Đang tải... (xem toàn văn)
Khái niệm Logic mờ Lôgic mờ (tiếng Anh: Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ cổ điển. Lôgic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp (Klir 1997). Đây là 1 quyển sách rất có ích cho các bạn CNTT
Chương LÝ THUY T T P M 1.1 T p m thông tin không ch c ch n L.A Zadeh ngư i sáng l p lý thuy t t p m v i hàng lo t báo m ñư ng cho s phát tri n ng d ng c a lý thuy t này, kh i ñ u báo “Fuzzy Sets” T p chí Information and Control, 8, 1965 Ý tư ng n i b t c a khái ni m t p m c a Zadeh t nh ng khái ni m tr u tư ng v ng nghĩa c a thông tin m , không ch c ch n tr , nhanh, cao-th p, xinh ñ p , ơng tìm cách bi u di n b ng m t khái ni m tốn h c, ñư c g i t p m , m t s khái quát tr c ti p c a khái ni m t p h p kinh ñi n ð d hi u nh l i cách nhìn khái ni m t p h p kinh ñi n khái ni m hàm s Cho m t t p vũ tr U T p t t c t p c a U ký hi u P(U) tr thành m t đ i s t p h p v i phép tính h p ∪, giao ∩, hi u \ l y phàn bù –, (P(U), ∪, ∩, \, –) Bây gi m i t p h p A ∈ P(U) có th đư c xem λA(a) =1 m t hàm s λA : U → {0, 1} ñư c λA(b) = xác ñ nh sau: a b U 1 x ∈ A λ A ( x) = 0 x ∉ A M c dù λA A hai ñ i tư ng tốn h c hồn tồn khác nhau, chúng ñ u bi u di n m t khái ni m v t p h p: x ∈ A ch λA(x) = 1, hay x thu c vào t p A v i “ñ thu c vào” b ng Vì v y, hàm λA ñư c g i hàm ñ c trưng c a t p A Như v y t p h p A có th đư c bi u th b ng m t hàm mà giá tr c a ñ thu c v hay ñơn gi n ñ thu c c a ph n t U vào t p h p A: N u λA(x) = x ∈ A v i đ thu c hay 100% thu c vào A, n u λA(x) = x ∉ A hay x ∈ A v i ñ thu c t c đ thu c 0% Trên cách nhìn v y, chuy n sang vi c tìm ki m cách th c bi u di n ng nghĩa c a khái ni m m , ch ng h n, v l a tu i “tr ” Gi s tu i c a ngư i n m kho ng U = [0, 120] tính theo năm Theo ý tư ng c a Zadeh, khái ni m tr có th bi u th b ng m t t p h p sau: Xét m t t p h p Atr nh ng ngư i ñư c xem tr V y, m t câu h i “M t ngư i x có tu i n ñư c hi u thu c t p Atr th nào?” M t cách ch quan, có th hi u nh ng ngư i có tu i t – 25 ch c ch n s thu c vào t p h p Atr , t c v i ñ thu c b ng 1; Nhưng m t ngư i có tu i 30 có l ch thu c vào t p Atr v i đ thu c 0,6 cịn ngư i có tu i 50 s thu c vào t p v i ñ thu c 0,0 … V i ý tư ng đó, ng nghĩa c a khái ni m tr s ñư c bi u di n b ng m t hàm s µtr : U → [0, 1], m t d ng khái quát tr c ti p t khái ni m hàm ñ c trưng λA c a m t t p h p kinh ñi n A ñã ñ c p M t câu h i t nhiên xu t hi n t i ngư i có tu i 30 có l ch thu c vào t p Atr v i ñ thu c 0,6 mà không ph i 0,65? Trong lý thuy t t p m ý đ nh tr l i câu h i ki u v y mà ghi nh n r ng t p m c a m t khái ni m m ph thu c m nh m vào ch quan c a ngư i dùng hay, m t cách ñúng ñ n hơn, c a m t c ng ñ ng, hay c a m t ng d ng c th Khía c ch th hi n tính khơng xác v ng nghĩa c a khái ni m m Tuy nhiên, th c t khơng nh hư ng đ n kh ng d ng c a lý thuy t t p m m i gi i pháp d a lý thuy t t p m ch nh m vào m t mi n ng d ng c th khái ni m m ng d ng (hay c ng ñ ng s d ng ng d ng đó) s có ý nghĩa chung th ng nh t 1.1.1 Khái ni m t p h p m ð nh nghĩa 1.1 Cho m t t p vũ tr U T p h p A∼ ñư c xác ñ nh b i ñ ng th c: A∼ = { µ A~ (u ) /u : u ∈ U, µA∼(u) ∈ [0, 1]} đư c g i m t t p h p m t p U Bi n u l y giá tr U ñư c g i bi n s v y t p U cịn đư c g i t p tham chi u hay mi n s Hàm µ A~ : U → [0, 1] ñư c g i hàm thu c (membership function) giá tr µ A~ (u ) t i u ñư c g i ñ thu c c a ph n t u thu c v t p h p m A∼ N u không gây nh m l n, hàm thu c µ A~ ñư c ký hi u A∼(.), n u bi n s u không bi u th hi n, hay A∼(u), n u bi n u xu t hi n hi n Lưu ý r ng v ph i c a ñ nh nghĩa A∼ m t t p kinh n đ nh nghĩa hoàn ch nh H t t c t p m mi n s U ñư c ký hi u F(U), F(U) = { µ A~ : U → [0, 1]} = [0, 