PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Thầy: Lâm Tấn Dũng Mở đầu Hình học khơng gian mơn học khó nhiều học sinh, biết đưa phương pháp giải cho dạng tốn, kiên trì hướng dẫn học sinh thực theo phương pháp đó, việc học giải tốn hình học khơng gian đỡ khó nhiều học sinh học giải đề thi đại học phần hình học khơng gian cách nhẹ nhàng  Một số phương pháp giải tốn Hình Học Khơng Gian  BÀI TỐN 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  Phương pháp:  Cách Tìm điểm chung mặt phẳng  Điểm chung thứ thường dễ thấy  Điểm chung thứ hai giao điểm đường thẳng cịn lại, khơng qua điểm chung thứ  Cách Nếu mặt phẳng có chứa đường thẳng // cần tìm điểm chung, giao tuyến qua điểm chung // với đường thẳng  BÀI TỐN 2: Tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P)  Phương pháp:  Ta tìm giao điểm a với đường thẳng b nằm (P)  Khi khơng thấy đường thẳng b, ta thực theo bước sau: Tìm mp(Q) chứa a Tìm giao tuyến b (P) (Q) Gọi: A = a  b thì: A = a  (P)  BÀI TOÁN 3: Chứng minh điểm thẳng hàng  Phương pháp: Để chứng minh điểm hay nhiều điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm thuộc mặt phẳng phân biệt  BÀI TOÁN 4: Chứng minh đường thẳng a, b, c đồng quy  Phương pháp:  Cách 1: Ta chứng minh giao điểm đường thẳng điểm chung mp mà giao tuyến đường thẳng thứ ba  Tìm A = a  b  Tìm mp (P), (Q), chứa A mà (P)  (Q) = c  Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng cắt đôi TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  BÀI TỐN 5: Tìm tập hợp giao điểm M đường thẳng di động a, b  Phương pháp:  Tìm mp(P) cố định chứa a  Tìm mp(Q) cố định chứa b  Tìm c = (P)  (Q) Ta có M  c  Giới hạn  BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện mp(P) khối đa diện T  Phương pháp: Muốn tìm thiết diện mp(P) khối đa diện T, ta tìm đoạn giao tuyến mp(P) với mặt T Để tìm giao tuyến (P) với mặt T, ta thực theo bước: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến (P) với mặt T Kéo dài giao tuyến có, tìm giao điểm với cạnh mặt từ làm tương tự ta tìm giao tuyến cịn lại, đoạn giao tuyến khép kín ta có thiết diện cần dựng  BÀI TOÁN 7: Chứng minh đường thẳng a qua điểm cố định  Phương pháp: Ta chứng minh: a = (P)  (Q) (P) mặt phẳng cố định (Q) di động quanh đường thẳng b cố định Khi a qua: I = (P)  b  BÀI TOÁN 8: Chứng minh đường thẳng a, b song song  Phương pháp:  Cách Ta chứng minh: a , b đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh // hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, … để chứng minh: a // b  Cách Chứng minh: a, b // với đường thẳng thứ ba c  Cách Áp dụng định lý giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song cho trước giao tuyến chúng phương với đường thẳng  BÀI TỐN 9: Tìm góc đường thẳng chéo a, b  Phương pháp:  Lấy điểm O tùy ý  Qua O dựng c // a, d // b  Góc nhọn tạo c d góc đường thẳng a, b  Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a b ta cần vẽ đường thẳng // với đường cịn lại  BÀI TỐN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P)  Phương pháp:  Cách Ta chứng minh: a // với đường thẳng b  (P) Khi không thấy b ta làm theo bước:  Tìm mp(Q) chứa a  Tìm b = (P)  (Q)  Chứng minh: b // a  Cách Chứng minh: a  (Q) // (P) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với đương thẳng a cho trước  Phương pháp: Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, cắt mặt phẳng chứa a cắt theo giao tuyến song song với a  BÀI TOÁN 12: Chứng minh mặt phẳng song song  Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với đường thẳng cắt nằm mặt phẳng  BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mp cho trước  Phương pháp: Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mp thứ ba giao tuyến //  BÀI TOÁN 14: Chứng minh đường thẳng   Phương pháp:  Cách Chứng minh đường thẳng  với mặt phẳng chứa đường  Cách Nếu đường thẳng cắt sử dụng phương pháp dùng hình học phẳng để chứng minh  Cách Dùng Vectơ  BÀI TOÁN 15: Chứng minh đường thẳng a  mặt phẳng (P)  Phương pháp:  Cách Chứng minh: a  với đường thẳng cắt nằm (P)  Cách Chứng minh a trục mp(P) (Tức chứng minh: MA = MB = MC, NA = NB = NC với M, N  a, A, B, C(P))  Cách Chứng minh: a  (Q)  (P) a  b = (P)  (Q)  Cách Chứng minh a giao tuyến mặt phẳng  (P)  BÀI TOÁN 16: Dựng thiết diện mp(P) qua điểm A cho trước  đường thẳng a cho trước  Phương pháp:  Cách Nếu có đường thẳng: b, c cắt hay chéo  với a thì: (P) // a (hay chứa a), (P) // b (hay chứa b) ta đưa việc