Đang tải... (xem toàn văn)
ứng dụng hàm số giải pt và hệ pt là một phương pháp rất hay xuất hiện trong các đề thi hiện nay
GII PHNG TRÌNH-H PHNG TRÌNH( S DNG O HÀM) Bài 1: Gii phng trình 13232 122 +++=+ + x xx x x Gii: Ta có xxf xx ++= 32)( tng trên R, nên phng t rình tng đng )1()2( += xff x 12 +=⇔ x x Hàm s )1(2)( +−= xxg x xác đnh trên R ( ) exxgxg x 22 // loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−= Vy phng trình có nhiu nht 2 nghim trên ( ) )(loglog; 22 e∞− v ( ) ∞+;)(loglog 22 e Th trc tip tìm đc hai nghim là 1;0 == xx Bài 2: Gii phng trình 1514312log 114312 5 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−++−− −−−++−− xxxx xxxx Gii : iu kin 1≥x .t 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chng minh) phng trình tng đng 15)1(log 5 −=+ t t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = += ⇔ −=− += ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ += += ⇔ ty t ty y t y t yt t y t 15 (*)55 15 15 15 0=⇔ t 0114312 =−−−++−−⇔ xxxx 52 ≤≤⇔ x Bài 3: Gii phng trình 324 42442 2 1 −+−= xxxx Gii : 021224 234 =−+−−⇔ xxxx Xét hàm s 12412421224 23/234 +−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy Lp bng bin t hiên, suy ra hàm s có trc đi xng x =1 Do đó đt 1+= Xx , ta có phng tr ình ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= −±= ⇔=+− 1141 1141 058 24 x x XX Bài 4: Gii phng trình ( ) x x x coscos 4.342)cos1( =++ Gii : t 11cos ≤≤−= yyx ( ) yy y 4.342)1( =++⇔ t () 1 42 4.4ln.6 )(1 42 4.3 )( 2 / − + =⇒−− + = y y y y yfyyf www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 () 2 / 424.4ln.160)( yy yf +=⇔= ây là phng trì nh bc hai theo y 4 , nên có không quá 2 nghim. Vy theo đnh lý Roolle phng trình 0)( =yf có không quá 3 nghim. Ta có 1, 2 1 ,0 === yyy là 3 nghim ca p hng trình 0)( =yf Suy ra phng t rình có nghim π π π π π 2 3 2 , 2 ,2 kxkxkx +±=+== Bài 5: Gii phng trình 13 1 24 log 26 26 2 2008 −−= ++ + xx x x x Gii : 241 2008 2008 1 24 226 26 2 2 2 4 1 26 +=++⇔= ++ + + ++ xxx xx x x xx vì hàm s x xxf 2008.)( = tng trên R Gii phng trình 013013 326 ≥−−⇔=−− uuuxx phng tr ình ch có nghim trong (0,2) t 2 0cos2 π <<= ttu 2 1 3cos =⇒ t Suy ra phng t rình có nghim 9 cos2 π ±=x Bài 6: Gii phng trình xx xx cossin 2 5 .sin 2 5 .cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Gii : Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghim . Xét 2 π k x ≠ xx xx cos 2 5 sin 2 5 cossin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ Xét hàm s 0,1 2 5 )( ≠< ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = tt t tf t . Hà m s )(tf nghch bin Suy ra π π kxxx +=⇔= 4 cossin Bài 7: Gii phng trình 322 32 54 log)2( 2 2 2 += + ++ ++ x x xx x Gii : k 032 >+x [] 322log3221)2(log1)2( 2 2 2 2 +++=+++++⇔ xxxx t )0(log)( 2 >+= ttttf Tng t www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 Phng tr ình có nghim 1−=x Bài 8: Gii phng trình x x xx 20072007 19751975 cos 1 sin 1 cossin −=− Gii : x x x x 2007 1975 2007 1975 cos 1 cos sin 1 sin −=− 1cos;1sin == xx không là nghim ca p hng trình t hàm s )1;0()0;1( 1 )( 2007 1975 ∪−∈−= t t ttf Ta có 0 2007 1975)( 2008 1974/ >+= t ttf nê n hàm s tng trên mi khong )(:)0;1( tft −∈ ch nhn giá tr dng )(:)1;0( tft ∈ ch nhn gi á tr âm Nên π π kxxxxfxf +=⇔=⇔= 4 cossin)(cos)(sin Bài 9: Gii phng trình xxxxxx 4422 cos2cos3sin.sin22cos. 2 cossin. 