1]U Có nhi u cách bi u di n hình th c m t t p m Trong trư ng h p U m t t p h u h n, đ m đư c hay vơ h n liên t c, t p m A∼ có th đư c bi u di n b ng bi u th c hình th c sau: Trong trư ng h p U h u h n, U = {ui : ≤ i ≤ n}, ta có th vi t: A∼ = ∑ 1≤i ≤ n µA∼(u1)/u1 + µA∼(u2)/u2 + + µA∼(un)/un hay A∼ = µ A (ui ) / ui ~ Trong trư ng h p t p m ñư c g i t p m r i r c (discrete fuzzy set) Trong trư ng h p U vơ h n đ m đư c, U = {ui : i = 1, 2, …}, ta có th vi t: A∼ = ∑ 1≤i 0} ~ ~ (ii) ð cao c a t p m : ð cao c a t p m A~, ký hi u hight(A~), c n ñúng c a hàm thu c µ A U, hight(A~) = sup{ µ A (u ) : u ∈ U} ~ ~ (iii) T p m chu n (normal): T p m A~ ñư c g i chu n n u hight(A~) = Trái l i, t p m ñư c g i dư i chu n (subnormal) (iv) Lõi c a t p m : Lõi c a t p m A~, ký hi u Core(A~), m t t p c a U ñư c xác ñ nh sau: Core(A~) = {u ∈ U: µ A (u ) = hight(A~)} ~ Bây gi s l y m t s ví d v vi c bi u di n ng nghĩa c a khái ni m m thu c lĩnh v c khác b ng t p m Ví d 1.2 Gi s U t p vũ tr v s ño nhi t ñ th i ti t, ch ng h n U = [0, 50] tính theo thang ñ C Chúng ta s xác ñ nh t p m bi u th khái ni m m th i ti t NĨNG L NH Trong ví d ta s d ng m t hàm s m u, g i S-hàm đ th c a có hình ch S Chúng ta ký hi u hàm S(u, a, b, c), a, b c nh ng tham s Nó hàm t ng khúc b c ñư c ñ nh nghĩa sau: ñ iv i u≤a S(u, a, b, c) = u−a c−a = 2 ñ iv i a≤u≤b u−c c−a = − 2 ñ iv i b≤u≤c ñ iv i c≤u = Hàm thu c µA~(u) = S(u, 15, 25, 35) khái ni m th i ti t NÓNG c a ngư i L ng Sơn c c B c nư c ta, hàm thu c µB~(u) = S(u, 25, 35, 45) khái ni m NĨNG c a ngư i Sài Gịn (xem Hình 1.1) V i hai t p m ta có: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25, 50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] Core(B~) = [45, 50] Hàm thu c bi u th khái ni m m L NH ñư c xác ñ nh qua hàm thu c NÓNG b ng bi u th c sau: µA’~(u) = − µA~(u) µB’~(u) = − µB~(u) Ví d th hi n tính ch quan v ng nghĩa c a khai ni m m th hi n tính t vi c xây d ng hàm thu c Tình hu ng tương t v y ta nói đ n khái ni m cao c a gi i n gi i nam, hay khái ni m cao c a ngư i Vi t Nam ngư i Châu Âu 1,0 µA’~(u) µB~(u) µA~(u) µB’~(u) 15 25 35 45 50 Hình 1.1: Hàm thu c c a t p m NĨNG L NH Ví d 1.3 T p m hình chng: Ngư i ta có th bi u di n ng nghĩa c a khái ni m m tr i mát m hay d ch u b ng hàm d ng hình chng sau: exp (− ((u − u0)/b)2) Chúng ta có th ch p nh n hàm chng Hình 1.2 bi u th ng nghĩa c a khái ni m nhi t đ D CH U t p m D~ 1,0 µD~(u) có d ng: µD~(u) = exp (− ((u − 24)/10)2) 10 15 25 35 45 Hình 1.2: Hàm thu c c a t p m D CH U 50 Ví d 1.4 Ta s ñưa m t ví d v t p m r i r c (discrete fuzzy set) Xét U t p giá tr thang ñi m 10 ñánh giá k t qu h c t p c a h c sinh v mơn Tốn, U = {1, 2, …, 10} Khi khái ni m m v l c h c mơn tốn gi i có th ñư c bi u th b ng t p m G~ sau: G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*) ñây giá tr c a mi n U khơng có m t bi u th c (2*) có nghĩa đ thu c c a chúng vào t p m G~ b ng 0,0 Trong trư ng h p t p m r i r c ta có th bi u di n t p m b ng m t b ng Ch ng h n, ñ i v i t p m G~ ta có b ng sau: B ng 1.1: T p m G~ U G~ 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 Ví d 1.5 Trong ví d s xây d ng t p m bi u th ng nghĩa c a khái ni m GIÀ TR c a thu c tính l a tu i Gi s t p vũ tr ch tu i tính theo đơn v năm U = {u : ≤ u ≤ 120}, ch ng h n tu i c a x 8,37 năm Khi khái ni m GIÀ có th đư c bi u th b ng t p m v i hàm thu c sau: µGIÀ(u) = 120 ∫ −2 u − 60 −1 {1 + } /u µTR (u) = − µGIÀ(u) = 120 ∫ −2 u − 60 −1 {1 − {1 + } }/ u C n nh n m nh m t l n n a r ng cơng th c hình th c bi u di n t p m D u tích phân ch có nghĩa mi n xác ñ nh U c a hàm thu c vô h n continuum, t p h p có l c lư ng tương ñương v i ño n [0, 1] Ví d 1.6 T p r i