dựng thiết diện phần //  Cách Dựng mp(P) sau: Dựng đường thẳng cắt nhau: b, c  a, b c qua A, (P) = mp(b, c)  BÀI TOÁN 17: Dựng đường thẳng a qua A cho trước  mp(P) cho trước Tính khỏang cách từ điểm đến mặt phẳng TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  Phương pháp: Chọn (P) đường thẳng d Tìm mp(Q) qua A  d (Tức tìm đường thẳng cắt  d có đường thẳng qua A) Tìm: c = (P)  (Q) Dựng: AH  c H AH đường thẳng qua A  (P), AH = d[A, (P)]  Chú ý Nếu: AB // (P) d[A, (P)] = d[B, (P)] Nếu: AB  (P) = I thì: d[A, (P)] / d[B, (Q)] = IA/ IB  BÀI TOÁN 18: Tìm tập hợp hình chiếu  M điểm cố định A đường thẳng d thay đổi mp(P) cố định d qua điểm cố định O  Phương pháp: Dựng AH  (P) (H (P)) ta có: HM  d (Theo ĐL đường  ) Trong mp(P) góc HMO vng nên M thuộc đường trịn đường kính OH chứa (P)  BÀI TỐN 19: Tìm tập hợp hình chiếu  H điểm cố đinh A mp(P) di động chứa đường thẳng d cố định  Phương pháp: Tìm mp(Q) qua A  d Tìm c = (P)  (Q) Chiếu  A lên c, điểm chiếu H H hình chiếu  A (P) Gọi E = d (Q) Trong mp góc AHE = 900 nên H thuộc đường trịn đường kính AE  BÀI TỐN 20: Tìm góc đường thẳng a mp(P)  Phương pháp: Tìm O = a (P) Chọn A a dựng AH  (P) (H(P))   (dựng đường thẳng qua điểm A cho trước  mp cho trước) AOH  ( a,  )  BÀI TỐN 21: Góc mặt phẳng (P), (Q) - Góc nhị diện  Phương pháp: Tìm c = (P)  (Q) Tìm (R)  c (Tức tìm đường thẳng cắt  c) Tìm a = (R)  (P), b = (R)  (Q) (đối với góc mặt phẳng ), ((P), (Q)) = (a, b) Ox = (R)  (P), Oy = (R)  (Q) (Đối với góc nhị diện) ((P), d, (Q)) = (Ox, Oy) • Chú ý Nếu có đường thẳng a, b  với (P) (Q) thì: ((P), (Q)) = (a, b)  BÀI TỐN 22: Mặt phân giác nhị diện ((P), c, (Q))  Phương pháp:  Cách  Tìm góc phẳng xOy nhị diện (Ox  c, Oy  c, O c) ((P), c, (Q)) Mặt phân giác nhị diện ((P), c, (Q)) mp qua cạnh c phân giác Ot góc xOy  Cách Tìm điểm A cách mặt nhị diện ((P), c, (Q)) Mặt phẳng phân giác nhị diện mặt phẳng qua A c TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  BÀI TOÁN 23: Chứng minh mặt phẳng (P), (Q) vng góc  Phương pháp:  Cách Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng  với mặt phẳng  Cách Chứng minh góc mặt phẳng có số đo = 900  BÀI TOÁN 24: Xác định mp P chứa đường thẳng a  mp(Q) (a không  (Q))  Phương pháp: Chọn điểm A a Dựng AH  (Q) Khi (P) = (a, AH)  Chú ý Nếu có đường thẳng d  (Q) (P) // d hay (d)  (P) BÀI TỐN 25: Tìm khoảng cách - Dựng đoạn  chung đương thẳng chéo a, b  Phương pháp:  Cách 1 Tìm mp(P)  a, tìm O = a  (P) Tìm hình chiếu b’ đường thẳng b mp(P)  Tìm: I = b (P)  Lấy điểm M  b dựng qua M đường thẳng: MK  (P), ta có IK = hình chiếu b’ b (P) Trong mp(P) dựng: OH  b’ ta có: OH = d[a, b] Dựng: HB // a, B  b Dựng: BA // OH, A  a ta có AB đoạn  chung a b  Cách Tìm mp(P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b Khi đó: d[a, b] = d[b, (P)] = d[M, (P)] (M điểm tùy ý b)  Một số công thức cần nhớ  Định lý Euler: Gọi: d, c, m theo thứ tự số đỉnh, số cạnh số mặt khối đa diện lồi Khi ta có: d – c + m =  Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S V SA ' SB ' SC ' Ta có: S A ' B ' C '  VS ABC SA SB SC  Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O (P) d = OH a d < R: (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn C(H; r) r  R  d TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 b d = R: (P) cắt (S) điểm H c d > R: (P)  (S) = : (P) khơng cắt (S)  Diện tích mặt cầu - Thể tích khối cầu  S = 4R2  V = 4/3.R3  Diện tích hình trụ - Thể tích khối trụ  SXQ = 2Rh = 2Rl  V = R2h = R2l  STP = SXQ + S2ĐÁY Trong R bán kính đáy, h chiều cao l đường sinh khối trụ  Diện tích mặt nón - Thể tích khối nón  Sxq = Rl = 1/2.chu vi đáy nhân đường sinh  V = 1/3.R2h = 1/3 diện tích đáy nhân chiều cao  Stp = Sxq + Sđáy A Các đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2011 Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)  Hướng Dẫn: a 10 S 16 Bài Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Tính theo a khoảng cách đường thẳng A1B, B1D Gọi M, N, P trung điểm cạnh B1B, CD, A1D1 Tính góc đường thẳng MP C1N  Hướng Dẫn: d  a / 900 Bài Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính d[A, (BCD)]  Hướng Dẫn: d  34 / 17  cm  Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA  mp(ABC) Tính d[A, (SBC)] theo a biết SA =  Hướng Dẫn: a d  a /2 Bài Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi a, b, c góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: cosa + cosb + cosc  