 6.0 R )t(v )t(i [...]... gian Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn 0 < Px < ∞ thì nó được gọi là tín hiệu công suất (power signal) Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn thì công suất sẽ là 0 vì năng lượng hữu hạn chia cho khoảng thời gian vô hạn Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn thì năng lượng vô hạn vì công suất hữu hạn nhân với thời gian vô hạn Một số tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng cũng không phải là tín hiệu công... đó: v(t) = e-3tu(t) Ví dụ: Tính năng lượng và công suất của tín hiệu phức sau: y( t ) = Ae j2 παt 2.3 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DƯỚI DẠNG CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT 2.3.1 Phân tích tín hiệu ra các thành phần Ta biết rằng đáp ứng của hệ tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng Điều này cho phép ta tìm đáp ứng của hệ đối với một tín hiệu vào bằng cách phân tích tín hiệu vào thành tổng của các thành phần, tìm đáp... giá trị của tín hiệu xác định bởi năng lượng lưu trong hệ thống Để phân tích hệ thống trong miền thời gian, trước hết ta tìm phương trình hệ thống từ sơ đồ khối hoặc sơ đồ thành phần hệ thống Sau đó giải phương trình để tìm tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào và các điều kiện đầu cụ thể Sau đây ta xét một ví dụ phân tích hệ thống trong miền thời gian Ví dụ: Cho bộ lọc thông thấp gồm R và C mắc nối... 0, ta được f2(t- τ ) - Lấy tích phân của tích f1( τ ).f2(t- τ ) trên toàn trục thời gian, ta được f3(t) Ví dụ: Tính chập hai tín hiệu sau: 2 f ( t ) = e − t và g( t ) = 3t 2 với mọi t Ví dụ: Cho tín hiệu x(t) = 3cos(2t) đi vào hệ tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là: h ( t ) = e −| t | Tìm tín hiệu ra khi các điều kiện đầu bằng 0 - 38 - Chương II Ví dụ: Tính chập hai tín hiệu sau: 6 2 -1 -2 1 2 -1... tuyến tính bất biến Ta có thể sử dụng tín hiệu vào x(t), đáp ứng xung h(t) và mô hình tích phân xếp chồng để tìm đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến 1 Tích phân xếp chồng/ chập liên tục Xét tín hiệu vào có dạng xung chữ nhật: x(t) = x r (t) = 1 ⎛ t ⎞ ∏⎜ ⎟ ∆τ ⎝ ∆τ ⎠ Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu này là: y( t ) = y r ( t ) lim y r ( t ) = h ( t ) ∆τ→0 ∧ Ta xấp xỉ hóa tín hiệu vào x(t)... Chuỗi Fourier tổng quát Việc chọn tín hiệu cơ sở ảnh hưởng đến hệ số An Có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào công thức xấp xỉ thì phải tính lại An, nhưng có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào thì hệ số An vẫn không thay đổi Ta luôn mong chọn được tín hiệu cơ sở ở loại thứ hai Tín hiệu cơ sở thuận tiện nhất để tính An là tín hiệu trực giao Các tín hiệu thực φ i ( t ) là trực giao... Việc phân tích tín hiệu thành tổng các thành phần còn chỉ ra được các đặc điểm quan trọng và đặc biệt của tín hiệu Nhìn chung thì ta không thể biết được cách làm thế nào để phân tích một tín hiệu phức tạp thành tổng các thành phần mà các thành phần này mang một đặc điểm đơn giản và xác định nào đó Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2 bằng một tổng tuyến tính...Chương II Ta tính được năng lượng tiêu tán trên còi là: ER = 28.8 (J) Năng lượng tín hiệu cho điện áp v(t) là: Ev = 576 Năng lượng tín hiệu cho dòng điện i(t) là: Ei = 1.44 Ta thấy các năng lượng này không bằng nhau Bây giờ ta mở rộng định nghĩa năng lượng và công suất cho tín hiệu bất kỳ, gồm cả tín hiệu phức 1 Năng lượng tín hiệu Định nghĩa năng lượng tín hiệu x(t) là: T E x = lim ∫... thống trong miền thời gian Trong cách phân tích này, ta xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu vào cụ thể với t ≥ t 0 và các điều kiện đầu xác định tại t = t0 Đối với hệ tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng đối với điều kiện đầu và đáp ứng đối với tín hiệu vào Đáp ứng đối với điều kiện đầu được gọi là đáp ứng đầu vào 0 (zero-input response) Đáp ứng đối với tín hiệu vào được gọi là đáp... lượng tín hiệu trong một khoảng thời gian và chiều dài của khoảng thời gian đó là công suất trung bình trong khoảng đó Do đó, ta có định nghĩa công suất tín hiệu x(t) như sau: T 1 | x ( t ) | 2 dt T →∞ 2T ∫ −T Px = lim Cũng như năng lượng, đây không phải là công suất thực sự của tín hiệu vì nó không phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan Nó là công suất trung bình trên toàn trục thời gian