r c mi n phi s : Trong th c t ng d ng ngư i ta hay s d ng t p m mi n phi s , ch ng h n, mi n giá tr ngôn ng Ví d , ta xét bi n ngơn ng NHI T ð có th xem xác đ nh mi n giá tr ngôn ng U = {Th p, Trung-bình, Cao} Khi đó, m t t p m r i r c T~ mi n U có th ñư c bi u th sau: T~ = µ1/Th p + µ2/Trung-bình + µ3/Cao 11 Ch ng h n Tr i-mát có th bi u th b ng t p m sau: Tr i-mát = 0,7/Th p + 0,8/Trung-bình + 0,2/Cao ð i v i t p h p kinh n A có khái ni m s lư ng ph n t c a m t t p h p, trư ng h p A h u h n, hay l c lư ng c a t p h p, trư ng h p A vô h n Hai t p h p A B có l c lư ng b ng n u có t n t i m t ánh x 1-1 t A lên B ð i v i t p m A~, khái ni m l c lư ng ñư c khái quát hóa b ng đ nh nghĩa sau: ð nh nghĩa 1.5 L c lư ng c a t p m Cho A~ m t t p m U (i) L c lư ng vô hư ng (scalar cardinality): L c lư ng hay b n s th c c a t p A~, ký hi u Count(A~), đư c tính theo cơng th c đ m sau (đơi đư c g i sigma count) Count(A~) = ∑ arith u∈U = ñây ∑ arith ∫ µ A~ (u) , n u U t p h u h n hay ñ m ñư c arith ∫µ U A~ (u)du , n u U t p vô h n continuum arith t ng tích phân s h c (ii) L c lư ng m (fuzzy cardinality): L c lư ng hay b n s m c a t p A~ m t t p m t p s nguyên không âm N ñư c ñ nh nghĩa sau: Card(A~) = ∫µ N Card ( A~ ) (n)dn µ Card ( A~ ) (n) ñư c xác ñ nh theo công th c sau, v i | At~ | l c lư ng c a t p m c At~ , µ Card ( A ~ ) (n) = suppremum {t ∈ [0, 1]: | At~ | = n} Có th xem cơng th c tính Count(A~) cơng th c “đ m” s ph n t U Th c v y, n u t p A~ tr v t p kinh ñi n µA~(u) ≡ U cơng th c Count(A~) b đ m s ph n t Khi µA~(u) ≠ 1, u ch thu c v t p A~ v i t l ph n trăm b ng µA~(u) ph n t u ch ñư c “ñ m” vào s lư ng ph n t m t ñ i lư ng b ng µA~(u) 12 Lưu ý r ng, khác v i trư ng h p t p kinh n, dù t p U vơ h n đ m đư c hay vơ h n continuum, l c lư ng c a t p m A~ v n có th h u h n, tùy theo dáng u c a hàm µA~(u) 1.2 Bi n ngôn ng L.A.Zadeh vi t “khi thi u h t tính xác b ngồi c a nh ng v n ñ ph c t p, m t cách t nhiên tìm cách s d ng bi n ngơn ng , bi n mà giá tr c a chúng không ph i s mà t ho c câu ngôn ng t nhiên ho c nhân t o ð ng l c cho vi c s d ng t , câu s ñ c trưng ngôn ng c a t , câu thư ng xác đ nh c a s ” Trong s d li u quan h , quan h hay b ng d li u ch a thu c tính hay tên c t Nó ch tính ch t c a đ i tư ng Các thu c tính th hi n ngơn ng đ mơ t tính ch t ñ i tư ng ngư i, ngơn ng t nhiên có nh ng thu c tính TU I, CHI U CAO, LƯƠNG, NĂNG L C … Các thu c tính có th đư c mơ t b ng giá tr ngơn ng tr , già, r t tr , … Vì lý v y, Zadeh g i thu c tính ki u v y bi n ngôn ng mi n giá tr c a chúng giá tr ngôn ng hay g i mi n ngôn ng (linguistic domain hay term-domain) Tuy nhiên, ñã ñ c p M c 1.1, b n thân giá tr ngơn ng khơng ph i đ i tư ng tốn h c, ng nghĩa c a chúng ñư c bi u th b ng t p m hay hàm thu c ð khái ni m bi n ngôn ng tr thành m t khái ni m tốn h c, Zadeh hình th c hóa khái ni m sau: ð nh nghĩa 1.6 Bi n ngôn ng m t b năm (X, T(X), U, R, M ), X tên bi n, T(X) t p giá tr ngôn ng c a bi n X, U không gian tham chi u c a bi n s u, m i giá tr ngôn ng xem m t bi n m U k t h p v i bi n s u, R m t qui t c cú pháp sinh giá tr ngôn ng c a T(X), M qui t c ng nghĩa gán m i giá tr ngôn ng T(X) v i m t t p m U Ví d 1.7 Cho X bi n ngơn ng có tên AGE, bi n s u l y theo s tu i c a ngư i có mi n xác đ nh U = [0,100] T p giá tr ngôn ng 13 T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young….