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA  (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách d = d[S, BE] TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 d  3a / Bài Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng  với mp(ABC) điểm A lấy điểm S cho góc mặt phẳng (ABC) (SBC) 600 Tính độ dài đoạn SA theo a  Hướng Dẫn: SA  a / Bài Tính thể tích khối tứ diên ABCD biết: AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DAB 600  Hướng Dẫn: V  abc / 12 Bài Cho hình tứ diện ABCD có cạnh a = cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng AD BC  Hướng Dẫn: Đoạn vng góc chung MN với M, N trung điểm BC AD, MN = (cm) Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A1C, D]  Hướng Dẫn: 1200 Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác cân với: AB = AC = a góc BAC = 1200, cạnh bên BB1 = a Gọi I trung điểm CC1 Chứng minh tam giác AB1I vng A Tính cosin góc mặt phẳng (ABC), (AB1I)  Hướng Dẫn: cos  30 / 10 Bài 12 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b, (BCD)  (ABC), góc BDC = 900 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b  Hướng Dẫn: R  a / 4a  b2 Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600, gọi M trung điểm cạnh AA1 N trung điểm cạnh CC1 Chứng minh điểm B1, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA1 theo a để tứ giác B1MDN hình vuông  Hướng Dẫn: AA1  a Bài 14 Cho hình lập phương ABC.A1B1C1 Tìm điểm M thuộc cạnh AA1 cho mp(BD1M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ  Hướng Dẫn: M trung điểm đoạn AA1 Bài 15 Cho hình chóp SABC đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc b (00 < b < 900) Tính thể tích khối chóp S.ABC d[A, (SBC)] TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: V  a tan b / 24 , NĂM HỌC 2011-2012 d  a sin b / Bài 16 Cho mpP  mpQ có giao tuyến đường thẳng d Trên d lấy điểm A, B với AB = a Trong mpP lấy điểm C, mpQ lấy điểm D cho AC, BD vng góc với d AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính d[A, (BCD)] theo a  Hướng Dẫn: R a 3/2 , d  a 2/2 Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, SA  (ABC), SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a  Hướng Dẫn: S  a2 / Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S  abc  a  b  c   Hướng Dẫn: S  / a b2  b2 c  c a , sử dụng BĐT Cauchy Bài 19 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy b (00 < b < 900) Tính tang góc mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b  Hướng Dẫn: V  a tan b / Bài 20 Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho: AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB  Hướng Dẫn: Bài 21 V  a 3 / 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD = a, AA’ = a góc  BAD  600 Gọi M N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC’  mp(BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN  Hướng Dẫn: V = 3a3 / 16 Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA  (ABCD) SB tạo với mặt đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a / Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM  Hướng Dẫn: V  10 a / 27 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 23 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM  Hướng Dẫn: V  3 a / 50 Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V  2a 3b / a  16b2 Bài 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC’ cho: CK = 2/3a Mặt phẳng () qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện  Hướng Dẫn: V1 = a3 /3, V2 = 2a3 /3 Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với: AB = a, AD = a , SA = a, SA  (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC)  (SMB) Tính thể tích khối chóp ANIB  Hướng Dẫn: Bài 27 V  a / 36  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD  600 SA  (ABCD), SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: V  a 3 / 18 Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A’A = b Gọi  góc mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan thể tích khối chóp A’.BB’C’C  Hướng Dẫn: tan   3b2  a / a , V  a 3b2  a / Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM  BP tính thể tích khối tứ diện CMNP  Hướng Dẫn: V  a 3 / 96 Bài 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN  BD tính theo a khoảng cách đường thẳng MN AC TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: Bài 31 NĂM HỌC 2011-2012 d  a 2/4   Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC  BAD  900 , AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA  (ABCD) SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh SCD vng tính khoảng cách từ H đến mp(SCD)  Hướng Dẫn: d = a/3 Bài 32 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc đường thẳng AA’, B’C’  Hướng Dẫn: V = a /2, cosφ = 1/4 Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc đường thẳng SM, DN  Hướng Dẫn: Bài 34 V  a 3 / , cos  1/ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B’C  Hướng Dẫn: V  a3 / , d  a / 17 Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = 2a, CD = a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a  Hướng Dẫn: V  15 a / Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mp(ABC)  60 ABC vuông C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mp(ABC) trùng với Bài 36 trọng tâm ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a  Hướng Dẫn: V= 9a3/208 Bài 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC)  Hướng Dẫn: V = 4a3 / 9, d  5a /5 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 38 Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi N, M, E trung điểm cạnh AB, AC, BC, D điểm đối xứng S qua E, I = AD(SMN) Chứng minh AD  SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI  Hướng Dẫn: V = a3 / 36 Bài 39 Cho tứ diện ABCD điểm M, N, P thuộc cạnh BC, BD, AC cho: BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính AQ / AD tỷ số thể tích phần khối tứ diện ABCD chia mp(MNP)  Hướng Dẫn: AQ / AD = 3/5 , V1 / V2 = / 13 Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a , SA  (ABCD) Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cosin góc đường thẳng SB, AC  Hướng Dẫn: V  a 3 / , cos   / Bài 41 Cho tứ diện ABCD có mặt ABC ABD tam giác cạnh a, mặt ACD BCD vng góc với Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD tính số đo góc đường thẳng AD BC  Hướng Dẫn: V  a / 12 , 600 Bài 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a, SA  (ABC) Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK  Hướng Dẫn: V = 8a / 45 Bài 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD, H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a  Hướng Dẫn: V  5a 3 / 24 , d  2a / 19 Bài 44 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a  Hướng Dẫn: V  3 a / , R  7a / 12 Bài 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng(ABCD) H thuộc đoạn AC AH = AC/4 Gọi CM đường cao ∆SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 11 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 V  14 a / 48 Bài 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài 47 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a  Hướng Dẫn: V  a 3 , d  a 12 / 13 Bài 48 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a  Hướng Dẫn: V  3a / , d  a / Bài 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a  Hướng Dẫn: Bài 50 V  a 3 / 36 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a  Hướng Dẫn: V  2a 3 , d  a / B Các đề thi thử Đại Học trường Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc  (0° <  < 90°) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)  Hướng Dẫn: V  a tan  / 24 , h  a.sin  / Bài Tính thể tích V khối tứ diện ABCD biết rằng: AB = a, AC = b, AD = c góc , 60° TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG , trang 12 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 V  abc / 12 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, = = 90°, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a√2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)  Hướng Dẫn: d = a/3 Bài Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC có AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600 SH vng góc với (ABC) (H ∈ (ABC)) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC SA vng góc với BC Tính thể tích V khối chóp  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Tính thể tích khói tứ diện BMB’C’ theo a chứng minh BM vng góc với B’C  Hướng Dẫn: Bài V  a 3 / 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N thuộc cạnh SB, SD cho: = = Mặt phẳng (AMN) cắt SC P Tính tỉ số: Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thề tích V hình chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: SP/CP = Vs.ampn = 1/3 V Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp  Hướng Dẫn: S  a2 / Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM  Hướng Dẫn: V  3 a / 50 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên tạo mặt bên