2 sin −+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ππ Gii : () xxxxxx 442222 cos2cos2coscos22cos. 2 coscos. 2 cos −+−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ ππ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−⇔ xxxxxx 224224 cos. 2 coscos2cos2cos. 2 cos2cos22cos ππ Xét hàm s 10. 2 cos2)( 2 ≤≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= tttttf π . )(tf gim 3 cos2cos)(cos)2(cos 2222 π k xxxxfxf =⇔=⇔= Bài 10: Gii phng trình [ ] 35)37634(log337634)37634(2 2 2 2329334 2 =+−+++−+− +− xxxxxx xx Gii : t )87(37634 2 ≥+−= txxt )256.256(log256.22.35).2(log.2 3 2 32562833 2 3 ttt tt ==⇔ Hàm s ).2(log.2)( 3 2 3 tttf tt = đng bin trê n [ ) ∞+;1 4;3025637634256 2 ==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt Bài 11: Gii phng trình )16cos2cos4(log2cos 2 1 2 1 3 4 2 sin2 −−+=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxx x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 t )1 3 1 (2cos ≤<= yxy )13(log 2 1 2 4 1 −+=+⇔ − yy y t )1(132)13(log 2 ≤−=⇔−= tyyt t Ta có h ty y ty ty t y +=+⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −= −+= 22 132 122 Xét hàm s uug u += 2)( , hà m s đng bin trên R 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt Xét hàm s 132)( +−= ttf t , s dng đnh lý Roll cm phng trình có không quá 3 nghim Phng trình có nghim )(31 Ltt == , suy ra phng trình có nghim π kx = Bài 12: Gii phng trình 11 7.4.128343.864 −− +=− xxxx Gii : t 1 7.2;4;2 − =−== xx cba 03 333 =−++⇔ abccba 00 2 )()()( )( 222 =++⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ++⇔ cba accbba cba 07.242 1 =+−⇔ −xx Xét hàm s 7ln.7. 7 2 4ln.4)(7.242)( /1 xxxx xfxf +−=⇒+−= − Phng tr ình 0)( / =xf có nghim duy nht nên theo đnh lí Lagrange phng trình 0)( =xf không có quá 2 nghim phân bit Phng trình có nghim 2;1 == xx Bài 13: Gii phng trình )32(log)22(log 2 32 2 322 −−=−− + + xxxx Gii : iu kin xvx <−< 31 )32(log)22(log 2 347 2 348 −−=−−⇔ ++ xxxx t 347 +=a và 32 2 −−= xxt tt aa log)1(log 1 =+⇔ + t ty a log= 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ yy aa a 1=⇔ y l à nghim duy nht Phng trình có nghim 34111 +±=x Bài 14: Gii h phng trình www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 4loglog 4loglog 4loglog 35 35 35 xz zy yx Gii : H phng trình không đi qua phép hoán v vòng quanh zy x ==⇒ T đó ta có ( ) 4loglog 35 += xx , đt xt 5 log= 1 3 1 4 3 5 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ t t Phng tr ình có đúng 1 ngim 2=t do hàm s 1 3 1 4 3 5 )( = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = t t tf nghch bin H phng trình có 1 nghim 25=== zyx Bài 15: Gii h phng trình () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−+ −−=− − 04122 2 3 22 2 2 2 2 2 1 xyxxyx xy y x x Gii : T phng trình (2) 2 21 1)2( x x yxyx − =⇔=+⇔ (1) 22 2 2 21 2 2 1 2 2 21 2 2 1 x x x x x x x x − = − ⇔ + − + − xé t hàm s 0 2 1 2ln2)( 2 2)( / >+=⇒+= tt tf t tf 22 2 2 21 2 1 x x x x − = − ⇔ H phng trình có 1 nghim 4 3 ,2 −== yx Bài 16: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++=++ + + = − 1)2(log2)62(log3 1 1 23 2 2 22 yxyx y x e xy Gii : k 062 >++ yx và 02 >++ yx (1) 1)1ln(1)1ln( 2222 +++=+++⇔ yyxx Hàm s 1ln)( >+= ttttf đng bin trên );0( ∞+ yxyx ±=⇔+=+⇔ 11 22 .Nu 3;31)6(log)2( 3 −==⇔=−⇔−= yxxyx www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 .Nu y x = (2) uxx 6)1(log2)2(log3 23 =+=+⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ =+ =+ ⇔ 1 9 8 9 1 21 32 3 2 uu u u x x Hàm s uu ug ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 8 9 1 )( nghch bin trên R, suy ra 1=u là nghim duy nht H phng trình có 2 nghim 4 3 ,2 −== yx và 7;7 == yx Bài 17: Gii h phng trình () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −=− + + + 2 7 2 3 2 )2(342 2 2 1 2 8 1 2 yx xy yx y x Gii : k 0; ≥yx () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +=+ ⇔ ++ + + 732 43232 1 2 1 2 )4( 1 2 yx yx yx y x Hàm s xxf x 32)( 1 2 += + đng bin trên [ ) ∞;0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf Bài 18: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−= −−= )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos 2 2 2 zyz yxy xzx Gii : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= ⇔ 4228 4228 4228 2 2 2 ZY YX XZ Z Y X Hàm s () 422 8 1 )( 2 ++= ttf t đng bin trê n ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 1; 2 1 () 422 8 1 2 ++===⇔ XZYX X Gii bng đ th ⎢ ⎣ ⎡ === === ⇔ )(2 1 lZYX ZYX H phng trình có 2 nghim π π π 2;2,2 mzlykx === www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6 Bài 19: Gii h phng trình ⎩ ⎨ ⎧ +=+ +=+ 2)(coslog)sin31(log 2)(sinlog)cos31(log 32 32 xy yx Gii : k 0sin;cos ≥yx )(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log 3232 yyxx =+=++⇒ Hàm s tttf 32 log)31(log)( ++= 0 3ln 2 2ln)31( 3 )( / >+ + =⇒ tt tf đng bin trên 0>∀t xy cossin =⇒ Thay vào phng trình (1) 2)(coslog)cos31(log 32 +=+⇒ xx Lp BBT hàm s vvvg 32 log)31(log)( −+= vi ( ] 1,0cos ∈= xv phng tr ình ch có 2 nghim 3 1 cos,1cos == xx Bài 20: Gii h phng trình 34 22 3 28 21 82 xy y xy xy y ⎧ −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Gii: H tng đng ( ) 33 2 28 (1) 0 ( ) 18 2 (2) yx y xy yx y ⎧ −= ⎪ ⇒>> ⎨ += ⎪ ⎩ (2) 4 38 x y y ⇒= − , tha y vào (1) đc: 3 4 3 38 28 yy y y ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ (3) t 0ty=> , (3) tr thành: () 3 4 3 22 6 93 4 38 28 3 8 28 0 tt t ttt t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −=⇔− − += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ Xé t hàm () 3 93 4 () 3 8 28 f tt t t=− − + ta có: () 82 3 4 '( ) 9 9 3 8 28 0, 0 f tt t t t=+ −+>∀> Chng t hàm s f(t ) đng bin trên khong (0;+∞) phng trình f(t) = 0 nu có nghim trên Khong (0;+∞) thì nghim đó là nghim duy nht. T đó suy ra h phng trình đ cho nu có nghim (x 0 , y 0 ) thì nghim đó là nghim duy nht ca h. Nu chn x = 2y thì t (1) ta có: 4 4222yy x=⇔= ⇒= . R rà ng cp s (2 2; 2) tha (2). Vy h có nghim duy nht (2 2; 2) . Bài 21: Tìm s nghim ca nm trong khong )2;0( π ca p hng trình 2 5 )sin10sin12sin8( 246cos2 2 +=+− exxxe x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 0 1 1 t g' g 1- 3 6 0 + _ -5 f u 0 1 6 t f' 0 + _ 0 t 10sin 2 ≤≤== tyxt 2 5 )10128( 23)1(2 +=+−⇔ − etxtxte t Xét hàm s )10128()( 23)1(2 tttexf t +−= − [ ] )( 2)10128(2)102424()( )1(2232)1(2/ tgetttttexf tt −− −=+−−+−=⇒ Vi )112412(2)(522248)( 2/23 +−=⇒−+−= tttgttttg Lp bng bin t hiên, suy ra phng trình 0)( =tg có nghim duy nht 6 3 10, −<<= uut Lp bng bin thiên hàm s )(tf , suy ra phng trình 0)( =tf có nghim duy nht uvvt <<= 0, Suy ra phng tr ình vx ±= sin c ó 4 nghim phân bit )2,0( π ∈x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8