} R m t qui t c sinh giá tr M gán ng nghĩa m i t p m v i m t giá tr ngơn ng Ch ng h n, đ i v i giá tr nguyên th y old, M (old) = {(u, µold(u) | u∈[0,100]}, ch n µold(u) = (1 + ( u − 50 ) −2 ) −1 u ∈ [0,50] u ∈ [50,100] Các ñ c trưng c a bi n ngơn ng Trong th c t có r t nhi u bi n ngôn ng khác v giá tr nguyên thu , ch ng h n bi n ngơn ng S NGÀY LÀM VI C có giá tr ngun thu ít, nhi u, bi n ngơn ng LƯƠNG có giá tr nguyên thu th p, cao… Tuy nhiên, nh ng k t qu nghiên c u ñ i v i m t mi n tr c a m t bi n ngôn ng c th v n gi ñư c ý nghĩa v m t c u trúc ñ i v i mi n giá tr c a bi n l i ð c trưng đư c g i tính ph quát c a bi n ngôn ng Ng nghĩa c a gia t liên t hoàn tồn đ c l p v i ng c nh, ñi u khác v i giá tr nguyên th y c a bi n ngôn ng l i ph thu c vào ng c nh Ví d ta nói LƯƠNG c a cán b An r t cao, đư c hi u r ng LƯƠNG kho ng 8.000.000 đ ng, ta nói CHI U CAO c a cán b An r t cao đư c hi u r ng CHI U CAO kho ng 1.8 m Do tìm ki m mơ hình cho gia t liên t khơng quan tâm đ n giá tr ngun thu c a bi n ngơn ng xét ð c trưng ñư c g i tính đ c l p ng c nh c a gia t liên t Các ñ c trưng cho phép s d ng m t t p gia t xây d ng m t c u trúc toán h c nh t cho mi n giá tr c a bi n ngơn ng khác 1.3 Các phép tính trên t p m Xét m t bi n ngôn ng X ñã ñư c ñ nh nghĩa Trư c h t, có nh n xét r ng, nhìn chung, t p nh c a t p T(X) qua ánh x M(X) khơng có c u trúc đ i s , khơng ñ nh nghĩa ñư c phép 14 tính ñơn ñi u, ph i có d ng gi(x) = wix, wi = gi(1) > Do v y, t gi thi t (13*), ta suy g(a1, …, an) = g(a1, 0, …, 0) + g(0, a2, …, an) áp d ng ti p t c v y ta thu ñư c g(a1, …, an) = g(a1, 0, …, 0) + g(0, a2, 0, …, 0) + … + g(0, …, 0, an) = g1(a1) + g2(a2) + … + gn(an) = ∑ 1≤i ≤ n wi Nghĩa ta thu ñư c ñi u c n ta ch ng minh N u g th a thêm tính ch t lũy đ ng, ta có a = g(a, …, a) = a ∑1≤i≤n wi , hay ∑ 1≤i ≤ n wi =1 ði u ch ng t g phép trung bình c ng có tr ng s 1.4 Quan h m 1.4.1 Khái ni m quan h m ð nh nghĩa 1.7 Cho U tích ðê-các c a n mi n s Ui, i = 1, …, n Khi ñó, m i m t t p m U ñư c g i m t quan h m n-ngơi đư c ký hi u R, g i tên c a quan h đó, ñư c bi u th b ng công th c sau: R = U1ì ìU n (u1 , , u n ) /(u1 , , u n ) µ(u1, …, un) hàm thu c c a t p m R ð thu c µ(u1, …, un) có nghĩa đ i tư ng u1, …, un tương ng c a mi n s U1, …, Un, có quan h R v i v i ñ tin c y hay ñ phù h p µ(u1, …, un) Trong trư ng h p R quan h r i r c có th bi u th b ng m t b ng v i tên hàng tên ph n t U, tên c t tên ph n t V Trong trư ng h p ta cịn nói R đư c bi u di n b ng ma tr n Ví d , xét hai mi n s U = V = {1, 2, 3, 4} Quan h m “l n r t nhi u” gi a ph n t c a U s ñư c bi u th b ng b ng sau: 46 B ng 1.6: Quan h m “L n r t nhi u” R 0,0 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,0 0,0 1,0 0,8 0,3 0,0 M i m t giá tr ñ thu c b ng này, ch ng h n giá tr 0,8 t i hàng c t 1, có nghĩa c p giá tr (3, 1) th a quan h “L n r t nhi u” v i ñ phù h p 0,8, hay giá tr l n r t nhi u giá tr v i ñ phù h p (v i quan h l n r t nhi u) 0,8 Ta xét m t ví d khác v i U = V = R, t p t t c s th c Trên t p s th c ta có khái ni m tr c quan v s g n gi a s th c Quan h m g n v i, ký hi u Rg n, có th bi u th b ng cơng th c sau: Rg n = ∫ e −|u − v| a U ×V /(u , v) 1.4.2 Quan h m tri th c d ng lu t n u-thì M t d ng bi u di n tri th c quan tr ng trí tu nhân t o tri th c ñư c phát bi u dư i d ng m nh đ n u-thì sau: “N u cư ng đ dịng n I l n, vịng quay mơ tơ n N nh ” (14*) M nh ñ (14*) bi u th m i quan h “m ” gi a đ i lư ng cư ng đ dịng n đ i lư ng s vịng quay c a mơ tơ n Theo nghĩa đó, ph i có kh bi u di n (14*) b ng m t quan h theo ð nh nghĩa 1.7 Ý tư ng c a phương pháp chuy n m t m nh đ ngơn ng thành m t quan h m ñư c th c hi n sau: Gi s mi n s c a bi n ngôn ng I UI = [0, 10] theo ñơn v Ampe mi n s c a bi n ngôn ng N VN = [400, 2000] theo đơn v vịng/phút Khái ni m m l n c a I ñư c bi u th qua t p m v i hàm thu c µI-l n: [0, 10] → [0, 1], khái ni m nh c a N ñư c bi u th b ng t p m v i hàm thu c µN-nh : [400, 2000] → [0, 1] Khi đó, m t ý tư ng tr c quan