với mặt đáy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUN TIỀN GIANG √ Tính góc trang 13 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: 600 NĂM HỌC 2011-2012 V  125  a / 432 Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có SA = x tất cạnh lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích khối chóp S.ABCD a /  Hướng Dẫn: xa  xa Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên ⃗ ⃗ AA’ = a√2 M điểm AA’ cho: AM = AA' Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’ Bài 11  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài 12 Trong khơng gian, cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC  Hướng Dẫn: S  10 a Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc α Tính thể tích khối chóp S.ABC  Hướng Dẫn: ⃗ ⃗ = Bài 14 V  a tan  / 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a và: Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a  Hướng Dẫn: V  a / 12 ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = Bài 15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 Một mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt đáy (ABC) A tiếp xúc với đường thằng BS H Hãy xác định vị trí tương đối H với hai điểm B, S tính diện tích mặt cầu tâm O  Hướng Dẫn: H nằm S B   S  19   a / Bài 16 Tính thể tích hình chóp S.ABCD biết SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (SCD)  Hướng Dẫn: V  a3 /  Hướng Dẫn: d  a 3.sin  / Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a = 60 Các cạnh bên SA, SB, SC nghiêng đáy góc α Tình khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a α  cos 2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 14 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a; SA vng góc với (ABCD) Trên cạnh AD, CD lấy điểm M, E cho: AM = CE = Gọi N trung điểm BM, K giao điểm AN BC Tính thể tích khối tứ diện SADK theo a chứng minh (SDK) vng góc với (SAE)  Hướng Dẫn: V = a3/6 đoạn thẳng AA’, AB Biết góc hai mặt phẳng (C’AI) (ABC) 60 Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I khoảng cách hai đường thẳng MN AC’ Bài 19 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm  Hướng Dẫn: Bài 20 V= a3 / 32, d  a 3/8 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) Tính thể tích lăng trụ theo a  Hướng Dẫn: V  3a / 16 Bài 21 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên nghiêng với đáy góc 60 Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mặt phẳng (SCD) cắt SC, SD C’ D’ Tính thể tích hình chóp SABC’D’  Hướng Dẫn: V  3a / 16 Bài 22 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc nhọn tiếp hình thoi r, mặt bên nghiêng đáy góc 60 Tính:  Hướng Dẫn: V  3r / 3sin  =∝ bán kính đường trịn nội Bài 23 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC ∆ cân, AB = BC = 3a, AC = 2a Các mặt phẳng (B’AB), (B’AC), (B’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính ’ ’ ’  Hướng Dẫn: V  a3 Bài 24 Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính AB = a điểm C di động đường trịn (C ≢ A C ≢ B) Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) A, ta lấy điểm S cho SA = h Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB cắt SB, SC B’, C’ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.AB’C’  Hướng Dẫn: MaxV  a h / 12 a  h2  Bài 25 Cho hình chóp SABCD có SA = a vng góc với (ABCD) Đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a E trung điểm AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SCED TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 15 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 R  a 11 / Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 45 tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Biết độ dài cạnh AB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài 27 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đơi vng góc với AB = BC = CD = a Gọi C’ D’ hình chiếu điểm B AC AD Tính thể tích tứ diện ABC’D’  Hướng Dẫn: V= a3 / 36 Bài 28 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên nghiêng với đáy góc 60 Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mặt phẳng (SCD) cắt SC, SD C’, D’ Tính thể tích hình chóp SABC’D’  Hướng Dẫn: V  3a / 16 Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Một mặt phẳng (P) chia hình lập phương làm hai phần tích nhau, chứng minh (P) qua tâm hình lập phương (Tâm hình lập phương tâm hình cầu ngoại tiếp hình lập phương)  Hướng Dẫn: Bài 30 Tính thể tích hình chóp S.ABCD