bi u 47 di n theo t ng m (u, v) (pointwise) mang tính đ nh lư ng c a m nh ñ (14*) là: N u I := µI-l n(u) N := µN-nh (v) Hay, m t cách hình th c hơn, ta có th vi t I := µI-l n(u) ⇒ N := µN-nh (v) (15*) Công th c (15*) cho phép ta nhìn nh n rõ ràng m i quan h gi ph n t u ∈ UI v ∈ VN V n đ cịn l i t (15*) ta có th tính giá tr đ thu c c a c p ph n t (u, v) Vì hai giá tr µI-l n(u), µN-nh (v) ∈ [0, 1] ph n nh tính đ n c a ñ ng th c u = l n v = nh , ta có th xem chúng giá tr chân lý c a m t lơgic đa tr đo n [0, 1] Do ng nghĩa c a (15*) có th bi u th b ng µI-l n(u) * → * → µN-nh (v) (16*) m t phép kéo theo lơgic c a lơgic đa tr giá tr µI-l n(u) * µN-nh (v) ∈ [0, 1] → * M t vài ví d c a phép kéo theo → b thư ng ñư c s d ng như: s → Kéo theo chu n (Standar): Kéo theo Goedel: Kéo theo Madami: h c) Kéo theo Lukasiewicz s S g → m s → s → L = (1 – s) ∨ t t = n us≤t n us>t = n us≤t = t → t = Kéo theo nh phân (binary): s n us>t t t = s t (trong “.” tích s t = ∧ (1 – s + t) 1.4.3 Các phép tính quan h Vì quan h t p m nên phép tính t p m đư c trình bày M c 1.3 phép tính quan h Tuy nhiên, quan h có nh ng phép tính ñ c thù riêng mà t p m nói chung khơng có, ch ng h n phép tính h p thành dư i ñây: 48 ð nh nghĩa 1.8 Gi s R quan h m U×V S quan h m V×W Khi đó, phép h p thành c a hai quan h m t quan h W, đư c ký hi u R°S ñư c ñ nh nghĩa sau: Ro S = ∫∨ v∈V [ µ R (u, v)°µ S (v, w)] /(u, w) (17*) ° có th m t phép tính 2-ngơi [0,1] có tính giao hốn, k t h p phân ph i ñ i v i phép max ∨ N u ° phép ∧, ta có phép h p thành max-min, n u ° phép nhân s h c “.” ta có phép h p thành maxproduct ð i ng u v i phép h p thành (17*) Ro S = ∫∧ v∈V [ µ R (u, v) *µ S (v, w)] /(u, w) (18*) * m t phép tính đ i ng u v i ° V i * max ta có phép h p thành min-max đ i ng u v i phép h p thành max-min, v i * ⊕ ta có phép h p thành min-sum ñ i ng u v i phép h p thành max-product N u R S t p m r i r c, t c U, V W h u h n, ch ng h n U = {u1, …, um}, V = {v1, …, vp} W = {w1, …, wn} Khi đó, hàm thu c c a t p m (18*) t i c p ph n t (ui,wj) có d ng µRoS(ui,wj) = ∨ kp=1 [ µ R (ui , vk )°µ S (vk , w j )] (19*) Quan sát công th c (19*) có th nh n th y s “đ ng d ng” c a v i bi u th c tính ph n t (i,j) c a tích hai ma tr n, v i t ng ñây ñư c hi u phép max ∨, tích đư c hi u phép tính ° Nghĩa là, đ tính giá tr µRoS(ui,wj), ta l y ph n t c a hàng th i c a b ng R nhân b ng phép ° v i ph n t tương ng c a c t th j c a b ng S; l y t ng b ng phép max ∨ k t qua thu ñư c ð nh lý 1.7 Phép h p thành ñư c ñ nh nghĩa ð nh nghĩa 1.8 có tính ch t k t h p, nghĩa là, cho quan h m R khơng gian V, S khơng gian W Q khơng gian W×Z, có đ ng th c sau: (R o S) o Q = R o (S o Q) = R o S o Q (20*) Ví d 1.15 Xét m t q trình x lý thơng tin hình (1) c a Hình 1.9 R S quan h m bi u di n tri th c, ch ng h n, dư i d ng m t t p 49 lu t if-then Ngoài ra, gi s R S quan h m v i gi thi t r i r c ñư c xét α vectơ hàng m-chi u ñư c xem d li u ñ u vào, β vectơ hàng p-chi u ñư c xem k t qu x lý trung gian, γ = (g1, …, gn) vectơ output n-chi u bi u th vectơ ñ u Ơ ñây gi thi t r ng q trình x lý thơng tin tương tác gi a β R S trình th c t đư c mơ ph ng b ng (1) α phép h p thành Nghĩa là, d li u đ u đư c tính theo công th c sau: (2) β = α o R, γ = β o S α RoS γ (21*) Hình 1.9 V i tính ch t c a phép tính nêu ð nh nghĩa 1.8, Hình 1.9 trình (1) tương tương v i trình (2) Th c v y, gi s hàm thu c c a R µR(ui, vk), hàm thu c c a S µS(vk, wj) α = (a1, …, am) Khi đó, tính ch t k t h p, ta l n lư t tính theo cơng th c (21*) sau: α o R = ( ∨ im=1 [ai °µ R (vi , v1 )] , …, ∨ im=1 [ai °µ R (vi , v p )] ) thành phân th j c a vectơ γ = β o S s là: gj = ∨ lp=1 {∨ im 1[ai °µ R (ui , vl )]°µ R (vl , w j )} = Theo tính phân ph i c a phép tính ° đ i v i phép max, tính giao hốn k t h p c a phép max, có gj = ∨ lp=1 ∨ im 1[ai °µ R (ui , vl )°µ R (vl , w j )] = ∨ im ∨ lp=1[ai °µ R (ui , vl )°µ R (vl , w j )] = = = ∨ im {ai ° ∨ lp=1 [ µ R (ui , vl )°µ R (vl , w j )]} = Có th nh n th y bi u th c ∨ lp=1 [ µ R (ui , vl )°µ R (vl , w j )] ph n t cij c a ma tr n R o S, γ = α o (R o S) (22*) Như v y, s tương ñương c a cơng th c (21*) (22*) đem l i cho ta ý nghĩa th c ti n c a phép h p thành 50 γ 1.4.4 Quan h m 2-ngôi M t l p quan h m quan tr ng quan h m 2-ngôi, ch ng h n quan h “b n thân”, “b n hàng g n gũi”, “h c gi i hơn”, Quan h 2-ngôi R U × U, hay g i quan h khơng gian U, có nh ng tính ch t ñ c bi t mà quan h khác khơng có Trong nh ng quan h có quan h ñơn v E ñư c ñ nh nghĩa b i hàm thu c sau: µE(u, u) = 1, v i ∀u ∈ U µR(u, v) = 0, v i ∀u, v ∈ U, u ≠ v ð nh nghĩa 1.9 Cho R quan h m 2-ngôi U × U Khi ta nói R là: Ph n x n u ch n u µR(u, u) = 1, v i ∀u ∈ U hay E ⊆ R; : Ph n ph n x : n u ch n u µR(u, u) = 0, v i ∀u ∈ U; ð i x ng : n u ch n u µR(u, v) = µR(v, u), v i ∀u, v ∈ U; °-B c c u : n u ch n u µR(u, v) ≥ µR(u, w) ° µR(w, v), ∀u, v, w ∈ U; *-B c c u ñ i ng u: n u ch n u µR(u, v) ≤ µR(u, w) * µR(w, v), ∀u, v, w ∈ U, * phép tính đ i ng u đ i v i ° M t quan h m có c tính ch t ph n x , ñ i x ng °-b c c u ñư c g i quan h tương t (similarity) hay quan h tương ñương m M t quan h m có tính ch t ph n ph n x , ñ i x ng, *-b c c u ñ i ng u ñư c g i quan h tương t ñ i ng u Ví d quan h “b n thân”, quan h “l n r t nhi u” nh ng quan h tương đương m chúng đ u quan h ph n x , ñ i x ng b c c u Trong th c t d dàng xây d ng ñư c quan h m ph n x ñ i x ng, khó có th có tính ch t °-b c c u Quan h m R có tính ch t ph n x đ i x ng ñư c g i quan h gi ng (resemblance) hay quan h g n gũi (proximity) ð có đư c tính °- b c c u c a quan h m R ta th c hi n phép l y °-b c c u, ký hi u R^ đư c đ nh nghĩa quan h °-b c c u nh nh t ch a R, nghĩa R^ = I{S : S is ° − transitive & R ⊆ S} 51 Ta s d ng ký hi u sau: R2 = R o R; Rk+1 = Rk o R, v i k = 1, 2, … ð nh lý 1.8 Gi s R quan h g n gũi Khi ñó, ta có (i) R^ = R ∪ R2 ∪ … ∪ Rk ∪ … = ∞ U Rk k =1 (ii) N u U h u h n có n ph n t , ta có (iii) N u ∃l, Rl = Rl+1, ta có R^ = R^ = l UR n UR k k =1 k k =1 (iv) R tương t n u R2 ⊆ R R^ = R Ví d 1.16 ð mô t s g n gũi gi a giá tr mô t m u m t c a ngư i ta có th xây d ng m t quan h m g n gũi sau Gi s U = {ñen, nâu, xanh, xanh s m, nâu đen, đen nâu, xanh nh t} Có nhi u tốn th c t địi h i so sánh, tìm ki m có th gi i quy t toán d a vi c xây d ng quan h tương t , trư c h t xây d ng quan h g n gũi Ch ng h n quan h sau: B ng 1.7 Quan h gi a màu R ñen nâu ñen ñen nâu nâu xanh xanh s m xanh nh t ñen 1,0 0,7 0,85 0,0 0,3 0,0 nâu ñen 0,7 1,0 0,92 0,86 0,0 0,4 0,0 ñen nâu 0,85 0,92 1,0 0,82 0,0 0,2 0,0 nâu 0,6 0,86 0,82 1,0 0,0 0,25 0,0 xanh 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,9 0,84 xanh s m 0,3 0,4 0,2 0,25 0,9 1,0 0,65 0,0 0,0 0,0 0,84 0,65 1,0 xanh nh t 0,0 0,6 D dàng ki m ch ng quan h g n gũi: ph n x đ ng nh t b ng đư ng chéo chính; đ i x ng giá tr đ i x ng qua đư ng chéo 1.5 ð i s t p m Lý thuy t t p m s toán h c cho vi c phát tri n phương pháp mô ph ng l p lu n c a ngư i V nguyên t c, v n ñ tư duy, l p lu n c a 52 ngư i v n ñ c c kỳ ph c t p khơng th s d ng m t c u trúc tốn h c nh t đ mơ phịng Vì v y, m c tiêu c a xây d ng ñư c nhi u c u trúc ñ i s t p m t t đ có th linh ho t ti p c n v n ñ ng d ng 1.5.1 T-norm t-conorm Trong ñ nh nghĩa phép tính h p giao t p m M c 1.3, ñã s d ng hai c p phép tính 2-ngơi [0;1] c p (∧) max (∨) c p phép tính tích đ i s a.b (.) t ng ñ i s (⊕) a ⊕ b = a + b – a.b D dàng ki m ch ng chúng nh