biết: SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (SCD)  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài 31 Cho tứ diện OABC có độ dài: OA = 4cm, OB = 5cm, OC = 6cm có góc = = 60 Tính thể tích tứ diện OABC  Hướng Dẫn:  V  cm3  = Bài 32 Cho tứ diện ABCD, điểm M cạnh AC, mặt phẳng (P) song song với hai cạnh AB CD, (P) cắt cạnh AC, BD, BC điểm tương ứng M, N, E, F Mặt phẳng (P) chia tứ diện cho thành hai khối đa diện Hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện theo: k =  Hướng Dẫn:   V1 / V2  k  3k /  3k  1 Bài 33 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đểu cạnh a Điểm A’ cách điểm A, B, C đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính thể tích hình chóp B’.ACC’A’  Hướng Dẫn: V  a3 / TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 16 Bài 34 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB =∝ Gọi O giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Hãy xác định góc α để mặt cầu tâm O qua năm điểm S, A, B, C, D PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012   600 Bài 35 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 30 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Hướng Dẫn: S  8 a / góc với đáy SA  a ( > 0) Gọi K trung điểm cạnh AC Chứng minh mặt phẳng(SBK) Bài 36 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = a√2 , CD = 2a Cạnh SA vng vng góc với mặt phẳng (SAC) tính thể tích khối chóp SBCK theo a Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a (a > 0) Góc ABC = 120 , cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi C’ trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (α) qua AC’ song song với BD cắt cạnh SB, SD B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: V=  Hướng Dẫn: a3 V  a 3 / 18 Bài 38 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng góc A D, AB = AD = a, DC = 2a Cạnh bên SD vng góc với mặt phẳng (ABCD), SD = a√3 (a số dương cho trước) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a Gọi G trọng tâm tam giác DBC Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) theo a  Hướng Dẫn: V  3a / 2 d  a 30 / 15 Bài 39 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy a, góc đường thẳng AB’ mặt phẳng (BB’C’C) α Tính độ dài đoạn thẳng AB’ theo a α Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a α  Hướng Dẫn:  AB '  a / 2sin  , S  4 a / 16sin   / 12  Bài 40 Tam giác MNP có đỉnh P nằm mặt phẳng (α), hai đỉnh M N nằm phía (α) Lần lượt lấy M’, N’ cho PM’N’ tam giác cạnh a Giả sử: MM’ = 2NN’ = a Tính diện tích tam giác PMN, từ suy giá trị góc hai mặt phẳng (α) (MNP)  Hướng Dẫn: S  a / ,   450 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 17 Cho tứ diện SABC có góc ABC = 90 ; SA = AB = 2a BC = a√3 SA vng góc với mặt ⃗ = ⃗ Tính khoảng cách từ B đến phẳng (ABC) Gọi M điểm đường thẳng AB, cho: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 41 mặt phẳng (SCM)  Hướng Dẫn: d  a / 43 Bài 42 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đường thẳng AC lấy điểm M đường thẳng C’D lấy điểm N cho: MN // BD’ Tính tỉ số: CM / CA  Hướng Dẫn: CM / CA = 1/3 Bài 43 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh a Gọi K trung điểm cạnh BC I tâm hình vng CC’D’D Tính thể tích khối đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương  Hướng Dẫn: V1 = 7/36 a3, V2 = 29/36.a3 Bài 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a√3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a  Hướng Dẫn: V  a / 24 , d  a / 19 Bài 45 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi G tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a  Hướng Dẫn: V  3 a / , R  7a / 12 Bài 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC: AH = AC/4 Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a  Hướng Dẫn: V  14 a / 48 Bài 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V  a3 / Bài 48 Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD hình thang vng A B có AB = BC = a, AD = 2a, góc hai mặt (SAD) (SCD) 600 Gọi V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC SACD Tính tỉ số V1 V2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 18 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 V1 / V2  / Bài 49 Cho tứ diện SABC có ∆ABC cân A, SA vng góc với mp(ABC), SA = a, diện tích ∆SBC gấp lần diện tích ∆ABC Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC  Hướng Dẫn: d  a / , R  a 21 / Bài 50 Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp SABCD Tính tang góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD)  Hướng Dẫn: V  a / , tan    2 Bài 51 Cho hình chóp SABC có ABC tam giác cạnh a, mp(SAB) vng góc với mp(ABC), góc hai mặt bên (SBC) (SAC) với mp(ABC) 600 Tính thể tích hình chóp SABC Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC  Hướng Dẫn: V  a 3 / 16 , R  a 1333 / 72 Bài 52 Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp lăng trụ tứ giác có đường chéo hợp với đáy góc α Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ tính thể tích lăng trụ ngoại tiếp  Hướng Dẫn: VHT  2 R tan  , S xq   R tan  , VLT  2R3 tan  Bài 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), Gọi I trung điểm cạnh BC Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SI cắt SB, SC M, N Biết rằng: VSAMN = 1/4 VSABC , Hãy tính: VSABC (VSAMN , VSABC thể tích khối chóp SAMN SABC)  Hướng Dẫn: V = a3 Bài 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) Cho biết góc (SAD) (SCD) 600 Tính thể tích hình chóp  Hướng Dẫn: V  a 15 / Bài 55 Cho hình chóp ABCD có AB = x (x > 0), cạnh cịn lại Tính độ dài đoạn vng góc chung AB CD Tính thể tích hình chóp Tìm điều kiện x để tốn có nghĩa  Hướng Dẫn: V  x  x / 12 ,  x  Bài 56 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Biết AB = AC = AA’ M điểm di động AC’, N điểm di động BC cho M ≠ A AM = BN Chứng minh: MN // (ABB’A’) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 19 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Xác định vị trí MN cho độ dài MN ngắn  Hướng Dẫn: M trung điểm AC’, N trung điểm BC, Min MN  a / Bài 57 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B, BC = a, SA  (ABC) SA = 2a Gọi I trung điểm SC M điểm cạnh SB Tính diện tích tam giác AIM (AIM)  (SBC)  Hướng Dẫn: S  a 14 / 10 Bài 58 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, ABC khơng phải tam giác cân Dựng nửa đường thẳng Ax vng góc mặt phẳng (P) S điểm Ax Gọi D, E tương ứng hình chiếu A SB SC Chứng minh DE không song song với BC Chứng minh S di động Ax (S ≠ A) tồn điểm cố định cách năm điểm A, B, C, D, E  Hướng Dẫn: Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC Bài 59 Cho đường trịn đường kính AB 2R C điểm chạy đường tròn Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng đường tròn, lấy điểm S cho SA = a < 2R  Giả sử  góc hai mặt phẳng (SBA) (SBC) Đặt  = BAC Hãy tìm sin  theo: a, R,  Gọi E F tương ứng trung điểm AC, SB Xác định vị trí C đường trịn cho EF đường vng góc chung cùa AC SB  Hướng Dẫn: sin   cos a  R / a  R2 cos 2 Bài 60 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD C giao điểm đường tròn cho với đường trịn tâm B bán kính a, ln có vị trí C Giả sử: SC  (AB’D’) = C’ Chứng minh: AB’C’D’ tứ giác nội tiếp Giả sử ABCD hình vng cạnh a, SA = 2a Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: V = 16a3 / 45 Bài 61 Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Hai nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mặt phẳng (P) phía (P) M N tương ứng hai điểm Bx Dy Đặt: BM = u, DN = v Tìm mối liên hệ u, v để (MAC) ⊥ (NAC) Giả sử đại lượng u, v thỏa mãn điều kiện câu Chứng minh rằng: (AMN) ⊥ (CMN)  Hướng Dẫn: 2uv = a2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 20 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  Bài 62 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác cân ABC với AB = AC, BAC = α Gọi M trung điểm AA’ giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với đáy (ABC) góc   Chứng minh: C ' BC =  Tìm mối liên hệ   để C’MB tam giác vuông  Hướng Dẫn: tan(α/2) = cosβ Bài 63 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Có hình cầu qua A tiếp xúc với SB, SD trung điểm chúng Xác định tâm O tính bán kính hình cầu Tính thể tích hình chóp S.OBCD  Hướng Dẫn: R  3a / , V  a / 48 Bài 64 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Trên AB lấy điểm H Từ H kẻ đường vng góc với AB cắt nửa đường tròn M Gọi I trung điểm HM Nửa đường thẳng vng góc với (P) I cắt mặt cầu đường kính AB K Chứng minh H di động mặt phẳng (KAB) tạo với (P) góc khơng đổi Chứng minh H di động tâm S mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABKI nằm đường thẳng cố định  Hướng Dẫn Bài 65 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Từ B C phía (P) dựng hai nửa đường thẳng Bx, Cy vng góc với (P) Trên Bx Cy lấy hai điểm M, N Đặt: BM = u, CN = v Tìm hệ thức u, v để MAN tam giác vuông M  Giả sử AMN = 900 v = 2u