ng c p ñ i ng u De Morgan Bây gi s ñưa m t h c p ñ i ng u t-norm t-conorm ð nh nghĩa 1.10 M t hàm 2-bi n T : [0;1] × [0;1] → [0;1] ñư c g i phép tnorm n u th a tính ch t sau v i ∀ a, a’, b, c ∈ [0;1]: (T1) Tính ch t ñi u ki n biên (T2) Tính ch t giao hoán : : T(a, 1) = a T(a, b) = T(b, a) (T3) Tính ch t đơn u : a ≤ a’ ⇒ T(a, b) ≤ T(a’, b) (T4) Tính ch t k t h p : T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) Chúng ta d dàng ki m ch ng r ng phép (∧) phép tích đ i s (.) phép t-norm chúng ñư c ký hi u tương ng Tm Tp Phép t-norm Tm (∧) ñư c g i phép giao m chu n (fuzzy standard intersection) M t tính ch t hay c a phép tốn hai ngơi T tính lũy đ ng (idempotency) nói r ng T(a, a) = a, v i ∀a ∈ [0;1] Tuy nhiên, sau ñây ch m t tính ch t “đ c tơn” c a phép giao tiêu chu n ð nh lý 1.9 Phép giao tiêu chu n phép t-norm nh t có tính ch t lũy đ ng Ch ng minh: T t nhiên ta th y Tm có tính ch t lũy ñ ng, min{a, a} = a, v i ∀a ∈ [0;1] Bây gi ta xét b t kỳ phép t-norm mà T(a, a) = a, v i ∀a ∈ [0;1] Khi đó, v i ∀a, b ∈ [0;1] khơng m t tính t ng qt ta gi s a ≤ b, theo tính ch t ñơn ñi u tính ch t v ñi u ki n biên ta có a = T(a, a) ≤ T(a, b) ≤ T(a, 1) = a, Do v y, T(a, b) = a = min{a, b} 53 ð nh lý gi i thích lý t i khơng xem tính ch t tiên ñ c a phép t-norm M t s tính ch t quan tr ng c a phép t-norm mà c n địi h i c n ph i có nhi u ng d ng, c n thi t có th đư c coi tiên ñ , ñư c phát bi u sau ñây (T5) T hàm hai bi n liên t c (Tính liên t c); (T6) T(a, a) < a (Tính lũy ñ ng dư i (subidempotency)); (T7) a < a’ b < b’ ⇒ T(a, a’) < T(b, b’) (Tính đơn u ch t) Ví d v nh ng phép t-norm hay ñư c s d ng phép sau: Phép giao m tiêu chu n: Tm(a, b) = min{a, b}; Phép tích đ i s : a.b; Phép hi u gi i n i: T(a, b) = max{0, a + b − 1}; Phép giao ch t : T(a, b) = a b 0 b = a = a ≠ & b ≠ Ngoài ra, phép tính sau t-norm: = max {0, a + b – 1} TL(a, b) T*(a, b) = a nêu b = b nêu a = 0 nêu a ≠ & b ≠ Chúng ta có b t đ ng th c sau: T* ≤ TL ≤ Tp ≤ Tm (23*) và, v i m i T-norm T: T* ≤ T ≤ Tm (24*) M t phép tính “đ i ng u” v i phép t-norm ñư c g i phép t-conorm ñư c ñ nh nghĩa sau, Phép giao ch t tiêng Anh drastic intersection N u d ch theo nghĩa đen g i phép giao m nh Chúng cho r ng ch “ch t” ti ng Vi t ng c nh có nghĩa phù h p 54 ð nh nghĩa 1.11 M t hàm 2-bi n S : [0;1] × [0;1] → [0;1] đư c g i phép tconorm, hay g i S-norm, n u th a tính ch t sau v i ∀ a, a’, b, c ∈ [0;1]: (S1) Tính ch t gi i n i : (S2) Tính ch t giao hoán: S(a, 0) = a S(a, b) = S(b, a) (S3) Tính ch t đơn u: a ≤ a’ ⇒ S(a, b) ≤ S(a’, b) (S4) Tính ch t k t h p: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) Như v y, ch có tính ch t (T1) (S1) làm nên s khác bi t gi a hai h phép tính T-norm S-norm Dư i ñây m t vài S-norm: Sm(a, b) = max{a, b} SL(a, b) = min{1, a + b} Sp(a, b) = a + b – a.b S*(a, b) = a n u b=0 = b n u a=0 = n u a ≠ & b ≠ V m t ý nghĩa lơgic, phép T-norm đư c s d ng ñ m r ng ng nghĩa c a phép lơgic AND, cịn phép S-norm đ m r ng ng nghĩa c a phép OR Bây gi m r ng ng nghĩa c a phép ph ñ nh (negation) Giá tr chân lý ño n [0, 1] s d ng phép “1−” ñ mô ta ng nghĩa phép ph ñ nh Dư i ñây, s ñưa m t h phép ph ñ nh sau: ð nh nghĩa 1.12 Hàm N : [0;1] → [0;1] ñư c g i phép ph đ nh n u có tính ch t sau, v i m i ∀ a, a’ ∈ [0;1]: (N1) Tính đơn u gi m : a ≤ a’ ⇒ N(a) ≥ N(a’) (N2) Tính lũy đ ng N(N(a)) = a : Có th suy r ng hàm N ñ nh nghĩa ph i ánh x 1-1 ð nh nghĩa 1.13 Ba phép tính T-norm T, S-norm S phép ph ñ nh N ñư c g i m t h ñ i ng u (T, S, N) n u chúng th a ñ u ki n sau: N(S(a, b)) = T(N(a), N(b)) (25*) Chúng ta có th ki m ch ng h sau h ñ i ng u: (∧, ∨, 1-), (⊗, ⊕, 1-), (TL, SL, 1-) (T*, S*, 1-) 55 1.5.2 ð i s t p m ð nh nghĩa 1.14 