Gọi  góc hai mặt phẳng (AMN) (BCMN) Tính giá trị   Hướng Dẫn: 2uv = a2 + 2u2 α = 450 Bài 66 Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Đoạn SA = 2a vng góc với (P) A Điểm M N di động BC CD Đặt: BM = u, DN = v Tìm mối liên hệ u v để hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 Giả sử M, N di động thỏa mãn điều kiện câu Hãy xác định vị trí M, N để tứ diện SAMN tích lớn  Hướng Dẫn: a(u + v) + uv = a2 M ≡ B, N ≡ C M ≡ C, N ≡ D Bài 67 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm M Đặt: AM = x Qua M vẽ đường thẳng  vng góc với (P) Lấy S  cho MS = MA Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (ABC) Gọi I trung điểm BC Mặt phẳng (SMI) cắt AC kéo dài N (NA > NC) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 21 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Tìm x để hệ có hệ thức: VSMBI + VSCNI = VSABC  Hướng Dẫn: cos  21 / x a   1 / Bài 68 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) 2a Với giá trị góc α mặt bên mặt đáy hình chóp thể tích hình chóp nhỏ Tính giá trị bé  Hướng Dẫn: cos  / , VMin  3a Bài 69 Cho tứ diện ABCD có: BC = a, AB = AC = b, BD = DC = c Với điều kiện b, c đường thẳng nối I, J đường vng góc chung BC AD I, J tương ứng trung điểm BC AD Chứng minh hình cầu đường kinh CD qua I J Gỉả sử: b = c = √ Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ABC DBC Tìm α để hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD  Hướng Dẫn: b = c sin  /     6 /2 Bài 70 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy (ABC) góc α, β, γ Tìm thể tích hình chóp S.ABC Tìm khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAB)  Hướng Dẫn: V  a / 2sin   cot   cot   cot   , h  a 3.sin  / Bài 71 Cho tứ diện OABC OA vng góc với mặt phẳng (OBC) Giả sử: OA = OB = OC = a, BOC = 120 Tìm bán kính hình cầu nội ngoại tiếp tứ diện OABC  Hướng Dẫn:  R  a / , r  3V / Stp  a   15  Bài 72 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 60 Dựng thiết diện với hình chóp qua CD tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Tìm diện tích thiết diện Giả sử thiết diện cắt SA, SB tương ứng N, M Tìm thể tích hình chóp tứ giác S.CDNM S  3a / , V  a 3 / 16 Bài 73 Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = a, BC = b, (BCD) ⊥ (ABC), BDC = 90 Xác định tâm tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b  Hướng Dẫn: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 22 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng Dẫn: NĂM HỌC 2011-2012 R  a / 4a  b2 Bài 74 Cho hình chóp tam giác S.ABC Biết tồn hình cầu tâm O, bán kính R (O nằm chiều cao hình chóp) tiếp xúc với sáu cạnh hình chóp Chứng minh S.ABC hình chóp Cho SC = R√3 Tính chiều cao hình chóp  Hướng Dẫn: SH  3R / Bài 75 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên b (b > a) Một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A tiếp xúc với cạnh SB Tìm bán kính hình cầu  Hướng Dẫn: R  a  2b  a  / 3b2  a Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đếu S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng điểm D qua trung điểm SA Gọi M, N tương ứng trung điểm AE, BC Chứng minh: MN ⊥ BD Tìn khoảng cách theo a hai đường thẳng MN, AC d  a 2/4 Bài 77 Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD Dựng đoạn SA ⊥ (P) Qua A dựng mặt phẳng (Q) ⊥ SC Mặt phẳng cắt SB, SC, SD B’, C’, D’  Hướng Dẫn: Chứng minh AB’ ⊥ SB, AD’⊥ SD SB’.SB = SC’.SC = SD’.SD Gọi I trung điểm SA, M, N tương ứng trung điểm AB, DC Chứng minh: IB’⊥ (B’MN) Bài 78 Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Dựng đoạn SA = a√2, SA⊥ (ABCD) Qua A dựng mặt phẳng (Q) ⊥ SC Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’  Hướng Dẫn: Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ Chứng minh điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu Tính bán kính mặt cầu  Hướng Dẫn: V  a3 / , R  a / TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 23 ... thẳng   Phương pháp:  Cách Chứng minh đường thẳng  với mặt phẳng chứa đường  Cách Nếu đường thẳng cắt sử dụng phương pháp dùng hình học phẳng để chứng minh  Cách Dùng Vectơ  BÀI TOÁN 15:... TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  BÀI TOÁN 23: Chứng minh mặt phẳng (P), (Q) vng góc  Phương pháp: ... Khi a qua: I = (P)  b  BÀI TOÁN 8: Chứng minh đường thẳng a, b song song  Phương pháp:  Cách Ta chứng minh: a , b đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh // hình học phẳng như: Ta lét, đường