Cho m t h ñ i ng u b t kỳ ∆ = (T, S, N) không gian s U G i F(U) h t t c t p m U ð i s t p m F(U) d a h ñ i ng u ∆ m t c u trúc A∆ = (F(U), ∩∆, ∪∆, ∼∆) v i phép tính đư c đ nh nghĩa sau: - Phép giao ∩∆: A ∩∆ B = ∫ T (µ A~ (u ), µ B ~ (v) /(u , v) - Phép h p ∪∆: A ∪∆ B = ∫ S (µ A~ (u ), µ B ~ (v)) /(u , v) - Phép bù ∼∆: ∼∆ A = U U ∫ N (µ U A~ (u )) / u ð i s t p m A∆ có tính ch t sau: 1) Các phép tính ∩∆ ∪∆ có tính giao hốn k t h p Ch ng h n ch ng t chúng có tính k t h p Nh r ng phép S-norm S có tính ch t k t h p (A ∪∆ B) ∪∆ C = = ∫ S (S (µ U ∫ S (µ U A~ A~ (u ), µ B~ (u )), µ C ~ (u )) / u (u ), S ( µ B ~ (u ), µ C ~ (u ))) / u = A ∪∆ (B ∪∆ C) Tương t , có th ki m ch ng kh ng đ nh cịn l i phát bi u 2) N u phép tính T-norm T có tính lũy ñ ng, T(a, a) = a v i ∀a ∈ U, phép giao có tính lũy đ ng A ∩∆ A = A, v i ∀A ∈ F(U, [0;1]) Tương t , n u phép S-norm S lũy ñ ng, S(a, a) = a v i ∀a ∈ U, phép h p có tính lũy ñ ng A ∪∆ A = A, v i ∀A ∈ F(U, [0;1]) Th c v y, ta ki m ch ng cho phép giao: A ∩∆ A = ∫ T (µ U A~ (u ), µ A~ (u )) / u = ∫µ U A~ (u ) / u Cũng ki m ch ng tương t v y có tính ch t sau: 56 =A 3) N u phép T S phân ph i l n phép ∩∆ ∪∆ phân ph i l n (A ∩∆ B) ∪∆ C = (A ∪∆ C) ∩∆ (A ∪∆ C) (A ∪∆ B) ∩∆ C = (A ∩∆ C) ∪∆ (A ∩∆ C) A ∩∆ ∅ = ∅ A ∩∆ U = A 4) A ∪∆ ∅ = A A ∪∆ U = U 5) Tính ch t ñ i ng u De Morgan: ∼∆ (A ∩∆ B) = (∼∆ A) ∪∆ (∼∆ B) ∼∆ (A ∪∆ B) = (∼∆ A) ∩∆ (∼∆ B) ∼∆ (∼∆ A) = A 6) Tính ch t lũy đ ng: 7) Nhìn chung, có tính ch t sau mà r t khác bi t v i t p m kinh ñi n: A ∩∆ (∼∆ A) ≠ ∅ ; A ∪∆ (∼∆ A) ≠ U 1.5.3 Quan h gi a ñ i s t p m ñ i s t p kinh ñi n ~ Trong M c 1.1 bi t r ng ánh x h : A~ ∈ F(U) → { Aα ∈ P(U): ≤ α ≤ 1} thi t l p m t song ánh t t p t t c t p m F(U) vào t p t t c t p kinh ñi n P(U) ði u g i ý m t hy v ng có m t m i liên h ch t ch ñ p ñ gi a khái ni m t p m khái ni m t p kinh ñi n ð nh lý 1.10 Cho Ai~ ∈ F(U) v i i ∈ I, I t p ch s Khi đó, (i) (ii) U U i∈I (U A ) = (U A ) Ai~ ⊆ α i∈I Ai~ + α i∈I i∈I ~ i ~ i α α+ và I I i∈I i∈I (I A ) ⊆ (I A ) Ai~ = α Ai~ + α i∈I i∈I ~ i ~ i α α+ Ch ng minh: (i) Trư c h t ta ch ng minh ñ ng th c (i) Ta th y, u ∈ Ii∈I Ai~ n u ch n u v i ∀i ∈ I, u ∈ Ai~ hay Ai~ (u ) ≥ α ði u tương α α α ñương v i kh ng ñ nh Infi ∈ I Ai~ (u ) ≥ α α 57 (26*) Theo ñ nh ngĩa phép giao t p m , (26*) tương ñương v i s ki n u ∈ (I i∈I Ai~ ) Như v y, ñ ng th α c (i) ñã ñư c ch ng minh (ii) ñư c ch ng minh m t cách tương t Ta có th ch ng t đ ng th c khơng th x y ñói v i bao hàm th c ñ nh lý Ch ng h n, ñ i v i bao hàm th c (i), ta xét ví d sau Ai~ có hàm thu c cho b i Ai~ (u ) = – 1/i, v i m i u Gi s t p m ∈ U i ∈ N Khi đó, (U i∈I ) Ai~ (u ) = Sup i ∈ N Ai~ (u ) = Sup i ∈ N (1 – 1/i) = (U Do đó, i∈I ) Ai~ = U M t khác, v i m i i ∈ N m i u ∈ U, ta có Ai~ (u ) = – 1/i < đó, Ai~ = ∅, v i m i i ∈ N V y ta suy ra, U i∈I Ai~ = ∅ ≠ U = (U i∈I ) Ai~ ð nh lý 1.11 Xét A~, B~ ∈ F(U) Khi ñó, ta có ~ ~ A~ ⊆ B~ n u ch n u Aα ⊆ Bα , v i b t kỳ α ∈ [0;1]; (i) ~ ~ A~ ⊆ B~ n u ch n u Aα + ⊆ Bα + , v i b t kỳ α ∈ [0;1] ~ ~ A~ = B~ n u ch n u Aα = Bα , v i b t kỳ α ∈ [0;1]; (ii) ~ ~ A~ = B~ n u ch n u Aα + = Bα + , v i b t kỳ α ∈ [0;1] Ch ng minh: ð ch ng minh (i), gi s A~ ⊆ B~, A~(u) ≤ B~(u), v i ∀u ∈ U ~ ~ ði u kéo theo kh ng ñ nh Aα ⊆ Bα , v i b t kỳ α ∈ [0;1] Ngư c l i, gi ~ ~ s ph n ch ng Aα ⊆ Bα , v i b t kỳ α ∈ [0;1] A~ ⊄ B~ V y, ph i có u0 ∈ U cho A~(u0) > B~(u0) L y α cho A~(u) > α > B~(u) V i α ~ ~ ~ ~ v y, ta có u0 ∈ Aα u0 ∉ Bα , nghĩa Aα ⊄ Bα , mà ñi u nàu mâu thu n ~ ~ v i gi thi t Aα ⊆ Bα , v i b t kỳ α ∈ [0;1] 58 M t cách hoàn toàn tương t , d dàng ch ng minh nh ng kh ng đ nh cịn l i c a đ nh lý ð nh lý 1.12 Cho A~ ∈ F(U) Khi đó, v i m i α ∈ [0;1], ta có ~ ~ ~ (i) Aα = Iβ